313 Chapitre 6 Mecanique du solide 6.1 Rappels de cours 6.1.1 Cinematique du solide. Denition du solide. Un solide est un corps qui ne peut subir aucune deformation. Les dierents points d'un solide restent ainsi a des distances xes les uns des autres. La position d'un tel corps est completement determinee par la connaissance de six variables, appelees degres de liberte. Ce sont par exemple les trois coordonnees de son centre de gravite et trois angles reperant son orientation (cf. probleme 6.3.2). Torseur cinematique, vitesse instantanee de rotation. Les vitesses de deux points M et P d'un m^eme solide, en mouvement par rapport a un referentiel R, sont liees par la relation vectorielle !^ ! ~v(M ) = ~v (P ) + MP ; ou ! est un vecteur, appele vitesse instantanee de rotation du solide, qui ne depend que du temps. Cette relation entre les vitesses des dierents points d'un solide permet de denir le torseur cinematique, ou torseur des vitesses, que nous noterons (V ) : (V ) = (! ~v (M ): Dans le cas particulier de la rotation autour d'un axe xe de directeur ~k (z ! sur la gure suivante), le vecteur prend une valeur simple en fonction de la vitesse angulaire de rotation autour de l'axe (d=dt) : 314 Chapitre 6 z; z 0 ! = d ~k: dt y0 x y x0 En pratique, le mouvement de rotation du solide est decompose en une succession de rotations par rapport a des axes connus, de directeurs ~ki et auxquels sont associees les vitesses angulaires di =dt ; dans ces conditions on obtient comme vecteur vitesse instantanee de rotation du solide S X di ~ ! k: (S =R) = i dt i Dans le cas du passage d'un referentiel R a un referentiel R0 , la vitesse instantanee de rotation de S se transforme comme suit : ! (S =R0 ) = ! (S =R) + ! (R=R0 ): Exemple : considerons un disque de centre O et de rayon R en rotation a la vitesse angulaire ! autour d'un axe perpendiculaire au disque passant par O. Les denominations des axes etant choisies comme sur la gure precedente, la vitesse instantanee de rotation!s'ecrit ! = ! ~k. Soit maintenant M le point de la circonference tel que OM = R ~x 0 . La vitesse du point O etant nulle, l'application du torseur des vitesses entre M et O donne ! = R ! y~ 0 : ~v(M ) = ! ^ OM On retrouve qu'un point de la circonference est anime d'une vitesse de module R!. Cinematique du contact, vitesse de glissement Soient S et S 0 deux solides et R0 , R et R0 trois referentiels dont le premier est xe, lie a l'observateur et les deux suivants sont eux lies respectivement a S et S 0 (gure 6.1). 315 Mecanique du solide S0 S R0 R R0 IR IR0 I Fig. 6.1 - Glissement entre deux solides. On appelle vitesse de glissement ~u de S 0 par rapport a S la vitesse du point de contact I lie a S 0 , mesuree dans le referentiel lie a S : ~u(S 0 =S ) = ~v(IR0 =R): De la formule de composition des vitesses, on obtient ~v(IR0 =R0 ) = ~v(IR0 =R) + ~v(IR =R0 ); soit pour la vitesse de glissement l'expression equivalente : ~u(S 0 =S ) = ~v(IR0 =R0 ) ~v(IR =R0 ): Si ~u 6= ~0, on dit qu'il y a glissement des deux solides l'un par rapport a l'autre et le vecteur ~u appartient alors au plan () tangent en I et commun aux deux solides (gure 6.2). S0 !n ~n I !t S Fig. 6.2 - Roulement et pivotement de deux solides. 316 6.2 Chapitre 6 Decomposons le mouvement de rotation suivant les notations de la gure ! (S 0 =S ) = ! n+ ! t: ! n , la composante normale au plan () du vecteur ! est associ ! ee a un mouve- ment de pivotement, alors que la composante tangentielle t est, elle, associee au roulement. Exemple : l'expression de la vitesse de glissement entre deux solides permet de retrouver rapidement les relations entre les vitesses angulaires de deux engrenages. On considere les deux engrenages C et C 0 de la gure suivante : y z C x C0 Leurs vecteurs rotation instantanee respectifs sont !~z et !0~z. Soit I le point de contact. La relation de non glissement entre les engrenages implique que ~v(I 2 C ) = ~v(I 2 C 0 ), ce qui se traduit, compte tenu du calcul deja eectue au paragraphe precedent, par : R! y~ = R0 !0 ( y~). Les engrenages tournent bien en sens opposes, le plus petit eectuant la rotation a la plus grande des vitesses angulaires. 6.1.2 Cinetique du solide. Centre de gravite, referentiel barycentrique. Dans le cas d'un ensemble discret de masses : (mi ; Ai ), le centre de gravite est deni au moyen de la formule X ! mi OAi ! i OG = X ; i mi ou O est un point arbitraire. Cette denition se generalise a une distribution continue de masse Z ! = M 2SZ OG S ! dm OM dm : 317 Mecanique du solide Pour une distribution volumique, l'element de masse contenu dans un element de volume d autour d'un point M de S est dm = (M ) d , ou est la masse volumique du solide. Exemple : on cherche a calculer la position du centre de gravite d'un disque homogene (de centre O, de rayon R et de masse surfacique ), perce d'un trou circulaire de rayon R=2 dont le centre O0 est a la distance R=2 de O. Le calcul direct est fastidieux, alors que la propriete d'associativite du barycentre donne le resultat plus simplement. Le systeme est identique a la somme de deux sous systemes : un disque plein de rayon R et de masse m1 = R2 et un disque de rayon R=2 et de masse m2 = R2=4 (l'equivalence est bien entendu mathematique, une masse ne pouvant ^etre negative). Le centre de gravite de l'ensemble est le centre de gravite des barycentres partiels aectes de la masse totale de leurs sous-ensembles, a savoir (O; m1 ) et (O0 ; m2 ). Ainsi, pour tout point A, ! ! ! + m2 AO0 = (m1 + m2 )AG: m1 AO ! = OO!0 =3. On peut choisir A = O, d'ou : OG On denit le referentiel barycentrique RG comme le referentiel d'origine G dont les axes sont paralleles a ceux de R0 (referentiel de l'observateur ou du laboratoire) ; ce referentiel n'est donc pas lie au solide, ses axes ne tournant pas avec ce dernier. Torseur cinetique, theoreme de Knig. Soit un solide S de masse volumique et un referentiel R. On denit le torseur cinetique de S dans R par Z 8! > < P (S =R) = M 2S ~v(M=R) d Z (C ) = > ! ^ ~v(M=R) d; : ~A (S =R) = AM M 2S ou la resultante ! P est la quantite de mouvement de S dans R et ~A le moment cinetique en A de S dans R. En utilisant la denition du centre de gravite G, on montre que ! P (S =R) = m~v(G=R): Il s'ensuit que la quantite de mouvement du solide S dans son referentiel barycentrique est nulle. De la relation de denition des torseurs, on deduit que !