Chapitre 1 : Modéliser par une fonction. I. Ensembles de nombres. 1) Les entiers naturels. Ce sont les nombres entiers positifs. Leur ensemble est noté IN. Exemple : 5 appartient à IN. -3 n’appartient pas à IN. 2) Les entiers relatifs. Ce sont tous les nombres entiers. Leur ensemble est noté Z. Exemple : -3 appartient à Z. 5 appartient à Z. Remarque : Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs. 3) Les nombres décimaux. Ce sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme a/10n (avec a qui appartient à Z et n qui appartient à IN). Leur ensemble est noté ID. Exemple : 1,5=15/10 donc 1,5 appartient à ID. -1,802=-1802/100 donc -1,802 appartient à ID. 4=4/10 donc 4 appartient à ID. 4) Les nombres rationnels. Ce sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme a/b (avec a qui appartient à Z et b qui appartient à Z). Leur ensemble est noté Q. Exemple : 2/3 appartient à Q. 5/10 appartient à Q. Remarque : Certains nombres sont irrationnels (2π ; 4√3…) 5) Les nombres réels. Ce sont tous les nombres que l’on utilise et que l’on peut représenter sur une droite graduée. Leur ensemble est noté IR. 6) Conclusion. IN C Z C ID C Q C IR. II. Intervalles. Définition : On appelle intervalle l’ensemble des nombres déterminés par une inégalité ou un encadrement. Exemple : 1 ≤ x ≤ 5 x appartient à [1 ; 5] 1) Intervalles bornés et non bornés Soit a et B deux réels tels que a<b. 2) Intersection et réunion d’intervalles. Soit I et J deux intervalles de IR. x ≥ 5 x qui appartient à [5 ; +∞ [ Définitions : -Les réels qui sont à la fois dans l’intervalle I et dans l’intervalle J sont dans l’intersection des intervalles I et J. Si x appartient à I et x appartient J alors x appartient à I∩J (∩ se lit « inter »). -Les réels qui sont dans l’intervalle I ou dans l’intervalle J sont dans la réunion des intervalles I et J. Si x appartient à I ou x appartient à J alors x appartient à IUJ. (U se lit « union »). III. Fonctions et représentations graphiques. 1) Notion de fonction. Définition : I est une partie de l’ensemble IR des réels. Définir une fonction f sur I c’est associer à chaque réel x de I, un réel en un seul, noté f(x). On dit que f(x) est l’image de x par la fonction f. On note y= f(x) ou f : x → f(x). Exemples : Soit f la fonction définie par f(x)= 4x2-3 f(2)= 4*22-3=4*4-3=13 f(-2)= 4*(-2)2-3= 4*4-3=13 Les antécédents de 13 sont -2 et 2. Exemples de fonctions : g(x)= 4x-3 h(x)= √x+1 i(x)= 2/x+3 2)Ensemble de définition. h(x)= √x+1 est calculable si x+1 ≥ 0 (car on ne peut pas calculer la racine carrée d’un nombre négatif). x+1 ≥ 0 x ≥ -1 x appartient à [-1 ; +∞ [. L’ensemble de définition de h est Dh= [-1 ; +∞ [ 1(x)= 2/x+3 est calculable si x +3 ≠ 0 (car on ne peut pas diviser par 0) X+3 ≠ 0 x ≠ -3 x appartient à]-∞ ; 3[U]-3 ; +∞ [. L’ensemble de définition de i est : Di=]-∞ ; 3[U]3 ; +∞ [ Définition : L’ensemble de définition d’une fonction f est l’ensemble des réels qui ont une image par f. On le note Df. G(x)= 4x-3 est définie sur IR Dg= IR 3) Courbe représentative d’une fonction. Définition : La représentation graphique de la fonction f définie sur I est l’ensemble des points M de coordonnées (x, f(x)) ou x appartient à I.