cours - Alain Camanes

Chapitre 6 Relations binaires - Ensembles de nombres
I - Relations binaires
Définition 1 (Relation binaire).
Soit E un ensemble et G ⊂ E × E . Le couple R = (E, G) est une
relation binaire sur E .
Notation.
Soit (x, y) ∈ E × E . Si (x, y) ∈ G, l'élément x est en relation avec y , noté xRy .
Exercice 1. Décrire les relations binaires que vous avez rencontrées.
Définition 2 (Réflexivité, (Anti)symétrie, Transitivité).
Soit R une relation binaire sur un ensemble E . La relation R est
réexive si pour tout x ∈ E , xRx.
(ii). symétrique si pour tous x, y ∈ E , si xRy , alors yRx.
(iii). antisymétrique si pour tous x, y ∈ E , si xRy et yRx, alors x = y .
(iv). transitive si pour tous x, y, z ∈ E , si [xRy et yRz], alors xRz .
(i).
Exercice 2. Parmi les relations binaires que vous avez listées précédemment, lesquelles sont réexives ? symétriques ? antisymétriques ? tranistives ?
I.1 - Relations d'équivalence
Définition 3 (Relation d’équivalence).
Une relation binaire R sur un ensemble E est une
réexive, symétrique et transitive.
relation d'équivalence sur E si elle est
Exercice 3. Parmi les relations binaires listées précédemment, lesquelles sont des relations d'équivalences ?
Définition 4 (Classe d’équivalence).
Soient R une relation d'équivalence sur un ensemble E et x ∈ E . La
l'élément x, notée x ou cl(x), est l'ensemble {y ∈ E ; xRy}.
classe d'équivalence de
Exercice 4. Deux réels x et y sont en relation, noté xRy , si xey = yex . Montrer que R est une
relation d'équivalence, puis, pour tout réel x, déterminer le nombre d'éléments dans la classe
d'équivalence de x.
Proposition 1 (Partition).
Soit R une relation d'équivalence sur un ensemble E . L'ensemble des classes d'équivalence de
R forme une partition de E .
Définition 5 (Congruences).
Soit (z, p) ∈ R × Z.
(i). Deux réels x et y sont congrus modulo z , noté x ≡ y [z], s'il existe un entier k tel que
x = y + kz .
(ii). Deux entiers m et n sont congrus modulo p, noté n ≡ m [p], s'il existe un entier k tel
que n = m + kp.
Les congruences sont des relations d'équivalence.
Stanislas
A. Camanes
Chapitre 6. Relations binaires - Ensembles de nombres
MPSI 1
Propriété 2 (Congruence & Opérations).
Soient a, a0 , b, b0 ∈ Z et m, n ∈ N? .
(i). Si a ≡ b [n] et a0 ≡ b0 [n], alors a + a0 ≡ b + b0 [n].
(ii). Si a ≡ b [n] et a0 ≡ b0 [n], alors aa0 ≡ bb0 [n].
(iii). Si a ≡ b [n] et m ∈ Z, alors am ≡ bm [nm].
I.2 - Relations d'ordre
Définition 6 (Relation d’ordre).
Une relation binaire R sur un ensemble E est une
antisymétrique, transitive.
relation d'ordre sur E si elle est réexive,
Exercice 5. Donner des exemples de relations d'ordre.
Notation.
4 désigne une relation d'ordre sur E , A ⊂ E et x ∈ E .
Définition 7 (Ordre total / partiel).
Si, pour tout (x, y) ∈ E 2 , x 4 y ou y 4 x, la relation 4 est une relation d'ordre
4 est une relation d'ordre partiel .
total . Sinon,
Exercice 6. Parmi les exemples précédents, lesquels sont des relations d'ordre total ? partiel ?
Définition 8 (Majorant, Minorant).
un majorant de A si ∀ a ∈ A, a 4 x. La partie A est majorée .
(ii). L'élément x est un minorant de A si ∀ a ∈ A, x 4 a. La partie A est minorée .
(iii). Si A possède un majorant et un minorant, la partie A est bornée .
(i). L'élément x est
Exercice 7. Donner, lorsqu'il y en a, des majorants et minorants des ensembles suivants :
1. Sur (R, 6) : A1 =] − ∞, 3].
3. Sur (R, 6) : A3 = n1 , n ∈ N? .
2. Sur (R, 6) : A2 =] − 1, 1].
Définition 9 (Plus grand / petit élément).
le plus grand élément de A si ∀ a ∈ A, a 4 x et x ∈ A.
