Nombres entiers, rationnels et réels
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Chapitre 21
Nombres entiers, rationnels et réels
Mathématiques 1-TSI
Lycée Pierre-Paul Riquet
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Nombres entiers, rationnels et réels
1 / 30
RAPPEL : on note Z l’ensemble des entiers relatifs.
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Nombres entiers, rationnels et réels
2 / 30
Arithmétique dans Z
Plan
1
Arithmétique dans Z
Divisibilité, diviseurs et multiples
Division euclidienne
Nombres premiers
2
Nombres rationnels et réels
3
Sous-ensembles de nombres réels
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Nombres entiers, rationnels et réels
3 / 30
Arithmétique dans Z
Divisibilité, diviseurs et multiples
1
Arithmétique dans Z
Divisibilité, diviseurs et multiples
Division euclidienne
Nombres premiers
2
Nombres rationnels et réels
Identités remarquables
Partie entière d’un nombre réel
Nombres rationnels et irrationnels
3
Sous-ensembles de nombres réels
Ensembles majorés, minorés, bornés
Propriété de la borne supérieure
Détermination pratique des bornes supérieures et inférieures
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Nombres entiers, rationnels et réels
4 / 30
Arithmétique dans Z
Divisibilité, diviseurs et multiples
Définition
1
Soient (a; b) ∈ Z2 . On dit que a divise b, et on note a|b, lorsqu’il
existe c ∈ Z tel que : b = ac ;
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Nombres entiers, rationnels et réels
5 / 30
Arithmétique dans Z
Divisibilité, diviseurs et multiples
Définition
1
2
Soient (a; b) ∈ Z2 . On dit que a divise b, et on note a|b, lorsqu’il
existe c ∈ Z tel que : b = ac ;
Pour a ∈ Z, l’ensemble des diviseurs de a est l’ensemble des entiers
relatifs b tels que b|a ;
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Nombres entiers, rationnels et réels
5 / 30
Arithmétique dans Z
Divisibilité, diviseurs et multiples
Définition
1
Soient (a; b) ∈ Z2 . On dit que a divise b, et on note a|b, lorsqu’il
existe c ∈ Z tel que : b = ac ;
2
Pour a ∈ Z, l’ensemble des diviseurs de a est l’ensemble des entiers
relatifs b tels que b|a ;
3
Pour a ∈ Z, l’ensemble des multiples de a est l’ensemble des entiers
relatifs b tels que a|b.
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Nombres entiers, rationnels et réels
5 / 30
Arithmétique dans Z
Divisibilité, diviseurs et multiples
Définition
1
Soient (a; b) ∈ Z2 . On dit que a divise b, et on note a|b, lorsqu’il
existe c ∈ Z tel que : b = ac ;
2
Pour a ∈ Z, l’ensemble des diviseurs de a est l’ensemble des entiers
relatifs b tels que b|a ;
3
Pour a ∈ Z, l’ensemble des multiples de a est l’ensemble des entiers
relatifs b tels que a|b.
REMARQUES :
(1) 0 est divisible par n’importe quel nombre entier. Par contre 0 ne divise aucun
nombre entier non nul.
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5 / 30
Arithmétique dans Z
Divisibilité, diviseurs et multiples
Définition
1
Soient (a; b) ∈ Z2 . On dit que a divise b, et on note a|b, lorsqu’il
existe c ∈ Z tel que : b = ac ;
2
Pour a ∈ Z, l’ensemble des diviseurs de a est l’ensemble des entiers
relatifs b tels que b|a ;
3
Pour a ∈ Z, l’ensemble des multiples de a est l’ensemble des entiers
relatifs b tels que a|b.
REMARQUES :
(1) 0 est divisible par n’importe quel nombre entier. Par contre 0 ne divise aucun
nombre entier non nul.
(2) 1 divise n’importe quel nombre entier relatif
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5 / 30
Arithmétique dans Z
Divisibilité, diviseurs et multiples
Définition
1
Soient (a; b) ∈ Z2 . On dit que a divise b, et on note a|b, lorsqu’il
existe c ∈ Z tel que : b = ac ;
2
Pour a ∈ Z, l’ensemble des diviseurs de a est l’ensemble des entiers
relatifs b tels que b|a ;
3
Pour a ∈ Z, l’ensemble des multiples de a est l’ensemble des entiers
relatifs b tels que a|b.
