Chapitre 5 Séries Entières

Chapitre 5
Séries Entières
Étant données une suite (a n )n∈N et un complexe z, on peut s’intéresser à la série ((a n z n ))n∈N .
Ceci définit un type particulier de série de fonctions, qu’on appelle série entière. Ce chapitre s’intéresse aux propriétés élémentaires de ces séries.
Dans tout ce qui suit, on adopte la notation suivante : si n ∈ N? , on note Xn la fonction
Xn : C −→ C
z 7−→ z n
et X0 est la fonction constante égale à 1 sur C. Autrement dit, Xn est la fonction polynomiale associée au polynôme Xn dans C[X].
Implicitement, C est normé par le module et si r > 0 et a ∈ C, on note
• D (a, r ) la boule ouverte de centre a et de rayon r ;
• D (a, r ) la boule fermée de centre a et de rayon r ;
• C (a, r ) le cercle de centre a et de rayon r .
D (a, r ) = {z ∈ C | |z − a| < r }
D (a, r ) = {z ∈ C | |z − a| 6 r }
C (a, r ) = {z ∈ C | |z − a| = r }
5.1 Rayon de convergence
Tout commence par un lemme.
Lemme 5.1.1 (Lemme d’Abel)
Soient (a n )n∈N une suite de nombres complexes et R > 0 tels que la suite (a n Rn )n∈N est bornée. Alors
pour tout r ∈]0 ; R[, la série ((a n Xn ))n∈N converge normalement dans D (0, r ).
Preuve : La suite (a n Rn )n∈N est bornée donc il existe M > 0 tel que
∀n ∈ N
∀z ∈ D (a, r )
Alors
Comme 0 <
r
R
|a n | Rn 6 M
n
n
n
|a n z | 6 |a n | r = |a n | R
³ r ´n
R
³ r ´n
6M
R
n
< 1, la série
le disque D (a, r ).
¡¡ r ¢¢
Rn
n∈N
converge et on a convergence normale de ((a n Xn ))n∈N dans
1
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Corollaire 5.1.2
Soit (a n )n∈N une suite de nombres complexes. On pose
Ac = {r > 0 | ((a n r n ))n∈N converge absolument}
A0 = {r > 0 | lim a n r n = 0}
n→∞
Ab = {r > 0 | (a n r n )n∈N est bornée}
et
Alors Sup Ac = Sup A0 = Sup Ab .
On rappelle que, par convention, l’ensemble vide a un supremum, qui est −∞ ; et un ensemble non majoré a pour supremum +∞.
Preuve : Il est clair que Ac ⊂ A0 ⊂ Ab et que 0 ∈ Ac . On note Rc , R0 et Rb les suprema respectifs de
ces ensembles ; on a d’ores-et-déjà 0 6 Rc 6 R0 6 Rb .
Du coup, si Ab = {0}, les deux autres ensembles sont aussi {0}. Réciproquement, si Ab 6= {0},
il contient un R > 0 et le lemme d’Abel assure que ]0 ; R[⊂ Ac . Donc Ac et Ab ne sont pas {0}. Donc
Ab = {0} ⇐⇒ A0 = {0} ⇐⇒ Ac = {0}
En particulier, si Ac = {0}, alors Rb = R0 = Rc = 0.
Supposons maintenant que Ac 6= {0}. Les deux autres ensembles ne sont pas {0} et l’on a alors
0 < Rc 6 R0 6 Rb 6 +∞. Considérons deux cas :
• Si Ab n’est pas majoré : Soit M > 0 ; il existe R ∈ Ab tel que R > M. D’après le lemme d’Abel,
?
M ∈ Ac . Donc Ac = R?
+ et il s’ensuit que A0 et Ab sont aussi égaux à R+ d’où Rc = R0 = Rb = +∞.
• Si Ab est majoré : Alors Rc , R0 et Rb sont des réels positifs. On fixe ε > 0 ; il existe R ∈ Ab tel que
Rb − ε < R 6 Rb . D’après le lemme d’Abel, Rb − ε se trouve dans Ac , ce qui assure Rc > Rb − ε.
Comme ε était quelconque, on a bien Rb = Rc . Et il s’ensuit que Rb = Rc = R0 .
Il ne faut pas faire dire n’importe quoi à ce théorème : il ne dit certainement pas que les
ensembles Ab , Ac et A0 sont égaux. Seuls leurs suprema sont égaux, ce qui n’est pas du tout
la même chose.
Par exemple, prenons pour (a n )n∈N la suite constante égale à 1. Alors
Ab = [0 ; 1]
A0 = [0 ; 1[
Ac = [0 ; 1[
Définition 5.1.3 (Rayon de convergence)
Soit (an )n∈N une suite à valeurs dans C. On appelle rayon de convergence de la série entière
((a n Xn ))n∈N le réel
Rc = Sup {r > 0 | ((a n r n ))n∈N converge absolument}
On appelle disque ouvert de convergence de la série entière ((an Xn ))n∈N le disque D (0, Rc ).
