Cours d`Optique Geometrique

Cours d’optique géométrique
Réalisé par: Mohammed BELLIOUA
Willebrord Snell
(1580 – 1626) Réflexion (2ème loi)
Réfraction (3ème loi)
René Descartes
(1596 – 1650)
SOMMAIRE
 CHAPITRE I
: NOTIONS FONDAMENTALES DE
L’OPTIQUE GEOMETRIQUE
 CHAPITRE II : MIROIRS ET DIOPTRES
 CHAPITRE III : SYSTEMES CENTRES
 CHAPITRE IV : ETUDE
INSTRUMENTS D’OPTIQUE.
DE
QUELQUES
Chapitre I :
I. Introduction
II. Propriétés de la lumière, propagation dans un milieu.
III. Les lois de Snell-Descartes
IV. Stigmatisme
V.
Condition de Gauss
VI. Espace objet, espace image, caractère réel ou
virtuel des objets et des images
VII. Phénomène de mirage
VIII. Les fibres optiques
IX. Étude du prisme
L’optique
… Ce que perçoit l’œil
I. Introduction
I.1. Bref Historique
(Modèle géométrique)
Modèle géométrique : La lumière se propage en lignes
droites
• IV siècle avant J-C : Euclide; , notions sur les rayons
lumineux
• XI siècle : Alhazan, expériences avec des lentilles minces et
des miroirs
• 1610 : Galilée, lunette astronomique
• 1621-37 : Snell-Descartes, loi de la réfraction
• 1601-1665 : Fermat; principe du temps minimum de
propagation
(Modèle ondulatoire)
Modèle ondulatoire : la lumière est une onde
électromagnétique
• XVII siècle ou (17e siècle) : Huygens, compatibilité entre
modèle ondulatoire et modèle géométrique
• 1801: Young, travaux sur les interférences
• 1788-1827: Fresnel, interférences et diffraction
• 1831-1879: Maxwell et Hertz, onde électromagnétique
(variation dans le temps et de l'espace, E et H)
20ème siècle : complémentarité  optique physique
mécanique quantique, électromagnétisme
I.2. Postulat de l’optique géométrique
La lumière (l’énergie lumineuse) est décrite par un ensemble de
rayons lumineux indépendants (faisceau lumineuse).
•
•
Ces rayons lumineux sont caractérisés par une direction de
propagation u et une vitesse de propagation v.
Ces rayons lumineux se propagent en ligne droite dans tout milieu
homogène et transparent à une vitesse qui dépend du milieu.
II. Propriétés de la lumière, propagation dans un
milieu.
II.1. Fréquence, période, longueur d’onde
Une lumière monochromatique (d’une
couleur) caractérisée par trois nombres :
seule
• Sa fréquence ν exprimée en Hertz (Hz), qui est la
fréquence de variation du champ électrique ;
• Sa période T exprimée en seconde (s), on a : T=1/ν
• Sa longueur d’onde λ exprimée en mètre (m), on a
λ=cT=c/ν où c est la célérité de la lumière dans le
vide.
Remarque 1: La lumière visible, s’étend sur des longueurs
d’ondes allant de 380 nm (violet) à 780 nm (rouge)
environ (1nm=10-9 m).
Remarque 2: la grandeur physique qui caractérise une onde
lumineuse (une couleur) est la fréquence : la vitesse de
propagation de la lumière n’est pas toujours égale à c et
donc la longueur d’onde changera selon cette vitesse de
propagation. Mais généralement, on caractérise une couleur
par sa longueur d’onde dans le vide.
II.2. Vitesse de propagation
L’onde électromagnétique, donc la lumière, se propage dans
le vide à la vitesse c=3×108 m.s−1.
L’optique
l
c=ln
c = 3 x 108 m/s
Vitesse de la lumière
II.3. Indice de réfraction d’un milieu
C’est le rapport entre la célérité de la lumière dans le vide (c)
et la vitesse à laquelle elle se propage dans le milieu (v)
considéré :n=c/v (1)
• n sans dimension. Ainsi l’indice le plus petit qui existe est 1
et n > 1.