^ ! ~A (S =R) = ~G (S =R) + AG P (S =R): La relation de composition des vitesses entre R et RG qui est en translation par rapport a R nous donne ~v(M=R) = ~v (M=RG ) + ~v(Mlie a RG =R) = ~v (M=RG ) + ~v(G=R): 318 Chapitre 6 Finalement on trouve ainsi que ~G (S =R) = ~G (S =RG ); qui lorsqu'on utilise la relation des torseurs donne le theoreme de Knig du moment cinetique !^ ! ~A (S =R) = ~G (S =RG ) + AG P (S =R): Rotation autour d'un axe xe . On denit le moment cinetique de S par rapport a l'axe de vecteur directeur ~u par = ~A ~u; ou A est un point de ; est independant du choix de A. On denit de m^eme le moment d'inertie de S par rapport a l'axe au moyen de Z J = r2 dm; S ou r represente la distance a l'axe du point courant de S . Une fois le moment d'inertie ainsi deni, on trouve que le moment cinetique par rapport a a pour expression = J !; ! etant la vitesse angulaire de rotation autour de . Dans le cas ou est situe a une distance a de G, le theoreme de Huygens permet d'ecrire J = JG + ma2 ; avec JG moment d'inertie de S par rapport a l'axe G parallele a et passant par G (voir les problemes 6.3.1 et 6.3.2). Exemple : moment d'inertie d'une sphere pleine homogene de rayon R et de masse m par rapport a un de ses diametres . Z Z Z J = (x + y ) dm = (x + z ) dm = (y2 + z2 ) dm: 2 2 S 2 2 S S En sommant les trois expressions precedentes, il vient Z 3J = 2 (x + y + z ) dm = 2 S 2 2 2 Z S r2 dm; ou r est la variable radiale des coordonnees spheriques (cf. chapitre 10). Soit la masse volumique de la sphere ( = 3m=(4R3 )) Z ZR 2 2 2 J = 3 r dv = 3 r2 4r2 dr = 52 m R2 : 0 S 319 Mecanique du solide 6.1.3 Actions agissant sur un solide. Soit un systeme mecanique ; on distingue deux types d'eorts s'exercant sur : les eorts exterieurs et les eorts interieurs a . Un eort est dit interieur a un systeme s'il s'exerce entre deux elements de celui-ci. Torseur des eorts. Soit l'ensemble ( F!; M ) des eorts F! exerces sur le systeme considere et i i i de leurs points d'application Mi . On denit le torseur (F ) des eorts exerces sur par 8 ! X! > > < R = i Fi (F ) = > ! X ! ! > : A = AMi ^ Fi ; i ! avec R la resultante des eorts exerces sur et !A le moment resultant en A. D'apres le principe, enonce par la suite, des actions reciproques, le torseur des eorts interieurs est nul ; on ne considere donc que les eorts exterieurs lors du calcul de (F ). Notons que la denition du torseur des eorts peut se generaliser dans le cas de forces volumiques ou, fait plus rare, de couples volumiques |en magnetisme par exemple. Parmi les forces et couples exterieurs, on distingue deux categories: les forces ou couples donnes, dont la valeur ou l'expression est connue a priori (la force de pesanteur, la force de rappel d'un ressort, le couple de torsion ou le couple resistant) et les forces et couples de contact ou de liaison ; seule cette deuxieme categorie rajoute des inconnues au probleme mecanique a resoudre. Actions de contact. ! R S ! I I S0 Fig. 6.3 - Eort et couple des actions de contact. 320 Chapitre 6 Dans le cas d'une liaison ponctuelle, en I , entre deux solides S et S 0 , le contact engendre une action de S 0 sur S de torseur 8 < (Fc ) = : ! R !: I Remarquons que pour un contact rigoureusement ponctuel, le moment !I devrait ^etre nul. Dans la pratique cependant, il y a un ecrasement local des deux solides autorisant l'existence d'un moment. La modelisation garde donc une description en terme de contact ponctuel, tout!en autorisant l'existence d'un moment. R et !I peuvent ^etre decomposes en composante tangentielle (appartenant au plan tangent de contact (), cf. gure 6.3) et normale 8! ! ! < R =N +T : !I = !In + !It ; la signication de chacune des composantes etant alors : { { { { ! s'oppose a la penetration des deux solides ; N ! T s'oppose au glissement des deux solides ; ! s'oppose au pivotement des deux solides ; In ! s'oppose au roulement des deux solides. It Lois empiriques du frottement : lois de Coulomb. { Lois du frottement de glissement : en presence de frottements, si le glissement entre les solides S et S 0 est nul (~u(S =S 0 ) = ~0), alors il existe entre les composantes normale et tangentielle de l'eort de contact la relation k! Tk <f ; s ! kN k ou fs est appele coecient de frottement de glissement statique. Si maintenant les deux solides glissent l'un par rapport a l'autre cela devient 8 > > < > > : k! Tk =f d ! kN k ! T est oppose au glissement c'est-a-dire a ~u(S =S 0 ): fd se nomme coecient de frottement de glissement dynamique et verie fd < fs . 321 Mecanique du solide { Lois du frottement de roulement et de pivotement : ! (respectivement ! ), en remplail existe!des ! lois analogues pour In It ! ! !k) et en cant k T k=k N k par k In k=k N k (resp. k !It k=k N introduisant les coecient s et d (resp. s et d). La vitesse de glissement ~u est quant a elle ! remplacee par la vitesse instantanee de pivotement (resp. de roulement) n (resp. ! t ). 6.1.4 Dynamique du solide. Torseur dynamique, principe de la dynamique. Soit un solide S de masse volumique et un referentiel R. On denit le torseur dynamique de S dans R par 8 ! Z > R = ~a(M=R) d < ZM 2S ! > : ~A = AM ^ ~a(M=R) d; (D) = > M 2S ou ~a(M=R) est l'acceleration du point M dans le referentiel R. Le principe de la dynamique s'enonce comme suit : dans un referentiel R galileen, et pour tout systeme materiel ferme, le torseur des eorts exterieurs est egal au torseur dynamique : (D) = (Fext. ): (1) Principe des actions reciproques. (FS!S0 ) (Fext.!S ) S0 S (Fext.!S 0 ) (FS 0 !S ) Fig. 6.4 - Actions reciproques entre deux solides. Le principe de la dynamique applique dans le referentiel R galileen, successivement aux systemes S , S 0 et (S + S 0 ) denis gure 6.4 donne 8 (D ) = (F 0 ) + (F > S !S ext.!S ) < S (D 0 ) = (F 0 ) + (Fext.!S 0 ) > : (DSS+S0 ) = (FS!S ext.!S ) + (Fext.!S 0 ): 322 Chapitre 6 Comme de plus le torseur dynamique du systeme total est egal a la somme du torseur dynamique de S et de celui de S 0 on aboutit au principe des actions reciproques 8! < R S!S0 = ! R S 0 !S , :! ! 0 : A(S!S 0 ) = A(S !S ) (FS!S 0 ) = (FS 0 !S ) Theoremes de la dynamique. L'egalite (1) implique l'egalite entre les resultantes des deux torseurs a savoir ! R ext. Z d~v = dt d S Z d = dt P (S =R); ~v d = dtd ! S d'ou l'expression du theoreme de la resultante dynamique R) ! m d~v(G= dt = R ext.: (2) La deuxieme relation donnee par (1) est l'egalite des moments des deux torseurs en un point xe A de R ~A = !A ext.; ce qui peut se reecrire pour donner le theoreme du moment cinetique en un point xe de R d ! (3) dt ~A (S =R) = A ext.: Il est possible gr^ace au theoreme de Knig du moment cinetique d'obtenir une formule derivee de (3) concernant le point G dans le referentiel barycentrique d ! dt ~G (S =RG ) = G ext.: (4) Dans le cas important de la rotation par rapport a un axe xe (de directeur ~u) de R, il vient par projection de (3) sur ~u d dt (S =R) = ext. ; (5) ou (S =R) = ~A (S =R) ~u et ext. = !A ext. ~u. De m^eme a partir de (4) dans le cas d'un axe G , passant par G et de direction xe dans R d (S =R ) = G dt G G ext. : 323 Mecanique du solide 6.1.5 E nergie cinetique, travail des actions mecaniques. E nergie cinetique et theoreme de Knig. L'energie cinetique d'un solide S dans un referentiel R est denie par Ecin.(S =R) = Z M 2S 1 2 2 v (M=R) dm: Le theoreme de Knig de l'energie cinetique permet de separer deux contributions a cette energie, une de translation de G dans le referentiel R et une autre de rotation dans le referentiel barycentrique : Ecin.(S =R) = 12 mv2 (G=R) + Ecin.(S =RG ): Dans le cas particulier de la rotation par rapport a un axe xe dans le referentiel R0 considere (qui peut ^etre RG ) on obtient Ecin.(S =R0 ) = 12 J !2 ; avec ! vitesse angulaire de rotation autour de , et J moment d'inertie par rapport a . Exemple : energie cinetique d'un cerceau circulaire de rayon R, qui roule sans glisser sur un plan. Le theoreme de Knig permet d'ecrire Ecin. = (mv2 + J!2 )=2, ou m est la masse de la roue et J son moment d'inertie par rapport a son axe. Tous les points de la roue etant situes a la distance R de l'axe, l'integrale denissant J se calcule directement : J = mR2 . La traduction de l'absence de glissement entre la roue et le sol permet quant a elle d'ecrire v = R! d'ou l'energie cinetique totale de la roue : Ecin. = mv2 . Theoreme de l'energie cinetique. Soit un systeme , soumis a des eorts F!i de points d'application Mi . La puissance des eorts exerces sur vaut P= X! i Fi ~v(Mi =R): Cette denition se generalise directement dans le cas d'une distribution continue d'eorts. Attention, les eorts interieurs contribuent de facon non nulle a cette puissance. Ils doivent donc ^etre pris en compte au m^eme titre que les eorts exterieurs lors du bilan energetique. Dans R galileen le theoreme de l'energie cinetique s'enonce dEcin.(S =R) = P + P , dE (S =R) = W + W ; dt ext. int. cin. ext. expression similaire au premier (( principe )) de la thermodynamique. int. 324 Chapitre 6 Forces derivant d'une energie potentielle ; energie mecanique. Une force f~ derive d'une energie potentielle s'il existe une fonction E des coordonnees des points du systeme S telle que : ce qui peut encore s'ecrire pot. !E ; f~ = grad pot. Wf~ = dEpot. : Il est important de noter que le travail d'une force derivant d'une energie potentielle ne depend pas du chemin suivi mais uniquement des points de depart et d'arrivee; c'est ce qui la distingue fondamentalement d'une force dissipative (force de frottement par exemple). Exemple : la force elastique f~ = kx~ex est une force conservative. En eet 2 ! 1 kx2 + Cte : 2 + Cte) ~e = grad kx~ex = d(kx =dx x 2 La force elastique derive donc d'une energie potentielle Epot. = kx2 =2 + Cte. Comme le potentiel en electrostatique, une energie potentielle est denie a une constante arbitraire pres. On denit l'energie mecanique d'un systeme comme la somme de son energie cinetique et de son energie potentielle. Dans le cas de systemes pour lesquels les forces ne derivant pas d'une energie potentielle ne travaillent pas (systemes dits conservatifs), on a dEcin. = dEpot. , dEmeca. = 0: Puissance des eorts exerces sur un solide. De la denition de la puissance des eorts exerces sur un systeme , dans le cas particulier du solide, on trouve que quel que soit le point A xe par rapport au solide S , P=! R ~v (A=R) + !A ! : En particulier dans le cas d'une force de liaison entre S et un solide S0 xe dans R P = R!l ~v(I=R) + !I ! : Enn, dans le cas general d'une force de contact entre deux solides S et S 0 en mouvement par rapport a R P=! R S 0 !S ~u(S =S 0 ) + !S 0 !S ! (S =S 0 ): Dans le cas particulier de la puissance exercee par un couple de moment ! sur un solide en rotation autour d'un axe xe , on obtient P= d dt : 325 Mecanique du solide 6.2 Exercices 6.2.1 Pendule pesant Duree 15 min Un solide S oscille (gure 6.5) sans frottements autour d'un axe horizontal |on parle de liaison rotode parfaite. On note J le moment d'inertie de S par rapport a , M!sa masse, distance entre son centre de gravite G et !), Ox !a elatant et enn l'angle (Ox; OG dirige vers le bas. ~u ~ur y a G S x Fig. 6.5 - Oscillations du pendule pesant. 1. Determiner l'equation dierentielle du premier puis du second ordre veriee par (t). 2. Determiner la reaction ! R de l'axe sur le solide S . Examiner le cas particulier du pendule simple. 