REMARQUES :
(1) 0 est divisible par n’importe quel nombre entier. Par contre 0 ne divise aucun
nombre entier non nul.
(2) 1 divise n’importe quel nombre entier relatif, −1 également.
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5 / 30
Arithmétique dans Z
Divisibilité, diviseurs et multiples
Proposition (propriétés de la relation de divisibilité)
Soient a, b deux entiers relatifs.
1
Pour c ∈ Z, si a|b et b|c, alors a|c ;
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6 / 30
Arithmétique dans Z
Divisibilité, diviseurs et multiples
Proposition (propriétés de la relation de divisibilité)
Soient a, b deux entiers relatifs.
1
Pour c ∈ Z, si a|b et b|c, alors a|c ;
2
Pour c ∈ Z, a|b ⇒ ac|bc ;
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6 / 30
Arithmétique dans Z
Divisibilité, diviseurs et multiples
Proposition (propriétés de la relation de divisibilité)
Soient a, b deux entiers relatifs.
1
Pour c ∈ Z, si a|b et b|c, alors a|c ;
2
Pour c ∈ Z, a|b ⇒ ac|bc ;
3
Si d ∈ Z et d|a et d|b, alors d|au + bv, avec (u; v) ∈ Z2 quelconque ;
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6 / 30
Arithmétique dans Z
Divisibilité, diviseurs et multiples
Proposition (propriétés de la relation de divisibilité)
Soient a, b deux entiers relatifs.
1
Pour c ∈ Z, si a|b et b|c, alors a|c ;
2
Pour c ∈ Z, a|b ⇒ ac|bc ;
3
4
Si d ∈ Z et d|a et d|b, alors d|au + bv, avec (u; v) ∈ Z2 quelconque ;
a|b
⇔ |a| = |b|.
b|a
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6 / 30
Arithmétique dans Z
Division euclidienne
1
Arithmétique dans Z
Divisibilité, diviseurs et multiples
Division euclidienne
Nombres premiers
2
Nombres rationnels et réels
Identités remarquables
Partie entière d’un nombre réel
Nombres rationnels et irrationnels
3
Sous-ensembles de nombres réels
Ensembles majorés, minorés, bornés
Propriété de la borne supérieure
Détermination pratique des bornes supérieures et inférieures
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7 / 30
Arithmétique dans Z
Division euclidienne
Théorème (division euclidienne)
Soient (a; b) ∈ Z2 et b 6= 0. Il existe un unique couple (q; r) ∈ Z2 tel que :
a = bq + r avec 0 ≤ r < |b|.
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8 / 30
Arithmétique dans Z
Division euclidienne
Théorème (division euclidienne)
Soient (a; b) ∈ Z2 et b 6= 0. Il existe un unique couple (q; r) ∈ Z2 tel que :
a = bq + r avec 0 ≤ r < |b|.
• Le nombre q s’appelle le quotient de la division euclidienne ;
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8 / 30
Arithmétique dans Z
Division euclidienne
Théorème (division euclidienne)
Soient (a; b) ∈ Z2 et b 6= 0. Il existe un unique couple (q; r) ∈ Z2 tel que :
a = bq + r avec 0 ≤ r < |b|.
• Le nombre q s’appelle le quotient de la division euclidienne ;
• Le nombre r s’appelle le reste de la division euclidienne.
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8 / 30
Arithmétique dans Z
Division euclidienne
Théorème (division euclidienne)
Soient (a; b) ∈ Z2 et b 6= 0. Il existe un unique couple (q; r) ∈ Z2 tel que :
a = bq + r avec 0 ≤ r < |b|.
• Le nombre q s’appelle le quotient de la division euclidienne ;
• Le nombre r s’appelle le reste de la division euclidienne.
REMARQUE : b divise a si et seulement si le reste de la division euclidienne de b
par a est égal à 0.