• Exemple d’indice de réfraction de certains milieux
Vide
Eau
Verre
Diamant
1
1.3
1.5
2.42
Remarque : l’indice de réfraction dépend de la couleur de la lumière.
II.4. Dispersion de la lumière, milieux dispersifs
l’indice optique d’un milieu dépend de la fréquence de la vibration
qui s’y propage, un tel milieu est appelé milieu dispersif.
Exemples :
• Milieu transparent dispersif :
• Le verre est un milieu dispersif pour les ondes lumineuses puisque le
bleu (de grande fréquence) se propage moins vite que le rouge (de
petite fréquence). L’indice du verre pour le bleu est plus grand que
l’indice du verre pour le rouge.
• L’eau est un milieu dispersif ce qui
permet l’observation d’arc-en-ciel.
• Milieu non dispersif : L’air n’est pas un milieu dispersif pour les
ondes sonores puisque toutes les fréquences se propagent à la même
vitesse (environ 340m.s−1).
II.5. Milieu et longueur d’onde
• La longueur d’onde du milieu est :
𝝀𝒎𝒊𝒍𝒊𝒆𝒖
𝑽
𝑻𝒄 𝝀𝒗𝒊𝒅𝒆
= =𝑻𝑽=
=
𝝂
𝒏
𝒏
(2)
• Les longueurs d’ondes dans un milieu sont comprimées.
Remarque
Plus la fréquence de la vibration est grande (plus sa longueur d’onde
est petite), plus la vitesse de propagation est faible, plus l’indice du
milieu est grand.
Loi de Cauchy
Pour la propagation de la lumière visible dans le verre, cette loi donne
l’évolution de l’indice d’un verre en fonction de la longueur d’onde :
(3)
𝑩
𝒏 𝝀 =𝑨+
𝝀𝟐
avec A et B des constantes positives qui dépendent du milieu, λ0 la
longueur d'onde dans le vide de la radiation.
II.6. Principe de Fermat (principe du moindre temps)
• Le chemin suivi par la lumière est celui qui
prend le moins de temps.
• Exemple :
Le trajet en ligne droite (1) est plus long que le trajet (2) car on se
déplace moins vite dans l’eau que sur le sable
III. Les lois de Snell-Descartes
Lorsque la lumière arrive sur la surface de séparation
(ou dioptre) entre deux milieux d'indice de réfraction
différents, on constate qu'une partie de la lumière est
réfléchie et que l'autre partie est transmise.
plan d’incidence
rayon
incident
La normale à la surface est
la perpendiculaire au plan S
tangent
en
I
(point
d'incidence) à la surface S.
normale
n1
I
n2
Le plan d'incidence est le plan formé par le rayon incident et
la normale.
1ère loi : Les rayons réfléchi et réfracté sont dans le
plan d’incidence.
2ème loi ou loi de la réflexion : "L'angle de réflexion
i’1 est égal à l'angle d'incidence i1 "
Si on oriente les angles par
rapport à la normale, on écrit :
i1 = - i’1
rayon
incident
rayon
réfléchi
i ´1
i1
n1
S
3ème
loi ou loi de la refraction:
Pour un rayon lumineux
monochromatique, on a :
n1 sin i1 = n2 sin i2
I
n2
i2
Normal
rayon
réfracté
Réfringence : Un milieu est d’autant plus réfringent que son
indice de réfraction est important
La réfraction (suite)
Deux des trois lois de Snell-Descartes
Réflexion
(2ème
loi)
Réfraction (3ème loi)
http://fr.wikipedia.org/wiki
Application:
1- Réfraction limite (i2l): n2 > n1. Le rayon se dirige vers le
milieu le plus réfringent donc le rayon réfracté se rapproche
de la normale , i2 < i1.
