ℓ(x)

2nde - Bilan chapitre 5 :
FONCTIONS AFFINES
TABLEAUX DE SIGNES
INEQUATIONS
Théorème
Si f ( x) = ax + b, alors quels que soient les réels
x1 et x2 distincts, on a :
f ( x2 ) − f ( x1 )
=a
x2 − x1
Définition
Soit a et b deux réels fixés.
On définit une fonction affine f en posant :
Exemple :
1
f ( x) = − x + 3
2
Choisissons x1 et x2 :
f ( x) = ax + b
Son domaine de définition est R.
⊲ le nombre a est le coefficient directeur.
⊲ le nombre b est l’ordonnée à l’origine.
x1 = 234
f ( x1 ) = −114
x2 = −48
f ( x2 ) = 27
f ( x2 ) − f ( x1 )
141
1
=
=−
x2 − x1
−282
2
Cas particuliers
– Si a = 0, alors f est constante ( f ( x) = b ).
– Si b = 0, alors f est linéaire ( f ( x) = ax ).
Théorème
Si f ( x) = ax + b avec a 6= 0 :
– Si a > 0 alors f est strictt croissante sur R.
– Si a < 0 alors f est strictt décroissante sur R.
Représentation graphique
Une fonction affine :
1
f ( x) = − x + 3
2
1
Pour la fonction f ( x) = − x + 3,
2
on obtient le tableau de signes suivant :
Une fonction linéaire et une constante :
1
ℓ( x) = − x + 0
2
y
c( x) = 0x + 3
x
+∞
6
1
− x+3
2
Dc
3
−∞
+
−
0
De même,
2
1
x − 2,
3
on obtient le tableau de signes suivant :
Df
1
1
pour la fonction f ( x) =
b
0
0
-1
x
1
Dℓ
-2
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
−∞
+∞
6
1
x−2
3
−
+
0
Cas général :
Remarque : f (4) = 1 ; ceci signifie que :
ax + b ≥ 0 ssi ax ≥ −b
⊲ 1 est l’image de 4 par f .
⊲ 4 est l’unique antécédent de 1 pour f .
Si a < 0,
Propriété
Dans un repère (O, I, J ) fixé, la représentation
graphique d’une fonction affine est une droite D .
– fonction linéaire ssi O ∈ D .
– fonction affine ssi D //(Ox).
x≤−
b
a
Bilan
Si a < 0
x
ax + b
Si a > 0, x ≥ −
b
a
Si a > 0
−∞ −
b
+∞
a
+ 0 −
x
ax + b
−∞ −
b
+∞
a
− 0 +
Définition ordre
Soient a et b deux réels.
a < b ssi a − b est strictt négatif
Inéquations produits
Exemple :
(2x + 1)(4 − 3x) > 0
On étudie le signe de P = (2x + 1)(4 − 3x) :
a > b ssi a − b est strictt positif
x
Propriété
Soient a, b, c trois réels.
⊲ si (a < b et b < c) alors a < c
⊲ si a < b, alors a + c < b + c.
⊲ si a < b et k > 0 alors k × a < k × b.
⊲ si a < b et k < 0 alors k × a > k × b.
Définition
Une inéquation est une inégalité où intervient x ;
elle peut être vraie ou fausse selon la valeur de x.
Exemple :
−3x − 5 ≤ 7
Cette inégalité est vraie si x = −1.
Cette inégalité est fausse si x = −5.
Définition
Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les
valeurs de x pour lesquelles l’inégalité est vraie.
Dans l’exemple précédent :
−3x − 5 ≤ 7 ⇐⇒ x ≥ −4
L’ensemble des solutions est donc :
S = [−4; +∞[
→ fiche / 4 résolutions d’une inéquation
Propriété règle des signes
Soient a et b deux réels avec b 6= 0.
a
b
+ − + −
+ − − +
a×b
a/b
+ + − −
+ + − −
signe du quotient = signe du produit
−∞
−1/2
2x + 1
−
4 − 3x
+
P
−
0
0
+∞
4/3
+
+
+
0
−
+
0
−
1 4
Le produit P est strictt positif ssi x ∈ − ;
2 3
Inéquations quotients
Exemple :
−3x + 7
≤0
1−x
Il y a une valeur interdite : la valeur de x pour laquelle le dénominateur est nul ; or :
1 − x = 0 ⇐⇒ x = 1
On suppose donc x 6= 1 et on place dans le tableau
de signes suivant une double-barre.
−3x + 7
:
On étudie le signe de Q =
1−x
x
−∞
−3x + 7
+
1−x
+
P
+
+
0
+∞
7/3
1
0
−
−
−
−
0
+
7
Le quotient Q est négatif ou nul ssi x ∈ 1;
3
Autres types d’inéquations
En seconde, on peut toujours se ramener aux
inéquations produits ou quotients.
Pour ceci, il faut essentiellement factoriser.
Voici quelques exemples (détaillés en classe) :
( x − 1)2 − 4 > 0 ⇐⇒ ( x − 3)( x + 1) > 0
4x2 − 9 ≤ 0 ⇐⇒ (2x + 3)(2x − 3) ≤ 0
Pour se ramener aux équations quotients, il faut
d’abord faire apparaı̂tre zéro dans le membre de
droite, et factoriser ensuite ; par exemple :
3−x
−3x − 1
> 2 ⇐⇒
>0
x+2
x+2