Exercice de spécialité Nouvelle

Ultrabac Terminale S - Exercice de spécialité du sujet Nouvelle-Calédonie mars 2008
Partie A - Question de cours
1.b) Soit N 2 le nombre s'écrivant en base 10 :
Démonstration de cours :
Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l'addition, la
multiplication et les puissances ?
Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication.
Les propriétés incriminées sont les suivantes :
Soient a, b, c et d quatre entiers relatifs et n un entier naturel non nul.
 a ≡ b modulo n
Si 
alors a
+ c ≡ b + d modulo n et a
× c ≡ b × d modulo n
c ≡ d modulo n
La congruence est compatible
La congruence est compatible
avec l'addition.
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avec la multiplication.
Si a ≡ b modulo n alors pour tout entier naturel k , a k ≡ b k modulo n
La congruence est compatible avec l'élévation à la puissance.
Démontrons la propriété concernant la multiplication.
Pour ce faire, nous devons revenir à la définition de la congruence modulo n.
Deux entiers sont congrus modulo n ⇔ n divise leur différence
 a ≡ b modulo n
Dire que 
signifie que n divise les deux différences a − b et c − d .
c ≡ d modulo n
Par conséquent n divise aussi leur combinaison linéaire :
d × (a − b) + a × (c − d ) = d × a − b × d + a × c − a × d = a × c − b × d
N 2 = 1131 = 1×103 + 1× 103 + 3 × 10 + 1
Déterminer l'écriture de N 2 en base 12.
Pour connaître les chiffres écrivant ce nombre en base 12, nous allons devoir en extraire
toutes les puissances de 12 possibles.
Pour ce faire, nous allons commencer par le diviser par 12. Le reste nous donnera le
chiffre des unités. Puis, nous recommencerons le processus avec le quotient pour obtenir
les autres chiffres. Le processus s'arrêtera lorsque le quotient sera nul.
Effectuons la division euclidienne de 1131 par 12 : comme 1131 = 94 × 12 + 3 , alors
elle a pour reste 3 et pour quotient 94. Le chiffre des 120 est 3.
Effectuons la division euclidienne de 94 par 12 : comme 94 = 7 × 12 + 10 , alors elle a
pour reste 10 et pour quotient 94. Le chiffre des 121 est α.
Effectuons la division euclidienne de 7 par 12 : comme 7 = 0 × 12 + 7 , alors elle a
pour reste 7 et pour quotient 0. Le chiffre des 122 est 7. Le processus s'arrête.
En fait, tout ce que nous venons de faire repose sur la cascade suivante :
N 2 = 1131 = 94 ×12 + 3 = ( 7 ×12 + 10 ) × 12 + 3 = 7 × 122 + 10 × 12 + 3
12
Conclusion : l'écriture en base 12 de l'entier N 2 est 7α3
Dans toute la suite, un entier naturel N s'écrira de manière générale en base 12 :
N = an … a1a0
Donc a × c ≡ b × d modulo n .
Partie B
On note 0,1, 2,… , 9, α, β les douze chiffres servant à l'écriture d'un nombre en base 12.
Par exemple :
12
βα7
2
2
2
= β× 12 + α × 12 + 7 = 11× 12 + 10 × 12 + 7 = 1711 en base 10
12
en base 12, alors cela signifie qu'en base 10,
12 ≡ 4 × 3 ≡ 4 × 0 ≡ 0 modulo 3
Pour tout entier naturel k ∈ {1; 2;… ; n} , il vient alors :
Déterminer l'écriture de N1 en base 10.
En base 10, les chiffres α et β ont pour valeurs respectives 10 et 11.
Nous pouvons écrire :
2
= 11
×12 + 1×12 + 10
× 1 = 1606
β
Si l'entier naturel N s'écrit an … a1a0
nous avons :
Or modulo 3 :
12
N1 = β1α
N1 = β1α
2.a) Démontrer que N ≡ a0 modulo 3 .
En déduire un critère de divisibilité par 3 d'un nombre écrit en base 12.
N = an × 12n + … + a2 × 122 + a1 × 12 + a0
1.a) Soit N1 le nombre s'écrivant en base 12 :
12
12
α
On élève à la puissance k →
12k ≡ 0k ≡ 0 modulo 3
On multiplie par l'entier ak → ak ×12k ≡ ak × 0 ≡ 0 modulo 3
Si l'on congrue l'entier N modulo 3, il vient alors :
N ≡ an × 12n + … + a2 × 122 + a1 × 12 + a0
≡ 0 + … + 0 + 0 + a0 ≡ a0 modulo 3
Ultrabac Terminale S - Exercice de spécialité du sujet Nouvelle-Calédonie mars 2008
Les entiers divisibles par 3 étant ceux et seulement ceux qui sont congrus à 0 modulo 3,
nous en déduisons le critère de divisibilité suivant :
Un entier N est divisible par 3 si et seulement si son chiffre des unités a0 en base 12 est
divisible par 3.
