Sol. Serie 4 Physique Quantique - S5 SMP

Sol. Serie 4 Physique Quantique - S5 SMP
Mme ACHKAR Yamina
Année Universitaire 2015/2016
UNIVERSITE SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH
FACULTE DES SCIENCES DHAR EL MAHRAZ - FES
DEPARTEMENT DE PHYSIQUE
T.D de Physique Quantique - SMP - S5
SERIE N°4
Exercice1/ Moment cinétique
On considère une particule ayant un moment cinétique J et se trouve dans un état propre
j, m de J2 et Jz correspondant au couple de valeurs propres j( j  1)2 et m .
1) Calculer les éléments de matrice suivants:
⟨𝑗 ′ , 𝑚′|𝐽2 |𝑗, 𝑚⟩ , ⟨𝑗 ′ , 𝑚′|𝐽𝑧 |𝑗, 𝑚⟩ , ⟨𝑗 ′ , 𝑚′|𝐽± |𝑗, 𝑚⟩ , ⟨𝑗 ′ , 𝑚′|𝐽𝑥 |𝑗, 𝑚⟩ et ⟨𝑗 ′ , 𝑚′|𝐽𝑦 |𝑗, 𝑚⟩
j, m , ainsi que les
2) En déduire l’expression de la valeur moyenne de Jx et Jy dans l’état
écarts quadratiques moyens ΔJx et ΔJy.
3) On suppose que la particule a pour moment cinétique j = 1, en utilisant les résultats de la
1ère question, écrire les matrices représentant J2, Jz, J, Jx, Jy dans la base

j, m .
3) Cette particule est soumise à un gradient de champ électrique et son hamiltonien s’écrit
alors: H 
0

( J u2  J v2 ) ou Ju et Jv sont les composantes de J sur les directions Ou et Ov du
plan XOZ à 45 de OX et OZ, et ω0 est une constante réelle. Donner l’expression de H en
fonction de Jx, Jy et Jz et écrire la matrice qui représente cet hamiltonien dans la base