Proposition 5.1.4 (Propriété fondamentale du rayon de convergence)
Soit ((a n Xn ))n∈N une série entière de rayon de convergence Rc non nul. Elle converge normalement
dans tout compact inclus dans D (0, Rc ).
Preuve : C’est une conséquence immédiate du lemme d’Abel. En effet, si K ⊂ D (0, Rc ) est un compact, il est non vide et borné. Notons
2
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r = Sup {|z| | z ∈ K}
Comme K est compact et le module est continu sur K, on sait que ce sup est en fait un max.
Donc il existe z 0 ∈ K tel que |z 0 | = r . Mais K ⊂ D (0, Rc ) donc r < Rc .
D’après la définition du rayon de convergence, il existe R ∈ Ac tel que r < R < Rc et l’on a :
|a n z n | 6 |a n | r n 6 |a n | Rn
∀z ∈ K ∀n ∈ N
Or, la série ((a n Rn ))n∈N converge absolument, donc ((a n Xn ))n∈N converge normalement dans K.
Définition 5.1.5 (Somme d’une série entière)
Soit (an )n∈N une suite à valeurs complexes, telle que la série entière associée a un rayon de convergence Rc non nul. On appelle somme de la série entière ((an Xn ))n∈N la fonction définie par
∞
P
∀z ∈ D (0, Rc )
f (z) =
an z n
n=0
La proposition 1.4 assure que cette définition est bien posée, puisque la série entière ((a n Xn ))n∈N
converge (normalement) dans le compact D (0, R) pour tout R < Rc . On en déduit aussi immédiatement le
Théorème 5.1.6 (Continuité de la somme d’une série entière)
La somme d’une série entière de rayon de convergence Rc > 0 est continue dans son disque ouvert de
convergence.
Ainsi, si ((a n Xn ))n∈N est une série entière de rayon de convergence Rc > 0, de somme f ,
∀a ∈ D (0, Rc )
ou encore
∀a ∈ D (0, Rc )
lim f (z) = f (a)
z→a
lim lim
N
P
z→a N→∞ n=0
a n z n = lim
N
P
N→∞ n=0
an a n
Exemple 5.1.7
Observons aussi qu’on n’a en général aucune information sur ce qu’il se passe au bord du disque ouvert de
convergence. Plus précisément, on a
D (0, Rc ) ⊂ {z ∈ C | ((an z n ))n∈N converge}
Il peut y avoir égalité ; l’inclusion peut être stricte. Tout peut arriver.
1. On reprend l’exemple de la suite définie par
∀n ∈ N
an = 1
On sait que son rayon est égal à 1. Mais que pour tout z ∈ C (0, 1), la série ((z n ))n∈N diverge, puisque
son terme général ne tend pas vers 0.
2. En revanche, considérons la suite
∀n ∈ N
an =
1
n +1
Soit r > 0 ; la suite ((a n r n ))n∈N est bornée si, et seulement si r 6 1. Donc le rayon de convergence de
la série entière ((a n Xn ))n∈N est 1 et le disque de convergence est D (0, 1). Essayons d’étudier ce qui se
passe au bord.
3
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On sait que la série harmonique ((a n ))n∈N diverge, ce qui correspond au cas z = 1.
Maintenant, si z ∈ C avec |z| = 1 et z 6= 1, posons
∀n ∈ N
Sn =
∀n ∈ N
de sorte que
n
P
k=0
zk =
|Sn | 6
1 − z n+1
1−z
2
|1 − z|
On fait une transformation d’Abel : si n et p sont deux entiers,
n+p
P
k=n+1
ak z k =
=
d’où
n+p
P
k=n+1
n+p−1
P
k=n+1
a k (Sk − Sk−1 ) =
n+p
P
k=n+1
a k Sk −
n+p
P
k=n+1
a k Sk−1 =
n+p
P
k=n+1
a k Sk −
n+p−1
P
k=n
a k+1 Sk
(a k − a k+1 ) Sk + a n+p Sn+p − a n+1 Sn
¯ n+p
¯
¯ P
¯
ak z k ¯ 6
¯
k=n+1
´
2 ³ n+p−1
P
|a k − a k+1 | + |a n+p | + |a n+1 |
|1 − z| k=n+1
Tous calculs faits, en remplaçant les (a k )k∈N par leurs valeurs,
¯ n+p
¯
¯ P
¯
ak z k ¯ 6
¯
k=n+1
4
1
|1 − z| n + 2
Le critère de Cauchy assure alors que ((a n z n ))n∈N converge.
Ainsi, la série entière ((a n Xn ))n∈N converge sur D (0, 1) \ {1} ; mais son disque de convergence est
D (0, 1).
