09/2005 National

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CORRECTION
Calculatrice interdite
EXERCICE III : LE TRANSIT DE VÉNUS DU 8 JUIN 2004 (5,5 points)
1. Étude des caractéristiques du mouvement de Vénus
1.1. Le référentiel d'étude est le centre d'inertie du Soleil, on le nomme référentiel héliocentrique.
1.2. Appelons F S V la force exercée par le Soleil sur Vénus.
SV
Définissons le vecteur unitaire u SV =
où S est le centre du Soleil et V le centre de Vénus.
SV
Effectuons le schéma, ensuite nous l'utiliserons pour donner l'expression vectorielle de F S V .
u SV
F S V
S
V
Il faut impérativement utiliser les lettres de l'énoncé, le signe – est
M1  M 2
.
u SV
nécessaire
car le vecteur force est opposé au vecteur unitaire choisi
2
R2
1.3. D'après la deuxième loi de Newton, appliquée au système Vénus, dans le référentiel héliocentrique
considéré galiléen: F S V = M2 . a
M
F S V
Soit a =
donc a = – G . 21 u SV
R2
M2
1.4. Étude théorique de la vitesse orbitale de Vénus
v2
dv 2
1.4.1. Dans la base de Frenet: a =
avec n vecteur unitaire tel que n = – u SV
. + 2 . n
R2
dt
F S V = – G .
et  vecteur unitaire, orienté dans le sens du mouvement de Vénus et perpendiculaire à n .
dv 2
Le mouvement étant uniforme alors v2 = cte donc
= 0.
dt
v2
L'expression de l'accélération de Vénus devient a = 2 . n .
R2
Caractéristiques du vecteur a : direction : droite (SV), sens de Vénus vers le Soleil, valeur =
1.4.2.
donc
a =–G.
G.
v 22
M1
u
.n
SV =
R2
R22
or n = – u SV
M1
= v22
R2
On retrouve l'expression proposée v2 =
G.M 1
.
R2
1.4.3. ATTENTION, il faut convertir la distance R2 en mètres!!!
1019
6,6 1011  2,0 1030
13, 2 1019
13
v2 =
=
=

= 3,6 108 = 3,6104 m.s–1
1011
1,0 108 103
1,0 1011
v 22
R2
1.5. Étude de la période de Vénus
1.5.1. T2 est la durée nécessaire à la planète Vénus pour effectuer un tour complet autour du Soleil.
1.5.2. Un tour complet représente une distance d = 2R2 qui est parcourue en une durée égale à T2.
2 R2
2 R2
Donc v2 =
, soit T2 =
T2
v2
2 1, 0 108 103
là encore attention R2 à exprimer en mètres
3, 6 104
2
T2 =
107 = 1,7107 s
3, 6
1.6. La 3ème loi de Kepler
4 ² R22
2 R2
1.6.1. D'après 1.5.2. T2 =
, donc T22 =
expression dans laquelle on introduit l'expression de
v 22
v2
T2 =
v2 du 1.4.2. v2 =
Soit T22 =
4 ² R22
G.M1
R2
T22 = 4²R22.
T22 =
G.M 1
.
R2
R2
G.M 1
4 ² R23
G.M1
Finalement on obtient la 3ème loi de Kepler:
T22
4 ²

.
3
R2 G.M 1
4 ²R23
T22G
2. Exploitation du transit de Vénus
2.1. OE est égale au diamètre du Soleil donc OE = D1 = 1,4106 km
3
AB = .D1
4
3 1, 4
4, 2
AB =
106 =
106 = 1,05106 km
4
4
donc AB = 1,1109 m.
A'B'
2.2.1. v1 =
, il faut donc déterminer la distance A'B'.
t AB
1.6.2. M1 =
D'après le théorème de Thalès, appliqué dans le triangle Q1BA, on a
Q
1
Q1B' A'B'
=
.
Q1B AB
D'autre part, on a Q1B = R1 et Q1B' = Q1B – BB' = R1 – R2
 R  R2 
R  R 2 A'B'
=
donc 1
soit
A'B' = AB.  1

R1
AB
 R1 
v1 =
v1 =
AB  R1  R 2 
.

t AB  R1 
1,05 106  1,5 108  1,0 108  1,05 10 2 0,5 105  0,5 52,5


=
=
= 17,5 km.s–1
=
1,5
1,5 108
3
2,0 104 
2,0
3

On retrouve la valeur proposée v1  18 km.s-1.
2.2.2. vT vitesse de la Terre, vT = 30 km.s–1
QQ
vT = 1 2
donc Q1Q2 = vT.tAB
t AB
Q1Q2 = 30  2,0104 = 6,0105 km cette distance parcourue par la Terre n'est pas négligeable face à la
distance AB. (AB = 1,05106 km).
La Terre ne peut pas être considérée comme étant immobile pendant le transit de Vénus.
2.2.3. On voit bien que A'B" > A'B'. Ce qui explique l'erreur précédente sur la vitesse de Vénus.
B''
B
A