Corrigé

ANNÉE UNIVERSITAIRE 2015-2016
1re session
3e semestre
Licence Economie 2e année
Matière : Statistiques et probabilités
Durée : 2H
Exercice I (20 min, 3 points)
On s’intéresse au taux de réussite en première année d’économie selon le baccalauréat d’origine. En 2013-2014, 60 %
des étudiants de première année d’économie provenaient d’un bac ES, 30 % d’un bac S et 10 % d’un autres types de
bac. On a observé que 70 % des étudiants ayant un bac S avait obtenu leur année alors qu’ils n’étaient que 40 % pour le
bac ES et 20 % pour les autres bacs. On sélectionne alors un individu au hasard parmi les étudiants de première année
d’économie.
1) L’univers des possibles  est l’ensemble des tous les étudiants de première année d’économie. L’étudiant étant choisi
au hasard, on fait l’hypothèse d’équi-probabilité. On note R l’événement Réussite (« l’étudiant tiré a obtenu sa première
année »). Soit ES l’événement « l’étudiant tiré a un bac ES ». L’énoncé donne P .ES / D 0:6 et P .RjES / D 0:4. De
même, P .S/ D 0:3, P .RjS / D 0:4 et P .A/ D 0:1, P .RjA/ D 0:2.
2) D’après la formule des probabilités totale, la probabilité que l’étudiant sélectionné ait obtenu sa première année est
P .R/ D P .RjES /P .ES / C P .RjS /P .S / C P .RjA/P .A/ D 0:47
3) La probabilité qu’un étudiant ayant obtenu sa première année ait un bac ES est
P .ESjR/ D
P .RjES /P .ES /
0:4 0:6
D
D 0:5106
P .R/
0:47
Exercice II (30 min, 6 points)
Dans une région française, on estime à 3 % le nombre de fausses pièces de 2 € en circulation. Soit X le nombre de
fausses pièces de 2 € dans une recette de 300 € composée uniquement de pièce de 2 € .
1) Le nombre de pièces de 2 € dans la recette de 300 € est n D 150. On peut considérer que ces pièces ont été tirées au
hasard (et avec remises en raison du nombre important de pièces en circulation). Le nombre de fausses pièces X suit
donc une loi B.150; 0:03/.
2) Le nombre moyen de fausses pièces est E.X / D 150 0:03 D 4:5.
3) La probabilité que la recette contienne au plus une seule fausse pièce est
!
!
150
150
0
150
P .X 6 1/ D P .X D 0/ C P .X D 1/ D
0:03 0:97
C
0:031 0:97149 D 0:0103 C 0:0481 D 5:84 %
0
1
4) Comme n > 50 et p < 0:1, on peut approcher la loi binomiale B.150; 0:03/ par une loi de Poisson P ./ avec
D 150 0:0:3 D 4:5. On peut alors lire dans la table de la loi de Poisson :
P .X > 6/ D 1
P .X 6 5/ D 1
0:7029 D 0:2971
5) Le nombre de fausses pièces Y suit donc une loi B.M=2; 0:03/ P .M 0:015/. D’après l’énoncé, on a
P .Y > 7/ D 0:80 ” P .Y 6 6/ D 0:20 H) M 0:015 D 9 car
On en déduit que M D 9=0:015 D 600.
P .P .9/ 6 6/ D 0:2068
Exercice III (25 min, 4 points)
Soit X une variables aléatoire continue de densité fX donnée par
8
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1 x
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
< 2
fX .x/ D 1=2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
x 2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2
ˆ
:
0
si x < 0
si 0 6 x 6 1
si 1 < x < 2
si 2 6 x 6 3
si x > 3
1) Le graphe de la densité est
y
1=2
0
1
2
3
x
Il correspond bien à une densité puisque
– la fonction est positive (au dessus de l’axe des x)
– la fonction est continue (sauf en 0, 1, 2 et 3)
– l’intégrale de la fonction est égale à 1 : l’aide de deux triangles et d’un rectangle.
2) La densité est symétrique par rapport à 1:5. C’est donc la médiane et l’espérance de X : E.X/ D 1:5.
3) On a
– P .X 6 1/ D 1=4 car c’est l’aire du triangle de base 1 et de hauteur 1=2 ;
– P .1 6 X 6 2/ D 1=2 car c’est l’aire du rectangle de base 1 et de hauteur 1=2 ;
– P .X > 3/ D 0 car la densité est nulle à partir de x D 3 ;
– P .0 6 X 6 2/ D 3=4 car c’est la somme des deux premières probabilités.
4) Comme 0 6 X 6 3, on a 1:5 6 X E.X / 6 1:5. Les variations de X autour de sa moyenne sont donc inférieures
à 1:5. Il en est donc de même de X .
Exercice IV (30 min, 4 points)
On a X ,! N .50; 10/.
1) On a E.X/ D D 50 et Var.X / D 2 D 102 D 100.
2) En utilisant la table de la loi normale centrée réduite, on trouve :
a) P .X > 55/ D 1 P .X 6 55/ D 1 P .X 6 .55 50/=10/ D 1 P .N .0; 1/ 6 0:5/ D 1 0:6915 D 0:3085.
b) P .X 6 40/ D P .X < .40 50/=10/ D P .X < 1/ D 1 P .N .0; 1/ < 1/ D 1 0:8413 D 0:1587.
c) P .45 < X < 55/ D P .X 6 55/ P .X 6 45/ D P .X 6 0:5/ P .X 6 0:5/ D P .X 6 0:5/ .1
P .X 6 0:5/ D 2P .X 6 0:5/ 1 D 2 0:6915 1 D 0:383.
3) On cherche xmax de sorte que P .X > xmax / D 0:20. D’où P .X 6 .xmax 50/=10/ D 0:80. Donc .xmax
50/=10 D z0:80 D 0:84 et xmax D 50 C 0:84 10 D 58:4.
2/2