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8 / 30
Arithmétique dans Z
Nombres premiers
1
Arithmétique dans Z
Divisibilité, diviseurs et multiples
Division euclidienne
Nombres premiers
2
Nombres rationnels et réels
Identités remarquables
Partie entière d’un nombre réel
Nombres rationnels et irrationnels
3
Sous-ensembles de nombres réels
Ensembles majorés, minorés, bornés
Propriété de la borne supérieure
Détermination pratique des bornes supérieures et inférieures
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9 / 30
Arithmétique dans Z
Nombres premiers
Définition
Un nombre p est dit premier si p ≥ 2 et les seuls diviseurs de p dans N∗
sont 1 et p.
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10 / 30
Arithmétique dans Z
Nombres premiers
Définition
Un nombre p est dit premier si p ≥ 2 et les seuls diviseurs de p dans N∗
sont 1 et p.
Théorème (decomposition en facteurs premiers)
Soit n ∈ Z∗ . Il existe un unique entier r, une unique famille de nombres
premiers p1 < p2 < ... < pr et une unique famille d’entiers naturels non
nuls α1 , . . . , αr tels que :
αr
1
n = εpα
1 ...pr = ε
r
Y
k
pα
k ,
k=1
avec ε = ±1.
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10 / 30
Arithmétique dans Z
Nombres premiers
Proposition
1
Soient p un nombre premier et a ∈ Z. Si p|a2 , alors p|a ;
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11 / 30
Arithmétique dans Z
Nombres premiers
Proposition
1
2
Soient p un nombre premier et a ∈ Z. Si p|a2 , alors p|a ;
Plus généralement, si un nombre premier divise un produit de
nombres, alors il divise au moins l’un des termes du produit.
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11 / 30
Arithmétique dans Z
Nombres premiers
Proposition
1
2
Soient p un nombre premier et a ∈ Z. Si p|a2 , alors p|a ;
Plus généralement, si un nombre premier divise un produit de
nombres, alors il divise au moins l’un des termes du produit.
Ceci est faux si p n’est pas un nombre premier.
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11 / 30
Arithmétique dans Z
Nombres premiers
Proposition
1
2
Soient p un nombre premier et a ∈ Z. Si p|a2 , alors p|a ;
Plus généralement, si un nombre premier divise un produit de
nombres, alors il divise au moins l’un des termes du produit.
Ceci est faux si p n’est pas un nombre premier. Exemple : 6 divise 8×9 =
72 mais 6 ne divise ni 8, ni 9.
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11 / 30
Nombres rationnels et réels
Plan
1
Arithmétique dans Z
2
Nombres rationnels et réels
Identités remarquables
Partie entière d’un nombre réel
Nombres rationnels et irrationnels
3
Sous-ensembles de nombres réels
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12 / 30
Nombres rationnels et réels
Identités remarquables
1
Arithmétique dans Z
Divisibilité, diviseurs et multiples
Division euclidienne
Nombres premiers
2
Nombres rationnels et réels
Identités remarquables
Partie entière d’un nombre réel
Nombres rationnels et irrationnels
3
Sous-ensembles de nombres réels
Ensembles majorés, minorés, bornés
Propriété de la borne supérieure
Détermination pratique des bornes supérieures et inférieures
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13 / 30
Nombres rationnels et réels
Identités remarquables
Proposition (identité remarquable)
Quels que soient les nombres complexes a et b, nous avons :
an − bn = (a − b)
n−1
X
ak bn−1−k .
k=0
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14 / 30
Nombres rationnels et réels
Identités remarquables
Proposition (identité remarquable)
Quels que soient les nombres complexes a et b, nous avons :
an − bn = (a − b)
n−1
X
ak bn−1−k .
k=0
REMARQUE : nous avons également : an − bn = (a − b)
n
X
an−1−k bk .
k=0
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14 / 30
Nombres rationnels et réels
Partie entière d’un nombre réel
1
Arithmétique dans Z
Divisibilité, diviseurs et multiples
Division euclidienne
Nombres premiers
2
Nombres rationnels et réels
Identités remarquables
Partie entière d’un nombre réel
Nombres rationnels et irrationnels
3
Sous-ensembles de nombres réels
Ensembles majorés, minorés, bornés
Propriété de la borne supérieure
Détermination pratique des bornes supérieures et inférieures
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
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15 / 30
Nombres rationnels et réels
Partie entière d’un nombre réel
Définition
Soit x un nombre réel. On appelle partie entière de x, et on note E(x) le
plus grand entier naturel inférieur ou égal à x : E(x) = max{n ∈ Z/n ≤ x}.