3. Donner la periode des oscillations de faible amplitude autour de = 0. Solution 1. Le solide S est sousmis a l'action de son poids et de la force exercee par l'axe . La liaison entre ces deux elements etant parfaite, le travail de l'eort associe est nul et le systeme considere est donc conservatif. Cela signie que son energie mecanique, somme de son energie cinetique et de son energie potentielle (de pesanteur ici) est une constante du mouvement : Em = 12 J _2 Mga cos = Cte : 326 Chapitre 6 La valeur de la constante est determinee usuellement par le biais des conditions initiales. La derivation par rapport au temps de cette relation nous fournit l'equation dierentielle du second ordre veriee par (t) J = Mga sin ; equation qui peut aussi s'obtenir directement au moyen du theoreme du moment cinetique par rapport a l'axe . 2. La relation fondamentale de la dynamique, appliquee au solide S dans le referentiel xe du laboratoire, s'ecrit R !S + ! P; M d~dtvG = ! relation qui devient, en projetant sur la base mobile (~ur ; ~u ) : _2 a M a R = r R Mg cos + Mg sin : En substituant pour _2 et les expressions trouvees en 1., on obtient nalement comme composantes de la reaction de l'axe Rr = 2Ma J (Em + Mgacos ) Mg cos R = Mg sin 1 Ma2 : J Dans le cas particulier du pendule simple, le moment d'inertie J vaut Ma2 et la reaction de l'axe appara^t purement radiale. 3. Dans le cas d'oscillations de faible amplitude autour de la position = 0, l'equation du second ordre veriee par se reduit par un developpement limite a J ' Mga et le mouvement est alors sinusodal de pulsation !2 = Mga J : L'expression de la periode des petites oscillations est donnee par s J : T = 2 Mga 327 Mecanique du solide 6.2.2 Propulsion par frottement... Duree 15 min On considere un ensemble (gure 6.6) constitue par un support A, mobile sans frottements sur le sol, et par un palet B , pose sur A. Le mouvement entre A et B s'eectue quant a lui avec frottements. A l'instant initial, on imprime une vitesse v0 au palet B . 1. Determiner l'etat nal du systeme. 2. Discuter le bilan energetique des systemes (A + B), (A) et (B). y ~v0 B A x 11111111111111111 00000000000000000 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 R0 Fig. 6.6 - Palet sur un support mobile. Solution 1. En l'absence de frottements entre le sol et le support A, la relation fondamentale de la dynamique appliquee au systeme (A + B ) dans le referentiel xe R0 s'ecrit d~p = X ! F dt ext. ! : = (mA + mB )~g + N Sol!A En consequence, la composante horizontale px de la quantite de mouvement du systeme total est constante au cours du temps. De plus, dans l'etat nal, le palet aura cesse de glisser sur le support A et ces deux elements auront donc m^eme vitesse v dans R0 , d'ou l'egalite v = m m+Bm v0 : A B , mB v0 = (mA + mB )v 2. Soit ~u(B=A) = ~v(B=R0 ) ~v(A=R0) la vitesse de glissement de B par rapport a A, mesuree dans R0 . Le theoreme de l'energie cinetique applique dans ce m^eme referentiel au systeme total s'ecrit Ecin. = Wext. + Wint. = nal Z 0 Pint. dt; 328 Chapitre 6 ou la puissance des eorts interieurs (la force de frottement entre A et B ) vaut Pint. = ! R A!B ~u(B=A): De plus, la variation d'energie cinetique s'ecrit : Ecin. = 21 (mA + mB )v2 12 mB v02 = 21 mmA+mmB v02 < 0: A B Le systeme total a perdu de l'energie, dissipee sous forme de chaleur par la force de liaison entre A et B . Si maintenant on applique le theoreme de l'energie cinetique au support A dans le referentiel xe R0 , il vient Ecin. = Wext. = = nal Z 0 ! R B !A ~v (A=R0 )dt nal Z 0 ! R A!B ~v (A=R0 )dt: Ces deux membres sont positifs et il appara^t que le support A a ete entra^ne par la force de frottement (Ecin. = mA v2 =2). Pour le palet B , la perte d'energie cinetique est due aux frottements sur le support ; ces derniers sont donc a l'origine d'une perte nette d'energie pour le systeme total, dissipee sous forme de chaleur, mais aussi d'une redistribution de l'energie cinetique entre le palet B et le support A. 6.2.3 Si j'avais un cerceau ::: Universite de Paris Val de Marne Duree 1 h Une barre homogene AB , de masse m et de longueur b, glisse sans frottement sur un plan horizontal xe, ce dernier etant rapporte a deux axes xes Ox, Oy. L'extremite A glisse sans frottement sur une circonference de centre O et de rayon a, et l'extremite B est attiree par le point xe O en raison inverse du carre de sa distance r a O, l'attraction ayant pour intensite : m k2 a3 ou k2 designe une constante: r2 On pose, voir gure 6.7 m = 1; (Ox; OA) = ; (OA; AB ) = : 329 Mecanique du solide Les valeurs initiales de ces angles et celles de leurs derivees sont nommees 0 ; _0 ; 0 ; _0 . B y r O b a A x Fig. 6.7 - Denition des principales grandeurs 1. Montrer que l'energie cinetique de la barre peut s'ecrire: 2T = a2 + b2 + ab cos _ 2 + 2b2 + ab cos __ + b2 _2 : 3 3 3 2. Donner l'expression de l'energie potentielle U = U (). 3. Le probleme comporte une particularite geometrique dont on precisera la nature. Montrer qu'elle se traduit par une integrale premiere d'expression : b2 2 a2 + 3 + ab cos _ + b3 + ab cos _ = Cte : 2 4. Le probleme comporte une autre integrale premiere. En donner l'expres- sion. 5. En deduire l'equation dierentielle donnant _2 en fonction de . On constatera qu'elle peut se mettre sous la forme : g() _2 = f () ou g() est une fonction positive. Discussion. 330 Chapitre 6 Solution Dans tout l'exercice, on se place dans un referentiel (R) que l'on supposera galileen. Sans autre precision, les calculs seront eectues dans ce referentiel (R). 