corrigé 2005

Exercice 1 : Nombres et calculs
Partie 1
1. La valeur approchée à 10 − 2 près par défaut de
2+π
3−π
2
est : A :
B : 3,23
C : 3,24
D : 0,09
E:
3
0,08
2 3
2. Une forme simplifiée de l’expression
(a )
est : A : a 3
a ×a
2
3. La proposition suivante : "Si x 2 = 2 alors x =
B:
a5
a
D : a −1
C : a2
3
2 " est : A : Vraie
B : Fausse
4. La proposition suivante : "Si p est un nombre premier alors p² n’est pas premier" est : A : Vraie
5.
7
75
est un nombre : A : Irrationnel
B : Décimal
C : Décimal non entier
B : Fausse
D : Rationnel non décimal
1.
□A
□B
⊠C
□D
2.
⊠A
□B
□C
□D
3.
□A
⊠B
4.
⊠A
□B
5.
□A
□B
□C
⊠D
□E
Justifications (non demandées) :
1. D’après la calculatrice :
(
) (
2 +π ÷
)
3 − π ≃ − 3,232 donc
− 3, 24
<
2 +π
3−π
<
− 3,23
.
valeur approchée par excès
valeur approchée par défaut
(a )
2 3
2.
a2 × a
=
a 2×3
a 2 +1
=
a6
a3
= a 6−3 = a 3 .
3. Si x 2 = 2 alors x = 2 ou x = − 2 .
4. p 2 = p × p n’est pas un nombre premier car il est divisible par p (il a donc trois diviseurs : 1, p et p 2 ).
7
5.
= 0,09 333 … est un nombre rationnel (quotient de deux nombres entiers) mais il n’est pas décimal car sa partie
75
décimale est infinie.
Partie 2
1. Décomposer les nombres 66 550 et 4 675 en produit de facteurs premiers.
66 550
2. En déduire l’écriture irréductible de la fraction
.
4 675
1. 66 550 = 2 × 33 275 = 2 × 5 × 6 655 = 2 × 52 × 1331 = 2 × 52 × 11× 121 = 2 × 52 × 112 ×11 = 2 × 52 × 113 .
4 675 = 5 × 935 = 52 × 187 = 52 ×11× 17 .
2.
66 550 2× 52 ×112 × 11 2×112 2×121
242
=
=
=
=
.
2
4 675
17
17
17
5 × 11 ×17
Exercice 2 : Géométrie
Sur la figure ci-dessous, ( C ) est un cercle de diamètre [ AB] , C et D sont deux points du cercle ( C ) situés de part et
d’autre de [ AB] , I est le point d’intersection des droites ( AC ) et ( BD ) .
On suppose de plus que : IC = 2,4 cm, BC = 1,8 cm et AD = 3 cm.
I
1. a) Démontrer que les triangles AID et BCI sont semblables.
b) Écrire les rapports de longueurs égaux que l’on peut en déduire.
Calculer alors la longueur ID.
C
2. a) Calculer la longueur IB.
b) En déduire le rayon du cercle ( C ) .
A
B
D
1. a) [ AB] est un diamètre de ( C ) , C et D sont deux points de ( C ) , donc ABC et ABD sont des triangles
rectangles respectivement en C et en D.
Les points D, B, I sont alignés donc ( DI ) ⊥ ( CB ) , et les points A, C, I sont alignés donc ( AI ) ⊥ ( CB ) .
= BCI
= 90° .
On a donc ADI
= CIB
(angles communs aux deux triangles).
De plus AID
= IBC
).
Les triangles AID et BCI ont deux angles égaux 2 à 2 donc ils sont semblables (on a donc IAD
b) D’après la question précédente, on a :
On en déduit que :
dans BCI
 dans AID

D
=
C

.

