Sur la résolution de systèmes linéaires en nombres entiers

Séminaire Delange-Pisot-Poitou.
Théorie des nombres
M AURICE M IGNOTTE
Sur la résolution de systèmes linéaires en nombres entiers
Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome
exp. no G16, p. G1-G5
15, no 2 (1973-1974),
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Séminaire DELANGE-PISOT-POITOU
G16-01
(Groupe d’étude de Théorie des nombres)
15e année, 1973/74, n° G16, 5 p.
20 mai 1974
SUR LA RÉSOLUTION DE SYSTÈMES LINÉAIRES EN NOMBRES ENTIERS
par Maurice MIGNOTTE
Introduction.
questions abordées
Les
classiques, attribués à C. L.
systèmes d’équations ou d’inéqua-
tournent autour de lemmes
SIEGEL, sur la résolution
tions linéaires.
nombres entiers de
en
résolution de systèmes d’inéquations permet de résoudre des sysen améliorant même les résultats antérieurs. Ensuite, des techni-
On montre que la
tèmes
d’équations
ques
probabilistes
ou
de
géométrie
des nombres
permettent d’obtenir
certains raf-
finements.
résultats sont tout particulièrement utiles en théorie des nombres
transcendants. On donne, en prime, une forme effective du théorème de l’élément
Tous
ces
primitif qui,
aussi, peut servir dans cette théorie.
elle
Le résultat classique.
1.
PROPOSITION 1. - Soient les
Soient
X
Inapplication
L
E
(L ,
=
positifs
", , x n entiers, non
x ,
Démonstration. - Soit
Partageons
C
l’ensemble des
... ,
en
L)
La
Inutilité
des
proposition
1
THÉORÈME
tous
Zn
x
de
E
dans
cubes
un
égaux.
Alors il
nuls, tels
cube . Alors
x
=
0 :
avec
hypercube
lm
Donc
des tiroirs : Deux éléments
x’
x’ - x~
que
xi X y
de côte
C
card E
et
i=1,...,n.
x"
=
(X
de
E
nDX
+
1)m;
sont
convient.
permet de démontrer le théorème suivant.
K
1 i 03BD , 1 j ,
de nombres
des entiers de
on a
tels que
systèmes d’inégalités.
1. - Soit
rationnel. Si
envoie
lm petits
peut appliquer
principe
envoyés par L dans un même petit
le
on
2. De
formes linéaires
des nombres entiers
existe des éléments
dans
m
03BD >
alors le
de
degré
K . Soit
système
A
03B4
sur
maxi,j
Q . Soient
|ai,j|,
A
ai,j ,
entier
admet
Une
( x i , ... ,
solution
Démonstration. - Soient
donc
où
K
a
K
de
é
=
i=
proposition
Z~
non
-
dans Ç , k==1~..~6.
1
formes
aux
L.
j
=
03A303BDi=103C31(ai,j)
ij
i=
(xj
.Î
.s X
trivial tel que
ij ’à,1 ’vérifient
n’admet pas de
plongement réel,
la
réelles et imaginaires
On
,
xi.
et
...
alors
= 0 .
= ...
cas
plongements
la
xn)
(x ~ , ... ,
algébriques ~jj
Les entiers
Dans le
les
Q~
qu’on peut appliquer
D’où l’existence de
on a
, ,
réel. Les valeurs
Supposons d’abord ~~
sont telles
Z03BD non triviale et telle que
G
on
présence
montré qu’on peut remplacer la constante
2
considère les composantes
du facteur
2.
lorsque
par 1
K
n’est pas
totalement imaginaire.
Il est intéressant de comparer le théorème 1
lequel
où
CK
la
majoration précédente
est
une
constante,
Dans la démonstration
soud
un
non
des
calculée, qui dépend
classique,
Le résultat donné ici améliore
sur
la
proposition
résultat classique analogue dans
est
on
choisit
une
à coefficients entiers de
système
3. Retour
~i
au
légèrement
de
K
(voir ~4~, Appendice).
base d’entiers de
on
ré-
équations.
un
résultat publié
en
[5J (lemme 1.3.1).
1.
Nous donnerons deux démonstrations de résultats essentiellement
chronologique où nous les avons rencontrées.
proposition 1 et de sa démonstration.
l’ordre
la
K , puis
équivalents,
dans
Les notations sont celles de
3.1. Principe des tiroirs et considérations probabilistes.
d’expliquer l’idée
qui suit, considérons le cas m = 1 . Pour n = 1 ,
est constitué par des points équidistribués sur un intervalle
l’ensemble
fini. Par contre, si n > 2 , les points de
sont distribués de manière irAfin
de
ce
L 1 ~~~
proportion d’entre eux étant concentrés autour d’une valeur
moyenne. De manière plus précise, leur distribution s’approche, pour n tendant
vers l’infini, de celle de la loi de Gauss (théorème central-limite). On n’appli-
régulière,
une
forte
quera donc pas le principe des tiroirs à L.i (E) tout entier, mais à une partie de
L(E) où les points sont suffisamment denses. La démonstration qui suit est extraite de
[2].
