Activité Encadrer une intégrale en utilisant un algorithme
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Activité Encadrer une intégrale en utilisant un algorithme Objectifs -­‐ Amener les élèves à comprendre la nécessité de ce type de méthodes dans le cas, FRÉQUENT, où il est impossible de déterminer une primitive explicite -­‐ Sur un même thème, entrainer les élèves à lires différents types d’algorithmes et à en comprendre les différences de fonctionnement Partie A : La méthode des rectangles Un exemple simple Soit ! la fonction positive et strictement croissante sur ℝ! définie par : ! ! = ! On souhaite calculer une valeur approchée de : ! ! Pour cela on va utiliser l’algorithme suivant : Entrées : Saisir ! Initialisation : ! ← 0 ; ! ← 0 ; ! ← 0 Traitement : Pour ! de 0 à ! − 1 Faire ! ! ← ! + ×!(!) ; ! ! !" 1. Décrire, étape par étape, ce qui se passe si on entre ! = 4 2. Que représente ! ? ! ? 3. Que nous donne cet algorithme ? 4. Programmer cet algorithme sur Algobox, ou votre calculatrice, et préciser les valeurs de ! et ! si ! on entre ! = 25. ! ! ← ! + ; ! 5. Comparer le résultat obtenu avec celui donné par la ! ! ← ! + ×!(!) ; calculatrice. ! FinPour Afficher : Afficher ! , ! Utilisation de la calculatrice pour calculer une intégrale Entrer l’expression de la fonction et faire apparaître la courbe représentative Avec la CASIO SHIFT F5 (G-­‐solv) puis choisir le menu !" Lower : borne inférieure Upper : borne supérieure Avec la TI 2nde (calculs) puis choisir le menu !(!)!" BorneInf : borne inférieure BorneSup : borne supérieure Un autre exemple ! Soit ! la fonction définie sur 0 ; 1 par : ! ! = ! ! 1. Justifier que la fonction est continue, positive et croissante sur 0 ; 1 2. Pour chacun des deux algorithmes ci-­‐dessous, expliquer ce que représente la variable !"##$%&' . 3. Quelle est la variable inutile dans ces deux algorithmes ? 4. Écrire, en utilisant le symbole Σ, le calcul qu’il faudrait faire pour obtenir la valeur en sortie de l’algorithme 1 si l’entrée est ! = 10. 5. Expliquer en quoi, l’algorithme 2 permet d’obtenir une meilleure approximation de l’algorithme 1. ! !! ! !" que ! Algorithme 1 Entrée : ! un nombre entier supérieur à 10 Sortie : !"##$%&' un nombre réel Traitement : ! prend la valeur 1/! !"##$%&' prend la valeur 0 Pour ! allant de 0 à ! − 1 ! prend la valeur k*e ! prend la valeur !"#((! ∗ !)^2) !"##$%&' prend la valeur !"##$%&' + ! ∗ ! FinPour Afficher sommeinf Algorithme 2 Entrée : !"#$% un nombre réel strictement positif inférieur à 0,1 Sortie : !"##$%&' un nombre réel Traitement : ! prend la valeur 10 !"##$%$&'$ prend la valeur 1 Tant que !"##$%$&'$ > !"#$% faire ! prend la valeur 1/! !"##$%&' prend la valeur 0 Pour ! allant de 0 à ! − 1 ! prend la valeur k*e ! prend la valeur !"#((! ∗ !)^2) !"##$%&' prend la valeur !"##$%&' + ! ∗ ! FinPour !"##$%&' prend la valeur 0 Pour ! allant de 1 à ! ! prend la valeur k*e ! prend la valeur !"#((! ∗ !)^2) !"##$!%& prend la valeur !"##$!%& + ! ∗ ! FinPour !"##$%$&'$ prend la valeur !"##$!%& − !"##$%&' ! prend la valeur ! + 10 Fin Tant que Afficher !"##$%&' Partie B : La méthode des trapèzes On cherche une valeur approchée de ! = ! ! !". ! !!! ! ! 1. Justifier que la fonction f définie par ! ! = est continue, positive et strictement décroissante sur ℝ! !!! ! 2. On propose l’algorithme suivant afin de déterminer une valeur approchée de ! : Début a. Décrire, étape par étape, ce qui se passe si Variables : !, ! des entiers on e ntre ! = 2 !, !, !, ! des réels (On pourra s’aider de la figure ci-­‐dessous représentant la courbe de ! ) Entrer ! En déduire une justification du titre : « Méthode des ! prend la valeur 0 Pour ! allant de ! à ! − ! trapèzes ». !! b. Modifier cet algorithme pour calculer une ! prend la valeur ! !(!!!) ! prend la valeur ! !!! (!(!) + !(!)) ! prend la valeur ! ! prend la valeur ! + ! Fin Pour Afficher ! Fin ! valeur approchée de ! ! ! !" où ! et ! sont des réels quelconques positifs avec ! < !.
