Séries L

Séminaire thématique
Fonction zêta et corps quadratiques
Série-L de Dirichlet
Chrystel Feller
5 avril 2007
1
Introduction
Dans ce séminaire, nous allons aborder la notion de série-L de Dirichlet L(s, χ) dans le but de
démontrer le théorème important suivante :
L(1, χ) 6= 0 ∀χ 6= χ0
Grâce à cela, nous montrerons qu’il existe une infinité de nombres premiers dans la suite arithmétique
{N k + a}k∈N avec (N, a) = 1.
2
Série-L
2.0.1 Définition
Soit χ un charactère de Dirichlet (mod N ). La série :
L(s, χ) =
∞
X
χ(n)
n=1
(1)
ns
est appelée la série-L de Dirichlet associée à χ.
Comme |χ(n)| ≤ 1 et par un théorème du premier séminaire, on en déduit que la série ci-dessus
converge absolument pour σ > 1. En utilisant le produit d’Euler, on obtient :
L(s, χ) =
Y
p premier
(1 +
χ(p) χ(p2 )
+ 2s + ...) =
ps
p
Y
p premier
(1 +
χ(p) (χ(p))2
+
+ ...) =
ps
p2s
Y
p premier
1
1−
χ(p)
ps
Q
Pour le charactère principal χ0 : L(s, χ0 ) = p|N (1 − p−s )ζ(s)
L(s, χ0 ) est donc à un facteur multiplicatif près égale à la fonction zéta de Riemann. L(s, χ0 ) peut
donc être prolongée
méromorphiquement dans le plan complexe entier avec un pôle unique en s = 1
Q
)
de résidu p|N (1 − p−s ) = φ(N
N
(2)
2
SÉRIE-L
2
2.0.2 Proposition
Pour χ 6= χ0 : l’absisse de convergence σ0 de L(s, χ) est plus petite ou égale à 0.
Preuve
P
P
On considére χ 6= χ0 et x → ∞ et on borne : | xn=1 χ(n)|. On obtient : | xn=1 χ(n)| ≤ N = O(1)
σ0 = limsup
log |A(x)|
= inf {α|A(x) = O(xα )} ≤ 0
λx
2
2.0.3 Théorème
Soit χ un charactère de Dirichlet différent de χ0 . Alors :
L(1, χ) 6= 0
(3)
Preuve
Le théoreme se montre en 4 étapes :
Q
1. On considère la fonction : F (s) = χ L(s, χ), où on parcourt tous les charactères de Dirichlet
(mod N). En étudiant le comportement de cette fonction lorsque s tend vers 0 par le haut, on
découvre que : lims→1 F (s) ≥ 1. On en conclut donc qu’il existe au maximum un charactère
χ 6= χ0 tel que L(1, χ) = 0.
2. On peut restreindre la preuve au charactère réel car :
¯ χ) et si L(1, χ) = 0 ⇒ χ = χ̄ i.e. χ est réel.
L(1, χ̄) = L(1,
0)
3. Soit χ 6= χ0 réel avec L(1, χ) = 0 et soit : φ(s) = L(s,χ)L(s,χ
L(2s,χ0 ) .
En développant cette fonction et en P
utilisant le produit d’Euler, on peut écrire φ(s) sous
an
forme de série (pour σ > 1) : φ(s) = ∞
n=1 ns avec an ≥ 0 . Vu que φ(s) est holomorphe en
1
σ > 2 , on peut écrire φ(s) comme une série de Taylor autour de 2. Ainsi pour |s − 2| < 32 :
P
P∞ (2−s)k P∞ an (log n)k
(s−2)k k
φ(s) = ∞
. Pour s réel, 12 < s < 2, φ(s) est une
k=0
k=0
n=1
k! φ (2) =
k!
n2
fonction monotone décroissante en s :
φ(s) ≥ φ(2) ≥ 1
4. lims→ 1 φ(s) =
2
L( 21 ,χ)L( 21 ,χ0 )
lims→ 1 L(2s,χ0 )
(4)
= 0 car L(2s, χ0 ) a un pôle en s = 21 .
2
2
Il y a donc contradiction entre le résultat de la 3e et 4e étape.
Etudions à présent une deuxième preuve de ce théorème en utilisant le théorème de Landau.
Soit χ un caractère réel et soit :
ψ(s) = L(s, χ)ζ(s) =
∞
∞
∞
X
X
X
χ(n) X 1
ρ(n)
=
avec ρ(n) =
χ(d)
s
s
s
n
n
n
n=1
n=1
n=1
d|n
En développant ψ(s) = L(s, χ)ζ(s), on peut démontrer que :
ρ(n) ≥ 0 et ρ(n2 ) ≥ 1
Donc :
∞
X
ρ(n)
1
n=1
n2
≥
∞
X
ρ(n2 )
n=1
n
≥
∞
X
1
=∞
n
(5)
(6)
n=1
Si L(1, χ) = 0, alors ψ(s) ne possède pas de singularité dans σ > 0. A cause de (5) et du théorème
P
ρ(n)
de Landau, la série ∞
2
n=1 ns doit converger pour σ > 0, ce qui est en contradiction avec (6).
RÉFÉRENCES
3
2.0.4 Corollaire
Soit N un nombre naturel, (a, N ) = 1. Alors la suite arithmétique {N k + a}k∈N contient un nombre
infini de nombres premiers :
X
1
=∞
(7)
p
p premier |p≡a(modN )
Preuve
On montre que :
X
X 1
=∞
rpr
p | pr ≡a(modN ) r≥1
Cependant :
X
X 1
1
≤
r
rp
2
(8)
p | pr ≡a(modN ) r>1
Ainsi, on en conclut que la somme des termes avec r = 1 diverge.
2
Il existe une preuve élémentaire de ce corollaire pour N = 4 : On considére les suites aritmétiques
{4k + a}k∈N . Pour k = 0, 2, ce sont des suites composées uniquement de nombres paires donc aucun
nombre premier. On considére les deux cas suivant : k = 1 et k = 3 (1 et 3 sont premier avec 4).
A montrer :
1. Il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n − 1
2. Il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n + 1
Preuve :
1. Supposons qu’il existe qu’un nombre fini de nombre premier de la forme 4k − 1 (que l’on peut
aussi écrire 4k + 3). On considére le produit de ces nombres :
Y
n=
p
p≡3 (mod4)
On pose : m = 4n − 1. Par hyp. m < ∞. De plus, aucun nombre de la forme 4k+3 ne peut
n
1
diviser m, car si c’était le cas, la fraction : 4n−1
4k+3 = 4 4k+3 − 4k+3 devrait être un nombre
naturel. Comme 4k + 3 divise n, cela impliquerait que 4k + 3 divise 1, ce qui est impossible.
Vu que tous les nombres premiers sont soit de la forme 4k + 1, soit de la forme 4k + 3, alors
cela implique que tous les nombres premiers (impairs) qui divisent m sont donc de la forme
4k + 1. Cela implique que m est de la forme 4l + 1 i.e. m ≡ 1 (mod4). Ce qui est impossible
car : m = 4n − 1 = 4(n − 1) + 3 i.e. m ≡ 3 (mod4). Il y a donc contradiction.
Q
2. Analogue, n = p≡1 (mod4) p2 et m = 4n + 1.
Références
[1] D.B. Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper.