Résumé de géométrie élémentaire

Résumé de géométrie élémentaire
1
1.1
2
2.1
Angles
Triangles
Somme des angles
Vocabulaire
γ
é
côt
α + β + γ = 180◦
α
β
sommet
côt
é
2.2
Égalité de deux triangles
Deux figures sont dites égales si elles sont superposables par un déplacement ou par un retournement. (Notion déjà utilisée ci-dessus dans le cas des angles.)
angle nul angle aigu
angle droit
angle obtus
angle plat
Soient (ABC) et (A′ B ′ C ′ ) deux triangles. S’ils sont égaux, avec superposition A → A′ , B → B ′ ,
b=A
b′ , B
b=B
b′, C
b=C
b′ .
C → C ′ , alors on a les six égalités AB = A′ B ′ , AC = A′ C ′ , BC = B ′ C ′ , A
Cependant, trois d’entre elles bien choisies sont suffisantes pour avoir égalité des triangles ; dans
ce cas, les trois autres seront vérifiées automatiquement :
B′
angles supplémentaires
C
angles complémentaires
C′
Si AB = A′ B ′ , AC = A′ C ′ et BC = B ′ C ′ ,
alors les deux triangles sont égaux
b=A
b′ , B
b=B
b′, C
b=C
b′ ).
(et donc A
C′
b=A
b′ ,
Si AB = A′ B ′ , AC = A′ C ′ et A
alors les deux triangles sont égaux
b=B
b′, C
b=C
b′ ).
(et donc BC = B ′ C ′ , B
C′
b=A
b′ et B
b=B
b′,
Si AB = A′ B ′ , A
alors les deux triangles sont égaux
b=C
b′ ).
(et donc AC = A′ C ′ , BC = B ′ C ′ , C
Critère CCC
1.2
A
Cas d’égalité de deux angles
B
A′
B′
C
Critère CAC
angles opposés
A
angles correspondants
B
A′
B′
C
Critère ACA
A
angles alternes-internes
angles alternes-externes
1
B
A′
2
Attention !
— Le critère CAC exige que l’angle soit celui formé par les deux côtés.
— Par contre, le critère ACA n’exige rien de tel (car si deux angles se correspondent, les
troisièmes se correspondent aussi).
— Il n’y a pas de « critère AAA » (considérer un triangle et son agrandissement).
2.3
Les trois médiatrices d’un triangle (ABC) sont concourantes en un point O :
C
O
Triangles particuliers
A
B
A
b=C
b
AB = AC ⇐⇒ B
isocèle en A
B
C
A
b=B
b=C
b ⇐⇒ A
b=B
b = 60◦
AB = AC = BC ⇐⇒ A
équilatéral
B
C h
yp
C
ot
rectangle en A
A
én
us
e
Dès lors, OA = OB = OC, donc O est le centre d’un cercle passant par A, B, C, appelé
cercle circonscrit au triangle (ABC).
— La bissectrice d’un angle est la demi-droite issue de son sommet qui partage l’angle en
deux angles égaux.
Un point du secteur angulaire se trouve sur la bissectrice d’un angle si et seulement s’il est
équidistant 1 de ses côtés :
b = 90◦ ⇐⇒ BC 2 = AB 2 + AC 2 (Pythagore)
A
B
Les trois bissectrices d’un triangle (ABC) sont concourantes en un point I :
2.4
C
Droites remarquables
I
A
médiatrice
bissectrice
hauteur
médiane
— La médiatrice d’un segment [AB] est la perpendiculaire passant par son milieu.
Un point P du plan se trouve sur la médiatrice de [AB] si et seulement si P A = P B :
B
Dès lors, I est équidistant de [AB], [AC], [BC], donc I est le centre d’un cercle tangent à
[AB], [AC], [BC], appelé cercle inscrit au triangle (ABC).
— Une hauteur d’un triangle est la droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point H appelé orthocentre
de ce triangle :
P
A
H
B
1. La distance d’un point à une (demi-)droite se mesure perpendiculairement à celle-ci.
3
4
— Une médiane d’un triangle (ABC) est la droite passant par un sommet et par le milieu
du côté opposé. Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point G appelé
centre de gravité de ce triangle :
C
3
3.1
Généralités
A′
B′
G
quadrilatère convexe
A
B
C′
De plus, G est situé « aux deux tiers » sur chacune des médianes, c’est-à-dire
AG
2
=
AA′
3
Quadrilatères
BG
2
=
BB ′
3
CG
2
=
CC ′
3
quadrilatère non convexe
et non croisé
quadrilatère croisé
Dans la suite, tous les quadrilatères seront supposés convexes.
Somme des angles d’un quadrilatère :
(où A′ est le milieu de [BC], B ′ celui de [AC] et C ′ celui de [AB]).