Terminons par donner quelques méthodes de calcul du rayon de convergence, à l’aide des
résultats élémentaires qui viennent d’être établis. On se donne une série entière ((a n Xn ))n∈N de
rayon de convergence Rc qu’on cherche à estimer. Les trois remarques suivantes sont des conséquences immédiates de la définition :
• Si on trouve un z 0 ∈ C tel que la suite (a n z 0n )n∈N est bornée, alors Rc > |z 0 |.
• Si on trouve un z 0 ∈ C tel que la suite (a n z 0n )n∈N tend vers 0, alors Rc > |z 0 |.
• Si on trouve un z 0 ∈ C tel que la série ((a n z 0n ))n∈N converge, alors Rc > |z 0 |.
La règle de d’Alembert peut être aussi utilisée pour calculer un rayon de convergence :
Proposition 5.1.8
Soit (a n )n∈N une suite complexe qui ne s’annule pas à partir d’un certain rang. On note Rc le rayon
¯¢
¡¯
¯
de convergence de la série entière ((a n Xn ))n∈N . Si la suite ¯ aan+1
n∈N converge vers une limite R ∈ R,
n
alors Rc = R1 .
Preuve : Soit r ∈ R?
+ ; soit N ∈ N, tel que (a n )n >N ne s’annule pas. On a
¯a
¯
n+1 ¯ ¯
¯ n+1 r
¯ ¯ a n+1 ¯
=
∀n > N
¯
¯
¯
¯ r −−−−→ R r
n→∞
an r n
an
• Si R = +∞, alors la série ((a n r n ))n∈N ne converge pas absolument ; l’ensemble Ac est réduit
1
à {0} et Rc = 0 = ∞
.
+
• Si R = 0 , la série ((a n r n ))n∈N converge absolument ; r était quelconque strictement positif,
donc Ac = R+ et Rc = +∞ = 01+ .
4
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• Si R est fini non nul, d’après la règle de d’Alembert, la série ((a n r n ))n∈N converge absolument
si r < R1 . Donc [0 ; R1 [⊂ Ac ce qui assure Rc > R1 .
Mais si r > R1 , la règle de d’Alembert assure encore que ((a n r n ))n∈N ne converge pas absolument ; autrement dit, ] R1 ; +∞[⊂ Acc , ou encore Ac ⊂ [0 ; R1 ]. D’où Rc 6 R1 .
5.2 Opérations sur les séries entières
Le théorème suivant est une conséquence immédiate des résultats démontrés sur les séries
numériques.
Proposition 5.2.1
Soient (a n ))n∈N et (b n )n∈N deux suites de nombres complexes. On pose
∀n ∈ N
sn = an + bn
et
pn =
n
P
k=0
a k b n−k =
n
P
k=0
a n−k b k
p
On note enfin Rca , Rbc , Rcs et Rc les rayons de convergence des séries entières associées. Alors
1. Rcs > Min (Rca , Rbc ) et
∀z ∈ C
∞
P
|z| < Min (Rca , Rbc )
n=0
sn z n =
∞
P
n=0
an z n +
∞
P
n=0
bn z n
p
2. Rc > Min (Rca , Rbc ) et
∀z ∈ C
∞
P
|z| < Min (Rca , Rbc )
n=0
pn zn =
³ P
∞
n=0
an z n
´³ P
∞
n=0
bn z n
´
À nouveau, il faut suivre ce théorème à la lettre. Il ne dit certainement pas que Rcs est
le Min (Rca , Rbc ) ; par exemple, si l’on fixe la suite a et qu’on choisit b = −a, alors Rcs = +∞,
indépendamment de la valeur de Rca .
C’est dû au fait, déjà évoqué dans le cours sur les séries numériques, que la somme de
deux suites divergentes peut parfaitement converger.
Une série entière peut se dériver terme-à-terme dans son intervalle ouvert des convergence :
Théorème 5.2.2 (Théorème de dérivation)
Soit (a n )n∈N une suite complexe. On note f la somme de la série entière ((a n Xn ))n∈N et Rc son rayon
de convergence, supposé non nul. Alors la série entière (((n + 1)a n+1 Xn ))n∈N a aussi pour rayon de
convergence Rc ; de plus, f est dérivable sur ] − Rc ; Rc [ et
∀x ∈] − Rc ; Rc [
f 0 (x) =
∞
P
n=0
(n + 1) a n+1 x n =
∞
P
n=1
n a n x n−1
Preuve : On note R0c le rayon de convergence de la série entière (((n + 1)a n+1 Xn ))n∈N .
Soit r ∈ R+ tel que la suite ((n + 1)a n+1 r n )n∈N est bornée ; soit M > 0 tel que
∀n ∈ N?
Alors
∀n ∈ N?
|na n r n−1 | 6 M
|a n r n | 6 |na n r n | 6 Mr
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et la suite (a n r n )n∈N est bornée. Ceci prouve que R0c 6 Rc .
