Lycée Madeleine Michelis - ECE1 Mathématiques - 2016/2017 Chapitre 1 : Révisions Dans ce chapitre, nous eectuons des révisions concernant les points fondamentaux vus au collège et au lycée. Table des matières 1 Ensemble de nombres 2 2 Calculs avec des fractions 3 3 Développement et factorisation 4 4 Calculs avec des puissances entières d'un nombre réel 5 5 Calcul avec des racines carrées 6 6 Équations 7 7 Inéquations 8 8 La fonction "valeur absolue" 9 5 septembre 2016 - Lycée Madeleine Michelis - PY Madec - [email protected] 1 Lycée Madeleine Michelis - ECE1 1 Mathématiques - 2016/2017 Ensemble de nombres Dénition (Quelques ensembles de nombres) L'ensemble des entiers naturels est : N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; . . .}. L'ensemble des entiers relatifs est : Z = {. . . − 4 ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; . . .}. L'ensemble des nombres décimaux est l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire avec une quantité nie de chires après la virgule. On le note D. Par exemple : 1, 2 ∈ D ; −1, 578 ∈ D ; 3, 333333 ∈ D . . . 1 MAIS = 0, 333333 . . . 6∈ D car il y a une innité de chires après la virgule. 3 L'ensemble des nombres rationnels est l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire a sous la forme avec a dans Z et b dans N \ {0}. On le note Q. b L'ensemble des réels est noté R. Nous n'en donnons pas la dénition ici. Remarque On a la chaîne d'inclusions suivante : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R. On peut représenter la situation par un schéma : Figure 1 Emboîtement des ensembles de nombres Notation (" ∗ ") On note N∗ ou N \ {0} l'ensemble N privé de 0. Ainsi N∗ = N \ {0} = {1 ; 2 ; 3 ; 4 . . .}. Plus généralement, lorsqu'un ensemble a une étoile ∗ en exposant, cela signie qu'on 5 septembre 2016 - Lycée Madeleine Michelis - PY Madec - [email protected] 2 Lycée Madeleine Michelis - ECE1 Mathématiques - 2016/2017 retire 0 de cet ensemble. Ainsi, R∗ = R \ {0}, Z∗ = Z \ {0}, etc. Notation ("R+ " et "R− ") On note R+ l'ensemble des réels positifs : R+ = [0; +∞[. De même R− =] − ∞; 0]. Cette notation est utilisée pour n'importe quel autre ensemble. Par exemple Z+ est l'ensemble des entiers relatifs positifs et Z− est l'ensemble des entiers relatifs négatifs. 2 Calculs avec des fractions Rappelons quelques règles de calculs qu'il est indispensable de connaître. Propriété 1 (Calcul avec des fractions) 0 = 0. a a = a. ∀a ∈ R, 1 a ∀a ∈ R, = −a. −1 a −a a ∀a ∈ R, ∀b ∈ R∗ , = =− . −b b b 1 1 a = a = a. ∀a ∈ R, ∀b ∈ R∗ , b b b ∀a ∈ R∗ , ∀a, b ∈ R∗ , ∀a ∈ R, ∀a, c ∈ R, 1 a b ∀b, k ∈ R∗ , ∀b, d ∈ R∗ , = b . a a a×k = . b b×k a b = a × d. b c c d Démonstration. Admis. Exemple Calculer : A = 2 5 8 7 et B = 3 × 7 . 15 5 septembre 2016 - Lycée Madeleine Michelis - PY Madec - [email protected] 3 Lycée Madeleine Michelis - ECE1 3 Mathématiques - 2016/2017 Développement et factorisation Développer, c'est "enlever les parenthèses", factoriser c'est faire le contraire. 3(x + 1) = 3x + 3 "Développement" 3x + 3 = 3(x + 1) "Factorisation" Propriété 2 (Identités remarquables) 1. Ordre 2 : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 a2 − b2 = (a − b)(a + b) 2. Ordre 3 : (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) Démonstration. Admis. Exemple 1. Développer (1 − x)3 . 2. Développer (5 + 4)2 . 5 septembre 2016 - Lycée Madeleine Michelis - PY Madec - [email protected] 4 Lycée Madeleine Michelis - ECE1 Mathématiques - 2016/2017 3. Factoriser 25 − x2 . 4 Calculs avec des puissances entières d'un nombre réel Dénition (Puissance entière d'un nombre réel) Soit a ∈ R∗ et n ∈ N. On dénit "a puissance n" par : an = a × a × . . . × a si n ≥ 1 ; {z } | n fois a = 1 sinon. L'inverse de an est noté a−n . Autrement dit : 0 a−n = 1 . an Exemple Calculer. 1. (456)1 = . . . 2. (−999999)0 = . . . 3. 33 = . . . Propriété 3 (Calcul avec des puissances entières d'un nombre réel) Soit a et b deux nombres réels non nuls et n et m deux entiers relatifs. am m n m+n 1. a × a = a ; = am−n ; (am )n = am×n an a m am 2. am × bm = (a × b)m ; = . bm b Démonstration. Admis. Exemple Simplier les expressions suivantes. A= 63 × 3−4 × 27 . 122 5 septembre 2016 - Lycée Madeleine Michelis - PY Madec - [email protected] 5 Lycée Madeleine Michelis - ECE1 B= 5 Mathématiques - 2016/2017 18 × 10−5 . 3 × 10−3 Calcul avec des racines carrées Dénition (Racine carrée) Soit a un réel positif (notation : a ∈ R+ ), alors il existe un unique réel positif noté tel que : √ ( a)2 = a. √ Ce nombre a est appelé "racine carrée" de a. √ a Exemple 1. 3 est la racine carrée de 9 car 32 = 9. Autrement dit √ 2. Que vaut 25 ? √ 9 = 3. Propriété 4 (Règles de calculs) √ √ a × b = a × b. r √ a a 2. ∀a ∈ R+ , b ∈ R∗+ , = √ . b b 1. ∀a, b ∈ R+ , √ Démonstration. Admis. 5 septembre 2016 - Lycée Madeleine Michelis - PY Madec - [email protected] 6 Lycée Madeleine Michelis - ECE1 6 Mathématiques - 2016/2017 Équations Dénition (Équation) Une équation est une égalité faisant apparaître une inconnue, généralement notée x. Exemple 7x2 − 3x − 18 = 15 est une équation. ex + ln(x) − 7x + 3+x = 0 est une autre équation. 7 MAIS 3x + 1 n'est pas une équation, 3x + 1 ≤ 0 non plus . . . Méthode (Résolution d'équations) Résoudre une équation, c'est trouver le ou les x qui vérient l'équation, c'est à dire telle que l'égalité est vériée. Ces x là, s'ils existent, sont appelées solutions de l'équation. En général, pour résoudre une équation, on procède par équivalences successives (symbole ⇐⇒). Il n'existe pas de "méthode universelle" qui permettrait de résoudre toutes les équations. Aussi, il faut s'entraîner pour améliorer son intuition face à une équation et acquérir un certain nombre de réexes. Exemple Résoudre l'équation 1 x+1 + = 1. x+2 x Résolution : l'équation n'a de sens que pour x 6= −2 et x 6= 0. 1 x+1 + = 1 ⇐⇒ x+2 x ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ x (x + 1)(x + 2) + =1 x(x + 2) x(x + 2) x + (x + 1)(x + 2) =1 x(x + 2) x + x2 + 2x + x + 2 = x(x + 2) x2 + 4x + 2 = x2 + 2x ⇐⇒ 2x = −2 ⇐⇒ x = −1. Nous trouvons donc une seule solution. Nous pouvons donc écrire que l'ensemble des solutions, noté S , est : S = {−1}. 