Licence MPC - Informatique appliquée

TP 2 - Optique géométrique
Licence MPC, Informatique appliquée
Année 2008/2009
O. G ÉNEVAUX , F. L ARUE , N. PASSAT
Même si elle ne permet pas de représenter l’ensemble des phénomènes lumineux observables, l’optique géométrique constitue néanmoins une approximation valable de l’optique ondulatoire lorsque la longueur d’onde
des rayonnements éléctromagnétiques considérés est très petite par rapport aux dimensions des éléments macroscopiques avec lesquels ces rayonnements intéragissent.
L’objectif de ce TP est de modéliser des systèmes optiques à l’aide de l’outil informatique OCTAVE en considérant une représentation géométrique par rayons de la lumière.
1 Trajectoires de rayons lumineux à travers un système optique centré
On se propose de modéliser des sytèmes optiques centrés, tels que celui représenté sur la figure 1. On ne
considère ici que des milieux transparents homogènes et isotropes (propagation rectiligne de la lumière dans un
milieu donné). De même, les rayonnements considérés sont supposés monochromatiques, de manière à ignorer
les phénomènes de dispersion.
rayon
lumineux
~y
~x
O
Ps
lentilles
x=0
Pr
x = xmax
F IG . 1 – Modélisation proposée.
Soit le plan Ps = {p ∈ R2 | px = 0} une source émettant un faisceau de rayons lumineux parallèles à l’axe ~x,
et se propageant par coordonnées croissantes le long de cet axe. Soit le plan Pr = {p ∈ R2 | px = xmax }
la surface opaque d’un récepteur collectant les points d’impact des rayons lumineux émis par Ps . On souhaite
alors positionner entre Ps et Pr un ensemble de dioptres, plans ou sphériques, de manière à définir un système
centré d’axe optique ~x.
On considérera que le milieu extérieur est le vide, et nous ne nous intéresserons qu’à la transmission des rayons
lumineux (la réflexion est donc négligée).
Questions :
1.1. Commencez par lister l’ensemble des attributs nécessaires à la définition d’un dioptre dans un tel système.
Proposez alors une fonction OCTAVE permettant de construire une structure à partir de ces attributs.
1.2. Même question pour les rayons lumineux.
1
1.3. Déterminez, de manière analytique, les coordonnées du point d’incidence entre un rayon et un dioptre
donnés, ainsi que la normale en ce point d’incidence, selon que le dioptre considéré soit plan ou sphérique. Écrivez la fonction OCTAVE permettant d’effectuer ce calcul. Cette fonction renverra une structure
contenant ces deux informations.
1.4. Du fait du changement de milieu, tout rayon lumineux incident de manière non orthogonale à un dioptre
est dévié, comme cela est illustré sur la figure 2, où I est le vecteur directeur du rayon incident, N le
vecteur normal au dioptre au point d’incidence, T le vecteur directeur du rayon transmis, et n1 et n2 les
indices de réfraction respectifs des milieux d’origine et de destination.
θ1
N
n1
I
T
n2
θ2
F IG . 2 – Incidence d’un rayon lumineux à un dioptre.
i. En vous aidant des lois de Snell-Descartes, exprimez le vecteur directeur T du rayon transmis à
l’aide des quantités I, N , n1 et n2 connues. I et N sont considérés unitaires.
ii. Comment peut-on détecter, à l’aide de cette expression, si l’angle limite de réfraction est dépassé
ou non ?
iii. Écrivez la fonction OCTAVE permettant d’effectuer ce calcul. Dans le cas où l’angle limite est dépassé, le rayon transmis n’existe pas. Votre fonction devra donc également fournir une information
quant à l’existence de ce rayon.
1.5. Utilisez les fonctions définies précédemment pour écrire un programme OCTAVE permettant de visualiser les trajectoires d’un ensemble de rayons quittant la source et traversant les différents dioptres avant
de heurter le plan récepteur.
1.6. À l’aide de ce programme, modélisez les types de lentilles suivants, et observez les résultats :
– biconvexe,
– biconcave,
– plan-convexe,
– plan-concave,
– ménisque convergent / divergent.
1.7. Testez votre programme sur des systèmes optiques comportant plusieurs de ces lentilles.
2 Incidence des rayons lumineux sur le plan récepteur
On se place cette fois dans l’espace, et non plus simplement dans le plan (Oxy). On souhaite alors visualiser
les points d’impact des rayons lumineux après que ceux-ci ont traversé l’ensemble du système optique.
Questions :
2.1. Apportez les modifications nécessaires à votre programme pour :
– introduire une troisième coordonnée dans les différents calculs impliqués (les rayons se propagent
toujours selon le sens général de ~x),
2
– projeter une grille carrée de rayons parallèles à travers le système optique,
– tracer les points d’impact de cette grille de rayons avec le plan récepteur Pr sur un graphique 2D.
2.2. Observez les déformations induites sur cette grille pour les différents cas suivants :
– lentille biconvexe,
– lentille biconcave.
3 Dispersion de la lumière blanche
La dispersion de la lumière correspond au phénomène selon lequel l’indice de réfraction d’un milieu varie en
fonction de la longueur d’onde considérée. Si nous levons l’hypothèse de monochromaticité posée au début de
ce TP, et que nous nous intéressons cette fois à de la lumière blanche, un rayon lumineux n’est plus simplement dévié lors d’un changement de milieux mais donne naissance à un faisceau de rayons monochromatiques
couvrant la bande du spectre visible de la lumière (longueurs d’onde comprises entre 380nm et 780nm).
La dépendance de l’indice de réfraction n à la longueur d’onde λ peut être représentée par le modèle de Cauchy
suivant :
B
C
n(λ) = A + 2 + 4
λ
λ
où les constantes A, B et C sont propres à chaque milieu.
Questions :
3.1. Modifiez le programme de visualisation des trajectoires développé dans la partie 1 de manière à permettre
la visualisation du faisceau issu de la dispersion d’un rayon de lumière blanche lors de son interaction
avec une lentille. Pour ce faire, le rayon de lumière blanche pourra être représenté sous la forme d’un
ensemble de rayons monochromatiques initialement confondus, correspondant à une discrétisation du
spectre visible.
3.2. Le tableau suivant donne les constantes du modèle de Cauchy pour différents milieux (pour que ces
valeurs soient valides, la longueur d’onde λ doit être exprimée en µm dans l’équation précédente). Testez
votre programme en considérant successivement chacun d’eux comme milieu constituant de la lentille.
On considérera le vide comme milieu extérieur, avec A = 1, B = 0 et C = 0 ses coefficients de Cauchy.
Matériau
fluorite
verre de quartz
crystal de quartz
verre Flint léger
A
1, 43000
1, 45040
1, 53140
1, 59440
B
0, 00134810
0, 00184150
0, 00443350
0, 00766860
C
−0, 00022710
−0, 00029369
−0, 00001895
−0, 00026711
4 Systèmes optiques à décentrement (question subsidiaire)
Nous souhaitons maintenant introduire du décentrement dans les systèmes optiques modélisés.
Questions :
4.1. Modifiez les fonctions de création de dioptres et de calcul d’intersections définies précédemment de
manière à permettre l’utilisation de dioptres décentrés (dioptres asymétriques par rapport à l’axe optique
du système). Pour ce faire, vous spécifierez pour chaque dioptre son axe réel de centrage.
4.2. Servez vous de ce modèle pour visualiser les trajectoires de rayons traversant des systèmes optiques
contenant des lames décentrées, des prismes ou des lentilles convergentes / divergentes décentrées.
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