LE TRANSIT DE VÉNUS DU 8 JUIN 2004

09/2005 National
CORRECTION
Calculatrice interdite
EXERCICE III : LE TRANSIT DE VÉNUS DU 8 JUIN 2004 (5,5 points)
1. Étude des caractéristiques du mouvement de Vénus
1.1. Le référentiel d'étude est le centre d'inertie du Soleil, on le nomme référentiel héliocentrique.
ur
1.2. Appelons F S ®V la force exercée par le Soleil sur Vénus.
uuur
r
SV
Définissons le vecteur unitaire u SV = uuur où S est le centre du Soleil et V le centre de Vénus.
SV
ur
Effectuons le schéma, ensuite nous l'utiliserons pour donner l'expression vectorielle de F S ®V .
r
ur
u SV
F S ®V
S
V
ur
Il faut impérativement utiliser les lettres de l'énoncé, le signe – est
M ´M r
F S ®V = – G . 1 2 2 u SV
.
nécessaire
car le vecteur force est opposé au vecteur unitaire choisi
R2
1.3. D'après la deuxième loi de Newton, appliquée au système Vénus, dans le référentiel héliocentrique
ur
r
considéré galiléen: F S ®V = M2 . a
ur
r
r
M r
F S ®V
Soit a =
donc a = – G . 21 u SV
M2
R2
1.4. Étude théorique de la vitesse orbitale de Vénus
r
r
r
r
dv 2 r v 22 r
.t +
1.4.1. Dans la base de Frenet: a =
.n
avec n vecteur unitaire tel que n = – u SV
R2
dt
r
r
et t vecteur unitaire, orienté dans le sens du mouvement de Vénus et perpendiculaire à n .
dv 2
Le mouvement étant uniforme alors v2 = cte donc
= 0.
dt
r
v2 r
L'expression de l'accélération de Vénus devient a = 2 . n .
R2
r
v2
Caractéristiques du vecteur a : direction : droite (SV), sens de Vénus vers le Soleil, valeur = 2
R2
r
r
r
M r
v2 r
a = – G . 21 u SV = 2 . n
1.4.2.
or n = – u SV
R2
R2
donc
G.
M1
= v22
R2
On retrouve l'expression proposée v2 =
G.M 1
.
R2
1.4.3. ATTENTION, il faut convertir la distance R2 en mètres!!!
6, 6 ´ 10-11 ´ 2, 0 ´ 1030
13, 2 ´1019
1019
v2 =
=
=
13
´
= 3,6´ 108 = 3,6´104 m.s–1
1, 0 ´108 ´103
1, 0 ´1011
1011
1.5. Étude de la période de Vénus
1.5.1. T2 est la durée nécessaire à la planète Vénus pour effectuer un tour complet autour du Soleil.
1.5.2. Un tour complet représente une distance d = 2pR2 qui est parcourue en une durée égale à T2.
2p R2
2p R2
Donc v2 =
, soit T2 =
T2
v2
2p ´ 1, 0 ´ 108 ´103
3, 6 ´104
2p
T2 =
´107 = 1,7´107 s
3, 6
1.6. La 3ème loi de Kepler
là encore attention R2 à exprimer en mètres
T2 =
1.6.1. D'après 1.5.2. T2 =
v2 du 1.4.2. v2 =
Soit T22 =
4p ² R22
G.M1
R2
T22 = 4p²R22.
T22 =
4p ² R23
G.M1
2p R2
4p ² R22
, donc T22 =
expression dans laquelle on introduit l'expression de
v2
v 22
G.M 1
.
R2
R2
G.M1
Finalement on obtient la 3ème loi de Kepler:
T22
4p ²
=
.
3
R2 G.M1
4p ²R23
T22G
2. Exploitation du transit de Vénus
2.1. OE est égale au diamètre du Soleil donc OE = D1 = 1,4´106 km
3
AB = .D1
4
3 ´ 1, 4
4, 2
´106 =
´ 106 = 1,05´106 km
AB =
4
4
donc AB = 1,1´109 m.
A'B'
2.2.1. v1 =
, il faut donc déterminer la distance A'B'.
t AB
1.6.2. M1 =
D'après le théorème de Thalès, appliqué dans le triangle Q1BA, on a
D'autre part, on a Q1B = R1 et Q1B' = Q1B – BB' = R1 – R2
æ R - R2 ö
R - R 2 A'B'
donc 1
=
soit
A'B' = AB. ç 1
÷
R1
AB
è R1 ø
v1 =
v1 =
AB æ R1 - R 2 ö
.ç
÷
t AB è R1 ø
Q
Q1B' A'B'
=
.
Q1B AB
1, 05 ´106 æ 1,5 ´108 - 1,0 ´108 ö 1, 05 ´102 0,5 105 ´ 0,5
52, 5
´ç
´
=
=
= 17,5 km.s–1
÷=
4
8
1,5 ´10
2, 0 ´ 10
2, 0
1,5
3
3
è
ø
On retrouve la valeur proposée v1 » 18 km.s-1.
2.2.2. vT vitesse de la Terre, vT = 30 km.s–1
QQ
vT = 1 2
donc Q1Q2 = vT.tAB
t AB
Q1Q2 = 30 ´ 2,0´104 = 6,0´105 km cette distance parcourue par la Terre n'est pas négligeable face à la
distance AB. (AB = 1,05´106 km).
La Terre ne peut pas être considérée comme étant immobile pendant le transit de Vénus.
2.2.3. On voit bien que A'B" > A'B'. Ce qui explique l'erreur précédente sur la vitesse de Vénus.
B''
B
A