Algèbre - Arithmétique sur les entiers

M1 Meef mathématiques Upec
Octobre 2015
Kloeckner
Algèbre - Arithmétique sur les entiers
Dans toute la feuille, a, b, c, d, n, p désignent des entiers relatifs.
Problème 1
Diviseurs, multiples, nombres premiers
1. Rappeler la dénition des énoncés suivants : a divise b ; b est
divisible par a ; b est un multiple de a .
(a) Est-ce que 12 est divisible par 4 ? −12 par 4 ? 12 par −4 ? −12 par
−4 ?
(b) Est-ce que 1 est divisible par 0 ? Est-ce que 0 est divisible par 1 ?
Est-ce que 0 est divisible par 12 ?
(c) Est-ce que 2 356 479 est divisible par 2 ? par 3 ? par 4 ? par 5 ? par
8 ? par 9 ? par 24 ?
(d) Rappeler les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 sans les justier.
(e) Montrez que si a divise b alors a divise bc. Montrez que si a divise
b et c, alors a divise b + c.
2. Rappeler ce qu'est la division euclidienne de a par b. Eectuer la
division euclidienne de 123 par 4, celle de 124 par 4, celle de 6 479 par
12, celle de −123 par 4.
3. Rappelez la dénition d'un nombre premier.
(a) Donnez un exemple de nombre premier, et un exemple de nombre
qui n'est pas premier. Donner la liste de tous les nombres premiers
entre 1 et 50.
(b) Pouvez-vous dire si 2 109 est premier ? et 2 209 ?
4. On va montrer qu'il y a une innité de nombres premiers.
(a) Montrer que tout nombre entier naturel n ≥ 2 admet un diviseur
premier (on utilisera une récurrence forte). Que peut-on dire pour
un entier relatif ?
(b) On raisonne par l'absurde en supposant qu'il existe un nombre ni
de nombres premiers p1 , p2 , . . . , pn . Notons a = 1 +
n
Y
k=1
pk . Montrer
qu'aucun des pk ne divise a. Conclure.
5. Travail bibliographique : trouvez l'énoncé d'un problème ouvert sur
les nombres premiers.
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Problème 2
Multiples et diviseurs communs
1. Rappeler la dénition du PGCD (plus grand diviseur commun) de a
et b (noté PGCD(a, b) ou a ∧ b) et de leur PPCM (plus petit multiple
commun, noté PPCM(a, b) ou a ∨ b).
(a) Donner la liste de tous les diviseurs de 24, puis celle des diviseurs
de 81. Donner le PGCD de 24 et 81.
(b) Eectuez la division euclidienne de 81 par 24, puis celle de 24 par
le reste, et ainsi de suite. Recalculez le PGCD de 24 et 81 ainsi.
Décrivez l'algorithme d'Euclide dans le cas général.
(c) Donner le PPCM de 24 et 81, puis une formule générale reliant le
PPCM et le PGCD.
2. Rappeler la dénition de l'énoncé a et b sont premiers entre eux .
(a) donner un exemple de deux entiers premiers entre eux, et un
exemple de deux entiers qui ne le sont pas.
? Comment dénit-on en général la forme
(b) Peut-on simplifer 124
12
réduite d'un nombre rationel ?
(c) Rappeler l'énoncé du théorème de Bézout. Appliquez-le sur deux
exemples de votre choix, une fois dans chaque direction.
(d) On appelle Lemme de Gauss le résultat suivant : si c divise ab
et c est premier avec a, alors c divise b . Déduire ce résultat du
théorème de Bézout.
3. Rappeler la dénition de la décomposition en facteurs premiers d'un
entier a, et de ses valuations p-adiques notées vp (a).
(a) Donner les décompositions en facteurs premiers de 24 et 81.
(b) Rappeler comment déterminer si a divise b à l'aide des valuations
p-adiques. En déduire une méthode de calcul du PGCD de deux
entiers et retrouver PGCD(24, 81).
(c) Montrez que si c ∈ Z divise a et b, alors a ∧ b divise c. Supposons
que d ∈ N a la propriété suivante : tout entier c ∈ Z divisant a et b
est un multiple de c. Montrer que d = a ∧ b. Énoncez et démontrez
les propriétés analogues pour le PPCM.
4. Rappeler la dénition du PGCD d'une famille d'entiers ; rappeler ce
que veulent dire les expressions premiers entre eux dans leur ensemble et premiers entre eux deux à deux .
Donner un exemple de trois nombres qui sont premiers entre eux dans
leur ensemble mais qui ne sont pas premiers entre eux deux à deux.
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Problème 3
Montrer que
√
Le secret des pythagoriciens
2 n'est pas un nombre rationel. Qu'en est-il de
Problème 4
√
√
4 ? de 24 ?
Congruences
1. Rappeler ce que signie a est congru à b modulo n , qu'on notera :
a ≡ b [n] ou a ≡ b mod n.
(a) Montrer que la congruence modulo n est une relation d'équivalence :
i. pour tout entier a : a ≡ a [n] ;
ii. pour tous les entiers a, b, si a ≡ b [n] alors b ≡ a [n] ;
iii. pour tous les entiers a, b, c, si a ≡ b [n] et b ≡ c [n] alors
a ≡ c [n].
(b) Montrer que si a ≡ b [n] et c ≡ d [n], alors a + c ≡ b + d [n] et
ac ≡ bd [n].
2. Rappeler la dénition de Z/nZ ; n étant xé on notera ā la classe d'un
entier a modulo n.
(a) Montrer que a ≡ 0 [n] si et seulement si n divise a.
(b) Justier les critères de divisibilité par 2, 5, 4, 9 et 3.
(c) Rappeler la dénition d'un élément inversible dans un anneau ;
montrer que 3̄ est inversible dans Z/4Z, puis que 2̄ ne l'est pas.
(d) Donner une caractérisation des éléments inversibles de Z/nZ. À
quelle condition Z/nZ est-il un corps ?
3. On va montrer le petit théorème de Fermat : si p est un nombre premier
ne divisant pas a, alors ap−1 ≡ 1 [p].
(a) Montrez que l'ensemble (Z/pZ)∗ des inversibles modulo p est un
groupe pour la multiplication, et qu'il a p − 1 éléments.
(b) Que peut-on dire de l'ordre de ā dans le groupe (Z/pZ)∗ , × ?
Conclure.
(c) Calculez 1091 modulo 91. Appliquez le petit théorème de Fermat
pour en déduire que 91 n'est pas un nombre premier. 1
1. Fermat appliqua par exemple son théorème pour trouver que 100 895 598 169 n'est
pas premier (source Wikipédia, article Petit théorème de Fermat ).
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