Terminale STSS B – Devoir de maths – Vendredi 25 mai 2012

Terminale STSS B – Devoir de maths – Vendredi 25 mai 2012
Exercice 1. sur 4 points
La suite (un) est une suite géométrique de premier terme u1= 1500 et de raison 0.97.
1°) Exprimer un en fonction de n.
2°) Déterminer la plus petite valeur de n telle que un < 21. Justifier soigneusement.
Exercice 2 sur 7 points
En avril 2011, on estime que la proportion de courrier indésirable, ou spams, sur la boite de messagerie
électronique d’un particulier est de 76%. Le logiciel StopoSpam supprime 95% des messages indésirables mais
aussi 3% des messages acceptés (c’est-à-dire « non indésirables »).
On prend au hasard un message de cette boite et on note A l’événement « le message est accepté » et S
l’événement « le message est supprimé »
1°) a) Donner p( A), p( A), pA (S ), pA (S )
b) Compléter l’arbre de probabilité donné en annexe et qui sera rendu avec la copie..
2°) Cette question est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, quatre réponses sont
proposées parmi lesquelles une seule est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la
réponse choisie. Justifier soigneusement la réponse.
a. La probabilité qu’un message pris au hasard soit accepté et supprimé est égale à :
0,03
0,0072
0,2328
0,1824
b. La probabilité qu’un message pris au hasard soit supprimé est égale à :
0,7292
0,19
0,98
0,722
c. La probabilité qu’un message pris au hasard soit indésirable sachant qu’il est supprimé est, à 0,01 près,
égale à :
0,95
0,722
0,99
0,19
Exercice 3 sur 9 points
Avant de lancer une nouvelle campagne de sensibilisation, une association humanitaire a étudié comment se
sont répartis, en fonction de leur âge, les 400 donneurs de la campagne précédente, ceux-ci étant soit des
donneurs occasionnels, soit des donneurs réguliers.
– On compte 70% de donneurs occasionnels.
– Parmi les donneurs occasionnels, 30% ont entre 20 et 34 ans.
– Un tiers des donneurs réguliers a entre 35 et 59 ans.
– Parmi les 198 donneurs âgés de plus de 60 ans, 26,3% sont des donneurs réguliers.
1. Compléter le tableau situé en annexe. On arrondira les résultats à l’entier le plus proche.
2. L’association a établi un fichier de ses donneurs.
On prélève au hasard une de ces fiches.
On notera :
R l’évènement : « la fiche choisie est celle d’un donneur régulier » et R l’évènement contraire.
A l’évènement : « la fiche choisie est celle d’un donneur âgé de 20 à 34 ans »
B l’évènement : « la fiche choisie est celle d’un donneur âgé de 35 à 59 ans »
C l’évènement : « la fiche choisie est celle d’un donneur âgé de plus de 60 ans ».
a. Calculer P(B).
b. On considère l’événement D : « la fiche choisie est celle d’un donneur occasionnel âgé de 20 à 34 ans ».
Exprimer cet événement à l’aide des événements définis dans le texte ci-dessus puis calculer sa probabilité.
3. On considère PC (R) .
a. Exprimer cette probabilité par une phrase.
b. La calculer, au millième près.
c. Les évènements C et R sont-ils indépendants ?
NOM :
Exercice 2
S
A
S
S
A
S
Exercice 3
Donneurs
occasionnels
Donneurs
réguliers
Total
de 20 à 34 ans
de 35 à 59 ans
60 ans et plus
Total
400
Exercice 1
1°) un = u1 × qn – 1 = 1500×0.97n – 1
2
un  21
1500  0.97 n 1  21
21
0.97 n 1 
1500
n 1
0.97  0.14
2°) log(0.97 n 1 )  log(0.14)
(n  1) log(0.97)  log(0.14)
log(0.14)
n 1 
car on divise par un nombre négatif
log(0.97)
log(0.14)
n
 1  141.14
log(0.97)
Le plus petit entier supérieur à 141.14 est 142 : la valeur de n cherchée est donc 142.
Remarque : on peut aussi entrer la formule du 1° dans le tableau de valeurs de la calculatrice.
On obtient : u141  21.092 et u142  20.46 : la valeur de n cherchée est bien 142.
2
Exercice 2
p( A)  76%  0.76 , p( A)  1  p( A)  0.24,
1°) D’après le texte : p ( S )  3%  0.03 , p ( S )  95%  0.95
A
A
1
S
0,03
A
0,97
0,24
S
1
0,76
S
0,95
A
0,05
S
2°) a. On cherche p(AS). D’après l’arbre, p(AS) = 0.24×0.03=0.0072
p( A  S ) = 0.76×0.95 =0.722
b. On calcule
D’où p(S) = 0.0072 + 0.722 = 0.7292
c. On calcule pS ( A) 
p( S  A) 0.722
= 0.99 à 0.01 près

p( S )
0.7292
1,5
1,5
2
Exercice 3
1.
Donneurs
occasionnels
Donneurs
réguliers
Total
de 20 à 34 ans
84
28
112
de 35 à 59 ans
50
40
90
60 ans et plus
146
52
198
Total
280
120
400
2
Calculs :
70
30
1
26.3
400 
 280 ; 280 
 84 ; 120   40 ; 198 
 52
100
100
3
100
nombre de cas favorables à E
2. On est en situation d’équiprobabilité et on a p( E ) 
nombre total de cas
90
a. P(B) =
 0.225
400
b. On considère l’événement D : « la fiche choisie est celle d’un donneur occasionnel âgé de 20 à 34
ans ».
D RA
84
p ( D) 
 0.21
400
3. a. PC (R) : probabilité que la fiche soit celle d’un donneur occasionnel sachant que c’est celle d’un donneur
de plus de 60 ans..
146
= 0.737 au millième près
198
52
198
c. On a : pR (C ) 
 0.433 et p(C ) 
0.495 : ces deux probabilités sont différentes donc C et
120
400
R ne sont pas indépendants.
b. pC ( R ) 
1
1
1
1
1,5
1.5