2.b) A l'aide de son écriture en base 12, déterminer si l'entier N 2 est divisible par 3.
Confirmer avec son écriture en base 10.
Comme le dernier chiffre de N 2 en base 12 est 3 et que celui-ci est divisible par 3, alors
oui, N 2 est divisible par 3.
La confirmation de ce résultat en base 10 est des plus rapides : comme la somme des
chiffres (en base 10) de N 2 qu'est 1 + 1 + 3 + 1 = 6 est divisible par 3, alors là encore,
nous pouvons en conclure que N 2 est divisible par 3.
12k ≡ 1k ≡ 1 modulo 3
On multiplie par l'entier ak → ak ×12k ≡ ak × 1 ≡ ak modulo 3
Si l'on congrue l'entier N modulo 11, il vient alors :
N ≡ an × 12n + … + a2 × 122 + a1 × 12 + a0
≡ an + … + a2 + a1 + a0 modulo 11
Les entiers divisibles par 11 sont ceux et seulement ceux qui sont congrus à 0 modulo
11. Par conséquent, nous en déduisons le critère de divisibilité suivant :
Un entier N est divisible par 11 si et seulement si la somme de ses chiffres en base 12
qu'est an + … + a2 + a1 + a0 est divisible par 11.
3.b) A l'aide de son écriture en base 12, déterminer si N1 est divisible par 11.
Confirmer avec son écriture en base 10.
12
La somme des chiffres du nombre N1 = β1α
Comme 10 ≡ 11 − 1 ≡ −1 modulo 11 et 100 ≡ 99 + 1 ≡ 1 modulo 11 , alors on établit
que modulo 11, les puissances paires de 10 sont congrues à 1 et les impaires à −1 .
Par conséquent, pour tout entier naturel N = bn … b1b0
10
écrit en base 10, nous avons :
N ≡ bn ×10n + … + b4 × 104 + b3 ×103 + b2 × 102 + b1 × 12 + b0
≡ bn × ( −1) + … + b4 × 1 + b3 × ( −1) + b2 × 1 + b1 × ( −1) + b0
n
≡ … + b4 + b2 + b0 − (… + b5 + b3 + b1 ) modulo 11
Chiffres de rang pair
Chiffres de rang impair
On en déduit qu'un entier N est divisible par 11 si et seulement si la différence de ses
chiffres de rang pair avec ses chiffres de rang impair est aussi divisible par 11.
12
3.a) Démontrer que N ≡ an + … + a1 + a0 modulo 11 .
En déduire un critère de divisibilité par 11 d'un nombre écrit en base 12.
Modulo 11, nous avons :
12 ≡ 11 + 1 ≡ 0 + 1 ≡ 1 modulo 11
Pour tout entier naturel k ∈ {1; 2;… ; n} , nous pouvons alors écrire :
On élève à la puissance k →
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est égale à 11
+ 1 + 10
= 22 .
β
α
Comme celle-ci est divisible par 11, alors le nombre N1 est divisible par 11.
Ce résultat est confirmé en base 10 car 1606 = 11× 146 .
4) Un nombre s'écrit N = x 4 y .
Déterminer les valeurs de x et y pour lesquelles N est divisible par 33.
Un entier N est divisible par 33 = 3 × 11 lorsque et seulement lorsqu'il est divisible à la
fois par 11 et 3. Car 3 et 11 sont premiers entre eux. Par conséquent :
N est divisible par 33 ⇔
y est divisible par 3
et x + 4 + y est divisible par 11
Critère de divisibilité par 3 :
Le chiffre des unités doit être
divisible par 3.
Concerne y, les seuls entiers compris entre 0 et 11 divisibles par 3 sont 0 ; 3 ; 6 et 9.
Comme les entiers x et y sont compris entre 0 et 11, alors la somme somme x + 4 + y est
comprise entre 4 et 26. Les seuls multiples de 11 accessibles à celle-ci sont 11 et 22.
Il ne nous reste plus qu'à passer en revue toutes les valeurs possibles pour y :
4
Si y = 0 alors la somme x + 4 + y ne peut qu'être égale à 11. On a alors : x = 7 .
comprise entre 4 et 15
7
Si y = 3 alors la somme x + 4 + y ne peut qu'être égale à 11. On a alors : x = 4 .
comprise entre 7 et 18
10
Si y = 6 alors la somme x + 4 + y
ne peut qu'être égale à 11. On a alors : x = 1 .
13
Si y = 9 alors la somme x + 4 + y
ne peut qu'être égale à 22. On a alors : x = 9 .
comprise entre 10 et 21
comprise entre 13 et 24
Conclusion : il y a quatre valeurs possibles pour N. En base 12, ils s'écrivent :
12
Un critère de divisibilité par 11
De la même façon qu'il existe un critère de divisibilité par 3, il en existe un pour 11.
Critère de divisibilité par 11 :
La somme des chiffres doit être
divisible par 11.
740
12
; 443
12
; 146
12
et 949