(ii). L'élément x est le plus petit élément de A si ∀ a ∈ A, x 4 a et x ∈ A.
(i). L'élément x est
Exercice 8. Reprendre l'exercice précédent.
Théorème 1 (Maximum, Minimum).
(i). Si A possède un plus grand élément, il est unique. C'est le maximum de A, noté max(A).
(ii). Si A possède un plus petit élément, il est unique. C'est le minimum de A, noté min(A).
Définition 10 (Borne supérieure / inférieure).
(i). L'élément x est la borne supérieure de A si c'est le plus petit élément de l'ensemble des
majorants de A. Il est noté sup(A).
(ii). L'élément x est la borne inférieure de A si c'est le plus grand élément de l'ensemble des
minorants de A. Il est noté inf(A).
Stanislas
A. Camanes
Chapitre 6. Relations binaires - Ensembles de nombres
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Exercice 9.
1. Reprendre l'exercice précédent.
2. Soient A et B deux ensembles possédant des bornes supérieures tels que A ⊂ B . Montrer que
sup A sup B .
Théorème 2 (Comparaison max / sup).
(i). Si A possède un plus grand élément, alors A possède une borne supérieure. De plus,
sup(A) = max(A).
(ii). Si A possède un plus petit élément, alors A possède une borne inférieure. De plus,
inf(A) = min(A).
Exercice 10. Reprendre les exemples précédents.
II - Ensemble des entiers naturels
II.1 - Axiomatique, Relation d'ordre
Définition 11 (Axiomatique de Peano, H.P.).
Il existe un triplet (0, N, s), où N est un ensemble, 0 un élement de N et s une application de
N dans N vériant les axiomes
(i). Application successeur. s est injective,
(ii). s(N) = N\{0},
(iii). Axiome de récurrence. Si A ⊂ N est telle que 0 ∈ A et A est stable par s, alors A = N.
Notations.
Pour tout entier naturel n, on note s(n) = n + 1.
Cette dénition permet de dénir successivement l'addition par n+0 = n et n+s(m) = s(n+m).
Le prédécesseur d'un entier naturel n non nul est noté n − 1.
Propriété 3 (Relation d’ordre sur N).
Soit (m, n) ∈ N2 . S'il existe un entier k tel que m = n + k , l'entier m est
n 6 m. La relation 6 dénit un ordre total sur N.
supérieur à n, noté
II.2 - Raisonnement par récurrence
Théorème 3 (Récurrence faible).
Soient n0 un entier naturel et P une propriété dénie sur l'ensemble des entiers plus grands
que n0 . Si
(i). P(n0 ) est vraie,
(ii). ∀ n > n0 , si P(n) est vraie, alors P(n + 1) est vraie,
alors, pour tout entier naturel n > n0 , P(n) est vraie.
Théorème 4 (Récurrence forte).
Soient n0 un entier naturel et P un prédicat déni sur les entiers plus grands que n0 . Si
(i). P(n0 ) est vraie,
(ii). ∀ n > n0 , si ∀ k ∈ Jn0 , nK, P(k) est vraie, alors P(n + 1) est vraie,
alors, pour tout entier naturel n > n0 , P(n) est vraie.
Exercice 11. Soit (un ) la suite dénie par u0 = 2, u1 = 3 et pour tout n ∈ N, un+2 = 3un+1 −2un .
Montrer que pour tout n ∈ N, un = 2n + 1.
Stanislas
A. Camanes
Chapitre 6. Relations binaires - Ensembles de nombres
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II.3 - Éléments minimaux / maximaux
Théorème 5 (Théorème de l’élément minimal).
Toute partie non vide de N possède un plus petit élément.
Exercice 12. Montrer que toute suite strictement décroissante d'entiers naturels est nie.
Théorème 6.
Toute partie non vide et majorée de N possède un plus grand élément.
III - Corps des nombres réels
III.1 - Relation d'ordre
L'ensemble des réels, noté R, est muni d'une structure de corps (R, +, ·) et d'une relation d'ordre
total notée 6.
Notations.
Pour tout (x, y) ∈ R2 ,
x < y si x 6 y et x 6= y .
x > y si y 6 x.
x > y si y 6 x et x 6= y .
Propriété 4 (Relation d’ordre & Opérations (admis)).
Pour tout (x, y, z) ∈ R3 ,
(i). Si x 6 y , alors x + z 6 y + z .
