PC* Espaces des fonctions continues admettant 2π comme période

Séries de Fourier
PC*
Espaces des fonctions continues admettant 2π comme période
On note C2π cet espace. Un élément f de cet ensemble est entièrement déterminé
par sa restriction à un intervalle de longueur 2π .
∀α ∈ R, ∀f ∈ C2π , f ([α, α + 2π]) = f ([0, 2π]) = f (R)
Première norme de C2π
L'application f 7→ sup |f | = ||f ||[0,2π]
est une norme de C2π .
∞
[0,2π]
On la note plus simplement ||f ||∞ .
Exemples : pour tout n de Z on note en : t 7→ eint = (eit )n . ||en ||∞ = 1.
De même montrer que g : t 7→ cos(t) + sin(t) est élément de C2π et calculer ||g||∞ .
C2π est un espace préhibertien
Le produit scalaire de cet espace est déni par :
∀(f, g) ∈
2
C2π
,
1
⟨f, g⟩ =
2π
√
La norme associée est ||f ||2 =
1
2π
∫
2π
∫
2π
f (t)g(t)dt
0
|f (t)|2 dt. On a toujours ||f ||2 ≤ ||f ||∞ .
0
Remarque : Comment s'exprime l'inégalité de Cauchy-Schwarz ? Soit f ∈ C2π telle
que ∀t ∈ [−π, π], f (t) = |t| ; calculer ∥f ||2 .
Autre question : ces deux normes sont-elles équivalentes ? Mais quelle est la dénition de deux normes équivalentes ?
Une famille orthonormale
1
∀(n, p) ∈ Z , ⟨en , ep ⟩ =
2π
∫
2
2π
e−int eipt dt = δn,p
0
Cette famille est donc libre. En particulier, si p ∈ N, l'espace V ect(ep , e−p+1 , ..., e1 , e0 , e1 , ..., ep )
est un espace de dimension 2p + 1. On le note Pp .
On remarque que P0 ⊂ P1 ⊂ ... ⊂ Pp ⊂ Pp+1 ⊂ ....
Montrer par exemple que la fonction t 7→ cos(t) + 2 sin(3t) est élément de P3 .
Polynômes trigonométriques
Une fonction f est un polynôme trigonométrique si il existe un entier N ∈ N tel que
f ∈ PN . Autrement dit : f est un polynôme trigonométrique ssi il existe N ∈ N et
des scalaires (αk )−N ≤k≤N ∈ C
2N +1
tels que ∀t ∈ R, f (t) =
N
∑
αk eikt .
k=−N
Projection orthogonale sur Pp
Soit f ∈ C2π . Comme on a une base orthonormale de Pp , le projeté orthogonal de f
sur Pp est Sp (f ) =
k=p
∑
⟨ek , f ⟩ ek . C'est le polynôme trigonométrique de Pp le plus
k=−p
1
Séries de Fourier
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proche de f pour la norme 2.
Coecients de Fourier de f
Notations classiques
1
∀f ∈ C2π , ∀n ∈ Z, ⟨en , f ⟩ = cn (f ) = fˆ(n) =
2π
∫
2π
e−int f (t)dt
0
Exemple : calculer les coecients de Fourier de la fonction f ∈ C2π vériant
f (t) = |t| pour tout t ∈ [−π, π]
Remarque importante : dans le calcul des coecients de Fourier on est amené à
calculer des intégrales de fonctions 2π -périodiques sur un intervalle de longueur 2π .
Le résultat ne dépend pas de l'intervalle de longueur 2π choisi. On prendra donc un
intervalle sur lequel la fonction est explicitement connu.
pour toute fonction F , c.p.m., 2π -périodique, ∀α ∈ R,
∫
∫
2π
α+2π
F (t)dt =
0
F (t)dt
α
Série de Fourier de f
Sp (f ) peut s'interpréter comme la somme partielle d'orde p d'une série de fonctions
dénie par :
∀k ∈ N∗ , gk = c−k (f )e−k +ck (f )ek
et g0 = c0 (f )e0 ,
fonction constante égale à c0 (f )
p
∑
(
)
c−k (f )e−ikt + ck (f )eikt .
∀p ∈ N, ∀t ∈ R, Sp (f )(t) = c0 (f ) +
Cette série de fonctions,
abus d'écriture
∑
∑
k=1
gk , est appelée série de Fourier de f . On la note par
ck (f )ek
k∈Z
Convergence quadratique
Convergence pour la norme 2 dans C2π
Théorème :
Soit f fonction de R dans C, continue, 2π -périodique.
On note, pour tout p ∈ N, Sp (f ) la somme partielle de sa série de Fourier.