1. Pour calculer l'energie cinetique de la barre, sommons les energies cinetiques elementaires de chaque element de longueur : Z Zb 1 1 2 T=2 [~v(M )] dm = 2 [~v(M )]2 m dx b; barre 0 ou x designe la position du point M sur la barre (x = 0 lorsque M est le point A et x = b pour M = B ). Le champ de vitesse ~v(M ) de la barre est celui d'un solide, ce qui signie : ! ~v (M ) = ~v (A) + ! ^ AM ou ! designe le vecteur rotation de la barre. Celui-ci a pour expression : ! = (_ + _) ~u z avec ~uz unitaire servant a denir le triedre direct (~ux ; ~uy ; ~uz ). La position de la barre AB est en eet denie sans ambigute par la donnee de la position du point A et de l'angle + . Il est commode de denir les vecteurs unitaires ~u et ~u associes aux rotations d'angles respectifs et (voir la gure 6.8). Ces vecteurs sont (( mobiles )) : ~u est orthogonal a la droite (OA) et ~u est orthogonal a (AB ) ; le triedre (~u ; ~u ; ~uz ) est direct, norme, mais pas orthogonal. La vitesse d'un point M de la barre peut maintenant s'ecrire sous la forme : ~v(M ) = ~v(A) + (_ + _ ) x ~u = a _ ~u + (_ + _ ) x ~u : L'energie cinetique devient : Z bh i a2 _ 2 + (_ + _)2 x2 + 2a _ (_ + _ ) x (~u :~u ) dx b: 0 Par ailleurs, d'apres la denition des vecteurs ~u et ~u , on a 2T = m ~u :~u = cos en vertu de quoi, 2T = m 2 a2 + b 2 2 _ 2 + 2b + ab cos __ + b _2 : + ab cos 3 3 3 Nous avons garde explicitement la masse m au lieu de poser m = 1 comme le suggere l'enonce. Cela permet de verier l'homogeneite des formules obtenues. 331 Mecanique du solide ~u B y M ~u O A x ~uz Fig. 6.8 - Vecteurs unitaires associes aux dierentes rotations Remarque : le resultat precedent peut se retrouver a l'aide du second theoreme de Ko enig qui precise que l'energie cinetique d'un solide est la somme de l'energie cinetique de son centre de masse et de son energie cinetique T dans le referentiel barycentrique : T = 21 m vG2 + T : Le centre de masse G de la tige se trouve au milieu du segment [A; B ]. Sa vitesse a pour expression : d'ou ~v (G) = ~v(A) + (_ + _ ) 2b ~u = a _ ~u + (_ + _ ) 2b ~u v2 (G) = _ 2 a2 + b2 + ab cos + _2 b2 + _ _ ab cos + b2 : 4 4 2 Par ailleurs, le mouvement de la barre dans son referentiel barycentrique est un mouvement de rotation a la vitesse angulaire (_ + _) autour de l'axe (G; ~uz ) xe dans le referentiel barycentrique : l'energie cinetique barycentrique s'ecrit 2 T = 12 J _ + _ ; ou J est le moment d'inertie de la barre par rapport a l'axe de rotation (G; ~uz ). Par denition : Z b=2 b2 : J= x2 dm = m 12 b=2 332 Chapitre 6 Ainsi, 2T = m a2 + b2 + ab cos _ 2 + 2b2 + ab cos __ + b2 _2 : 3 3 3 2. La tige est soumise a quatre forces. Le poids de la barre et la reaction du plan horizontal se compensent puisque le mouvement est horizontal dans le plan (xOy). Au point A, s'exerce la reaction de l'anneau mais cette force est toujours orthogonale au deplacement du point A puisqu'il n'y a pas de frottements : elle ne travaille pas. Le point B ressent la force centrale : ! 2 3 ! 2 a3 OB : = m k f~ = m kr2 a BO BO OB 3 Cette force est independante de (elle est invariante par une translation sur la variable : ! + Cte ). Il en sera de m^eme pour le potentiel U duquel elle derive suivant : ! U: f~ = grad Celui-ci a pour expression : 3 U () = m k2 ar + Cte = m k2 p a3 a2 + b2 + 2ab cos + Cte : Le potentiel n'est deni qu'a une constante pres. Ce ne sont que ses variations qui nous interessent. 3. Le systeme est soumis a un champ de force central (la reaction du support en A et la force exercee en B sont toutes deux dirigees vers O). Comme dans les problemes de gravitation et de mouvement des planetes, nous pouvons en deduire que son moment cinetique se conserve. En eet, appliquons le theoreme du moment cinetique par rapport a l'axe ~uz = ~ux ^ ~uy (normal au plan du cercle) passant par le point O xe : d~ (O) = X M ! (O): dt ext. La derivee temporelle du moment cinetique est egale a la somme du moment en O des forces exterieures a la barre. X! ! ^ F! + OB ! ^ F! = ! Mext.(O) = OA 0 A B ou F!A (resp. F!B ) est la force exercee sur la tige au point A (resp. B ). Nous en deduisons la conservation du moment cinetique. Calculons celui-ci : ~(O) = Z barre = m ! ^ ~v(M ) dm OM Zb ! OM ^ ~v(M ) dx b 0 b = m a2 _ + (_ + _) 2 a cos + 2b a_ cos + 31 b2(_ + _) ~uz : 333 Mecanique du solide Une integrale premiere du mouvement est donc : a2 + b2 + ab cos _ + b2 + ab cos _ = Cte = C 3 3 2 qui traduit la loi des aires pour la barre soumise a un systeme de forces centrales. Remarque : pour calculer ~(O), nous aurions pu appliquer le premier theoreme de Ko enig : ! ^ m~v(G) + ~ ; ~(O) = OG ou ~ est le moment cinetique calcule dans le referentiel barycentrique. Dans le referentiel barycentrique, la barre est animee d'un mouvement de rotation de vitesse angulaire (_ + _ ) autour de l'axe xe = (G; ~uz ), ce qui permet d'ecrire : 2 _ _ ~ = ~uz = mb 12 ( + ) ~uz : Ce resultat peut se retrouver par un calcul direct plus fastidieux : ~ = ~ (G) = = = Z ! ^ (~v(M ) ~v(G)) dm GM Zbarre! ! ! GM ^ ^ GM dm ! ! ! Z GM 2 ! GM GM dm m ! Z b=2 x2 dx b b2 ~u : = (_ + _ ) m 12 z = Enn, b=2 0 ! !1 OB b b ! OA _ _ _ A @ OG ^ m~v(G) = m a OA + 2 OB ^ a ~u + ( + ) 2 ~u 2 = m a(_ + _ ) 2b cos + a2 _ + b4 (_ + _) + _ ab 2 cos : ce qui redonne : ~(O) = m a2 + b2 + ab cos _ + b2 + ab cos _ ~u : z 3 3 2 4. Le mouvement de la barre en A se fait sans frottement et la force subie par le point B est conservative d'apres le resultat de la question 2. Par consequent, l'energie mecanique Em de la barre se conserve : T (; ) + U () = Em = Cte : 334 Chapitre 6 5. A l'aide de la relation etablie a la question 3. nous allons exprimer l'energie cinetique T en fonction de et _ uniquement. E crivons tout d'abord : 2T = b2 _2 + _ C + b2 + ab cos _ : m 3 3 2 Puis, en remplacant _ par son expression obtenue a la question 3 : 2T a2 + b2 + ab cos = b2 a2 + b2 + ab cos _2 + C 2 b2 + ab cos 2 _2 m 3 3 3 2 a2b32 a2b2 2 2 = _2 3 4 cos + C 2 2 = _2 a12b 4 3 cos2 + C 2 : De la conservation de l'energie mecanique Em , il vient : (2T + 2U ) a2 + Posons b2 + ab cos = 2E a2 + b2 + ab cos : m 3 3 2 2 g() = m a12b (4 3 cos ) ; l'expression precedente devient : 2 2 g() _2 + mC 2 + 2 a2 + b3 + ab cos U () = 2Em a2 + b3 + ab cos : Il est possible de la reexprimer sous la forme : g() _2 = f () ; ou f () = 2 fEm U ()g a2 + b2 + ab cos 2 C : 3 E tant donne que cos < 1, nous pouvons armer que la fonction g est toujours de signe strictement positif. Cela signie que si pour certains angles, f () prend des valeurs negatives, ces angles ne correspondront jamais a une position de la barre. Envisageons les deux cas possibles selon les conditions initiales : 8 2 [0; 2]; f () > 0. Alors la vitesse de rotation a pour expression p j_j = f=g 6= 0 pour tout et elle ne change jamais de signe : la barre tourne indeniment autour du point A, toujours dans le m^eme sens, le point A etant lui-m^eme mobile par rapport au cerceau. 