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Nombres entiers, rationnels et réels
16 / 30
Nombres rationnels et réels
Partie entière d’un nombre réel
Définition
Soit x un nombre réel. On appelle partie entière de x, et on note E(x) le
plus grand entier naturel inférieur ou égal à x : E(x) = max{n ∈ Z/n ≤ x}.
REMARQUE : si n ∈ Z, E(n) = n.
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
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16 / 30
Nombres rationnels et réels
Partie entière d’un nombre réel
Proposition (propriétés de la partie entière)
Soient x, y deux nombres réels. Alors :
1
E(x) ≤ x < E(x) + 1 ;
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Nombres entiers, rationnels et réels
17 / 30
Nombres rationnels et réels
Partie entière d’un nombre réel
Proposition (propriétés de la partie entière)
Soient x, y deux nombres réels. Alors :
1
E(x) ≤ x < E(x) + 1 ;
2
x ≤ y ⇒ E(x) ≤ E(y) ;
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Nombres entiers, rationnels et réels
17 / 30
Nombres rationnels et réels
Partie entière d’un nombre réel
Proposition (propriétés de la partie entière)
Soient x, y deux nombres réels. Alors :
1
E(x) ≤ x < E(x) + 1 ;
2
x ≤ y ⇒ E(x) ≤ E(y) ;
3
∀n ∈ Z, E(x + n) = E(x) + n.
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Nombres entiers, rationnels et réels
17 / 30
Nombres rationnels et réels
Partie entière d’un nombre réel
Proposition (propriétés de la partie entière)
Soient x, y deux nombres réels. Alors :
1
E(x) ≤ x < E(x) + 1 ;
2
x ≤ y ⇒ E(x) ≤ E(y) ;
3
∀n ∈ Z, E(x + n) = E(x) + n.
REMARQUE : Le 2. de la proposition précédente traduit le fait que la fonction
partie entière est croissante.
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17 / 30
Nombres rationnels et réels
Partie entière d’un nombre réel
Proposition (propriétés de la partie entière)
Soient x, y deux nombres réels. Alors :
1
E(x) ≤ x < E(x) + 1 ;
2
x ≤ y ⇒ E(x) ≤ E(y) ;
3
∀n ∈ Z, E(x + n) = E(x) + n.
REMARQUE : Le 2. de la proposition précédente traduit le fait que la fonction
partie entière est croissante.
• E(x + y) 6= E(x) + E(y) en toute généralité. (pour x = y = 21 ,
)
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17 / 30
Nombres rationnels et réels
Partie entière d’un nombre réel
Proposition (propriétés de la partie entière)
Soient x, y deux nombres réels. Alors :
1
E(x) ≤ x < E(x) + 1 ;
2
x ≤ y ⇒ E(x) ≤ E(y) ;
3
∀n ∈ Z, E(x + n) = E(x) + n.
REMARQUE : Le 2. de la proposition précédente traduit le fait que la fonction
partie entière est croissante.
• E(x + y) 6= E(x) + E(y) en toute généralité. (pour x = y = 21 ,
E(x) + E(y) = 0 et E(x + y) = 1.)
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17 / 30
Nombres rationnels et réels
Partie entière d’un nombre réel
Proposition (propriétés de la partie entière)
Soient x, y deux nombres réels. Alors :
1
E(x) ≤ x < E(x) + 1 ;
2
x ≤ y ⇒ E(x) ≤ E(y) ;
3
∀n ∈ Z, E(x + n) = E(x) + n.
REMARQUE : Le 2. de la proposition précédente traduit le fait que la fonction
partie entière est croissante.
• E(x + y) 6= E(x) + E(y) en toute généralité. (pour x = y = 21 ,
E(x) + E(y) = 0 et E(x + y) = 1.)