Si le rayon incidence est
confondu avec la normale
(i1=0°), il ne réfracté pas (i2=0°)
si i1=90° (incidence rasante)
alors i2=i2l tq
sin i2l = n1 / n2
n1
I
n2
i2l
Exemple : passage de l’air (n1 = 1) dans l’eau (n2 = 1,33) :
i2l =sin-1(n1/n2) ≈ 49°
2- Réflexion totale n2 < n1: Le rayon se dirige
vers le milieu le moins réfringent donc Le rayon
réfracté s’écarte de la normale : r > i
Au delà d’un certain angle d’incidence, appelé ic,(i > iC ) il n’y a plus
de rayon réfracté, tout le rayon incident est réfléchi => réflexion
totale
Exemple : passage diamant (n1 = 2,42) vers air : iC=sin-1(n2/n1) =24°
i
n1
icrit
Faisceau complètement
réfléchi
n2
r
rcrit=90°
n1 sin  icrit   n2 sin  90 
 n2 
n2
sin  icrit    icrit  arcsin  
n1
 n1 
rcrit=90°:Emergence rasante
𝒊 < 𝒊𝒄𝒓𝒊𝒕 ⟹ 𝒓é𝒇𝒓𝒂𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏
𝒊 ≥ 𝒊𝒄𝒓𝒊 ⟹ 𝒓é𝒇𝒍𝒆𝒙𝒊𝒐𝒏 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆
Réflexion totale interne (suite) : n2=1.5
90o
IV. Stigmatisme
Stigmatisme rigoureux: un
système optique est dit
rigoureusement stigmatique
pour un couple de points A et
A’ si tous les rayons lumineux
issus du point A passent par le Exemple, Miroir plan: système stigmatique rigoureux
point A’ après passage à
 travers
L’indice
réfraction
le de
système
optique.
ni dépend
Lesdepoints
A etd’onde
A’ sont alors
la longueur
la température
desdepoints
conjugués et la
relation qui lie leur position
est appelée relation de
conjugaison.
Stigmatisme approché : De nombreux systèmes optiques ne présentent
pas la condition de stigmatisme rigoureux. Les rayons issus du point A et
émergeant du système optique ne passent pas tous par le point A’ de sorte
que l’image n’est pas ponctuelle : le système optique est astigmate.
On établit cependant la condition de
stigmatisme approché lorsque les rayons
lumineux issus du point A passent au
voisinage du point A’.
Exemple, Dioptre plan: système astigmate
V. Condition de Gauss
• La condition de stigmatisme rigoureux n’étant pas atteinte pour
beaucoup de systèmes optiques, on se contente le plus souvent de la
condition de stigmatisme approché.
• Cette dernière condition est vérifiée dans l’approximation de Gauss.
• Conditions de Gauss (ou approximation de Gauss)
1. Les rayons lumineux font des angles petits avec l’axe optique
2. Les rayons lumineux parallèles à l’axe optique sont peu éloignés
de celui-ci.
tan i ≈sin i ≈i
tan i’ ≈sin i’ ≈i’
d << AA’
d’ << AA’
Loi de Kepler:
Lorsque i1 et i2 sont petits (sin i1≈ i1 et sin i2≈ i2) la loi de Descartes
(2) prend la forme:
n1 i1=n2 i2.
VI. Espace objet, espace image, caractère réel ou
virtuel des objets et des images
1. système optique dioptrique :
Est un système optique constitué
uniquement
de
dioptres
transparents séparant des milieux
homogènes
transparents
d’indices différents.
Espace objet et espace image pour un
système dioptrique.
2. système catadioptrique : Est un
système constitué de dioptres et
au
moins
une
surface
réfléchissante (miroir).
3. système catoptrique : est un
système comportant que des
surfaces
réfléchissantes Espace objet et espace image pour un
système catadioptrique ou catoptrique.
(miroirs).
VII. Phénomène de mirage
On aborde ici le cas où l'indice ne dépend que d'une seule
variable (température). Le milieu est dit stratifié :
n est une fonction décroissante de la température
mirage
inférieur.
n croissant
Température
décroissante
n4 > n 3
n3 > n 2
n2 > n 1
n1
mirage
supèrieur.
n4 < n 3
n3 < n 2
n2 < n 1
n1
n décroissant
Température
croissante
Exemple de mirage
inférieur.
Exemple de mirage
supérieur.
Ce phénomène s’explique encore par la réfraction de la lumière solaire à travers
l’atmosphère.