335 Mecanique du solide 9 m 2 [0; 2] = f () 0. La fonction f etant continue, elle est negative sur un intervalle [1 ; 2 ] contenant m et l'existence d'un intervalle [3 ; 4 ] sur lequel f est positive est physiquement necessaire. Suivant la facon dont f s'annule en 3 ou 4 , la barre va osciller entre les positions reperees par les angles 3 et 4 (f 0 (3 ) 6= 0 et f 0 (4 ) 6= 0) ou bien la barre va tendre asymptotiquement vers l'une des deux positions precedentes. 6.2.4 Propagation d'ondes dans une cha^ne de ressorts Universite Joseph Fourier, Grenoble Duree 1 h On considere une cha^ne de particules identiques de masse m, situees aux points d'abscisse z = na ou n est un entier negatif ou nul. La cha^ne est donc illimitee a gauche et limitee en z = 0. n 1 n n+1 1 0 z Fig. 6.9 - La cha^ne semi-innie Ces masses sont reliees par des ressorts identiques de raideur dont la longueur au repos est a. Les particules eectuent des deplacements selon Oz et l'on appelle xn le deplacement algebrique de la particule n. 1. Montrer que la particule n obeit a l'equation mxn + (2xn xn+1 xn 1 ) = 0: 2. On cherche des solutions sous la forme d'une onde progressive de nombre d'onde k. En notation complexe : xn = A e|(!t kna) ; ou par convention |2 = 1. a) En deduire la relation entre ! et k. Comment appelle-t-on cette equation? b) Cette relation aurait-elle change si l'on avait cherche des solutions xn = A e|(!t+kna) ? A quel type d'ondes correspondent-elles? 3. Montrer que les solutions (( ondes progressives )) ne sont possibles que si ! < !max. Donner l'expression de !max en fonction de et de m. On se place desormais dans le cas ! < !max . 336 Chapitre 6 4. Donner l'expression de la vitesse de phase et de de la vitesse de groupe. Pour quelles valeurs de k sont-elles confondues? 5. La particule extr^eme (n = 0) est xe : x0 = 0. On admet que l'onde incidente se reechit en z = 0 et donne naissance a une onde reechie de m^eme amplitude, mais dephasee de ' par rapport a l'onde incidente. On a alors : xn = A e|(!t kna) + A e|(!t+kna+') : Determiner '. 6. Montrer que l'on peut supprimer l'onde reechie en liant la particule extr^eme (n = 0) a un point xe par un ressort de raideur , et en la soumettant a un frottement visqueux donnant lieu a une force f~ = m ~v: Determiner et en fonction de !, k, , et a. On identiera partie reelle et partie imaginaire dans l'equation fondamentale de la dynamique pour la particule en z = 0. Solution 1. Soit zn l'abscisse de la nieme particule. Les grandeurs algebriques xn representent le deplacement par rapport a la position d'equilibre zn = na. On a donc : zn = xn + na: L'etirement du ressort situe entre les particules n et n + 1 est : zn+1 zn = xn+1 xn + a: Par consequent, ce ressort dont la longueur au repos est a, exerce sur la particule n une force qui, projetee sur l'axe des z a pour expression F(n+1)!n = (zn+1 zn a) = (xn+1 xn ) : De m^eme, la particule n ressent de la part de la partie de la cha^ne situee a sa gauche une force F(n 1)!n = Fn!(n 1) = (xn 1 xn ) : En appliquant la relation fondamentale de la dynamique a la particule n, il vient mzn = Fn+1!n + Fn 1!n : Par ailleurs, zn = xn , d'ou mxn + (2xn xn+1 xn 1 ) = 0 : Le facteur 2 qui appara^t dans l'expression precedente laisse penser que les eets des ressorts situes a droite et a gauche de la particule n s'ajoutent. En 337 Mecanique du solide eet, a xn+1 et xn 1 xes, si on deplace n vers la droite (xn > 0), le ressort situe a gauche tire la particule vers la gauche et celui situe a droite la pousse de m^eme vers la gauche. Remarque : les forces subies par la particule n peuvent aussi s'exprimer a partir de l'energie potentielle elastique Ep des ressorts. Pour le ressort situe entre les particules n et n + 1, on a : Ep (n; n + 1) = 12 (zn+1 zn a)2 = 21 (xn+1 xn )2 : La tension subie par la particule n de la part de ce ressort s'exprime sous la forme : ! [E (n; n + 1)] ! F (n+1)!n = grad n p ou la derivation a lieu par rapport a la position de la particule n. On retrouve bien : F(n+1)!n = (xn+1 xn ) : 2.a) On cherche des solutions sous la forme d'ondes progressives: xn = A e|(!t kna) : En reportant dans l'equation traduisant la relation fondamentale de la dynamique, il vient : m!2 xn + 2xn e|ka xn e |ka xn = 0 d'ou !2 = 2m (1 cos ka) : Posant !02 = =m (!0 est la frequence propre des ressorts), on peut ecrire la relation entre k et ! sous la forme : !2 = 4!02 sin2 ka 2 : L'equation precedente est la relation de dispersion. 2.b) Si l'on considere des solutions de la forme xn = A e|(!t+kna) ; correspondant a des ondes se propageant vers la gauche, la relation de dispersion est inchangee. Elle est en eet invariante par le changement k ! k. Cela signie que la propagation d'ondes est possible dans le sens des z croissants et dans celui des z decroissants. 3. Le terme en sin2 qui appara^t dans la relation de dispersion est majore par 1. Les ondes progressives ne peuvent donc se propager que pour ! < !max , avec r !max = 2 !0 = 2 m : 338 Chapitre 6 4. Prenons par convention ! > 0 et k > 0. On a alors : ka ! = 2!0 sin 2 : Ainsi, et v' !k = 2k!0 sin ka 2 ka d! vg dk = a!0 cos 2 : Ces deux vitesses caracteristiques sont confondues lorsque k 1=a, c'est-a-dire pour les tres grandes longueurs d'onde. Dans cette limite, on a : v' ' vg ' !0 a: Plus generalement, v' = vg lorsque la relation ka ka tan = 2 2 est veriee. 