• Pour n ∈ Z, E(nx) 6= nE(x) en toute généralité. (pour n ≥ 2 et
x = n1 ,
)
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Nombres entiers, rationnels et réels
17 / 30
Nombres rationnels et réels
Partie entière d’un nombre réel
Proposition (propriétés de la partie entière)
Soient x, y deux nombres réels. Alors :
1
E(x) ≤ x < E(x) + 1 ;
2
x ≤ y ⇒ E(x) ≤ E(y) ;
3
∀n ∈ Z, E(x + n) = E(x) + n.
REMARQUE : Le 2. de la proposition précédente traduit le fait que la fonction
partie entière est croissante.
• E(x + y) 6= E(x) + E(y) en toute généralité. (pour x = y = 21 ,
E(x) + E(y) = 0 et E(x + y) = 1.)
• Pour n ∈ Z, E(nx) 6= nE(x) en toute généralité. (pour n ≥ 2 et
x = n1 , nE(x) = 0 et E(nx) = 1.)
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Nombres entiers, rationnels et réels
17 / 30
Nombres rationnels et réels
Nombres rationnels et irrationnels
1
Arithmétique dans Z
Divisibilité, diviseurs et multiples
Division euclidienne
Nombres premiers
2
Nombres rationnels et réels
Identités remarquables
Partie entière d’un nombre réel
Nombres rationnels et irrationnels
3
Sous-ensembles de nombres réels
Ensembles majorés, minorés, bornés
Propriété de la borne supérieure
Détermination pratique des bornes supérieures et inférieures
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Nombres entiers, rationnels et réels
18 / 30
Nombres rationnels et réels
Nombres rationnels et irrationnels
(a) présentation :
Définition
1
On appelle nombre rationnel tout nombre r tel que : r = pq , avec
(p; q) ∈ Z × N∗ .
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Nombres entiers, rationnels et réels
19 / 30
Nombres rationnels et réels
Nombres rationnels et irrationnels
(a) présentation :
Définition
1
On appelle nombre rationnel tout nombre r tel que : r = pq , avec
(p; q) ∈ Z × N∗ . On note Q l’ensemble des nombres rationnels ;
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Nombres entiers, rationnels et réels
19 / 30
Nombres rationnels et réels
Nombres rationnels et irrationnels
(a) présentation :
Définition
1
2
On appelle nombre rationnel tout nombre r tel que : r = pq , avec
(p; q) ∈ Z × N∗ . On note Q l’ensemble des nombres rationnels ;
Un nombre qui n’est pas rationnel est dit irrationnel. On note R \ Q
l’ensemble des nombres irrationnels.
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Nombres entiers, rationnels et réels
19 / 30
Nombres rationnels et réels
Nombres rationnels et irrationnels
(a) présentation :
Définition
1
2
On appelle nombre rationnel tout nombre r tel que : r = pq , avec
(p; q) ∈ Z × N∗ . On note Q l’ensemble des nombres rationnels ;
Un nombre qui n’est pas rationnel est dit irrationnel. On note R \ Q
l’ensemble des nombres irrationnels.
REMARQUE : L’écriture r = pq , avec (p; q) ∈ Z × N∗ n’est pas unique :
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Nombres entiers, rationnels et réels
6
4
= 23 .
19 / 30
Nombres rationnels et réels
Nombres rationnels et irrationnels
(a) présentation :
Définition
1
2
On appelle nombre rationnel tout nombre r tel que : r = pq , avec
(p; q) ∈ Z × N∗ . On note Q l’ensemble des nombres rationnels ;
Un nombre qui n’est pas rationnel est dit irrationnel. On note R \ Q
l’ensemble des nombres irrationnels.
REMARQUE : L’écriture r = pq , avec (p; q) ∈ Z × N∗ n’est pas unique : 64 = 23 .
On obtient par contre l’unicite en imposant p et q sans diviseurs communs.