En effet, plus la couche atmosphérique traversée est
grande et plus les rayons solaires sont incurvés. Par
conséquent, le bord inférieur du Soleil sera plus relevé que
le bord supérieur, transformant le disque circulaire du
Soleil en un disque aplati. Le diamètre apparent du Soleil
(angle défini comme le rapport du diamètre du Soleil sur
la distance Terre-Soleil et exprimé en minutes d’angle)
voit sa valeur passer de 32’ à 26’. On peut enfin remarquer
que l’observateur terrestre voit encore le Soleil alors que
celui est déjà couché et situé derrière l’horizon ; il s’agit
ici d’un exemple de mirage « supérieur »
29/25
VIII. Les fibres optiques
Une application de la réflexion totale est le piégeage
d’un faisceau lumineux dans des fibres optiques.
1  Fibres à saut d’indice
Cette fibre présente donc un cœur d'indice de
réfraction nc entouré d'une gaine d'indice de
réfraction ng < nc.
Gaine protectrice
Gaine
Coeur
30/25
La transmission du rayon à l’intérieur de la fibre se fait
par réflexion totale à l’interface cœur gaine. La gaine
doit donc être moins réfringente que le cœur ng < nc.
ng
m
αm
=
nc2 - ng2
nc
avec
sin(αm) = O.N.
Ouverture Numérique de la fibre optique
Voir exercice 6 série 1 année 2015/2016
2  Fibres à gradient d’indice
31/25
n
s’agit de fibres transparentes
cylindriques dont l'indice de réfraction
varie au fur et à mesure que l’on
s’éloigne de l’axe (coeur) de la fibre.
Il
La trajectoire d'un rayon lumineux est
une sinusoïde à la place d'une ligne
brisée.
Une telle fibre permet de réduire les
fuites latérales.
FIN
IX. Étude du prisme
1-Définition.
•
On appelle prisme un milieu homogène
transparent et isotrope limité par deux
dioptres plans. Se reporter aux dessins pour
la définition de la base, de l’arête et de
l’angle A au sommet
• 2- Formules générales.
On travaille sur une lumière monochromatique.
En se reportant au dessin, les lois de Descartes
nous donnent :
Relation entre les angles A, r et r′: A=r
+ r’
Relation entre les angles D, i, i′ et A :
D = i + i′ − A
3. Conditions d’émergence :
Tous les rayons pénètrent dans le prisme
(car on passe d’un milieu moins
réfringent à un autre plus réfringent),
tous ne peuvent en sortir (car on passe
d’un milieu plus réfringent à un milieu
moins réfringent) ce qui sera mise à
profit pour certaines utilisations du
prisme.
Condition de réfraction sur la 2ème face de prisme:
(i’=90°; r’=r’limite)
En conclusion, pour que l’émergence soit possible du prisme, il faut
vérifier à la fois les deux conditions suivante :
Condition imposée au prisme :
Condition imposée à l’angle d’incidence :
ou
4. Etude de la déviation :
a. Dispersion de la lumière par un prisme
• La loi de Cauchy montre que si n croit alors λ
diminue. On en déduit donc que : D augmente
quand λ diminue donc le violet est plus dévié
que le rouge.
• Remarque : la dispersion de la lumière par le
prisme explique pourquoi on se plaçait
précédemment dans le cas de la lumière
monochromatique.
b. Minimum de déviation Dm.
Calcul de la déviation minimum :
D=i+i’-A
Finalement on trouve que i=i’ et r=r’
L’expression de n en fonction de A et Dm. La loi de SD au point I donne
Cette relation fondamentale trouve une application évidente en travaux
pratiques : le calcul de l’indice de réfraction n d’un verre pour une
radiation λ donnée.
c. Variation de D avec l’angle
d’incidence i:
La courbe D = f(i) est représentée cicontre avec, comme vu ci-dessus,
ce qui conduit à et
avec
Conclusion:
l  0 ; propagation rectiligne dans milieu homogène
i.e. l petit par rapport aux instruments de mesure
  des rayons lumineux indépendants les uns des autres
 Dans un milieu homogène, transparent et isotrope, les rayons
lumineux sont des lignes droites.
 A la surface de séparation de deux milieux, les rayons lumineux
obéissent aux lois de Snell-Descartes.
 Principe du retour inverse de la lumière