R EVUE FRANÇAISE D ’ INFORMATIQUE ET DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE I OAN T OMESCU Sur l’algorithme matriciel de B. Roy Revue française d’informatique et de recherche opérationnelle, tome 2, no R1 (1968), p. 87-91 <http://www.numdam.org/item?id=M2AN_1968__2_1_87_0> © AFCET, 1968, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Revue française d’informatique et de recherche opérationnelle » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ R.I.R.O. (2e année, N° 7, 1968, p. 87-91) SUR L'ALGORITHME MATRICIEL DE B. ROY Ioan TOMESCU 0) Résumé. — Le but de cet article est celui de généraliser Valgorithme matriciel de B. Roy, proposé dans [1], [2] pour la détermination de la pi-fermeture d'un graphe fini au cas des matrices aux éléments dans un semi-groupe à ordre semi-réticulaire. Dans ce qui suit l'on considère un semi-groupe à ordre semi-réticulaire, c'est-à-dire un ensemble S muni de deux lois de composition o et A qui satisfont aux axiomes : l)aob = boa. 2)ao(boc) = (aob)oc. 4) a A b = b A a. 5) a A (& A c) = (a A b) A c. 6) a A a = a. 7) a o (b A c) = ( â i o i ) A (Ö o c). 8) ö A (aob) — a quels que soient a, è, c € S et e étant l'élément neutre de semi-groupe. Dans l'ensemble S, on introduit une relation d'ordre partiel : a -< b si a A b = a, qui a les propriétés suivantes : a A ô < a ; a A 6 - < 6 ; s i z - < a et z -< ô alors r -< Û A b; a = a A (aob) -<ao b3 en particulier Théorème i . Si a <, b et c <, d alors ah c < è A Démonstration. O n obtient d et ao c <>bo d. a A b -<a -<c et a A b ^ b ^d, A Z> -< c A rf. (1) Université de Bucarest, str. Academiei, 14. donc 88 I. TOMESCU Si a -< c alors aob = boa = bo(aA c) = (boa) A (boc) = (aob) A (cob) -<cob quel que soit b € S*. En utilisant ce résultat on obtient dans les hypothèses du théorème que boc<doc = cod. C.Q.F.D. On définit la multiplication des matrices carrées A = { aafi } M ö l et p B = { ba§ } a f i a l p avec aa0, bap € & par la relation : {AxB}aJt = / \ (aay o by/f)={aaX oblfi) A (aa2ob2fi) A ... A (aapobpfi). y=l,...,p Dans [3] on obtient que cette loi de composition est associative et, si aaa = e on a la relation Ap~x = Ap = ... On introduit une relation d'ordre partiel dans l'ensemble des matrices aux éléments de S de la façon suivante : À -< B si aœ>? -< ba$ pour tout a? p — 1,..., /?. Si A -< C et 5 -< D alors, conformément au théorème 1 : aay o byfi < cay o dyp et / \ (aay o byfi) < / \ 7 = 1,~.,p (cay o dy/f)9 y=is...,p donc A X B < C X D. { ^ 2 }a/? == « ^ A / \ (aay o ayp) < aa§ y = l,...,P d'où on déduit : A > ^ 2 >- ... > ^ ~ 1 -- ^ p - ... On introduit les opérateurs TfJp) où jx, v, p € { 1, 2,...,;? } définis sur l'ensemble des matrices A = { a^ } a ^ Œl( p avec âfa^ € S et 0^^ ==e de la manière suivante : ^ - B si ^ = «^ A ( a ^ o a^) et b^ = öa^ pour tout (a, P) ^ (JJL, v). On en déduit que A > TfJp)(A) >- A2, donc et par conséquent ÇTiJp\A)y'1 On vérifie aisément que : - ^p~\ 2 ' (pi)/']-' (P Ï(JY\ — l T T flWX \ /12V2 K^/J /A et ALGORITHME MATRICIEL DE B. ROY p On introduit les opérateurs Up = TT 89 TjJp) et l'opérateur Dans l'expression de l'opérateur 17 l'ordre des opérateurs Up n'importe pas en vertu de la propriété suivante : UpiUp2(A) = Up2Upi(A). En effet : = aafi A (a ap2 o ap^) A (aapi A (aap2 o ap2fil)) o (apifi A (apip2 o ap2^) = aap A (aapi o a, 1/? ) A (aap2 o ^ 2 ^ ) A (a ai01 o apip2 o ap2fi) A (aap2 o apQpi o apifi) = aap A (a a / î l o api/s) A (a a p 2 A (aa>C)1 o apip2)) o {ap2fi A (ap,pi o a^^)) == { Up2Upx(A) }a/f Compte tenu de la relation (T^XÂ))*'1 =Ap~l 1 1 1 tion que (UpiA))?- = A?' et (UiA))^ = A*'1. on obtient par l'itéra- Théorème 2. U(A) = Ap~x quelle que soit la matrice A = { aap, }et,0=xt...,p avec aaj} € S et aaa = e. Démonstration. En utilisant la commutativité et l'idempotence du produit des opérateurs Upy induites par la commutativité et Tidempotence du produit des opérateurs r/,p(/>), on obtient U2(A) = U(A) et par conséquent U(A) - U\A) = ... On démontre par induction par rapport à s que : { UksUkt^ ... Ukl(A) }aA < aafi A / \ y€{kiM (a ay o aYfi) k}\{aJ3} et, par conséquent, U(A) < A2 d'où on déduit U\A) < A4; ...; U»{A) < A2" pour tout n € | [[ |+ log 2 j 1 alors o n a Ur(A)>(Ur(A)y-1=^(U(A)y-l=-A^1 yr^j ^ Ar < AP-I mais et donc Ur(A) = A*-1, c'est-à- dire C/(^) = U\A) = ... - C/r(^) = AP'K C.Q.F.D. Le problème du calcul de la matrice Ap~x est associé à quelques problèmes de la théorie des graphes et des réseaux électriques. 