DM n°5 : trois méthodes fondamentales d’algèbre et d’analyse Consigne : avant de répondre aux questions 1 à 8, écrire clairement si la question est : – un calcul ; – une équation ; – une démonstration d’identité. On définit sur R une fonction g : x 7→ 2(x + 1)2 − 8 1. Montrer que pour tout x ∈ R, g(x) = 2(x + 3)(x − 1) d’une part, 2(x + 1)2 − 8 = 2(x2 + 2x + 1) − 8 = 2x2 + 4x + 2 − 8 = 2x2 + 4x − 6 d’autre part, 2(x + 3)(x − 1) = 2(x2 − x + 3x − 3) = 2(x2 + 2x − 3) = 2x2 + 4x − 6 Cela permet de conclure que g(x) = 2(x + 3)(x − 1) pour tout nombre réel x Cette question est une démonstration d’identité. 2. Calculer g(−3) g(−3) = 2(−3 + 3)(−3 − 1) = 0 Cette question est un calcul ; on a le choix de l’expression de g. 3. Résoudre g(x) = 0 g(x) = 0 ⇐⇒ 2(x + 3)(x − 1) = 0 ⇐⇒ x + 3 = 0 ou x − 1 = 0 ⇐⇒ x = −3 ou x = 1 Cette question est une résolution d’équation ; équation type « produit nul » ici. 4. Vérifier que pour tout x ∈ R, g(x) = 2x2 + 4x − 6 On l’a déjà vérifié dans les calculs faits à la question 1. Cette question est une démonstration d’identité. 5. Résoudre g(x) = −6 g(x) = −6 ⇐⇒ 2x2 + 4x − 6 = −6 ⇐⇒ 2x2 + 4x = 0 ⇐⇒ 2x(x + 2) = 0 Ainsi, g(x) = −6 ⇐⇒ x = 0 ou x + 2 = 0 ⇐⇒ x = 0 ou x = −2 Cette question est une résolution d’équation ; par des transformations algébriques, on s’est ramené à une équation type « produit nul ». 6. Calculer g(0) g(0) = 2 × 02 + 4 × 0 − 6 = −6 Cette question est un calcul ; on a le choix de l’expression de g. 7. Déterminer l’image de -1 En d’autres termes, on demande g(−1) : g(−1) = 2(−1 + 1)2 − 8 = −8 Cette question est un calcul ; on a le choix de l’expression de g. 8. Résoudre g(x) = −8 g(x) = −8 ⇐⇒ 2(x + 1)2 − 8 = −8 ⇐⇒ 2(x + 1)2 = 0 ⇐⇒ x + 1 = 0 ⇐⇒ x = −1 Cette question est une résolution d’équation ; il faut choisir la forme la plus adaptée pour la résoudre. 9. Dans un repère que vous tracerez avec des abscisses allant de -5 à +3, représenter la fonction g. NB : à vous de bien choisir l’échelle. Papier millimétré conseillé : vous pouvez en imprimer depuis mon site. DM n°6 : utiliser et rédiger correctement avec les vecteurs Consigne : l’objectif principal de ce DM est de travailler votre rédaction avec l’outil « vecteur ». La plupart des questions contiennent les réponses : on attend donc des compétences de méthodes, de raisonnement, de calcul ; on ne se contente pas de recherche intuitive. Être efficace : lorsque vous avez correctement rédigé l’application d’une méthode, vous pouvez, si vous l’utilisez à nouveau, donner directement les résultats (par exemple issus d’algorithme de votre calculatrice) Énoncé : On se place dans un repère orthonormé (O;~i; ~j) ci-contre. Les abscisses y sont classiquement notées x, les ordonnées y. Quatre points sont définis par leurs coordonnées A, B, C et D. Questions : 1. Montrer que le quadrilatère ABDC n’est pas un parallélogramme, puis déterminer par le calcul les coordonnées de E tel que ABEC est un parallélogramme. Preuve de : ABDC n’est pas un parallélogramme : −→ −−→ ABDC est un parallélogramme ⇐⇒ AB = CD −→ −−→ Or, AB a pour coordonnées 65 − (−11) ; 42 − (−34 = (76 ; 76) et CD a pour coordonnées 11 − (−66) ; 98 − 21 = (77 ; 77) : ces deux vecteurs ne sont pas égaux, ce qui prouve que ABDC n’est pas un parallélogramme. Recherche des coordonnées du point E : −→ −−→ ABEC est un parallélogramme ⇐⇒ AB = CE −−→ le vecteur CE a pour coordonnées : xE − (−66) ; yE − 21 On a donc les deux équations : xE + 66 = 76 et yE − 21 = 76 ce qui donne au final E(10 ; 97) 2. Montrer que ABDC est un trapèze, et préciser quelles en sont les deux bases (c’est-àdire les côtés parallèles). −→ −−→ ABDC est un trapèze de bases [AB] et [CD] ⇐⇒ (AB)//(CD) ⇐⇒ AB et CD sont colinéaires −→ −−→ −→ Or, AB(76 ; 76) et CD(77 ; 77) : on passe des coordonnées du vecteur AB à celles du −−→ 77 vecteur CD en multipliant par . 76 remarque : il y a d’autres manières de voir que ces vecteurs sont colinéaires entre eux ; la plus simple est peut être de remarquer qu’ils sont tous deux colinéaires au vecteur de coordonnées (1 ; 1). [ est un angle droit. 3. Montrer que l’angle BAC On va pour cela utiliser la réciproque du théorème de Pythagore ; on a besoin de connaître les longueurs AB, BC et AC ; on détaille le calcul pour l’une d’elles : p √ √ √ AB = (65 − (−11))2 + (42 − (−34))2 = 762 + 762 = 5776 + 5776 = 11 552 √ √ On trouve ensuite : BC = 17 602 et AC = 6 050 Ainsi, BC 2 = 17 602 et AC 2 + AB 2 = 6 050 + 11 552 = 17 602 : par la réciproque du théorème de Pythagore, on conclut que le triangle ABC est rectangle en A, autrement [ est un angle droit. dit, que l’angle BAC 4. Montrer que l’aire du trapèze ABDC est égale à 8415 (dans l’unité d’aire du repère). Base + base ×h 2 √ √ Ici, la grande base est [CD] ; elle a pour longueur 2 × 772 = 77 2 √ √ La petite base est [AB] ; elle a pour longueur 2 × 762 = 76 2 On trouve la formule : Atrapeze = Comme il y a un angle√droit en A (question précédente), la hauteur du trapèze est la √ longueur AC qui vaut 2 × 552 = 55 2 Ainsi, √ √ √ √ 2 √ √ 77 2 + 76 2 143 2 2 ×55 2 = ×55 2 = 143×55× = 153×55 = 8 415 Atrapeze = 2 2 2 L’aire du trapèze ABDC est exactement égale à 8 415 unités d’aire. NB : vous chercherez et trouverez facilement l’aire d’un trapèze. Coupe de pouce : Quel que soit le nombre x positif : √ x2 + x2 = √ √ 2x2 = x 2