Test probabilités ( 20 minutes)

2nd
Exemple d'évaluation
Thèmes abordés :
Transformation d'écritures, résolution d'équation de degré 2 par factorisation.
Probabilités sur un ensemble fini: événements, réunion intersection, calcul de probabilités.
EXERCICE 1 :
Résoudre les équations suivantes :
a) x ( x +6 ) =3 ( x+6 )
b) x ( 1−2 x )−4 x ( x +6 )=0
c) ( x 2−1 ) +2 ( x−1 )2=6 x−6
EXERCICE 2 :
Un établissement scolaire compte 500 élèves.
80% des élèves pratiquent l'anglais.
150 élèves pratiquent l'allemand ( On dit qu'ils sont germanistes).
70 d’entre eux ne pratiquent aucune des deux langues.
1°) Justifier qu'il y a 400 élèves qui font de l'anglais dans cet établissement.
2°) Compléter le tableau ci-dessous :
Pratique l'anglais
Ne pratique pas l'anglais
Pratique l'allemand
total
Ne pratique pas l'allemand
total
500
On choisit un élève au hasard. On note A l’événement l'élève fait de l'anglais et G l’événement l'élève est germaniste. ( on
donnera les valeurs exactes des probabilités ).
3°) En justifiant votre réponse, calculer p ( G ) puis p ( A )
4°) Exprimer à l’aide d'une phrase les événements suivants, puis calculer leur probabilité:
a) A ∩ G
b) A∩G
c) A ∪ G
d) A∪G
5°) On choisit une élève qui pratique l'anglais. Quelle est alors la probabilité qu'il ne pratique pas l'allemand ?
EXERCICE 3 :
Entourer toutes les bonnes réponses et justifier.
A et B sont deux événements associés à une même expérience aléatoire :
1°) Si A et B sont incompatibles alors :
a) p ( A ) =1− p ( B )
b) p ( A∪B ) = p ( A ) + p ( B )
c) A∩ B = ∅
2°) Si B est le contraire de A alors :
a) p ( A ) =− p ( B )
c) p ( A∪B ) =1
b) p ( A ) =1− p ( B )
3°) si p ( A ) =0 , 7 ; p ( B ) =0 , 1 et p ( A∩B ) =0,05 alors p ( A∪ B ) est égal à :
a) p ( A∪B ) =0,95
b) p ( A∪B ) =0,80
c) p ( A∪B ) =0,75
Exercice 4 :
Une urne contient quatre cartes marqués des lettres : E ; T ; O ; M.
1°) On prend au hasard et sans remise un premier carton puis un second dans l'urne pour former un mot de deux lettres
qui n'a pas nécessairement un sens.
On note A l’événement : "le mot commence par une voyelle", B l’événement : "le mot comporte la lettre T",
C l’événement : le mot comporte deux voyelles.
a) Déterminer à l'aide d'un arbre l'ensemble des issues possibles.
b) Donner la liste des issues qui réalisent A et calculer p(A).
c) Donner la liste des issues qui réalisent B.
d) A et B sont-il incompatibles ? ( justifier) donner la liste des issues de A ∪ B et A ∩ B.
e) C et B sont-il incompatibles ? ( justifier)
2°) On prend les quatre cartes les unes après les autres et on les dispose dans l'ordre d'apparition. Calculer la probabilité de
former le mot TOME.
