DS5 15-16

Sup PCSI - Lycée Carnot-DIJON
30 janvier 2016
DS de physique n°5
Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation des questions traitées.
Les applications numériques, les commentaires apportés sur les résultats obtenus, constituent une partie non négligeable dans le
barème d'évaluation.
Les copies rendues seront numérotées. Pour 3 feuilles rendues, par exemple, on numérotera : 1/3 ; 2/3 ; 3/3.
Chaque partie du sujet sera rendue sur copie séparée.
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Mécanique : Chute d’un flocon de neige.
Le référentiel d’étude, le référentiel terrestre, est supposé galiléen. Le champ de pesanteur terrestre est supposé uniforme et l’on
prendra : g = 10 m.s −2 .
On s’intéresse à la chute dans l’air d’un flocon de neige, supposé sphérique, de rayon R = 0,5 mm et de masse volumique µ ,
dans l’air. La viscosité de l’air est η , sa masse volumique µ a . On suppose ces grandeurs constantes. Du fait de la viscosité de
l’air, le flocon est soumis à une force de frottement proportionnelle à sa vitesse v : 6π ηRv (formule de Stockes). On peut
considérer, qu’une fois formé dans le nuage, le flocon commence son mouvement de chute sans vitesse initiale.
1) Dresser le bilan des forces qui s’exercent sur le flocon. Exprimer la résultante des forces en fonction de η , µ , µ a , R ,
g et v .
2) Montrer que la vitesse du flocon obéit à l’équation différentielle suivante : dv + α v = β .
dt
Expliciter les constantes α et β .
3) En déduire la vitesse limite, v∞ , acquise par ce flocon lors de sa chute.
AN : µ = 100 g .L−1 , µ a = 1,3 g .L−1 et η = 20 µPl = 2,0.10 −5 Pl (le poiseuille, Pl, est l’unité de viscosité dans le Système
International). Calculer cette vitesse limite.
4) Montrer que la puissance développée par la force de Stockes est, en valeur absolue : P = 6πηRv 2 . .En supposant que le
flocon acquiert instantanément sa vitesse limite, exprimer l’énergie thermique, notée Q , dissipée par les frottements en
fonction des données et de la durée de la chute τ . Calculer Q si τ = 1000 s .
5) Il faut approximativement 15 mJ pour liquéfier un flocon de cette taille. Comparer cette valeur à Q . Quel temps fait-il
au sol ? Conclusion ?
Résolution de problème : détermination d’une impédance inconnue à l’aide d’un voltmètre
Toute démarche constructive, même inachevée, sera prise en compte dans l’évaluation.
On exposera clairement la démarche suivie et les notations utilisées.
On désire déterminer expérimentalement l’impédance Z = A + j.B (j2 = -1) d’un dipôle en régime sinusoïdal forcé. Pour cela,
on ne dispose, en plus de ce dipôle, que du matériel suivant : un GBF, un résistor de résistance R et un voltmètre.
1) Montrer qu’en réalisant un montage série avec le dipôle d’impédance inconnue, le résistor et le GBF, et en effectuant
trois mesures de tension avec le voltmètre en mode AC (le voltmètre fournit alors la tension efficace, mesurée à ses
bornes), il est possible de mesurer la partie réelle A de Z et sa partie imaginaire B.
2) Application.
Le dipôle en question est une bobine. On prend R = 1,0 kΩ et on travaille à une fréquence de 1,0 kHz. On mesure
successivement une tension efficace de 5,1 V aux bornes du GBF, puis 3,0 V aux bornes du résistor et enfin 4,0 V aux bornes
de la bobine. En déduire les valeurs de l’inductance de la bobine et sa résistance interne.
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Mécanique : C’est la fête !
L’ensemble du problème sera traité dans le référentiel terrestre, considéré comme galiléen.
A. Manège pendulaire.
Un manège est constitué de bras horizontaux de longueur L, placés à
une hauteur h au-dessus du plateau, auxquels sont liées des nacelles
par une attache de longueur d et de masse négligeable.
Les nacelles sont modélisées comme des points matériels de masse
m. On note g l’intensité du champ de pesanteur.
Le manège est entraîné en rotation à une vitesse angulaire ω par
rapport au référentiel terrestre. On considère dans toute la suite que
cette vitesse angulaire est constante.
La fixation permet aux nacelles de basculer dans un plan vertical
contenant le bras suspenseur, l’attache faisant alors un angle α avec
la verticale.
(
ur uur uur
z
L
d
ω
ur
g
h
uur
ez
uur
eθ
α
m
ur
er
O
)
On note er , eθ , ez la base cylindrique d’axe (Oz).
uuuur
1. Expliciter le vecteur-position OM sur la base cylindrique, M étant la position du point matériel représentant la nacelle.
En déduire l’expression de la vitesse de M dans le référentiel terrestre dans le cas général où a priori α peut évoluer
avec le temps.
2.
L’angle α est maintenant supposé invariant. Quelle est alors la trajectoire décrite par la nacelle dans le référentiel
terrestre ? Exprimer la vitesse puis l’accélération de la nacelle de masse m en fonction de L, d, ω et α sur la base
cylindrique d’axe (Oz).
3.
Pour une vitesse ω donnée, la nacelle reste avec une inclinaison α en régime permanent.