On se donne maintenant r ∈]0 ; Rc [ et R ∈]r ; Rc [. On sait que la suite (a n Rn )n∈N est bornée et
on prend M > 0 tel que
∀n ∈ N
Alors
∀n ∈ N?
|a n Rn | 6 M
|na n r n−1 | = |a n Rn |
nr n
nr n
6
M
r Rn
r Rn
n
Mais 0 < Rr < 1 donc la suite ( nr
)
converge vers 0. Alors (na n r n−1 )n∈N est bornée ce qui prouve
Rn n∈N
0
que r < Rc . Mais r était quelconque dans ]0 ; Rc [, donc Rc 6 R0c . On a bien montré que les deux
rayons de convergence sont égaux.
Maintenant, si r < Rc = R0c , on sait que :
• La série ((a n Xn ))n∈N converge en au moins un point, par exemple 0 ;
• Pour tout n ∈ N, la fonction a n Xn est dérivable sur [−r ; r ], de dérivée na n Xn−1 si n > 0, et de
dérivée nulle si n = 0 ;
• La série de fonctions ((na n Xn−1 ))n∈N? converge normalement (donc uniformément) dans
[−r ; r ] d’après la proposition 1.4.
Les hypothèses du théorème de dérivation terme-à-terme sont satisfaites : la fonction f est dérivable sur [−r ; r ] et
∞
P
na n x n−1
∀x ∈ [−r ; r ]
f 0 (x) =
n=1
Ceci est vrai pour tout r < Rc donc f est dérivable sur ] − Rc ; Rc [.
À l’aide d’une récurrence immédiate, on en déduit le
Corollaire 5.2.3
Soit (a n )n∈N une suite complexe ; on note f la somme de la série entière ((a n Xn ))n∈N et Rc son rayon
de convergence, supposé non nul. Alors f est C ∞ sur ] − Rc ; Rc [. De plus, pour tout k ∈ N, la série
entière ((n(n − 1) · · · (n − k + 1)a n Xn ))n >k a pour rayon de convergence Rc . Enfin,
∀x ∈] − Rc ; Rc [
f
(k)
(x) =
∞ ³ k−1
P
n=k
Π (n − j )
j =0
´
a j x n−k
Enfin, la somme d’une série entière s’intègre aussi terme-à-terme dans son intervalle ouvert
de convergence :
Théorème 5.2.4 (Théorème d’intégration)
Soit (a n )n∈N une suite complexe. On note f la somme de
série¢¢entière ((a n Xn ))n∈N et Rc son rayon
¡¡ ala
n
n−1
de convergence, supposé non nul. Alors la série entière
n∈N? a aussi pour rayon de convern X
gence Rc ; de plus,
Z x
∞ a
∞ a
X
X
n−1 n
n
∀x ∈] − Rc ; Rc [
f (t ) dt =
x =
x n+1
0
n=0 n + 1
n=1 n
Preuve : On sait que les deux séries ont le même rayon de convergence à l’aide du théorème de
dérivation. Si x ∈] − Rc ; Rc [, on sait que la série entière ((a n Xn ))n∈N converge normalement sur
[−|x| ; |x|] vers f . Par suite,
Z x
∞ Z x
∞ a
X
X
n
f (t ) dt =
a n t n dt =
x n+1
n
+
1
0
0
n=0
n=0
6
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Exemple 5.2.5
Ces théorèmes permettent d’obtenir facilement des développements en série de fonctions usuelles. Par
exemple, on sait que
∞
1
P
xk
=
1 − x n=0
∀x ∈] − 1 ; 1[
∀x ∈] − 1 ; 1[
d’où
∀x ∈] − 1 ; 1[
∞ x k+1
X
dt
=
1 − t n=0 k + 1
x
Z
On en déduit
0
ln(1 − x) = −
∞ x k+1
P
k=0 k + 1
à l’aide du théorème d’intégration.
Le théorème de dérivation assure, quant-à lui, que
∀x ∈] − 1 ; 1[
∞
∞
1
P
P
n−1
(x + 1) x n
nx
=
−
=
−
(1 − x)2
n=0
n=1
5.3 Fonctions développables en série entière
5.3.1 Définition et exemples
Définition 5.3.1
Soient r > 0 et f une fonction définie sur ] − r ; r [, à valeurs dans C. On dit que f est développable
en série entière sur ] − r ; r [ si, et seulement si, il existe une suite complexe (an )n∈N telle que la série
entière ((an Xn ))n∈N a un rayon Rc > r et
∀x ∈] − r ; r [
f (x) =
∞
P
n=0
an x n
Proposition 5.3.2
Soient r > 0 et f une fonction développable en série entière sur ] − r ; r [. Alors f est C ∞ sur ] − r ; r [
et il existe une unique suite (a n )n∈N à valeurs complexes telle que f est la somme de la série entière
((a n Xn ))n∈N sur ] − r ; r [. Cette suite est donnée par
∀n ∈ N
an =
f (n) (0)
n!
