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SCA 2625-Dynamique Partie B
2. L'effet de la rotation de la Terre : l'effet de Coriolis
Savez-vous que la salle de classe est en train de tourner autour d'un axe vertical (situé dans la
salle)? Si nous regardons notre salle de classe à partir d'un point fixe dans l'espace, nous verrons
cette rotation autour d'un axe vertical (dans la salle, donc local). La salle tourne comme un disque
compact. Nous ne sentons pas la rotation parce qu'elle est très lente et que nous sommes fixés au
sol par la force de gravité tandis que le frottement nous fait tourner avec la salle. Donc nous
tournons avec la salle à la fois autour de l'axe de rotation de la Terre et autour d'un axe vertical
local.
1
2
3
H. Nord
Équateur
H. Sud
1
2
Rotation antihoraire
3
H. Nord
Rotation nulle
É quateur
R otation horaire
H. Sud
Figure DynB-1: Rotation autour d’un axe vertical local. La rotation se fait
dans le sens anti-horaire dans l’hémisphère nord, elle est nulle à
l’équateur et elle est horaire dans l’hémisphère sud. Notez bien que les
coordonnées locales telles qu'on a défini dans la Figure DynA-2 sont en
rotation.
Nous pouvons voir cette rotation dans notre salle de cour si on fixe un pendule au plafond (sans
frottement ). Avant de faire osciller le pendule, il reste vertical. Si on le fait osciller, la direction du
SCA2625 Dynamique B-1
plan d'oscillation restera constante (parce qu'il n'existe aucune force pour changer sa direction).
Par
source: Lutgens et Tarbuck 1986
Figure DynB-2: Illustration de la fraction de rotation d'une surface horizontale
autour d'un axe vertical à différentes latitudes durant une période de 24 heures.
L'ampleur de l'effet de Coriolis est proportionnelle à la fraction de rotation
effectuée. Notez bien que les coordonnées locales telles qu'on a défini dans la
Figure DynA-2 sont en rotation
d
Nor
eΩT
l
ô
P
A
A'
B'
B
r
ateu
u
q
E
Figure DynB-3: Illustration du taux de rotation local autour d'un axe vertical. La
flèche A change son orientation pour celle de A' dans la même période de temps
que la flèche B change pour celle de B'. Notez bien que les coordonnées locales
telles qu'on a défini dans la Figure DynA-2 sont en rotation.
SCA2625 Dynamique B-2
contre, la salle fera une rotation complète autour du pendule en 34 heures (expérience du pendule
de Foucault à 45N). En effet, le taux local de rotation autour d'un axe local
ΩL = ΩTerresinϑ
ou ϑ est la latitude. Si on oublie que la salle tourne autour d'un axe vertical, il semble que c'est le
pendule qui fait une rotation autour d'un axe vertical qui passe par son point de suspension au
plafond de la salle. Si on oublie que nous tournons avec la salle, il nous semble qu'il doit y avoir
une force pour changer la direction du plan d'oscillation. Nous pouvons même calculer une telle
force par unité de masse qui serait responsable du changement de direction d'oscillation si la salle
ne tournait pas.
Voici un autre exemple. Nous lançons une balle de Montréal vers Trois Rivières (situé à 100 km =
6
10 m de Montréal) avec une vitesse de 10 m/s (nous négligeons la force de frottement due à l'air et
4
nous supposons que la balle garde la même altitude). En 10 s (un peu moins que 3 heures), la
4
balle traverse en ligne droite les 100 km vers l'endroit où était Trois Rivières 10 s avant. Pendant
4
4
ces 10 s, l'axe Montréal - Trois Rivières tourne autour d'un axe vertical local. En 10 s, la rotation
sera près de 10% (0.082) d'un tour complet c'est-à-dire près de 30o. Avec l'aide de la
trigonométrie, nous pouvons calculer que la balle manquera Trois-Rivières de presque 50 km
4
les10 s plus tard.
Lancement de balle
Sens de
rotation
100 km
Montréal
Trois-Rivières
Vitesse de
la balle
10 000 seconds plus tard
s de
Sen tion
rota
nt
réal
Mo
100
km
s
ière
iv
is-R
Tro
Distance manquée
50 km
Drummondville
Deplacement de la balle 100km
30˚
Figure DynB-4: Trajectoire d'une balle lancée de Montréal vers Trois-Rivières.
Pour un observateur qui ne tourne pas avec la surface de la Terre, la balle se déplace en ligne
droite. Pour un observateur à Trois Rivières (qui oublie que la terre tourne autour d'un axe
vertical), il semble que la vitesse de la balle a changé de direction. Au lancement, la balle se
dirigeait directement vers Trois Rivières, mais 10 000 secondes plus tard la balle arrive à
SCA2625 Dynamique B-3
Drummondville. Donc, pour l'observateur qui est sur Terre et qui oublie que la Terre tourne autour
d'un axe vertical, tout se passe comme si la vitesse de la balle change de direction.
