Devoir - Alain Camanes

Université de Nantes.
L3
2007/2008
Théorie de la mesure et intégration
Devoir à la maison no1
Ensembles Mesurables et Mesurabilité
à rendre au plus tard le 21 février 2008
Dans les exercices suivants, on considère l’espace de probabilité ([0, 1], B([0, 1]), λ) où B([0, 1]) désigne la tribu des boréliens
et λ la mesure de Lebesgue.
Exercice 1. On note Q l’ensemble des rationnels et V = Q ∩ [0, 1] l’ensemble des nombres rationnels de [0, 1].
1. Montrer que V est mesurable par rapport à la mesure de Lebesgue et qu’il existe une suite (vn ) telle que pour tout
réel k > 0,
[
V ⊂ Gk :=
vn − k 2−n , vn + k 2−n ∩ [0, 1].
n∈N
2. Estimer la mesure λ(Gk ).
3. Soit (k ) une suite décroissante tendant vers 0. Calculer la mesure λ(H) de l’ensemble H défini par
\
H=
Gk .
k∈N
4. Montrez que pour tout k ∈ N, Gck ne contient pas d’intervalle (non trivial). En utilisant le théorème de Baire et en
raisonnant par l’absurde, montrez que H est un ensemble non dénombrable.
5. En notant In,k = ]vn − k 2−n , vn + k 2−n [ ∩ [0, 1], comparez
\[
[\
In,k et
In,k .
k
n
n
k
On rappelle le théorème de Baire : Soit S un espace métrique complet. S’il existe une suite dénombrable d’espaces fermés (Fn )
S
tels que S = n∈N Fn , alors il existe un entier n tel que Fn contienne une boule ouverte.
Exercice 2 (L’escalier du diable). Pour toute réunion finie d’intervalles ∪In , on définit l’application s qui supprime
au centre de chacun des intervalles un intervalle de longueur |I3n | .
Ainsi, partant de I0 = [0, 1], on construit la suite de sous-ensembles de [0, 1] suivante :
• s (I0 ) = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1], S
• s2 (I0 ) = [0, 1/9] ∪ [2/9, 3/9] [6/9, 7/9] ∪ [8/9, 9/9]
• ...
On s’intéresse dans cet exercice à l’ensemble
\
K=
sn (I0 ) .
n∈N
1. Montrer que l’ensemble K est un compact non vide.
2. Montrer que K est borélien puis calculer sa mesure λ(K).
Rappelons que tout nombre appartenant à l’intervalle [0, 1] peut s’écrire sous la forme
∞
X
i
,
i
3
i=1
où i ∈ {0, 1, 2}. Cette décomposition est appelée décomposition triadique.
3. Montrer que K est l’ensemble des réels de [0, 1] dont la décomposition triadique ne comporte que des 0 et des 2. En
déduire que K n’est pas dénombrable.
1
4. On définit l’application φ pour toute suite (ai ) ∈ {0, 1}N par
!
X 2ai
X ai
.
φ
=
i
3
2i
∗
∗
i∈N
i∈N
Montrer que φ peut se prolonger en une fonction constante presque partout sur l’intervalle [0, 1] (on pourra remarquer
que tout réel x ∈ [0, 1] il existe deux éléments x1 , x2 de K tels que x ∈ [x1 , x2 [).
5. Montrer que φ est croissante de [0, 1] dans [0, 1], puis que φ(K) = [0, 1].
6. En déduire que φ est borélienne.
7. Montrer que φ est dérivable presque partout et calculer sa dérivée sur cet ensemble de mesure 1.
2