Preuve : Soit (a n )n∈N une suite à valeurs complexes telle que f soit la somme de la série entière
((a n Xn ))n∈N sur ] − r ; r [. On calcule immédiatement f (0) = a 0 .
On sait que f est de classe C ∞ d’après le théorème de dérivation et que si k ∈ N? , on a
∀x ∈] − r ; r [
f (k) (x) =
∞ ³ k−1
P
n=k
k
k−1
En particulier,
f (k) (0) = a k
Π (n − j )
j =0
´
a n x n−k
Π (k − j ) = ak jΠ
j = a k k!
j =0
=1
puisque 0n−k = 0 si n > k. D’où
ak =
7
1
k!
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Ceci prouve l’unicité et la formule proposée.
La proposition 2.1 a pour conséquence immédiate :
Théorème 5.3.3
Soient f et g développables en série entière au voisinage de 0. Alors f + g et f g sont développables
en série entière.
L’année dernière, on a obtenu des développements en série entière pour de nombreuses fonctions usuelles. Les preuves ont déjà été données et vous êtes invités à les revoir si nécessaire. On
rappelle cependant les formules :
∞ zn
P
n=0 n!
∞
z 2n
P
∀z ∈ C
cos z =
(−1)n
(2n)!
n=0
∞
z 2n+1
P
∀z ∈ C
sin z =
(−1)n
(2n + 1)!
n=0
2n
∞
P z
∀z ∈ C
ch z =
n=0 (2n)!
∞
z 2n+1
P
∀z ∈ C
sh z =
n=0 (2n + 1)!
∞
1
P
tn
=
∀t ∈] − 1 ; 1[
1 − t n=0
∞ t n+1
P
∀t ∈] − 1 ; 1]
ln(1 − t ) = −
n=0 n + 1
∞
t 2n+1
P
(−1)n
∀t ∈ [−1 ; 1]
arctan t =
2n + 1
n=0
∀z ∈ C
exp z =
Nous avions laissé de côté les développements en série entière des fonctions trigonométriques
réciproques. Nous allons maintenant les déterminer, pour illustrer une méthode importante de
calcul de développement en série entière : la méthode de l’équation différentielle.
Exemple 5.3.4
Posons
f (z) = (1 − z)α
∀z ∈ C \ {1}
où α est un complexe fixé. On sait déjà développer f lorsque α ∈ N ∪ {−1} donc on va supposer qu’on n’est
pas dans ce cas.
f est de classe C 1 sur R \ {1} et l’on sait que
f 0 (x) = −α(1 − x)α−1
∀x ∈ R \ {1}
donc
∀x ∈ R \ {1}
(1 − x) f 0 (x) + α f (x) = 0
Supposons que f est développable en série entière sur un intervalle ]−r ; r [, avec r > 0. Soit (a n )n∈N une
suite complexe telle que
∀x ∈] − r ; r [
f (x) =
∞
P
n=0
ak x k
Comme une série entière se dérive terme-à-terme dans son intervalle ouvert de convergence, on a
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f 0 (x) =
∀x ∈] − r ; r [
∀x ∈] − r ; r [
d’où
∀x ∈] − r ; r [
et
∞
P
n=0
(n + 1) a n+1 x n
x f 0 (x) =
(1 − x) f 0 (x) = a 1 +
∞
P
n=1
∞
P
n=1
na n x n
((n + 1)a n+1 − na n )x n
Mais on sait que (1 − x) f 0 (x) = −α f (x) pour x ∈] − r ; r [, c’est-à-dire
∀x ∈] − r ; r [
a1 +
∞
P
n=1
((n + 1)a n+1 − na n )x n = −α
∞
P
n=0
an x n
Par unicité du développement en série entière, on sait que
a 1 = −α a 0
∀n ∈ N?
et
(n + 1)a n+1 − na n = −αa n
On sait que a 0 = f (0) = 1, d’où a 1 = −α et on a la relation de récurrence :
∀n ∈ N?
(n − α)
an
n +1
a n+1 =
(?)
n−1
Π (k − α)
∀n ∈ N?
Par une récurrence immédiate
an =
k=0
n!
On voit que les (a n )n∈N sont tous non nuls parce que α n’est pas entier. De plus, en utilisant (?)
¯a
¯
¯ n+1 ¯ n − α
∀n ∈ N?
−−−−→ 1
¯
¯=
an
n + 1 n→∞
Toute cette étude montre que : si f est développable en série entière au voisinage de 0, alors ce développement a pour rayon de convergence 1 et l’on a
f (x) = 1 +
∀x ∈] − 1 ; 1[
∞
P
(−1)n
n=1
α · · · (α − (n − 1)) n
x
n!