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Nombres entiers, rationnels et réels
19 / 30
Nombres rationnels et réels
Nombres rationnels et irrationnels
(a) présentation :
Définition
1
2
On appelle nombre rationnel tout nombre r tel que : r = pq , avec
(p; q) ∈ Z × N∗ . On note Q l’ensemble des nombres rationnels ;
Un nombre qui n’est pas rationnel est dit irrationnel. On note R \ Q
l’ensemble des nombres irrationnels.
REMARQUE : L’écriture r = pq , avec (p; q) ∈ Z × N∗ n’est pas unique : 64 = 23 .
On obtient par contre l’unicite en imposant p et q sans diviseurs communs.
Proposition
√
2 est un nombre irrationnel.
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Nombres entiers, rationnels et réels
19 / 30
Nombres rationnels et réels
Nombres rationnels et irrationnels
(b) structure algébrique :
Proposition
1
(Q, +) est un groupe, c’est à dire :
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Nombres entiers, rationnels et réels
20 / 30
Nombres rationnels et réels
Nombres rationnels et irrationnels
(b) structure algébrique :
Proposition
1
(Q, +) est un groupe, c’est à dire :
1
La somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel ;
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Nombres entiers, rationnels et réels
20 / 30
Nombres rationnels et réels
Nombres rationnels et irrationnels
(b) structure algébrique :
Proposition
1
(Q, +) est un groupe, c’est à dire :
1
2
La somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel ;
L’opposé d’un nombre rationnel est rationnel.
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Nombres entiers, rationnels et réels
20 / 30
Nombres rationnels et réels
Nombres rationnels et irrationnels
(b) structure algébrique :
Proposition
1
(Q, +) est un groupe, c’est à dire :
1
2
2
La somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel ;
L’opposé d’un nombre rationnel est rationnel.
(Q∗ , ×) est un groupe, c’est à dire :
1
Le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel ;
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Nombres entiers, rationnels et réels
20 / 30
Nombres rationnels et réels
Nombres rationnels et irrationnels
(b) structure algébrique :
Proposition
1
(Q, +) est un groupe, c’est à dire :
1
2
2
La somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel ;
L’opposé d’un nombre rationnel est rationnel.
(Q∗ , ×) est un groupe, c’est à dire :
1
2
Le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel ;
Si x ∈ Q∗ , alors x1 ∈ Q∗ .
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Nombres entiers, rationnels et réels
20 / 30
Nombres rationnels et réels
Nombres rationnels et irrationnels
(b) structure algébrique :
Proposition
1
(Q, +) est un groupe, c’est à dire :
1
2
2
(Q∗ , ×) est un groupe, c’est à dire :
1
2
La somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel ;
L’opposé d’un nombre rationnel est rationnel.
Le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel ;
Si x ∈ Q∗ , alors x1 ∈ Q∗ .
• La somme de deux nombres irrationnels
√
√ n’est pas forcément un
nombre irrationnel (exemple : 2 − 2 = 0 ∈ Q).
• De même, le produit de deux nombres irrationnels
n’est pas
√
√
forcément un nombre irrationnel (exemple : 2 × 2 = 2 ∈ Q).
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Nombres entiers, rationnels et réels
20 / 30
Nombres rationnels et réels
Nombres rationnels et irrationnels
(c) densité :
Proposition
Tout intervalle I de longueur non nulle rencontre Q et R \ Q.
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Nombres entiers, rationnels et réels
21 / 30
Nombres rationnels et réels
Nombres rationnels et irrationnels
(c) densité :
Proposition
Tout intervalle I de longueur non nulle rencontre Q et R \ Q.
On dit également : entre deux réels nombres a < b quelconques, on peut
toujours trouver un nombre rationnel et un nombre irrationnel. Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Nombres entiers, rationnels et réels
21 / 30
Sous-ensembles de nombres réels
Plan
1
Arithmétique dans Z
2
Nombres rationnels et réels
3
Sous-ensembles de nombres réels
Ensembles majorés, minorés, bornés
Propriété de la borne supérieure
Détermination pratique des bornes supérieures et inférieures
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Nombres entiers, rationnels et réels
22 / 30
Sous-ensembles de nombres réels
Ensembles majorés, minorés, bornés
1
Arithmétique dans Z
Divisibilité, diviseurs et multiples
Division euclidienne
Nombres premiers
2
Nombres rationnels et réels
Identités remarquables
Partie entière d’un nombre réel
Nombres rationnels et irrationnels
3
Sous-ensembles de nombres réels
Ensembles majorés, minorés, bornés
Propriété de la borne supérieure
Détermination pratique des bornes supérieures et inférieures
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Nombres entiers, rationnels et réels
23 / 30
Sous-ensembles de nombres réels
Ensembles majorés, minorés, bornés
Définition
Soit A un sous-ensemble de R.
