Addition et soustraction dans Addition et soustraction dans NN et

Addition et soustraction dans N et dans Z
Méthode 1 → Calculer la somme des termes d'une suite de nombres en progression arithmétique
en refaisant le raisonnement permettant de trouver la formule générale donnant cette somme.
Pour calculer la somme des termes d'une suite de nombres en progression arithmétique :

vérifier qu'il s'agit bien d'une suite en progression arithmétique (c'est-à-dire) vérifier
que la différence entre deux nombres consécutifs est toujours la même)

dénombrer le nombre n de termes composant la suite

écrire la somme des termes de la suite dans l'ordre croissant puis dans l'ordre
décroissant et additionner les termes deux à deux :
S = u1
+ u2
+…
+ un - 1
+ un
S = un
+ un – 1
+…
+ u2
+ u1
S + S = (u1 + un) + (u2 + un – 1) + … + (un – 1 + u2) + (un + u1)

constater que les n termes de cette somme sont tous égaux à u1 + un

en conclure que 2S = n(u1 + un) c'est-à-dire S = n(u1 + un)
2
Exemple :
Calculer en fonction de k la somme : S = 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2k, k étant un entier naturel.
Les nombres qui composent la suite sont en progression arithmétique, de raison 2.
1.
Écrivons S dans l'ordre croissant puis décroissant, les deux sommes l'une sous l'autre :
on a S = 2 + 4 + … + (2k – 2) + 2k
et S = 2k + (2k – 2) + … + 4 + 2
2.
Additionnons membre à membre ces deux égalités (et terme à terme en colonne), on
obtient :
2S = (2k + 2) + (2k – 2 + 4) + … + (2k – 2 + 4) + (2k + 2)
2S = (2k + 2) + (2k + 2) + … + (2k + 2) + (2k + 2)
2S = k x (2k + 2)
3.
S = k(2k + 2)
2
En simplifiant le numérateur et le dénominateur par 2, on obtient :
S = k(k + 1)
Addition et soustraction dans N et dans Z
Méthode 2 → Calculer la somme des termes d'une suite de nombres en progression arithmétique
en faisant apparaître la somme des n premiers nombres entiers.
Pour calculer la somme des termes d'une suite de nombres en progression arithmétique :

transformer l'expression de la somme S de manière à l'exprimer en fonction de la
somme des n premiers nombres entiers


rappeler la formule donnant la somme des n premiers nombres entiers : n(1 + n)
2
appliquer cette formule pour trouver la somme S
Exemple :
Calculer la somme S = 2 + 4 + … + 500
On a S = 2 x (1 + 2 + … + 250) = 2 x (somme des entiers de 1 à 250)
On peut donc utiliser la formule qui permet de calculer la somme des n premiers nombres entiers
non nuls, à savoir :
somme des entiers de 1 à 250 = n(n + 1)
2
On a donc : somme des entiers de 1 à 250 = 250 x (250 + 1) = 31 375
2
Donc S = 2 x 31 375 = 62 750
Addition et soustraction dans N et dans Z
Méthode 3 → Déterminer deux nombres, connaissant leur somme et leur différence.
Pour déterminer deux nombres a et b, connaissant leur somme S et leur différence D :

identifier dans l'énoncé la somme et la différence et les traduire par deux équations :
(1)

(1)
a + b = S et
(2)
a–b=D
déterminer a en additionnant les équations
(1)
et
(2)
:
+ (2) donne 2a = S + D, soit a = (S + D)
2
 en déduire b en utilisant la première équation : b = S - a
Exemple :
On cherche le nombre de jetons de Léo et Sarah, sachant qu'ils ont 30 jetons à eux
deux et que Léo en a 10 de plus que Sarah.
1.
2.
Soit a le nombre de jetons de Léo et b le nombre de jetons de Sarah
a + b = S = 30
(équation 1)
a – b = D = 10
(équation 2)
En additionnant les deux équations, on trouve :
a + a + b – b = 30 + 10
2a = 40
a = 20
3.
On en déduit :
b=S–a
b = 30 – 20
b = 10
4.
Léo a donc 20 jetons et Sarah en a 10.
Addition et soustraction dans N et dans Z
Méthode 4 → Déterminer trois nombres entiers en progression arithmétique, connaissant leur
somme.
Pour déterminer trois nombres entiers en progression arithmétique de raison r, connaissant leur
somme S :

en appelant n le deuxième nombre cherché, écrire les trois nombres sous la forme :
(n – r), n et (n + r)