5 septembre 2016 - Lycée Madeleine Michelis - PY Madec - [email protected] 7 Lycée Madeleine Michelis - ECE1 Mathématiques - 2016/2017 Remarque Attention à bien distinguer équivalence (symbole "⇐⇒") et implication (symboles "=⇒" ou "⇐="). Par exemple "Il est malade" =⇒ "Il ne viendra pas". "J'ai eu un accident" ⇐= "J'ai grillé un feu rouge". ∀a, b ∈ R, (ab = 0) ⇐⇒ (a = 0 ou b = 0). 7 Inéquations Rappelons qu'il existe quatre signes d'inégalités : ≤ < ≥ > "inférieur ou égal" "inférieur strict" "supérieur ou égal" "supérieur strict" Dénition (Inéquation) Une inéquation est une inégalité faisant apparaître une inconnue, généralement notée x. Exemple 3 ex − x > 1 7 0≤x 47 + x ≥ 3x2 + ln(x) Méthode (Résolution d'inéquations) Résoudre une inéquation, c'est trouver les x qui vérient l'inégalité. Comme pour les équations, on procède généralement par équivalences successives. On rappelle les règles de calculs élémentaires pour manipuler les inégalités. Propriété 5 (Règles de calculs pour les inégalités) ∀x, y, ∀k ∈ R, (x ≤ y) ⇐⇒ (x + k ≤ y + k) "conservation du signe" Si k > 0, (x ≤ y) ⇐⇒ (kx ≤ ky) "conservation du signe" Si k < 0, (x ≤ y) ⇐⇒ (kx ≥ ky) "changement de signe" 5 septembre 2016 - Lycée Madeleine Michelis - PY Madec - [email protected] 8 Lycée Madeleine Michelis - ECE1 Mathématiques - 2016/2017 Démonstration. Admis. Remarque Ces règles valent aussi pour les trois autres signes d'égalité : "<", "≥" et ">". L'important est de retenir dans quelles conditions on conserve ou on change le signe d'une inéquation. Exemple Résoudre l'inéquation −3(x + 7) ≥ 4x + 1 8 La fonction "valeur absolue" Dénition (Valeur absolue) La fonction "valeur absolue" f est la fonction qui à tout réel x associe le réel noté |x| tel que ( x si x ≥ 0, −x si x < 0. | − 3, 5| = |3 − f (x) = |x| = Exemple Calculer : |7| = √ 8| = |6 − 2π| = x ∈ R, |2 − x| = Figure 2 Représentation graphique de la fonction f (x) = |x| 5 septembre 2016 - Lycée Madeleine Michelis - PY Madec - [email protected] 9 Lycée Madeleine Michelis - ECE1 Mathématiques - 2016/2017 Remarque Le graphique le montre bien : la valeur absolue est toujours positive. Propriété 6 (Parité) ∀x ∈ R, |x| = | − x|. Démonstration. Remarque (Interprétation géométrique) La valeur absolue de la diérence entre deux nombres, par exemple a et b s'interprète comme la distance entre a et b. Par exemple |5 − 4| = 1 est la distance entre 5 et 4. Vérions que la distance entre 4 et 5 est la même qu'entre 5 et 4 : |4 − 5| = | − 1| = 1. Propriété 7 ∀x, y ∈ R, |xy| = |x||y|. x |x| ∀x ∈ R, ∀y ∈ R∗ , = . y |y| Démonstration. Admis. Exemple | − 5 × 3| = |4 × (−7)| = −3 −7 = Propriété 8 (Inégalité triangulaire) ∀x, y ∈ R, |x + y| ≤ |x| + |y|. Démonstration. Admis. 5 septembre 2016 - Lycée Madeleine Michelis - PY Madec - [email protected] 10 Lycée Madeleine Michelis - ECE1 Mathématiques - 2016/2017 Exemple |3 − 5| ≤ ∀x ∈ R, |x + 5| ≤ |2 − x| ≤ Propriété 9 Soit x un réel et M un réel positif. |x| ≤ M ⇐⇒ −M ≤ x ≤ M . |x| > M ⇐⇒ x > M ou x < −M . Démonstration. Admis. Exemple |y − 3| ≤ 15 ⇐⇒ −15 ≤ y − 3 ≤ 15 ⇐⇒ −12 ≤ y ≤ 18. Faire la même chose avec |5 − x| ≤ 10. Fin du chapitre 5 septembre 2016 - Lycée Madeleine Michelis - PY Madec - [email protected] 11