5. Le dephasage ' (deni a 2 pres) s'obtient gr^ace a la condition x0 = 0 qui impose '= : Ainsi, on peut ecrire: xn = A e|!t e |kna e|kna = 2A j e|!t sin(kna) qui correspond a une structure d'onde stationnaire. 6. Supposons que l'on ait fait subir a la particule n = 0 le traitement decrit dans l'enonce. Pour les particules d'indice n 6= 0, la relation fondamentale de la dynamique donne l'equation obtenue a la question 1. En ce qui concerne la particule extr^eme n = 0, un bilan des forces conduit a : mx0 + m x_ 0 + (x0 x 1 ) + x0 = 0: Le but de cette question est de montrer que la cha^ne admet une solution (( onde progressive )), c'est- a-dire qu'une onde reechie n'est pas necessaire pour satisfaire les conditions aux limites. Nous allons voir que c'est bien le cas et calculer les valeurs de et correspondantes. Pour tout n, y compris n = 0, on doit avoir xn = A e|(!t kna) : Apres simplication par A exp(|!t) dans l'equation fondamentale de la dynamique pour la particule n = 0, il vient : m!2 + 1 e|ka + + m |! = 0: 339 Mecanique du solide En prenant successivement les parties reelle et imaginaire de l'expression precedente, on peut ecrire : = m!2 + [cos(ka) 1] sin(ka): = m! Par ailleurs, la relation de dispersion est toujours valable, d'ou = m!2=2 sin(ka) : = m! Complement: l'equation a laquelle obeit le deplacement de la particule n est une equation de propagation d'ondes dans un cas discret : mxn + (2xn xn+1 xn 1 ) = 0: On peut retrouver une equation d'onde (( classique )) en prenant la limite des tres grandes longueurs d'onde a. Dans cette limite, xn varie peu d'une particule a l'autre et peut ^etre assimile a une variable continue x(z; t). On peut ainsi ecrire, dans le cadre de cette approximation, appelee approximation des milieux continus : @x (na; t) + a2 @ 2 x (na; t) + O(a3 ): + a xn+1 = x(na + a; t) = |x(na; t ) {z } @z 2 @z 2 xn Par consequent, xn+1 xn ' @x a @z xn+1 2xn + xn a2 ce qui conduit a : 1 @ 2x c2 @ 2x = 0 @t2 @z 2 2 ' @@zx2 ; ou c = a!0 est homogene a une vitesse. La solution de l'equation precedente s'ecrit : x(z; t) = f (z ct) + g(z + ct): Cela signie que dans la limite du continu, les ondes se propagent a la vitesse c = a!0 . On retrouve la le resultat de la question 4. : pour k a, v' = a!0 = vg . 340 Chapitre 6 6.2.5 Resistance d'un pilier en compression Universite Paris VI Duree 1 h Cet exercice traite le cas d'un solide deformable. Il necessite quelques connaissances d'elasticite (Loi de Hooke, notion de contrainte, coecient de securite). 1. Denir une liaison glissiere entre deux solides rigides (S1) et (S2). Lorsque la liaison est sans frottement, que peut-on dire de la resultante du torseur des eorts exerces par (S1 ) sur (S2 )? Justier votre reponse. 2. On considere un pilier cylindrique en beton, de masse volumique et de rayon a, soumis a une charge verticale descendante d'intensite Q appliquee au centre d'inertie de la section droite superieure et a son propre poids, de sorte qu'il est en compression (voir la gure 6.10). y Q~y h Fig. 6.10 - Schema du pilier en traction-compression a) Donner l'equation d'equilibre du pilier, ainsi que la condition a la limite en y = h. Determiner la charge maximale que peut supporter le pilier sans sortir de son domaine d'elasticite. On adoptera un coecient de securite . On designe par u la limite d'elasticite en compression simple du beton. Application Numerique : = 2500 kg=m3, a = 50 cm, h = 5 m, u = 28 N=mm2, = 4. Est-il raisonnable de negliger le poids? b) Pour cette charge maximale, calculer le raccourcissement du pilier en supposant le comportement du materiau constitutif elastique. Application Numerique : E = 2 104 N=mm2. 341 Mecanique du solide Solution 1. Une liaison glissiere d'axe (O; ~x ) entre deux solides (S1 ) et (S2) autorise, a l'exclusion de tous autres, les mouvements de translation paralleles a (O; ~x ) entre (S1 ) et (S2 ) ; c'est une liaison a un seul degre de liberte. En l'absence de frottements, la resultante du torseur des eorts est normale au plan de contact. 2.a) On considere une tranche de pilier comprise entre les altitudes y et y + dy. Cette tranche est soumise d'une part a son poids : ! P = g Sdy ~y; et d'autre part aux actions des parties superieures et inferieures du pilier sur ses faces, notees respectivement ! R (y + dy) et ! R (y). Comme ces deux actions se traduisent par une resultante normale aux surfaces d'application, on obtient en introduisant la tension N (y) du pilier a l'altitude y : ! R (y) = N (y) ~y Par ailleurs, et ! R (y + dy) = N (y + dy) ~y. N (y + dy) = N (y) + dNdy(y) dy: A l'equilibre, la somme de ces trois contributions doit ^etre nulle ce qui conduit, une fois prise la limite dy ! 0, a : dN (y) = gS . dy La condition aux limites en h s'obtient en se rappelant que l'extremite superieure du pilier se voit appliquer une force Q~y c'est-a-dire dans les notations precedentes: ! R (h) Q ~y = ! 0: Ainsi, N (h) = Q . La solution de cette equation dierentielle s'ecrit : N (y) = gS (y h) Q: On peut remarquer que la tension N (y) du pilier est partout negative, ce qui signie que le pilier est en compression. La contrainte en un point est quant a elle denie par : (y) = NS(y) . An de calculer maintenant la charge maximale que peut supporter le pilier, nous allons determiner la contrainte maximale percue par celui-ci. Cette 342 Chapitre 6 contrainte peut se denir comme la valeur maximale prise par (y) en un point y du pilier max = pilier max j(y)j Q + g(h y) . = max y S Finalement cela donne pour la contrainte maximale en un point du pilier max = gh + Qmax S . Pour que le pilier soit toujours dans sa zone d'elasticite a la contrainte maximale, il faut, si l'on adopte un coecient de securite , que max u : La charge maximale admissible est donc Qmax = a2 u gh . Application Numerique : Qmax = 5; 3 106 N . Le rapport du poids sur Qmax est 0; 018 : le poids est negligeable par rapport a Qmax . 