chapitre 1

2nde Arago
CHAPITRE 1: NOTION D'ARITHMETIQUE ET APPLICATIONS
1.Les ensemble et :
={0,1,2,3….} est l'ensemble des entiers naturels.
Ils servent avant tout à dénombrer.
Chaque entier a un successeur.
Pté: Toute partie de contient un plus petit élément.
={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} est l'ensemble des entiers relatifs.
contient les entiers naturels et leurs opposés.
L'opposé de 4 est –4, celui de –7 est 7.
Plus généralement l'opposé d'un entier a est –a
On dit que l'ensemble est inclus dans (dessin).
on note ⊂
2 Un peu d'arithmétique:
L'arithmétique est la partie des mathématiques qui étudie les propriétés des nombres
entiers.
2.1 la relation divise
Définition: Soit a et b deux entiers naturels avec b≠0.
On dit que b divise a ou est un diviseur de a si on peut écrire a=bxk où k désigne un
nombre entier.
Exemples:
6 divise 42 car 42=6x7
12 divise 60 car 60=12x5
Vocabulaire: Lorsque a est divisible par b on dit aussi que a est un multiple de b.
42 est un multiple de 6 et 60 un multiple de 12
Remarques:
Tous les entiers sont divisibles par 1 et par eux même puisque n=nx1
Les diviseurs d'un entier n sont compris entre 1 et n
Les nombres pairs sont ceux qui sont divisibles par 2.
Un nombre pair peut toujours s'écrire 2.k et un nombre impair 2.k+1
A savoir: un nombre entier est divisible par
2 ssi son chiffre des unités est 0 2 4 6 8
3 ssi
5 ssi
9 ssi
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Exercices résolus:
Trouver tous les diviseurs de 60
Un nombre N s'écrit avec 4 chiffres dont deux qu'on ne connaît pas.
Il commence par 34 et est divisible par 45.
Qui est il?
2.2 Les nombres premiers
Définition: Soit n un entier naturel plus grand ou égal à 2.
On dit qu'un entier est premier s'il possède exactement deux diviseurs: 1 et lui même.
Exemples:
2,5,7,11,13,17.. sont premiers.
1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur: 1
15 n'est pas premier car 3 et 5 le divise.
Théorème: Tout nombre entier plus grand que deux est:
-soit un nombre premier
-soit se décompose de manière unique, à l'ordre des facteurs près, en produit de
nombres premiers.
Exemple et méthodes: Décomposer 140
Méthode 1: à vue
140=14x10=2x7x2x5=22x5x7
Méthode 2: Divisions successives.
On cherche le plus petit diviseurs premier de 140: c'est 2.
140=2x70 et on recommence avec le quotient.
70=2x35
35=5x7
7 est premier donc on s'arrête.
on a 140=2x2x5x7=22x5x7
Exercices résolus:
1 Montrer que 1764 est le carré d'un entier (on dit aussi un carré parfait).
Est ce le cas de 180? Par quel entier le multiplier pour qu'il soit un cube parfait?
Décomposer 60 en produit de facteurs premiers.
En déduire les diviseurs de 60.
Retenons: Soit n un entier naturel, n≥2. Les diviseurs de n s'écrivent avec les mêmes
facteurs premiers que n avec des exposant compris entre 0 et l'exposant présents dans
la décomposition de n
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2.3 PGCD et PPCM
Définitions: Soit a et b deux entiers non nuls,
le PGCD de a et de b est le plus grand diviseur commun à ces deux nombres.
Le PPCM de a et de b est le plus petit multiple commun à ces deux nombres.
Lorsque deux nombres ont 1 pour PGCD, on dit qu'ils sont premiers entre eux.
Pour déterminer le PPCM et le PGCD on peut utiliser la décomposition en produit de
nombres premiers:
a= 1400 et b= 10 780
Retenons:
-Pour trouver le PGCD de deux entiers a et b, on prend tous les facteurs premiers
communs aux deux décomposition de a et de b, affectés de leur plus petit exposant
-Pour trouver le PPCM de deux entiers a et b, on réunis tous les facteurs premiers
présents dans les deux décomposition de a et de b, affectés de leur plus grand exposant
Propriété utile: PPCM(a,b)xPGCD(a,b)=ab
3. Décimaux et rationnels:
3.1 L'ensemble D des décimaux
Définition: Un nombre décimal peut s'écrire sous la forme où a est un entier relatif et n
un entier naturel.
Conséquence: Un nombre décimal s'écrit avec un nombre fini de chiffres
Exemple: 23,657=23657/1000=23657/103
On dit que 23 est la partie entière et 657 la partie décimale.
Propriété: Tout nombre entier est décimal.
En effet:....