(ii). Si x > 0 et y > 0, alors xy > 0.
Exercice 13. Soient x, y, z ∈ R tels que z > 0. Montrer que si x > y , alors xz > yz .
Théorème 7 (Caractérisation des bornes sup / inf).
Soit A une partie de R et m ∈ R.
(i). On suppose que A admet une borne inférieure. Alors, m = inf(A) si et seulement si
∗ ∀ x ∈ A, x > m,
∗ ∀ ε > 0, ∃ x ∈ A ; m 6 x < m + ε.
(ii). On suppose que A admet une borne supérieure. Alors, M = sup(A) si et seulement si
∗ ∀ x ∈ A, x 6 M ,
∗ ∀ ε > 0, ∃ x ∈ A ; M − ε < x 6 M .
n
Exercice 14. Déterminer les bornes supérieures et inférieures de A = (−1)n +
1
n+1 ,
o
n∈N .
Théorème 8 (Théorème de la borne supérieure (admis)).
Toute partie de R non vide et majorée admet une borne supérieure.
Théorème 9 (Théorème de la borne inférieure).
Toute partie de R non vide et minorée admet une borne inférieure.
Propriété 5 (Caractérisation des intervalles de R).
I est un intervalle de R si et seulement si ∀ (a, b) ∈ I 2 tel que a 6 b, [a, b] ⊂ I .
III.2 - Droite numérique achevée
Définition 12 (Droite numérique achevée).
La droite numérique achevée , notée R, est l'ensemble R = R ∪ {−∞, +∞}.
On prolonge la relation d'ordre 6 sur R, en posant ∀ x ∈ R, x 6 +∞ et −∞ 6 x.
Stanislas
A. Camanes
Chapitre 6. Relations binaires - Ensembles de nombres
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On prolonge les opérations sur R selon les tables
+
−∞ y ∈ R +∞
−∞ −∞ −∞ n.d.
x ∈ R −∞ x + y +∞
+∞ n.d. +∞ +∞
Définition 13 (Voisinage).
Soit a ∈ R. L'ensemble W est un
×
−∞
x ∈ R?−
0
x ∈ R?+
+∞
−∞ y ∈ R?−
0
y ∈ R?+
+∞
+∞
n.d.
−∞
+∞
xy
0
xy
n.d.
0
0
0
−∞
xy
0
xy
−∞
−∞
n.d.
+∞
+∞
−∞
−∞
n.d.
+∞
+∞
voisinage de a lorsque
(i). si a ∈ R, W est un intervalle ouvert centré en a.
(ii). si a = +∞, il existe un réel c tel que W =]c, +∞[.
(iii). si a = −∞, il existe un réel c tel que W =] − ∞, c[.
Exercice 15. Soit a ∈ R et V (a) l'ensemble des voisinages de a. Montrer que V (a) est non vide,
stable pas intersections nies et réunions quelconques.
III.3 - N, Q, D
Théorème 10 (R est archimédien).
R est archimédien, i.e. pour tout x ∈ R?+ , pour tout y ∈ R, il existe n ∈ N tel que nx > y .
Exercice 16. Soit x ∈ R. Montrer qu'il existe un unique entier naturel n tel que n 6 x < n + 1.
Définition 14 (Partie entière).
Soit x ∈ R. L'unique entier n vériant n 6 x < n + 1 est la
partie entière de x, noté bxc.
Théorème 11 (Densité).
(i). Q est dense dans R, i.e. pour tout (x, y) ∈ R2 tel que x < y , ]x, y[∩Q 6= ∅.
(ii). R\Q est dense dans R, i.e. pour tout (x, y) ∈ R2 tel que x < y , ]x, y[∩(R\Q) 6= ∅.
Définition 15 (Nombre décimal).
Soit x ∈ R. Le réel x est un nombre décimal s'il existe un entier naturel n tel que 10n x ∈ Z.
L'ensemble des nombres décimaux est noté D.
Exercice 17. Montrer que l'ensemble des nombres décimaux est dense dans R.
Définition 16 (Valeur décimale approchée).
Soient x un réel, n un entier naturel et a un entier relatif. Le réel a · 10−n est une valeur
décimale approchée de x à 10−n près si |x − a · 10−n | < 10−n .
Si a · 10−n 6 x, c'est une valeur approchée par défaut . Sinon, c'est une valeur approchée par
excès .
Exercice 18. Soit x ∈ R. Donner une valeur décimale approchée de x par défaut, puis par excès.
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