Calculons la grandeur de la force pour faire cette "déviation" apparente sur la figure DynB-6 pour
un temps δt très court. La balle quitte le pointe A ver le point B avec une vitesse initiale u0 dans la
direction x seulement et la vitesse dans cette direction ne change pas. Pendant que la balle parcourt
pendant le temps t la distance
δx =u0 δt ,
B-1
la balle n'arrive pas à B mais à C. La déviation apparente (la distance que la balle manque sa cible)
de la balle est l'arc du cercle du rayon δx. (Notez que δy est négatif.)
arc=δy= δx δθ = u0 δt δθ
ou δθ est l'angle que la surface locale de Terre a tourné pendant ce temps t. Parce que δθ = δtΩL,
et le taux de rotation locale est ΩL= ΩTsinϕ,
donc δθ = δtΩTsinϕ.
Donc
2
δy= δx δθ = u0 δt ΩTsinϕ.
Β−2
B
y
2
δy= δx δθ =uo δt ΩTsinϕ
x
2
δθ = δtΩL =δtΩTsinϕ
A
C
δy=vo δt + 1/2 ay δt
0
2
δx= uo δt + 1/2 ax δt
0
Figure DynB-5: Calcul de l'accélération si on oublie qu'on tourne avec la Terre.
Notez que δy est négatif.
L'accélération qui ferait la déviation dans la direction des y se calcule à partir de
2
δy =v0 δt + 1/2 ay δt
B-3
SCA2625 Dynamique B-4
ou v0 =0 parce qu'il n'y avait pas de vitesse initiale dans la direction des y. En substituant B-2 pour
δy, on trouve
2
2
u0 δt ΩTsinϕ = 1/2 ay δt .
Donc, la force apparente par unité de masse (l'accélération)
ay = 2u0 ΩTsinϕ.
Β−4
Pour ceux, qui tiennent compte de la rotation autour d'un axe vertical local, ni l'accélération, ni la
force existent. L’observateur (notre système de coordonnées) qui se tourne avec la surface
de la
r
Terre et qui mesure la vitesse et l'accélération par rapport à lui, calcul une accélération a qui est à
droite de la vitesse.
Donc pour notre système de coordonnées qui se tourne avec la surface de la Terre, en absence des
forces réelles, on peut écrire que
r
Fréelles
r
r r
=0
a inertielle = a + a rotation = ∑
m
L'observateur, qui mesure la vitesse par rapport à un système de coordonnées qui tourne avec la
rotation de la Terre, calculera une force (non-réelle) par unité de masse (accélération)
r
r
=
a −a
r
rotation(= Frotation / m)
Donc dans notre système qui mesure la vitesse l'accélération par rapport à nous, l'équation de 2e
loi de Newton devient (force de Coriolis = force due à la rotation):
r
r
Fréelles
r FCoriolis
+∑
a =
m
m
B-5
r
Notez bien que l'accélération a qui se trouve sur le côté gauche de l'équation B-5 n'est pas
l'accélération par rapport à un système inertiel mais par rapport à un système de coordonnées qui
tourne autour d'un axe vertical local.
L'équation du mouvement dans notre système de coordonnées
Reprenons l'équation A-4
r
r r
1r
r
= a + ( a )rotation = − ∇p + g − CVh
inertiel
ρ
r
(a )
SCA2625 Dynamique B-5
B-6
Donc l'accélération qu'on mesure dans notre système de coordonnées devient
r
r
r
FCoriolis
r
r
1
a = − ∇ p + g − CVh −
m
ρ
B-7
Figure DynB-6: Effet de la rotation. Déviation des trajectoires observées par un
observateur sur la Terre.
La force (par unité de masse) de Coriolis qui s'ajoute dans nos équations de mouvement horizontal
est celle qu'on a calculé dans B-4 et qui agit à droit du mouvement.
r
r r
r r
FCoriolis
= 2Ω T sinϕk × Vh = f k × Vh
m
SCA2625 Dynamique B-6
B-8
x : v2Ω T sinϕ = fv
y : −u2Ω T sinϕ = − fu
r
r
r
ou f= 2ΩTsinϕ est le paramètre de Coriolis et Vh = ui + v j est le vent horizontal.
Donc, notre équation du mouvement B-7 par rapport à notre système de coordonnées (qui est en
rotation) et où on néglige l'accélération verticale (approximation hydrostatique) devient :
r
r
r r
r
r dVh 1 r
a=
− ∇p + g − CVh − fk × Vh
dt ρ
∂p
x: du = - ρ1
+ fv- Cu
∂x
dt
∂p
y: dv = - ρ1
- fu - Cv
∂y
dt
∂p
z: 0 = - ρ1
-g
∂z
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