δ
2.5
α
Cercle circonscrit à un triangle rectangle
3.2
A
α + β + γ + δ = 360◦
γ
β
Parallélogrammes
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
B
C
Les propriétés suivantes sont équivalentes pour un quadrilatère :
(P1 )
les côtés opposés sont parallèles
(P2 )
les côtés opposés sont égaux
A se trouve sur le cercle de diamètre [BC] ⇐⇒ (ABC) est rectangle en A
(P12 )
deux côtés opposés sont parallèles et égaux
(P3 )
les angles opposés sont égaux
(P4 )
les angles consécutifs sont supplémentaires
(P5 )
les diagonales se coupent en leur milieu
Il suffit donc de montrer l’une de ces six propriétés pour en conclure qu’un quadrilatère est un
parallélogramme (et qu’il possède donc également les cinq autres propriétés).
5
6
3.3
Losanges
4
Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux.
4.1
Similitude et théorème de Thalès
Triangles semblables
Les conditions suivantes sont équivalentes pour un quadrilatère :
(L1 ) les quatre côtés sont égaux.
(L2 ) c’est un parallélogramme et deux côtés consécutifs sont égaux.
(L3 ) c’est un parallélogramme et les diagonales sont perpendiculaires.
Il suffit donc de montrer l’une de ces trois propriétés pour en conclure qu’un quadrilatère est un
losange.
3.4
Deux figures sont dites semblables si l’une d’elles est égale à un agrandissement (ou une réduction)
de l’autre.
Soient (ABC) et (A′ B ′ C ′ ) deux triangles. S’ils sont semblables, avec superposition A → A′ , B → B ′ ,
′C′
′C′
′ B′
b=A
b′ , B
b=B
b′, C
b=C
b′ :
= AAC
= BBC
,A
C → C ′ , alors on a les égalités AAB
B′
Rectangles
C
Un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont droits.
Les conditions suivantes sont équivalentes pour un quadrilatère :
(R1 ) ses quatre angles sont droits.
(R2 ) c’est un parallélogramme et l’un des angles est droit.
(R3 ) c’est un parallélogramme et les diagonales sont égales.
Il suffit donc de montrer l’une de ces trois propriétés pour en conclure qu’un quadrilatère est un
rectangle.
A
La valeur commune des rapports
(ABC) et (A′ B ′ C ′ ).
C′
B
A′ B ′ A′ C ′
, AC
AB
A′
et
B′C ′
BC
est le rapport de similitude entre les triangles
Cependant, deux égalités bien choisies parmi les cinq ci-dessus sont suffisantes pour avoir similitude
des triangles ; dans ce cas, les autres seront vérifiées automatiquement :
Remarque : dans la propriété (R1 ), il suffit de demander que trois des angles soient droits.
′
′
′
′
′
′
Critère CCC
B
C
C
Si AAB
= AAC
= BBC
,
alors les deux triangles sont semblables
b=A
b′ , B
b=B
b′, C
b=C
b′ ).
(et donc A
Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un losange et un rectangle.
Critère CAC
′C′
′B′
b=A
b′ ,
= AAC
et A
Si AAB
alors les deux triangles sont semblables
′C′
′C′
b=B
b′, C
b=C
b′ ).
(et donc AAC
= BBC
,B
Il suffit donc de montrer
— l’une des trois propriétés (L1 )–(L3 )
— et l’une des trois propriétés (R1 )–(R3 )
pour en conclure qu’un quadrilatère est un carré.
Critère AA(A)
b=A
b′ et B
b=B
b′,
Si A
alors les deux triangles sont semblables
′B′
′C′
′C′
b=C
b′ ).
(et donc AAB
= AAC
= BBC
,C
3.5
Carrés
Attention !
— Le critère CAC exige que l’angle soit celui formé par les deux côtés.
— Dans le critère AA(A), l’égalité pour deux des angles suffit.
De ce fait, il n’y a pas de « critère ACA » (une information sur un côté étant dans ce cas
inutile).
7
8
4.2
Théorème de Thalès
On donne :
— D, D ′ deux droites sécantes en O,
— A, B deux points de D (distincts de O),
— A′ , B ′ deux points de D ′ (distincts de O) :
On suppose que l’on est dans l’un des deux cas de figure suivants :
B
D
D
A
B′
A
O
O
B
D′
B′
A′
A′
D′
A, B de part et d’autre de O sur D
A′ , B ′ de part et d’autre de O sur D ′
A, B du même côté de O sur D
A′ , B ′ du même côté de O sur D ′
Alors
(AA′ )//(BB ′ )
4.3
⇐⇒
OB ′
OB
=
OA
OA′
⇐⇒
OB
BB ′
=
OA
AA′
⇐⇒
OA
OA′
= ′ ′
AB
AB
Cas particulier : théorème de la droite des milieux
On donne :
— un triangle (OBB ′ ),
— un point A sur le côté [OB],
— un point A′ sur le côté [OB ′ ].
1er théorème
2ème théorème
Si A est milieu de [OB]
et si A est milieu de [OB ′ ],
O
Si A est milieu de [OB]
et si (AA′ ) est parallèle à (BB ′ ),
O
A
B
A′
A
B
B′
alors (AA′ ) est parallèle à (BB ′ ).
—
—
A′
B′
alors A′ est milieu de [OB ′ ].
9