Mais on ne sait pas si cette égalité a lieu. On pose alors
g (x) = 1 +
∀x ∈] − 1 ; 1[
On vérifie facilement que
∞
P
(−1)n
n=1
α · · · (α − (n − 1)) n
x
n!
(1 − x)g 0 (x) + αg (x) = 0
∀x ∈] − 1 ; 1[
Donc g est solution de la même équation différentielle linéaire du premier ordre que f . On sait alors que f
et g sont proportionnelles ; mais f (0) = g (0) = 1 donc f = g .
On a ainsi obtenu un nouveau développement en série entière :
∀α ∈ C \ N ∀x ∈] − 1 ; 1[
(1 − x)α = 1 +
∞
P
(−1)n
n=1
α · · · (α − (n − 1)) n
x
n!
En particulier, lorsque α = − 12 , on calcule :
?
∀n ∈ N
d’où
n−1 ³
Π
k=0
n−1
´
1
2k + 1 (−1)n
n
− − k = (−1) Π
=
k=0
2
2
2n
∀x ∈] − 1 ; 1[
∞ Cn
P
2n n
=
x
p
1 − x n=0 22n
1
9
n−1
Π (2k + 1) =
k=0
(−1)n (2n)!
22n
n!
∞ Cn
P
2n n
=
x
p
1 + x n=0 22n
1
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et
S ÉRIES E NTIÈRES
∞
Cn2n 2n
1
P
(−1)n 2n
=
x
p
2
1 + x 2 n=0
∞ Cn
1
P
2n 2n
=
x
p
2n
2
2
n=0
1−x
En utilisant le théorème d’intégration,
∀x ∈] − 1 ; 1[
∀x ∈] − 1 ; 1[
∞ Cn x 2n+1
P
2n
2n 2n + 1
2
n=0
∞
Cn2n x 2n+1
P
argsh x =
(−1)n 2n
2 2n + 1
n=0
arcsin x =
5.3.2 Composition de fonctions DSE
On a vu qu’on peut ajouter et multiplier des fonctions développables en série entière, et que
le résultat est aussi développable en série entière. Naturellement, on se demande s’il est possible
de composer des fonctions développables en série entière. La réponse est positive, mais le résultat
n’est pas si utile. En revanche, la démonstration n’est pas simple, mais elle fait appel à des résultats
importants d’interversion de limites. Nous allons donc surtout en profiter pour les énoncer et les
démontrer.
Théorème 5.3.5 (Théorème de la double limite)
Soit (u n,p )n,p∈N une suite double à valeurs complexes, telle que
• Pour tout entier p, la suite (u n,p )n∈N converge vers une limite `p ;
• Cette convergence est uniforme en p, c’est-à-dire que
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N ∀p ∈ N
|u n,p − `p | 6 ε
• Pour tout entier n, la suite (u n,p )p∈N converge vers une limite k n .
Alors les suites (`p )p∈N et (k n )n∈N convergent et leurs limites sont égales. Autrement dit,
lim lim u n,p = lim lim u n,p
p→∞ n→∞
n→∞ p→∞
Preuve : Soit ε > 0. On a alors un entier N tel que
∀n > N ∀p ∈ N
|u n,p − `p | 6 ε
(?)
Alors si on fixe n, m > N, on a
∀p ∈ N
|u m,p − u n,p | 6 |u m,p − `p | + |u n,p − `p | 6 2ε
Mais on sait que les suites (u m,p )p∈N et (u n,p )p∈N convergent, respectivement vers k m et k n . Donc
en passant à la limite sur p, on a |k m − k n | 6 2ε. Cette inégalité a lieu pour tous m, n > N : la suite
(k m )m∈N est donc de Cauchy et elle converge. On note k sa limite. En reprenant les inégalités, en
prenant n = N et faisant tendre m vers l’infini, on obtient |k N − k| 6 2ε.
10
Mathématiques Spéciales
S ÉRIES E NTIÈRES
On sait que la suite (u N,p )p∈N converge vers k N : on peut trouver P ∈ N tel que
|u N,p − k N | 6 ε
∀p > P
Fixons p > P ; on a
• D’une part, |u N,p − k N | 6 ε.
• D’autre part, |u N,p − `p | 6 ε d’après (?).
• Enfin, |k N − k| 6 2ε.
|`p − k| 6 |`p − u N,p | + |u N,p − k N | + |k N − k| 6 4ε
Par conséquent,
Cette inégalité a lieu pour tout p > P ce qui prouve que (`p )p∈N converge vers k.
Corollaire 5.3.6 (Théorème de Fubini pour les séries)
Soit (u n,p )n,p∈N une suite double de nombres complexes. On suppose que :
• Pour tout n ∈ N, la série ((u n,p ))p∈N converge absolument. On note µn sa somme et on pose
∀n ∈ N
Sn =
∞
P
p=0
|u n,p |
• La série ((Sn ))n∈N converge.