1
Un majorant de A, lorsqu’il existe, est un réel M tel que :
∀x ∈ A, x ≤ M.
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Nombres entiers, rationnels et réels
24 / 30
Sous-ensembles de nombres réels
Ensembles majorés, minorés, bornés
Définition
Soit A un sous-ensemble de R.
1
Un majorant de A, lorsqu’il existe, est un réel M tel que :
∀x ∈ A, x ≤ M.
2
Le maximum de A, lorsqu’il existe, est le réel a ∈ A tel que :
∀x ∈ A, x ≤ a.
On note a = max(A) ;
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Nombres entiers, rationnels et réels
24 / 30
Sous-ensembles de nombres réels
Ensembles majorés, minorés, bornés
Définition
Soit A un sous-ensemble de R.
1
Un majorant de A, lorsqu’il existe, est un réel M tel que :
∀x ∈ A, x ≤ M.
2
Le maximum de A, lorsqu’il existe, est le réel a ∈ A tel que :
∀x ∈ A, x ≤ a.
On note a = max(A) ;
3
Un minorant de A, lorsqu’il existe, est un réel m tel que :
∀x ∈ A, x ≥ m.
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Nombres entiers, rationnels et réels
24 / 30
Sous-ensembles de nombres réels
Ensembles majorés, minorés, bornés
Définition
Soit A un sous-ensemble de R.
1
Un majorant de A, lorsqu’il existe, est un réel M tel que :
∀x ∈ A, x ≤ M.
2
Le maximum de A, lorsqu’il existe, est le réel a ∈ A tel que :
∀x ∈ A, x ≤ a.
On note a = max(A) ;
3
Un minorant de A, lorsqu’il existe, est un réel m tel que :
∀x ∈ A, x ≥ m.
4
Le minimum de A, lorsqu’il existe, est un réel b ∈ A tel que :
∀x ∈ A, x ≥ a.
On note b = min(A) ;
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Nombres entiers, rationnels et réels
24 / 30
Sous-ensembles de nombres réels
Ensembles majorés, minorés, bornés
Définition
Soit A un sous-ensemble de R.
1
Un majorant de A, lorsqu’il existe, est un réel M tel que :
∀x ∈ A, x ≤ M.
2
Le maximum de A, lorsqu’il existe, est le réel a ∈ A tel que :
∀x ∈ A, x ≤ a.
On note a = max(A) ;
3
Un minorant de A, lorsqu’il existe, est un réel m tel que :
∀x ∈ A, x ≥ m.
4
Le minimum de A, lorsqu’il existe, est un réel b ∈ A tel que :
∀x ∈ A, x ≥ a.
On note b = min(A) ;
5
Si A admet au moins un majorant, on dit que A est majoré. Si A admet au moins
un minorant, on dit que A est minoré. Si A est majoré et minoré , on dit que A
est borné dans E.
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24 / 30
Sous-ensembles de nombres réels
Propriété de la borne supérieure
1
Arithmétique dans Z
Divisibilité, diviseurs et multiples
Division euclidienne
Nombres premiers
2
Nombres rationnels et réels
Identités remarquables
Partie entière d’un nombre réel
Nombres rationnels et irrationnels
3
Sous-ensembles de nombres réels
Ensembles majorés, minorés, bornés
Propriété de la borne supérieure
Détermination pratique des bornes supérieures et inférieures
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Nombres entiers, rationnels et réels
25 / 30
Sous-ensembles de nombres réels
Propriété de la borne supérieure
Définition
Soit A un sous-ensemble de R.