3.1 Inventorier les actions exercées sur la nacelle. Exprimer le module T de la tension de l’attache reliant la nacelle au
bras en fonction de m, g et α.
3.2 Etablir une équation reliant α et ω. La masse m intervient-elle ?
3.3 Proposer une solution graphique permettant de déterminer α en fonction de ω. Montrer que l’on obtient deux
solutions dont les valeurs α1 et α2 sont comprises respectivement sur les intervalles [0, π/2] et [π, 3π/2]. Discuter très
brièvement la nature stable ou instable de ces solutions (on attend simplement une approche intuitive).
3.4 On donne L = 10 m ; d = 4 m ; g = 9,8 m.s-2. Quelle est la valeur de vitesse angulaire ω amenant α = 30° ? Donner
cette valeur en rad.s-1 puis en tours par minute (tr.min-1).
Quelle serait alors, exprimée en « g », l’accélération subie par les passagers ?
B. Les montagnes russes.
1.
Un véhicule et ses passagers, de masse totale m = 800 kg, circule sur des rails. La première phase consiste à hisser le
véhicule à une hauteur donnée en le tirant sur une rampe, au moyen d’un système d’entraînement mécanique appliquant
ur
une force tractrice F dirigée parallèlement aux rails. La rampe fait un angle δ avec l’horizontale.
Les frottements solides sont pris en compte selon le modèle de Coulomb : la réaction du support se décompose en deux
uur uuur
termes RT et RN , respectivement tangentiel et normal au support, avec la relation entre leur norme RT = f.RN où f est le
coefficient de frottement.
1.1 Représenter le problème sur un schéma en faisant apparaître le bilan des forces.
1.2 Calculer la valeur F de la norme de la force tractrice nécessaire pour permettre au véhicule de monter à vitesse
constante. On donne g = 9,8 m.s-2 , δ = 30° et f = 0,30.
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1.3 Quelle puissance mécanique est-elle mise en jeu pour obtenir une vitesse v du véhicule ? L’entraînement mécanique
est réalisé par un treuil électrique dont le rendement électromécanique est ρ = 0,8. Quelle puissance électrique
consommera-t-il si le véhicule est tracté à la vitesse de 2 m.s-1 ?
A
Le véhicule va maintenant dévaler une pente faisant un angle ε avec
l’horizontale, sous le seul effet de son poids. On néglige tous frottements. Il est
lâché à l’instant t = 0 sans vitesse au point A situé au sommet de cette pente.
2.
2.1 A partir de l’équation du mouvement, établir les lois v(t) et x(t) décrivant
l’évolution dans le temps de sa vitesse v(t) et de son abscisse x(t).
L
h
ε
B
2.2 On note h la dénivellation entre A et B et L la distance qui les sépare.
Déterminer l’instant tB de son passage au point B, en fonction de L, ε et g,
puis de h, ε et g. Calculer la vitesse atteinte lors du passage au point B.
Commenter.
3.
Après avoir subi diverses évolutions, le véhicule aborde maintenant un virage relevé.
Il s’engage dans la courbe à une vitesse vo = 15 m.s-1 et cette vitesse sera supposée constante
pendant toute la suite du mouvement. Le virage se déroule dans un plan horizontal, avec un
rayon de courbure RC = 25 m.
x
Rc
O
3.1 Calculer l’accélération subie par le mobile dans ces conditions.
uur
ez
uur
eθ
ur
er
ϕ
3.2 Les rails sont disposés avec un profil en travers
présentant une inclinaison d’angle ϕ par rapport à l’horizontale, (voir vue en coupe cicontre), afin que la réaction des rails ne comporte pas de composante tangentielle,
mais seulement une composante normale.
Déterminer la valeur de l’angle ϕ .
C. Le trampoline à élastiques.
z
Un enfant de masse m est attaché au moyen d’un harnais à deux filins
élastiques. Sa position est repérée par celle de son centre d’inertie G. Le
système est réglé de façon à ce que la tension des filins compense le poids de
l’utilisateur lorsqu’il se trouve au niveau du tapis de sol. (voir figure).
Les filins élastiques sont modélisés comme des ressorts de raideur k, de
longueur à vide d.
1.
Calculer la raideur k, à partir des données suivantes :
d = 2 m ; L1 = 8,0 m ; g = 9,8 m.s-2.
2.
Former l’équation différentielle décrivant le mouvement.
3.
Cette équation différentielle n’étant pas linéaire, son intégration
d
z=0
L1
G
••
n’est pas envisageable sans méthode numérique. Montrer qu’elle se linéarise sous la forme : z +
2k
z = −g
m
si l’on
néglige d dans l’expression.
Discuter la validité de cette approximation.
4.
L’enfant, reposant sur le tapis de sol, donne une impulsion qui lui communique quasi instantanément une vitesse vi
dirigée vers le haut. A partir de l’équation différentielle obtenue en 3., déterminer la loi horaire z(t).
5.
A quel instant th l’enfant atteint-il le point le plus haut ? Calculer alors l’altitude maximale atteinte zh.
6.
Exprimer l’énergie potentielle du système. Comment calculer sans l’approximation du 3. , et sans recourir à une
intégration numérique, la valeur de zh ? On demande seulement de poser l’équation donnant accès à zh et non sa
résolution.
3