90 I. TOMESCU Soit S l'algèbre booléenne des fonctions booléennes définies sur { 0, 1 }n avec les valeurs dans { 0, 1 }; les opérations (o, A ) sont respectivement (•, U), la relation d'ordre partiel -< est la relation ^ définie par ƒ > g si f(xu ..., xn) ^ g(xu ..., xn) et l'élément neutre est la fonction e(xu ..., xn) = 1. Dans [4] on démontre que, si A est la matrice des conductibilités directes entre les nœuds d'un circuit électrique, alors la matrice Ap~x représente la matrice des conductibilités totales entre les nœuds de ce circuit. Dans [5] on définit la fermeture transitive G = (X, F) d'un graphe fini G = (X, F) où l'application F est définie par TX = { x } U r * U FJC2 U ... U F^"1 A pour tout x € X, Dans [6] on démontre que la matrice d'incidence du graphe G est Ap~l, où A est la matrice unitaire d'incidence associée au graphe G. S est l'algèbre booléenne { 0, 1 } et (o, A , -<, é) sont respectivement (•, U, > s 1). Dans [7], [5], [8], [3] pour un réseau de transport on définit une application l(u) et une application c(u) sur l'ensemble U des arcs du réseau avec les valeurs dans l'ensemble { x \ x ^ 0 }. On introduit la matrice A = {aa^ }a,£=i,...,p où l'on a : aaa = 0; aap = î(xa, xp) s'il y a un arc qui va de xa à x# et aap = oo en cas contraire. En considérant le semi-groupe à ordre semi-réticulaire { x j x > 0 } U { o o } avec (o, A , <, e) donnés par ( + , min, ^ , 0), la matrice Ap~l représente la matrice des plus petites distances entre les sommets du réseau : {Ap-l}afi= min On introduit la matrice A ~ { aa^ } a , jô =i ) ... )P avec aaa = °o; a*fi = c(xa, si (xa, Xfù e U et aafi = 0 si (xa, x^) $ U. Le semi-groupe à ordre semi-réticulaire est l'ensemble { x | x ^ 0 } U { o o } et (o, A , < e) sont (min, max, ^ , oo). La matrice Ap~x représente la matrice des capacités maximales de transport : {Ap-x}K/f= max {mïn{c(u)}} On définit une application p(u) sur l'ensemble U des arcs du réseau avec les valeurs dans l'intervalle [0, 1], Si on définit la matrice A par les relations : a*a = 1 ; aajs = P(xa, xfi) si (xa, xfi) €Uetaa/} = Q si (xa9 ALGORITHME MATRICIEL DE B. ROY 91 alors A?'1 représente la matrice des probabilités maximales de la réussite du transport : i Ap~i La = max si S = { x \ 0 ^ x ^ 1 } et (o, A , <> é) sont donnés par (•, max, ^ , 1). D'autres méthodes matricielles de calcul de la matrice Ap~x sont exposées dans [9]. Il faut remarquer que L. Nolin, en utilisant une structure algébrique semblable, a proposé aussi ([10], p. 94) une généralisation de l'algorithme matriciel de B. Roy (nommé ici l'algorithme de Warshall). OUVRAGES CITÉS [1] B. ROY, Transitivité et connexité, C. R. Ac. Se. Paris, t. 249, p. 216-218, 1959. [2] B. ROY, Cheminement et connexité dans les graphes. Application aux problèmes d'ordonnancement, Me tra, série spéciale, n° 1, 1962. 13] Gr. C. MOISIL, Asupra unor reprezentâri aie grafurilor ce intervin in problème de economia transporturilor, Comunicârile Acad. R, P. R., t. X, n° 8, I960, p. 647-652. {4] A. G. LUNTS, Méthodes algébriques d'analyse et de synthèse des schémas à con- tacts, Izv. Acad. Nauk SSSR, Série math., 1952, p. 405-427 (en russe). [5] C. BERGE, Théorie des graphes et ses applications, Dunod, Paris, 1963. [6] K. MAGHOUT, Applications de l'algèbre de Boole à la théorie des graphes et aux programmes linéaires et quadratiques, Cahiers du Centre a^études de Rech. Opérationnelle, vol. 5, n° 1-2, 1963, Bruxelles. 17] A. SHIMBEL, Structure in Communication Nets, Proc. Symposium on Information Networks (April 1954), Polytechn. Inst. Brooklyn, N. Y., 1955, p. 199-203. {8] G. N. POVAROV, Notions fondamentales de la théorie des réseaux cumulatifs, Bul. Inst Politechnic lasi, t. VI (X), fasc. 1-2, 1960, p. 29-36 (en russe). 19] I. TOMESCU, Sur les méthodes matricielles dans la théorie des réseaux, C. R. Ac. Se. Paris, t. 263, p. 826-829, 1966. 110] L. NOLIN, Traitement des données groupées, Publication de l'Institut BiaisePascal, Paris, mai 1964. Le directeur de la Publication : Georges DUNOD. — Imprimé en France* Dépôt légal : 2 e trimestre 1968. N<> 5740. IMPRIMERIE NOUVELLE, ORLÉANS, — N° 5708.