ɵI
ɵI
=


A
=
B

ID AD IA
=
.
=
IC BC IB
Par conséquent : ID =
AD
3
× IC = × 2,4 donc ID = 4 cm .
BC
1,8
2. a) Dans le triangle BCI rectangle en C, on a : IB2 = IC2 + BC 2 = 2,42 + 1,82 = 9 donc IB = 3 cm .
b) Dans le triangle ADB rectangle en D, on a : AB2 = AD2 + BD 2 , avec BD = ID − IB = 4 − 3 = 1 cm , donc
AB2 = 32 + 12 = 10 , ce qui donne AB = 10 (diamètre du cercle ( C ) ).
Par conséquent, le cercle ( C ) a pour rayon
10
.
2
Exercice 3 : Inéquations et valeurs absolues
1. a) Résoudre l’inéquation suivante : 1000 + 2 x < 460 + 3, 5 x .
b) Une personne a des marchandises à faire transporter.
Un premier transporteur lui demande 460 € au départ et 3,5 € par km parcourus.
Un deuxième transporteur lui demande 1000 € au départ et 2 € par km parcourus.
Pour quelles distances à parcourir est-il plus économique de choisir le 2e transporteur ? Justifier.
b) π 2 − 10 .
2. Écrire les nombres suivants sans valeur absolue. a) 1, 8 − 3 .
3. a) Résoudre l’équation x + 2 = 5 .
b) Résoudre l’inéquation x − 7 < 3 .
1000 + 2 x < 460 + 3,5 x
2 x − 3,5 x < 460 − 1000
− 1,5 x < − 540
− 540
x>
− 1,5
x > 360
1. a)
b) Soit x la distance à parcourir en km.
Le prix du 1er transporteur est 460 + 3,5 x .
Le prix du 2e transporteur est 1000 + 2 x .
Il est plus économique de choisir le 2e transporteur lorsque
1000 + 2 x < 460 + 3,5 x ,
x ∈ ] 360 ; + ∞ ] .
1,7
2. a)
soit pour une distance à parcourir supérieure à 360 km.
1,8
3
1,8 − 3 = 1,8 − 3 car 1,8 > 3 .
5
7
π2
9
b)
π2 − 10 = 10 − π2
2
car 10 > π2 .
3
+5
3
4
3. a)
10
+3
7
10
b)
x + 2 = 5 signifie d ( x ; − 2 ) = 5 .
x − 7 < 3 signifie d ( x ; 7 ) < 3 .
D’après le graphique : x = − 7 ou x = 3 .
D’après le graphique : x ∈ ] 4 ; 10 [
Exercice 4 : Lecture graphique
1. Quelle est l’image de 0 par f ? Quelle est l’image de 1 par f ?
2. a) Donner, si possible, un nombre ayant exactement deux antécédents par f .
b) Donner, si possible, un nombre n’ayant aucun antécédent par f.
3. Dresser le tableau de variations de f .
4. Résoudre graphiquement l’inéquation f ( x ) < 0 .
2
5. a) Représenter sur le graphique la fonction g définie par : g ( x ) = − x − 1 .
3
b) Résoudre graphiquement l’équation f ( x ) = g ( x ) .
y
6
5
3
2
1
3
−4
−2
O
1
4 4,5
2
8
6
10
x
−1
−3
y=−
−5
−6
2
3
x −1
1. L’image de x = 0 par la fonction f est y = f ( 0 ) = 5 . L’image de x = 1 par la fonction f est y = f (1) = 2 .
2. a) Le nombre y = 2 a exactement deux antécédents par f : x = 1 et x = 8 .
b) Le nombre y = − 6 n’a pas d’antécédent par f (car f ( x ) > − 6 ).
3. Tableau de variations de f :
x
4
2
4
6
f (x)
3
5
10
D’autres réponses
Sur l’intervalle
[ − 4;10 ] :
sont possibles.
5
f ( − 2 ) = 6 est le maximum de f .
f ( 4 ) = − 5 est le minimum de f .
4. La courbe représentative de f est en dessous de l’axe des abscisses sur l’intervalle ] 2 ; 6 [ ,
donc f ( x ) < 0 pour x ∈ ] 2 ; 6 [ .
5. a) Voir le graphique ci-dessus.
2
b) La courbe représentative de f et la droite d’équation y = − x − 1 se croisent aux points d’abscisses x = 3 et
3
x = 4,5 donc on a f ( x ) = g ( x ) pour x = 3 ou x = 4, 5 .
Exercice 5 : Fonctions
ABCD est un carré de coté 4 cm.
M est un point de [ AB] , N est un point de [ AD ] tel que AM = DN .
P est le point tel que AMPN soit un rectangle.
D
C
N
On pose AM = x .
P
1. a) A quel intervalle le réel x appartient-il ?
b) Exprimer AN en fonction de x.
c) On note f ( x ) l’aire du rectangle AMPN .
Démontrer que : f ( x ) = 4 x − x 2 .
A
d) Compléter le tableau de valeurs de f ( x ) .
e) Tracer soigneusement la représentation graphique de la fonction f .
M
x
B
4
2. a) Démontrer que : 4 − ( x − 2 ) = f ( x ) .
b) Déterminer par le calcul pour quelle(s) valeur(s) de x, l’aire du rectangle vaut 3 cm².
2
1. a) M ∈ [ AB] et AB = 4 donc x ∈ [ 0 ; 4
]
.
b) AN = AD − DN , avec AD = AB = 4 et DN = AM = x , donc AN = 4 − x .
c) f ( x ) = AM × AN = x ( 4 − x ) = x × 4 − x × x donc f ( x ) = 4 x − x 2 .
d) Tableau de valeurs de f ( x ) (obtenu avec la calculatrice) :
x
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
f (x)
0
1,75
3
3,75
4
3,75
3
1,75
0
e) Représentation graphique de f :
y
2. a)
4,5
4 − ( x − 2)
2
= 4 − ( x2 − 4 x + 4
)
= 4−x + 4x −4
2
= − x2 + 4 x .
4
y = 4 x − x2
On a donc 4 − ( x − 2 ) = f ( x ) .
2
3,5
3
b) Il s’agit de trouver les antécédents de
y = 3 par la fonction f :
2,5
3 = 4 − ( x − 2)
2
2
( x − 2) −1 = 0
( x − 2 + 1) ( x − 2 − 1) = 0
( x − 1) ( x − 3) = 0
2
1,5
1
x − 1 = 0 ou x − 3 = 0
x = 1 ou x = 3
L’aire du rectangle AMPN vaut 3 cm2 pour
0,5
x
O
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
x = 1 ou x = 3 .