Définition : Ecrire un décimal sous forme scientifique c'est le mettre sous la forme:
ax10p avec p entier et a un décimal tel que 1≤a<10
le nombre de chiffres de a est le nombre de chiffres significatifs.
Exemples:
2345600000
0.000005678
2008
3.2 L'ensemble des nombres rationnels
Définition 1: On qualifie de rationnel tout nombre pouvant s'écrire sous la forme d'une
fraction de deux entiers relatifs:
L'ensemble des rationnels est noté (initiale de quotient)
Exemples:
2/3 -1/5
25/30
7/20
5
-4
39/35
18/25
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-360/125
10780/1400
45/7
Exercice: Parmi les nombres suivants, certains sont des entiers et d'autres des
décimaux. Lesquels?
Théorème 1:
Tout nombre décimal est rationnel.
Soit a et b deux entiers relatifs.
Si b=2px5q alors a/b est un décimal
Démonstration:
Revenir aux définitions
Si p≥q, on multiplie par 5p-q. Sinon par 2q-p.
schéma des inclusions.
Précisez les symboles: ; ∉; ⊂.
Vocabulaire:
Lorsque a et b sont premiers entre eux, la fraction a/b est irréductible.
c'est le cas de 2/3 et de –1/5.
Exercice: Reprendre les exemples précédents.
Quelles sont les fractions irréductibles?
Simplifier les autres on utilisera la décomp de produit de fact premiers
Théorème 2: Toute nombre rationnel peut s'écrire sous la forme d'une fraction
irréductible.
Exos: 2-3-4-5-6 p 24 et 17-18-19 p 25
3.3 Calcul dans :
voir mémento collège et feuille d'exercices
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Feuille d'exercices - Arithmétique
1. Diviseurs, multiples
32-34 page 27
Trouver tous les couples (x;y) d'entiers naturels qui vérifient:
x²-y²=34
Soient a et b deux chiffres.
On note: 2a35b le nombre qui s'écrit avec les chiffres 2,a,3,5 et b.
Déterminer les valeurs possibles de a et de b pour que le nombre 2a35b soit divisible
par 45.
Choisir trois entiers consécutifs. leur somme est-elle divisible par 3?
est-ce toujours le cas?
A votre avis, la somme de deux entiers consécutifs est –elle paire ou impaire?
Démontrer votre conjecture.
La réciproque est elle vraie?
2. Nombres premiers
37-38-43-48 page 27
122-123-124 page 32
3. Division euclidienne PGCD, PPCM
39-40 page 27
Déterminer le PGCD et le PPCM de
21 et 28
45 et 75
320 et 192
2x53x7² et 2²x5²x11²
468 et 1650
Du bon usage de la fainéantise...
Une pièce rectangulaire a pour dimension 4.8m et 4.5m. On veut poser des dalles
carrées sur le sol sans avoir à en recouper aucune et en posant le moins possible.
Une dalle a pour côté un nombre entier de cm.
Quelle doit être la dimension des dalles?
4. Travaux Dirigés
127 page 32
133 page 33
Défi: Montrer que lorsqu'on divise un carré parfait par 3, le reste n'est jamais égal à 2.
N.Véron-LMB
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Feuille d'exercices – Fractions et puissances
Sans calculatrice
1. Simplification d'écriture:
Pour rendre une fraction irréductible, il faut diviser le numérateur et le dénominateur
par leur PGCD
49-51 p 28
Ecrire sous la forme d'un entier ou d'une fraction irréductible:
A=24x28x(2-5)3
C=(34)-2x96x27-2
E= 49x105²x332
(100x7)
B=5²x59x10-2
D=(35)²x(9²)6
3 2
F=
3
(−2 ) x24
4
27²x(−16 )
2. Somme de fractions:
On doit mettre les fractions au même dénominateur.
Le plus petit dénominateur commun est le PPCM des dénominateurs.
Calculer les sommes suivantes et les réduire.
A= 5 + 3
12 8
C= 1 − 2 + 3
7 35 14
B= − 1 + 5
9
12
D= 35 + 2 − 51
63 27 34
3. Produit de fractions:
Il est conseillé de simplifier avant de calculer.
On utilise les décompositions en produit de facteurs premiers.
Calculer les produits suivants et les réduire
A= 12 x 25 x21
49 48
2700
C=
x 12² x49
630
125
B= 3 x 16 x 27
4 21 15
4. Se perfectionner:
A= − 3² + ( 1 − 1 + 1 ) ÷ (6)²x 5² − 4²
2
2
4
(1 − 1 + 1 )²
2 4
÷
4
2
7² − 3²
3 +3
3
B=4-3
3 − 7x2²
C= (1 + 1 )(1 + 1 )(1 + 1 )....(1 + 1 )
2
3
9
4
N.Véron-LMB