Alors pour tout p ∈ N, la série ((u n,p ))n∈N converge absolument et on note σp sa somme. De plus, les
séries ((σp ))p∈N et ((µn ))n∈N convergent absolument et leurs sommes sont égales. C’est-à-dire que
∞ P
∞
P
p=0 n=0
u n,p =
∞ P
∞
P
n=0 p=0
u n,p
Preuve : Pour tous entiers N et P, on pose
UN,P =
N P
P
P
n=0 p=0
u n,p
• Soit p ∈ N fixé. Si n ∈ N, on sait que la série ((|u n,k |))k∈N converge absolument vers Sn donc
∀n ∈ N
|u n,p | 6 Sn =
∞
P
k=0
|u n,k |
Comme la série ((Sn ))n∈N converge, on en déduit que la série ((u n,p ))n∈N converge absolument. On note σp sa somme.
• Si P ∈ N est fixé, on a
∀N ∈ N
UN,P =
P P
N
P
p=0 n=0
u n,p
Pour chaque p ∈ [[ 0 ; P ]], la série ((u n,p ))n∈N converge vers σp ; ce qui équivaut à dire que la
³ P
´
N
suite
u n,p
converge, vers σp . Une somme (finie) de suites convergentes converge
n=0
N∈N
vers la somme des limites, donc (UN,P )N∈N converge vers
P
P
p=0
σp .
• Cette convergence est, en fait, uniforme en P. Fixons ε > 0 ; la série ((Sn ))n∈N converge et
d’après Cauchy, il existe N0 ∈ N tel que
∀N, M > N0
N < M =⇒
M
P
n=N+1
Sn 6 ε
Fixons deux entiers N et M supérieurs à N0 , avec N < M et P ∈ N. On a
11
Mathématiques Spéciales
UN,P =
d’où
et
S ÉRIES E NTIÈRES
P
N P
P
n=0 p=0
u n,p =
N
P P
P
p=0 n=0
UN,P − UM,P =
u n,p
M
P
P
P
p=0 n=N+1
|UN,P − UM,P | 6
et
UM,P =
u n,p =
M
P
M
P
P
P
n=N+1 p=0
P
P
n=N+1 p=0
M
P P
P
p=0 n=0
u n,p
u n,p
|u n,p |
Or, pour chaque n ∈ [[ N + 1 ; M ]], la série ((|u n,p |))p∈N converge vers Sn . Donc on a
P
P
∀n ∈ [[ N + 1 ; M ]]
et il vient
p=0
|UN,P − UM,P | 6
|u n,p | 6 Sn
M
P
n=N+1
Sn 6 ε
Cette inégalité est vraie pour tout M > N ; donc en passant à la limite sur M,
¯
¯
P
P
¯
¯
σp ¯ 6 ε
¯UN,P −
p=0
On a bien prouvé :
∀N > N0
¯
¯
P
P
¯
¯
σp ¯ 6 ε
¯UN,P −
∀P ∈ N
p=0
• De la même manière qu’au deuxième point, pour chaque N ∈ N, la suite (UN,P )P∈N converge
N
P
vers
µn .
n=0
´
´
³ P
³ P
P
N
σp
convergent et leurs
µn
et
D’après le théorème de la double limite, les suites
n∈N
n=0
p=0
P∈N
limites sont égales.
Pour avoir la convergence absolue, on applique ce qu’on vient de faire à la suite (|u n,p |)n,p∈N .
Corollaire 5.3.7 (Théorème de composition des fonctions DSE)
Soient f et g deux fonctions développables en série entière au voisinage de 0, avec g (0) = 0. Alors
f ◦ g est développable en série entière au voisinage de 0.
Preuve : Comme f et g sont développables en série entière, il existe des suites complexes (a n )n∈N
et (b n )n∈N et des réels R f , Rg > 0 tels que
et
∀z ∈ D (0, R f )
f (x) =
∀z ∈ D (0, Rg )
g (x) =
∞
P
n=0
∞
P
n=0
an z n
bn z n
On sait qu’une série entière converge absolument dans son disque ouvert de convergence,
donc les séries ((|a n | Xn ))n∈N et ((|b n | Xn ))n∈N convergent absolument dans D (0, R f ) et D (0, Rg )
respectivement. Ce qui permet de définir leurs sommes dans ces disques :
∞
P
∀z ∈ D (0, R f )
F(z) =
|a n | z n
n=0
12
Mathématiques Spéciales
S ÉRIES E NTIÈRES
∀z ∈ D (0, Rg )
et
G(z) =
∞
P
n=0
|b n | z n
Si n ∈ N, les fonctions g et G sont aussi développables en séries entières sur D (0, Rg ) d’après
le théorème 3.3 : il existe des suites complexes (b p(n) )p∈N et (c p(n) )p∈N telles que
n
n
∀z ∈ D (0, Rg )
g (z)n =
∞
P
p=0
b p(n) z p
G(z)n =
∞
P
p=0
c p(n) z p
On voit aussi que par unicité des coefficients d’un développement en série entière, on a
b p(1) = b p
∀p ∈ N
c p(1) = |b p |
D’après la proposition 2.1 et parce que g n+1 = g × g n et Gn+1 = G × Gn ,
∀p ∈ N
b p(n+1) =
∀n ∈ N?