j, m

5) Déterminer les énergies propres et les états stationnaires  1 ,  2 ,  3 de cette particule.
6) A t=0 la particule est dans l’état  0 
1
 11,  1,1  quel l’état du système à l’instant
2
t?
Exercice 2/
Partie A : Oscillateur harmonique à 2 dimensions
Une particule de masse m est assujettie à se déplacer dans le plan XOY et qu'elle est soumise
au potentiel harmonique 𝑉(𝑋, 𝑌). Ce système est un oscillateur harmonique à 2 dimensions de
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pulsation ω, dont le potentiel est :
1
𝑉(𝑋, 𝑌) = 2 𝑚𝜔2 (𝑋 2 +𝑌 2 )
On pose : 𝑎𝑥 =
avec
1
√2
[𝑋̂ + 𝑖𝑃̂𝑥 ];
𝑎𝑦 =
1
; 𝑃̂𝑥 = 𝛽ℏ 𝑃𝑥
𝑋̂ = 𝛽𝑋
1
√2
[𝑌̂ + 𝑖𝑃̂𝑦 ] ; 𝑁𝑥 = 𝑎𝑥+ 𝑎𝑥
;
𝑌̂ = 𝛽𝑌
1
𝑃̂𝑦 = 𝛽ℏ 𝑃𝑦
;
; 𝑁𝑦 = 𝑎𝑦+ 𝑎𝑦
;
𝑚𝜔
𝛽=√
ℏ
Soit |𝜑𝑛𝑥 ⟩ les états propres de 𝑁𝑥 de valeurs propres nx, |𝜑𝑛𝑦 ⟩ les états propres de 𝑁𝑦 de
valeurs propres ny , et soit |𝜑𝑛𝑥 𝜑𝑛𝑦 ⟩ leur produit tensoriel. Tous ces états sont normés.
1°) Montrer que l'hamiltonien H de ce système s'écrit sous la forme d'une somme de deux
hamiltoniens Hx et HY . Donner l'expression de H en fonction de Nx et NY.
2°) Déterminer les états propres de H ainsi que les valeurs propres qui leurs sont associées et
leur degré de dégénérescence. Donner un ensemble complet d'observables qui commutent
(ECOC) dans l'espace des états de cette particule.
3°) A t = 0 la particule est dans l'état : |𝜓(0)⟩ =
1
√2
|𝜑00 ⟩ +
1
√2
|𝜑01 ⟩ quel est son état à l'instant
t?
Quelle est la probabilité pour qu'une mesure de l'énergie donne une valeur inférieure à 2 ?.
4°) On introduit les opérateurs :
et
Montrer que les vecteurs : |𝜑00 ⟩ , |𝑑⟩ = 𝐴+
et |𝑔⟩ = 𝐴𝑔+ |𝜑00 ⟩ sont des états
𝑑 |𝜑00 ⟩
propres de H orthogonaux et normés et déterminer les valeurs propres qui leur correspondent.
Partie B – Oscillateur harmonique à 3 dimensions
La particule de masse m se déplace maintenant dans l'espace à trois dimensions et soumise à
une force centrale F = kr. L'énergie de la particule est donnée par
2
E = P + 1 m 2r 2 avec  =
2m 2
k , k>0
m
1°) Quel est l'hamiltonien H de la particule.
2°) Calculer les états propres et les niveaux d'énergies de la particule. H forme-t-il un E.C.O.C
dans l'espace des états ξr . Donner un E.C.O.C dans ξr.
3°) Quel est le degré de dégénérescence du niveau fondamental de cette particule et celui du
ième
n
niveau excité.
4°) Montrer qu'il existe une relation entre le nème état excité et l'état fondamental
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Exercice 3/
⃗ ; une base de
On considère un système quantique sans spin de moment cinétique orbital 𝐿
l’espace des états de ce système est considérée par les états propres communs à L² et LZ et
notés |𝑙, 𝑚⟩ .
1) Exprimer L+L- et L-L+ en fonction de L² et LZ et en déduire les propriétés :
𝐿± |𝑙, 𝑚⟩ = ħ√𝑙(𝑙 + 1) − 𝑚(𝑚 ± 1)|𝑙, 𝑚 ± 1⟩
2) On suppose maintenant dans toute la suite que l=1
a) Calculer, dans la base {|𝑙, 𝑚⟩}, les éléments de matrices des opérateurs L², Lz, Lx et Ly.
b) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de Ly.
3) On considère que la particule est dans l'état normé: |𝜓⟩ = 𝑎|1,1⟩ + 𝑏|1,0⟩ + 𝑐|1, −1⟩
a) Quelle est la probabilité de trouver ℏ si l'on mesure Ly?
b) Calculer la valeur moyenne <Lz > lorsque le système est dans l'état |𝜓⟩ , ainsi que
les probabilités des différents résultats possibles lors d'une mesure portant sur cette
observable.
⃗ dirigé selon une
4) Ce système est un noyau atomique soumis à un champ magnétique 𝐵
direction unitaire 𝑢
⃗ d’angles polaires 𝜃 et 𝜑 / [𝑢
⃗ (sin 𝜃 cos 𝜑 , sin 𝜃 sin 𝜑 , cos 𝜃)].
On supposera que le rapport gyromagnétique 𝛾 du noyau est négatif et on posera :
𝜔=
⃗
−𝛾𝐵. En écrivant que l’hamiltonien d’interaction est : 𝐻 = −𝜇 . 𝐵 où 𝜇 = 𝛾𝐽.
Montrer que la matrice représentant H dans la base des états propres {|𝑙, 𝑚⟩} est donnée par :
𝑐𝑜𝑠𝜃
sin 𝜃 𝑒 𝑖𝜑
𝑀𝐻 = ħ𝜔
√2
(
0
sin 𝜃 𝑒 −𝑖𝜑
√2
sin 𝜃 𝑒 −𝑖𝜑
0
sin 𝜃 𝑒
√2
0
𝑖𝜑
√2
− cos 𝜃
)
Calculer les énergies propres du système.
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Exercice 3
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