∀p ∈ N, Sp (f ) =
p
∑
ck (f )ek où ek : t 7→ eikt .
k=−p
a) La série de Fourier de f converge vers f pour la norme 2 (convergence
quadratique) c.a.d. lim ||Sp (f ) − f ||2 = 0.
b)
1
2π
∫
p→+∞
2π
|f (t)|2 dt = ||f ||22 =
0
+∞
∑
|ck (f )|2 (égalité de Parseval)
−∞
2
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◦ Pour démontrer ce théorème on utilise la possibilité d'approcher uniformément
à ε près une fonction de C2π par un polynôme trigonométrique. C'est le théo-
rème de ...
◦ La formule de Parseval est une conséquence du théorème de Pythagore et d'un
passage
à la limite. En utilisant la fonction égale à t2 sur [−π, π], retrouvez
∑
4
1/n ...
M
Fonctions de C2π
Pour des fonctions continues par morceaux 2π -périodiques on peut calculer les coefcients de Fourier. On n'a plus un produit scalaire mais certaines propriétés restent.
M
Soit f ∈ C2π
1
Pour tout n ∈ Z on note, cn (f ) = fˆ(n) =
2π
∫
2π
e−int f (t)dt
0
Pour de telles fonctions on a :
∀f ∈
M
C2π
,
∫ 2π
+∞
∑
1
2
|ck (f )| =
|c−k (f )| +
|c0 (f )| +
|f (t)|2 dt
2π 0
k=1
k=1
∀f ∈
2
+∞
∑
M
C2π
, ∀p
2
k=p
∑
1
|ck (f )| ≤
∈ N,
2π
k=−p
∫
2π
|f (t)|2 dt
2
(Formule de Parseval)
(Inégalité de Bessel)
0
Propriétés des coecients de Fourier
∑
∑
M
◦ ∀f ∈ C2π
les deux séries
|ck (f )|2 et
|c−k (f )|2 sont convergentes.
En particulier lim |ck (f )| = lim |c−k (f )| = 0.
k→+∞
k→+∞
◦ ∀(f, g) ∈
, ∀α ∈ C, ∀k ∈ Z
f\
+ αg(k) = ck f + αg = fˆ(k) + αĝ(k) = ck (f ) + αck (g)
M 2
(C2π
)
M
◦ Si f ∈ C2π
et si a ∈ R, la fonction g dénie par ∀t ∈ R, g(t) = f (t + a) vérie :
∀k ∈ Z, ck (g) = eika ck (f ).
◦ Si f est continue, 2π -périodique, de classe C 1 par morceaux
∀k ∈ Z, ck (f ′ ) = (ik)ck (f )
Quel résultat obtient-on pour une fonction de classe C N et C N +1 par morceaux ? Que peut-on en déduire pour les coecients de Fourier de f ? Et si f
est C ∞ ?
◦ Si f et g sont deux éléments de C2π (donc continues)
f = g ⇔ ∀k ∈ Z, ck (f ) = ck (g)
◦
+∞
∑
1
ck (f )ck (g) =
∀(f, g) ∈ (C2π ) , ⟨f, g⟩ =
2π
k=−∞
2
3
∫
2π
f (t)g(t)dt
0
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Les grands théorèmes de convergence ponctuelle
Attention les résultats sont exprimés en utilisant également les coecients de Fourier trigonométriques. (cf. formulaire à part).
Convergence normale de la série de Fourier
Théorème :
Soit f fonction de R dans C, continue, 2π -périodique, de classe c1 par morceaux.
1. La série de Fourier de f converge normalement sur R vers f
2. Pour tout t réel :
f (t) =
+∞
∑
a0 (f ) ∑
+
(an (f ) cos(nt) + bn (f ) sin(nt))
2
n=1
+∞
cn (f )eint =
−∞
Reprenez le formulaire pour pouvoir passer rapidement de l'expression des cn (f ) à
celle des an (f ) et bn (f ) (et réciproquement).
Convergence simple de la série de Fourier
Théorème : (Théorème de Dirichlet)
Soit f fonction de R dans C, continue par
périodique, de classe C 1 par morceaux.
1. La série de Fourier de f converge simplement sur R.
2. Pour tout x réel :
morceaux
,
2π -
f (x+ ) + f (x− ) ∑
a0 (f ) ∑
=
cn (f )einx =
+
(an (f ) cos(nx) + bn (f ) sin(nx))
2
2
−∞
n=1
+∞
+∞
◦ Attention : quel est le sens de f (x+ ) ? de f (x− ) ?
◦ En un point où f est continue, quelle est alors la somme de la série de Fourier ?
π−t
M
dénie par f (0) = 0 et, ∀t ∈]0, 2π[, f (t) =
. Déterminer
◦ Soit f ∈ C2π
2
sa série de Fourier. Préciser le mode de convergence. Écrire quelques égalités
particulières. Parseval ?
4