Posons
p
P
k=0
(n)
b k b p−k
c p(n+1) =
P (n) : « ∀p ∈ N
p
P
k=0
(n)
|b k | c p−k
|b p(n) | 6 c p(n) »
L’assertion P (1) est évidemment vraie puisqu’on a en fait égalité. Soit n ∈ N? tel que P (n) soit
vraie. En particulier, les (c p(n) )p∈N sont positifs. Or,
c p(n+1) =
∀p ∈ N
p
P
k=0
(n)
|b k | c p−k
∈ R+
donc les (c p(n+1) )p∈N
sont aussi positifs. Ensuite, on a d’après l’hypothèse de récurrence
¯
¯P
p
p
P
P
¯ p
(n)
(n)
(n) ¯
|b k | c p−k
= c p(n+1)
|b k | |b p−k
|6
b k b p−k
∀p ∈ N
|b p(n+1) | = ¯
¯6
k=0
k=0
k=0
Ceci prouve P (n + 1). Par récurrence, on a
∀n ∈ N?
∀p ∈ N
|b p(n) | 6 c p(n)
On en déduit que
∀n ∈ N ∀z ∈ D (0, Rg )
¯ P
¯
∞
∞
P
P
¯ ∞ (n) p ¯
|g (z)n | = ¯
bp z ¯ 6
|b p(n) | |z p | 6
c p(n) |z|p = G(|z|)n
p=0
p=0
p=0
Voilà pour les préliminaires. Terminons la preuve. Comme G(0) = c 0(1) = |b 0 | = 0 et que G est
continue en 0, il existe η ∈]0 ; Rg [ tel que |G(η)| < R f . Fixons z ∈ D (0, η). On a alors
|g (z)| 6 G(|z|) =
∞
P
n=0
c n(1) |z|n 6
∞
P
n=0
c n(1) ηn = G(η) < R f
Donc la série entière qui définit f converge en g (z) et sa somme vaut f (g (z)) :
∞
∞ P
∞
P
P
f (g (z)) =
a n g (z)n =
a n b p(n) z p
n=0
n=0 p=0
Il suffit de justifier que l’on peut intervertir les deux sommes. Pour cela, on considère la suite
double définie par
∀n, p ∈ N
On a
∀n, p ∈ N
u n,p = a n b p(n) z p
|u n,p | = |a n | |b p(n) | |z|p 6 |a n | c p(n) ηp
• Lorsque n ∈ N est fixé, la série ((|a n | c p(n) ηp ))p∈N converge vers vers |a n | G(η)n puisque η < Rg .
Donc la série ((u n,p ))p∈N converge absolument vers a n g (z)n .
13
Mathématiques Spéciales
S ÉRIES E NTIÈRES
∀n ∈ N
• On a de plus
∞
P
p=0
|u n,p | 6 |a n | G(η)n
Mais la série entière ((|a n | X ))n∈N , qui définit F, converge absolument dans D (0, R f ), et il se
´´
³³ P
∞
|u n,p |
converge.
trouve que G(η) < R f . Ceci assure que la série
n
n∈N
p=0
On a tout ce qu’il faut pour appliquer Fubini et inverser les deux sommes dans l’expression de
f (g (z)) :
´
∞
∞
∞ ³ P
∞ P
P
P
a n b p(n) z p
a n b p(n) z p =
f (g (z)) =
p=0 n=0
p=0 n=0
Cette égalité a lieu pour tout z ∈ D (0, η), donc f ◦ g est développable en série entière au voisinage
de 0.
Corollaire 5.3.8
Soit h une fonction développable en série entière, au voisinage de 0, telle que h(0) 6= 0. Alors
bien définie au voisinage de 0 et développable en série entière au voisinage de 0.
1
h
est
Preuve : Puisque h(0) 6= 0 et h est continue en 0, il existe ω > 0 tel que
∀z ∈ D (0, ω)
Alors
∀z ∈ D (0, ω)
h(z) 6= 0
1
1
1
1
=
=
h(0)−h(z)
h(z) h(0) − (h(0) − h(z)) h(0) 1 −
h(0)
On applique le théorème précédent, avec les fonctions f et g définies par :
∀z ∈ D (0, 1)
et
∀z ∈ D (0, ω)
f (z) =
g (z) =
1
1−z
h(0) − h(z)
h(0)
f et g sont développables en série entière au voisinage de 0, et g (0) = 0.
14