1
On appelle borne supérieure de A, et on note sup(A) lorsqu’elle
existe, le plus petit des majorants de A ;
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26 / 30
Sous-ensembles de nombres réels
Propriété de la borne supérieure
Définition
Soit A un sous-ensemble de R.
1
On appelle borne supérieure de A, et on note sup(A) lorsqu’elle
existe, le plus petit des majorants de A ;
2
On appelle borne inférieure de A de E, et on note inf(A) lorsqu’elle
existe, le plus grand des minorants de A.
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26 / 30
Sous-ensembles de nombres réels
Propriété de la borne supérieure
Théorème
1
Tout sous-ensemble non vide et majoré de R admet une borne
supérieure ;
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Sous-ensembles de nombres réels
Propriété de la borne supérieure
Théorème
1
Tout sous-ensemble non vide et majoré de R admet une borne
supérieure ;
2
De même tout sous-ensemble non vide de R et minoré admet une
borne inférieure.
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Nombres entiers, rationnels et réels
27 / 30
Sous-ensembles de nombres réels
Détermination pratique des bornes supérieures et inférieures
1
Arithmétique dans Z
Divisibilité, diviseurs et multiples
Division euclidienne
Nombres premiers
2
Nombres rationnels et réels
Identités remarquables
Partie entière d’un nombre réel
Nombres rationnels et irrationnels
3
Sous-ensembles de nombres réels
Ensembles majorés, minorés, bornés
Propriété de la borne supérieure
Détermination pratique des bornes supérieures et inférieures
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Nombres entiers, rationnels et réels
28 / 30
Sous-ensembles de nombres réels
Détermination pratique des bornes supérieures et inférieures
Proposition
1
Soient A un sous-ensemble non vide de R et M ∈ R tel que :
(i) ∀x ∈ A, x ≤ M ;
(ii) Il existe une suite (xn ) d’éléments de A telle que :
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Nombres entiers, rationnels et réels
lim xn = M .
n→+∞
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Sous-ensembles de nombres réels
Détermination pratique des bornes supérieures et inférieures
Proposition
1
Soient A un sous-ensemble non vide de R et M ∈ R tel que :
(i) ∀x ∈ A, x ≤ M ;
(ii) Il existe une suite (xn ) d’éléments de A telle que :
lim xn = M .
n→+∞
Alors A admet une borne supérieure et M = sup(A).
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Nombres entiers, rationnels et réels
29 / 30
Sous-ensembles de nombres réels
Détermination pratique des bornes supérieures et inférieures
Proposition
1
Soient A un sous-ensemble non vide de R et M ∈ R tel que :
(i) ∀x ∈ A, x ≤ M ;
(ii) Il existe une suite (xn ) d’éléments de A telle que :
2
lim xn = M .
n→+∞
Alors A admet une borne supérieure et M = sup(A).
Soient A un sous-ensemble non vide de R et m ∈ R tel que :
(i) ∀x ∈ A, x ≥ m ;
(ii) Il existe une suite (xn ) d’éléments de A telle que :
lim xn = m.
n→+∞
Alors A admet une borne supérieure et m = inf(A).
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
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29 / 30
Sous-ensembles de nombres réels
Détermination pratique des bornes supérieures et inférieures
REMARQUES :
(1) A admet un maximum si et seulement si sa borne supérieure appartient à A ;
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30 / 30
Sous-ensembles de nombres réels
Détermination pratique des bornes supérieures et inférieures
REMARQUES :
(1) A admet un maximum si et seulement si sa borne supérieure appartient à A ;
(2) De même, A admet un minimum si et seulement si sa borne inférieure
appartient à A.
Mathématiques 1-TSI (Lycée Pierre-Paul Riquet)
Nombres entiers, rationnels et réels
30 / 30
Sous-ensembles de nombres réels
Détermination pratique des bornes supérieures et inférieures
REMARQUES :
(1) A admet un maximum si et seulement si sa borne supérieure appartient à A ;
(2) De même, A admet un minimum si et seulement si sa borne inférieure
appartient à A.
Exercice
Montrer que A =
déterminera.
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1 − n1 , n ∈ N∗ admet une borne supérieure que l’on
Nombres entiers, rationnels et réels
30 / 30