PROPOSITION 2. -
Les notations sont
proposition
X
1. Pour tout
=(x1,(-Iii. . ,U(X
il existe x (log( 18m)) 112
xn) ~ Zn 1) )/«x nonl)n/mnul- 2)tel.
(X + 1)n/m >
max|xi en|tier te.l que X et max |Lj(x)2,|
que
de la
celles
+
+
Démonstration. - Posons
/~
,
Majorons d’abord N~ ,
On
a
d’une
1
l’inégalité
D’où N! $: 2N exp(J
utilisant
lecteur.
dont la
6B~) ,
.
2X
construction, 1~ image
Vn U(X
+
maintenant
1) .
C’
au
~
de
F
L
par
est contenue dans
un
cube
C~
de côté
plus grand entier tel que h~
Découpons
h petits cubes, et appliquons le principe des tiroirs. Ceci
Soit alors
en
démonstration est laissée
et ainsi
.
Par
l’expression
part
et, d’autre part,
en
et pour cela considérons
(x, y
montre l’existence de
h
le
...,
Un calcul immédiat achève la
x_)
e
non
nul, tel
et
que
démonstration.
3.2. Géométrie des nombres et formes quadratiques.
La méthode
employée
ci-dessous est due à K. MAHLER
(voir
chap.
1),
mais les
détails diffèrent quelque peu.
1. - Soit
discriminant
F(x~ ~
... ,
x~)
D. Alors il existe
Démonstration. - Soit
t
un
une
x e
nombre
quadratique définie positive
non nul, tel que
forme
Z~ ~
positif. Alors, l’ellipsoïde
?(x) $
de
t
a
V
pour volume
=
tn/2
ellipsoïde contient
cet
r(l
D""
élément
un
+ n 2)-1.Z~D’après
si
V(t)
vérifie
t
nul de
non
le théorème de
Minkowski,
=
2" .
+
~xj) ,
D’où
le résultat,
On
applique
~x~2 x21
=
+
...
Par souci de
[ij.
en
a
simplicité,
assure
bornons-nous
D
l’ existence de
où
1 , le
=
général
cas
est traité
,~’
non
nul, tel que
obtenu le résultat suivant.
entier
Alors,
+l)~~ ,
un
pour
:~Vn~l’Ut-~)
.
Complément :
=~(~. ~
K
Alors il existe des entiers
i= 1 ,
... , k,
(i.
K
positif. Soit
il existe
x~
Z~
tel
a~ ~
«.
un
y
+ a203B12 + ... + ak 03B1k
d.
pour
K
engendre
=~(cy) ).
plongements distincts
les
cas
k
élément ~
C :
dans
(d(d - l))/2 .
ce
P
racines. D’où l’existence de
~n
est
un
on
pour
Considérons le
qui précède,
a =
p
Nous allons montrer que l’un des
Remarquons d’abord que,
6i(a2~ ~ Q~(a2~ .
2 . Le corps
=
sont distincts. Considérons les éléments
L’élément
degré
corps de nombres de
l))/2
le nombre
et
primitif.
... ,
Démonstrat ion. - Il suffit de considérer le
D’après
0})x)jt ,
tel que
forme effective du théorème de l’élément
une
PROPOSITION 4. - Soit
0 :
m
au cas
x E
n
e.
=
vérifie
F
de
PROPOSITION 3. - Soit
JL(x))Î
F(x) s I.
quadratique
U-1.
s
+
Le discriminant
Le lemme 1
On
résultat à la forme
ce
a
cr.
=
p
K
+
(Y.
admet
engendre
d
K
est tel que
ou
polynôme
tel que
générateur
de
0 ~ n $:
K .
si
pour
et donc
n’est pas nul ; il admet donc
n
e
K
au
(d(d - 1))/2
plus
et
(d(d - 1) )/2
P~n~ ~
0 .
G16-05
Ce résultat s’avère
en
particulier utile
pour l’étude de
née de nombres transcendants par des nombres
l’approximation
simulta-
algébriques (voir E3~]).
BIBLIOGRAPHIE
(Kurt). - Lectures on transcendental numbers (manuscrit).
MIGNOTTE (Maurice). - Sur les multiples des polynômes irréductibles (manuscrit).
MIGNOTTE (Maurice) et WALDSCHMIDT (Michel). - Approximation des valeurs de
fonctions transcendantes, II (en préparation).
[4] SCHNEIDER (Theodor). - Einführung in die transzendenten Zahlen. - Berlin,
Springer-Verlag, 1957 (Grundlehren der matematischen Wissenschaften, 81) et
[en français] Introduction aux nombres transcendants. - Paris, Gauthier-
[1]
[2]
[3]
MAHLER
Villars, 1959.
[5]
(Michel). - Un premier
Berlin, Springer-Verlag (Lecture
WALDSCHMIDT
cours
sur
Notes in
les nombres transcendants. -
Mathematics) (à paraître).
. (Texte
Maurice MIGNOTTE
158 boulevard Galliéni
92390 VILLENEUVE LA GARENNE
reçu le 20 mai
1974)