Π = 3, 14159265.... UN NOMBRE SURPRENANT π= p Par définition, le nombre π est le rapport entre la circonférence P d’un cercle et la longueur de son diamètre D. Considérons deux cercles concentriques C et C de rayons respectifs r < R et de périmètres respectifs p et P . Dans chaque cercle nous inscrivons un polygone régulier à n côtés. Ces polygones peuvent être vus comme approchant les cercles. ′ Le périmètre Pn du grand polygone vaut n fois la longueur AB et celle pn du petit polygone vaut n fois la longueur ab. A B a n×AB n×ab AB . ab Le rapport de ces périmètres vaut donc = Rapport qui, d’après le théorème de Thalès, est égal à R . En multipliant de chaque r n = p2nr . Lorsque n devient très grand les côté par 2pnR , nous obtenons 2PR polygones se “confondent” avec les cercles, et donc l’équation précédente devient : p P = = π. 2R 2r b O À l’origine des recherches sur π : Archimède Archimède π= Aire (rayon)2 D Mais pourquoi la valeur de ce rapport ne dépend pas du cercle choisi ? Pn pn Tous les écoliers apprennent : “L’aire du disque vaut pi-erre-deux.” Ce qui se traduit par : La première réponse rigoureuse connue à cette question est due à Archimède (287-212 avant J.-C.). Il est l’un des savants les plus illustres de l’antiquité, connu pour ses travaux théoriques en mathématiques et en physique, mais aussi pour ses réalisations d’ingénieur. Parmi ses travaux citons la détermination des centres de gravité des solides, les calculs rigoureux des volumes des solides de révolution : cône, cylindres, paraboloïde . . . Nous lui devons une étude de la vis infinie dite aussi “vis d’Archimède” et qui sert toujours pour l’extraction de l’eau, ainsi que les lois du levier et de la balance. Il a également étudié la densité des objets et découvert la poussée d’Archimède, qui explique par exemple pourquoi des bateaux en fer peuvent flotter. Il fut tué lors du siège de Syracuse par les troupes du général romain Marcellus. Pourquoi retrouve-t-on encore ce même nombre π ? C’est encore Archimède qui a fourni la première réponse connue. Comme précédemment, inscrivons un polygone régulier à n côtés dans le cercle. Découpons le disque en n secteurs angulaires correspondant aux côtés du polygone et déplions-les de telle sorte que les 1. Coupons la tarte côtés du polygone finissent alignés. L’aire n’a pas changé. Doublons la figure pour la rendre sy2. Doublons la tarte métrique. Nous obtenons un “parallélogramme ondulé”. L’aire de cette dernière surface vaut exactement deux fois l’aire du disque et la longueur de sa base ondulée vaut le périmètre du disque. Quand n granLorsque n devient infini dit, le “parallélogramme ondulé” tend vers un parallélogramme dont la longueur de la base vaut toujours le périmètre et dont la hauteur est égale au rayon du cercle. Comme l’aire d’un parallélogramme est donnée par la formule : Apara = base × hauteur, nous obtenons : Apara = 2πr × r = 2πr2 = 2Adisque donc Adisque = πr2 . La quadrature du cercle Quelle est la place de π parmi les nombres ? Est-ce un entier, un rationnel, un réel ? Cette question remonte au moins à l’antiquité grecque ; elle est liée au fameux problème de la quadrature du cercle : construire à la règle et au compas un carré d’aire égale à l’aire d’un disque donné. Cette question à irrigué les mathématiques de l’Antiquité à la fin du XIXe siècle, et certains problèmes qui lui sont liés font toujours l’objet de recherches. Que π ne soit pas entier a été admis dès l’Antiquité. La première preuve rigoureuse est d’Archimède. Il a fallu attendre la deuxième moitié du XVIIIe siècle pour montrer que π n’est pas quotient de deux entiers (Lambert, 1761). Enfin, en 1882 Lindemann prouve que π est transcendant : il n’annule aucun polynôme à coefficients entiers. Cette propriété implique que la quadrature du cercle est impossible. Il faudra encore attendre la fin du XXe siècle pour trouver un moyen de calculer n’importe quelle décimale de π sans passer par le calcul des précédentes. Lindemann Université de Genève - Section de mathématiques