Correction :
Exercice 1 :
rappels de la méthode : on ramène tout au premier membre en utilisant la règle a=b ⇔ a−b=0 puis on factorise le
premier membre pour obtenir une équation produit.
a) x ( x +6 ) =3 ( x+6 ) ⇔ x ( x+6 ) −3 ( x+6 )=0 ⇔ ( x +6 ) ( x −3 )=0 donc x +6=0 ou x −3=0 et S={-6;3}
b) x ( 1−2 x )−4 x ( x +6 )=0 ⇔ x [ ( 1−2 x ) −4 ( x+6 ) ] =0 ⇔ x ( 1−2 x−4 x−24 )=0 ⇔ x (−6 x−23 )=0
23
23
x =0 ou −6 x−23=0 donc x =0 ou x =−
et enfin S= {0; −
}
6
6
2
2
c) ( x 2−1 ) +2 ( x−1 ) =6 x−6 ⇔ ( x 2−1 ) +2 ( x−1 ) −6 ( x−1 ) =0 ⇔ ( x −1 )( x+1 ) +2 ( x−1 ) ( x −1 )−6 ( x−1 )=0
( x −1 ) [ ( x+1 )+2 ( x −1 )−6 ] =0 ⇔ ( x −1 ) [ x+1+2 x−2−6 ]=0 ⇔ ( x −1 )( 3 x−7 )=0
7
donc x −1=0 ou 3 x −7=0 et S={1; }
3
Exercice 2:
80
=400 donc il y a bien 400 élèves qui pratiquent l'anglais.
1°) 80% de 500 : 500×
100
2°)
Pratique l'anglais
Ne pratique pas l'anglais total
Pratique l'allemand
120 (=400-280)
30 (=100-70)
150
Ne pratique pas l'allemand
280 (=350-70)
70
total
400
100 (=500-400)
350 (=500-150)
500
3°) Le choix se fait au hasard donc nous sommes en situation d'équiprobabilité : P ( A ) =
4°) a) A ∩ G :"l'élève pratique l'anglais et l'allemand" p ( A∩G )=
⇔
120
6
=
500 25
b) A∩G :" l'élève pratique l'anglais et ne pratique pas l'allemand " P ( A∩G )=
400 4
150
3
=
P ( G )=
=
500 5
500 10
280 14
=
500 25
c)A ∪ G : " l'élève pratique l'anglais ou l'allemand" : P ( A∪G )=P ( A )+P ( G )−P ( A∩G )=
400 150 120 430 43
+
−
=
=
500 500 500 500 50
d) A∪G :" l'élève pratique l'anglais ou ne pratique pas l'allemand " :
400 350 280 470 47
P ( A∪G )=P ( A )+P ( G )−P ( A∩G )=
+
−
=
=
500 500 500 500 50
5°) L'univers est alors l'ensemble des élèves qui pratiquent l'anglais, il comporte 400 issues et il y a toujours
280
7
=
équiprobabilité p=
400 10
Exercice3:
1°)Si A et B sont incompatibles alors d'après le cours b) et c) sont justes. B n'est pas nécessairement le contraire de A
donc a) est fausse
2°) a) est fausse car p ( A ) serait alors négatif ce qui est impossible.
Si B est le contraire de A alors B=A donc d'après le cours b) est juste.
P ( A∪B ) =P ( A )+P ( B )=P ( A )+1−P ( A )=1 donc c) est aussi juste.
3°) Le contraire de A ∩ B est A∪B donc P ( A∪B ) =1− p ( A∩B )=1−0, 05=0,95 et a) est juste
P ( A∪B ) =P ( A )+P ( B )−P ( A∩B )=0 ,7+0, 1−0, 05=0 , 75 donc b) est fausse et c) est juste.
Exercice 4:
1°) a) L'univers est constitué des 12 issues qui sont aux extrémités de l'arbre et
il y a équiprobabilité.
6
1
b) A={ET;EO;EM;OE;OT;OM} et P ( A ) = =
12 2
c) B={ET;TE;TO;TM;OT;MT}
d) A et B ne sont pas incompatibles car OT et à la fois dans A et B. A ∩
B={ET;OT}
A ∪ B={ ET;EO;EM;OE;OT;OM;TE;TO;TM;MT;}
e) C et B sont incompatibles car si comporte le lettre T il ne peut pas
comporter deux voyelles.
2°) Il y a équiprobabilité et l'univers est constitué de 4 × 3 × 2 × 1=24
1
éléments donc la probabilité est
24