écrire la somme des trois nombres : (n – r) + n + (n + r) = 3n

en déduire que 3n = S et donc que n =
que si S est bien divisible par 3

S
; n étant un nombre entier, il n'y a de solution
3
S
S
les trois nombres cherchés sont ( S - r), (
) et (
+ r)
3
3
3
Exemple :
Quels sont les trois nombres entiers consécutifs dont la somme est 216 ?
Les nombres entiers sont consécutifs donc la raison est 1, les nombres cherchés peuvent
s'écrire : (n – 1), n et (n + 1)
Leur somme s'écrit : (n – 1) + n + (n + 1) = 3n
3n = 216, d'où n = 216 = 72
3
Les nombres cherchés sont : 71, 72 et 73.
Addition et soustraction dans N et dans Z
Méthode 5 → Déterminer toutes les décompositions additives d'un nombre.
Pour déterminer toutes les décompositions additives possibles d'un nombre N en utilisant les
nombres x, y et z, avec x > y > z :

écrire l'équation traduisant les décompositions additives cherchées :
N = ax + by + cz
(1)
(avec a, b et c entiers naturels)
attribuer la plus grande valeur possible à a, calculer ce qu'il manque à ax pour arriver à

N et en déduire la plus grande valeur possible de b. écrire l'équation
(1)
avec les valeurs
trouvées pour a et b. Résoudre cette équation.
▪
Si la solution trouvée pour c est un nombre entier, la combinaison (a, b, c)
trouvée correspond à une décomposition additive de N.
▪

Si cette solution n'est pas un nombre entier, elle ne doit pas être retenue.
Refaire le raisonnement en diminuant de 1 la valeur de b, jusqu'à ce que b = 0. Quand
b = 0, diminuer a de 1 et refaire le raisonnement avec la plus grande valeur possible de
b, puis avec des valeurs de plus en plus petites de b

quand a = 0 et b = 0, résoudre une dernière fois l'équation

conclure en récapitulant toutes les décompositions additives de N
(1)
Exemple :
Trouver les décompositions additives de 17 en utilisant 7, 5 et 3.
Les décompositions additives de 17 peuvent se traduire par l'équation :
17 = 7 x a + 5 x b + 3 x c
avec a, b et c entiers naturels.
La valeur la plus grande de a est 2.
Si a = 2 on a 2 x 7 = 14, il manque 3 pour arriver à 17. La valeur la plus grande de b est 0.
L'équation devient : 2 x 7 + 3 x c = 17 soit 3c = 17 – 14.
La solution de l'équation est c = 1, c'est une solution qui convient car il s'agit d'un nombre entier.
On réitère le procédé en diminuant a de 1. Voici l'ensemble des résultats trouvés :
Valeur de a
Valeur de b
Valeur de c pour que l'égalité
7a + 5b + 3c = 17 soit vérifiée
2
0
c=1
Oui car 1 est un entier
1
2
c=0
Oui car 0 est un entier
1
1
c=
0
3
c=
0
2
c=
5
3
2
3
7
3
0
1
c=4
0
0
c=
17
3
La valeur de c convient-elle ?
Non car
Non car
Non car
17 = 7 + 5 + 5
17 = 5 + 3 + 3 + 3 + 3
n'est pas un entier
n'est pas un entier
n'est pas un entier
Oui car 4 est un entier
Non car
Les décompositions additives de 17 en utilisant 7, 5 et 3 sont donc :
17 = 7 + 7 + 3
5
3
2
3
7
3
17
3
n'est pas un entier