2007-08 examen session 1

UFR Sciences Luminy
L3 P et PC - GBM1
Année 2007-2008
r
r
E
k
On appellera r le champ électrique en notation complexe et r le
vecteur d’onde de l’onde réfléchie qui est également plane et homogène.
Examen décembre 2007 : Ondes 1
Durée : 3h - Aucun document ni calculatrice autorisés.
I. Réflexion sur une interface vide-métal parfait (9 points)
Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.
A) Polarisation d’une onde
Soit une onde électromagnétique plane et homogène se propageant
dans le vide selon l’axe des z croissants. En notation complexe, son champ
électrique s’écrit :
r
r
r
r
r
E1 = E 0 e i(kz - ωt) avec E 0 = E 0 (e x + iαe y )
E0, k et α sont des réels positifs.
r r r
(e x , e y , e z ) désigne une base orthonormée directe.
Préciser l’état de polarisation de cette onde lorsque :
1) α = 0
2) α = 1
3) 0 < α < 1
B) Réflexion sur une interface vide-métal parfait
On se propose d’étudier la réflexion de l’onde précédente (avec α= 1),
sous incidence normale, sur un conducteur plan parfait. La surface de ce
conducteur correspond au plan xOy (voir figure ci-dessous).
On écrit le champ électrique de l’onde incidente, plane et homogène,
sous la forme :
r
r
r
r
r
E i = E 0i e i(kz - ωt) avec E 0i = E 0 (e x + ie y )
E0 et k sont des réels positifs
r
1) Justifier que le champ transmis E t est nul.
2) Ecrire la relation de continuité pour le champ électrique à l’interface
z = 0.
3) Justifier que les ondes incidente et réfléchie sont de même pulsation.
r
r
4) Expliciter k i et k r en fonction de la célérité
électromagnétiques dans le vide et de la pulsation ω
r
5) Ecrire l’expression du champ E r
c
des
ondes
6) Comparer la polarisation des ondes incidente et réfléchie.
r
7) Ecrire l’expression du champ résultant E dans le vide. S’agit-il d’une
onde progressive ?
r r
r
8) Ecrire les expressions des champs Bi , B r et du champ résultant B dans
le vide.
r
9) Calculer la moyenne temporelle du vecteur de Poynting associé à E
r
et B .
II. Source de rayonnement dipolaire électrique (11 points)
A) Question de cours
On considère le rayonnement dipolaire électrique en champ lointain
r
dans le vide émis par une source. Montrer que le potentiel vecteur A DE de
l’onde électromagnétique émise s’écrit en fonction de la dérivée par
v
rapport au temps du moment dipolaire p(t) associé à la source.
r
v
µ0
j (P, t -PM/c)
dτ
On donne : A(M, t) = 4π ∫∫∫
PM
B) Source de rayonnement
On considère une source constituée par une antenne. Celle-ci est située
en x = y = 0 et est limitée dans la direction z : –d/2< z < d/2.
L’antenne :
(a) est parcourue par la densité de courant :
r
r
r
r
j ( z ) = I cos(kz/2) u
j(z, t ) = j( z )e -iω t avec
0
z où I0 est une
constante réelle.
-iω t
(b) est caractérisée par la densité linéique de charges ρ(z, t) = ρ(z)e
1) A partir de la loi de la conservation de la charge à une dimension :
∂ j z ( z , t ) ∂ ρ( z , t )
+
= 0 , calculer ρ(z)
∂z
∂t
On utilisera kz<<2π pour simplifier l’expression trouvée.
r
-iω t r
u
2) La source est associée au moment dipolaire p(t) = p 0 e
z
2
I k
0
d3
Montrer que p 0 ≅ i
48 ω
C) Rayonnement dipolaire électrique
On s’intéresse au rayonnement en champ lointain (r>>λ) dans le vide
de la source étudiée dans la partie B, caractérisée par le moment
r
-iω t r
u
dipolaire : p(t) = p 0 e
z
r
r
1) Calculer le champ B DE ( r , t ) correspondant au rayonnement dipolaire
électrique. On utilisera :
r
r
r r r r
r
r
r
∇× (f C) = f ∇× C + ∇f × C ; ∇(fg) = g ∇f +f ∇g
;
r
r
r
ur
r
∇(1/ r) =− = r2
r3
r
r
2) Calculer le champ E DE ( r , t ) correspondant au rayonnement dipolaire
électrique.
r r
r r
r
r
On utilisera : ∇× BDE( r ,t) ≅ i k × BDE ( r ,t)
r
3) Calculer la moyenne temporelle du vecteur de Poynting SDE
4) Calculer la puissance correspondante <P> rayonnée à travers une sphère
de rayon r.
Rappel : Equations de Maxwell
r r
∇r.Dr = ρL
r ∇r.B = 0 r
∇×E = − ∂B
r r r ∂t r
∇×H = j L + ∂D
∂t
r
r
r r
D
=
ε
E
=
ε
E
0
r
r
r + Pr
B = µ H = µ0H +µ 0M
r
où ρL est la densité de charges libres et jL la densité de courant libre