TRAVAUX DIRIGES No. 1, JEUDI 15 SEPTEMBRE 2016

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TRAVAUX DIRIGES No. 1, JEUDI 15 SEPTEMBRE 2016
EXERCICE No. 22
Une particule de masse m, de vitesse initiale v0 , se déplace verticalement de
haut en bas, sous l’action de l’accélération de la pesanteur g. On se place dans le
~ = −km~v où k est une
cas où cette particule est soumise à une résistance de l’air R
constante. On repère la particule par sa coordonnée z avec z = 0 à l’instant initial
t = 0 . On choisira l’axe (O, ~z) dirigé vers le bas.
(1) Déterminer
(a) La vitesse v de la particule à l’instant t.
(b) La vitesse limite Vl de la particule lors de son mouvement descendant.
(2) Donner l’équation exprimant la coordonnée verticale z en fonction de t.
(3) A quel instant la particule atteint-elle sa vitesse limite à 1% près ? Quelles sont
alors son accélération et la distance z de parcours ?
(4) Répondre numériquement aux questions précédentes.
Données numériques
g = 9, 81m/s2
; k = 25s−1;
v0 = 10cm/s
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EXERCICE No. 23
Une petite sphère de plomb P de masse m, est envoyée, vers le haut, à partir
d’un point origine O correspondant à z = 0 (l’axe (O, z) étant pris dirigé vers le
haut), avec une vitesse intiale v0 , à l’ instant t = 0. Elle est soumise durant sa chute
~ opposée au mouvement de P et proportionnelle
rectiligne à une résistance de l’air R,
au carré de la vitesse v de P , d’après la loi suivante :
~ = −kmv 2~n
R
où ~n est le vecteur unitaire selon le sens du mouvement. On pose : λ =
q
g/k où g
est l’accélération de la pesanteur.
(1)
(a) Ecrire les expressions de la vitesse v et de la distance parcourue z en fonction
du temps t, au cours du mouvement ascendant de la sphère P .
(b) En déduire l’altitude maximale zmax atteinte par P . Quelle serait cette altitude maximale en l’absence de résistance de l’air ? Comparer.
(2)
(a) Ecrire les expressions de la vitesse v et de l’espace parcouru z en fonction de
t, au cours du mouvement descendant.
(b) Quelle est, en fonction de v0 et λ , la vitesse v0′ de P lorsqu’elle repasse au
point O ? Calculer v ′ 0 lorsque la vitesse initiale v0 est égale à la vitesse limite de
chute du projectile.
(3) Appliquer numériquement les résultats précédents, avec : k = 2 × 10−3 m−1 ;
g = 9, 81m/s2 ; v0 = 100m/s