2.b) Une fois le poids neglige, la contrainte au sein du pilier est homogene, c'est-a-dire que quelle que soit l'altitude y a laquelle on se place dans le pilier (y) = Q S. La loi de Hooke reliant la deformation locale a la contrainte peut alors ^etre utilisee pour le pilier dans son ensemble, et nous donne = E h . h Utilisant l'expression de la contrainte , il vient pour le raccourcissement h = aQ2 E h . Application Numerique : dans le cas de la charge maximale, le raccourcissement est h = 1; 68 mm . 343 Mecanique du solide 6.3 Problemes 6.3.1 Sphere creuse sur un plan incline Universite de Caen Duree 2 h Documents non autorises Soit donne un plan incline faisant un angle avec le plan horizontal. On utilisera le referentiel (O; ~x; ~y;~z), ou (O; ~x) est parallele a la ligne de plus grande pente du plan , (O; ~z) est perpendiculaire a et (O; ~y) forme avec les deux axes precedents un triedre trirectangle direct. On notera R0 ce referentiel. Soit S une sphere creuse homogene, pesante, de masse m, de rayon R, de centre C , en contact avec le plan . On designe par { l'abscisse du point C , ! ou CM ! est un rayon vecteur de la sphere contenu dans { = (C; ! Z ); CM ! le plan (O; ~x;~z) et (C ; Z ) est parallele et de m^eme sens que (O; ~z), { I le point de contact du plan avec la sphere. La sphere reste en contact avec le plan et le mouvement de C a lieu dans le plan (O; ~x;~z). Le plan incline est xe et R0 est rigidement lie a ce plan. z Z y O >0 I C x Fig. 6.11 - Schema du dispositif. 1. Premiere phase du mouvement : S est deposee sans vitesse initiale sur le plan . A l'instant initial, C est en O. Le contact a lieu sans frottement. a) Donner l'expression du moment d'inertie I de S par rapport a l'un quelconque de ses diametres. b) E crire les equations dierentielles du mouvement. Quelle est la nature du mouvement dans cette phase? 344 Chapitre 6 2. Deuxieme phase du mouvement : a l'instant t0 , la sphere arrive dans une zone ou le coecient de frottement de glissement avec ne peut plus ^etre neglige. On designera par { f le coecient de frottement de glissement entre le plan et la sphere, { ! F = T~x + N~z la reaction du plan sur S . On prendra comme nouvelle origine des temps l'instant t0 . On notera t0 les instants comptes a partir de cette nouvelle origine. a) E tablir l'expression de ~v(I; S =R0 ) en fonction de _ et _. Donner le signe de T a l'instant t0 = 0, ainsi que la relation qui lie T et N tout au long de cette seconde phase. b) E crire le theoreme de la resultante cinetique et le theoreme du moment cinetique. En deduire les valeurs de l'acceleration du point C et de l'acceleration angulaire de S . c) Quelle est la vitesse de I 2 S a l'instant t0 ? A quelle condition (portant sur f et ) le glissement ne s'arr^etera-t-il jamais? d) On suppose que cette condition n'est pas satisfaite. A quel instant t01 le glissement cessera-t-il? e) Entre les instants t0 = 0 et t0 = t01, quel est le travail des forces de contact? Montrer qu'on peut l'evaluer de deux manieres dierentes. On designera par 1 la distance parcourue par le point C pendant la seconde phase. Solution 1.a) Par denition du moment d'inertie, on a Z I = r2 dm; ou r est la distance au diametre par rapport auquel on calcule I . E tant donnee la symetrie spherique de , on peut laisser de c^ote la dimension transverse et on se ramene a l'integration sur des couronnes circulaires de rayon r Diametre r M 345 Mecanique du solide ou chaque point M est aecte de la masse dm de l'anneau qu'il represente soit dm = m dS S m = 4R2 (2r) (Rd). Dans ces conditions, comme r = R cos on obtient en reportant 2 I = mR 2 et nalement Z2 cos3 d 2 I = 32 mR2 . Il y avait dans ce cas precis une technique plus astucieuse : soient Dx, Dy et Dz trois diametres de la sphere de directions respectives ~ex, ~ey , ~ez , ces trois vecteurs formant un triedre direct. Les moments d'inertie de la sphere par rapport a ces axes sont Z Ix = (y2 + z 2 )dm et permutations circulaires. De plus, par symetrie, les trois diametres sont equivalents, donc les trois moments sont egaux, et egaux au moment I recherche. En les sommant, on a de ce fait Z 3I = 2(x2 + y2 + z 2)dm = Z 2R2 dm: Comme R est une constante, l'integration des dm sur l'ensemble de la surface redonne la masse totale de la sphere, soit comme avec la precedente methode I = 23 mR2. 1.b) On applique la relation fondamentale de la dynamique (R.F.D.) a la sphere dans le repere R0 . En l'absence de frottements,!cette derniere n'est soumise qu'a deux forces qui sont!d'une part!son poids P , et d'autre part la reaction du sol qui est normale : R = ! T +N ;! T =! 0. On exprime cette relation de la dynamique dans le repere (O; ~x;~z) pour obtenir les equations dierentielles du mouvement ( m =mg sin . 0 =mg cos N 346 Chapitre 6 Au vu de ce systeme, on peut dire que la sphere eectue au cours de cette premiere phase un mouvement uniformement accelere. Sa position au cours du temps est donnee par la double integration de l'equation de 2 = g sin t2 + At + B . Les constantes introduites lors de ce calcul se determinent au moyen des conditions initiales du mouvement qui sont ( (t=0) = 0 _(t=0) = 0 (C en O) (~v = 0 en O) pour conduire a l'expression de l'abscisse du centre de gravite C de la sphere durant cette premiere phase 2 (t) = g sin t2 . 2.a) Pour trouver la vitesse de glissement de la sphere sur le plan (c'est-adire comme le plan incline est immobile dans le repere considere, la vitesse du point I appartenant a S ) on utilise le torseur des vitesses de la sphere qui lie les vitesses de I et de C par la relation !^ ! ~v(I; S =R0 ) = ~v(C ) + IC . La vitesse du point C est donnee par ~v(C ) = _ ~x, et le vecteur rotation instantanee, d'apres la convention de signe choisie pour , a pour expression : ! = _ ~y. ! = R~z et conduit a Le produit vectoriel s'eectue sans dicultes en prenant IC ~v (I; S =R0 ) = _ R_ ~x . En l'absence de frottements, la sphere S , initialement sans rotation autour de l'axe ~y est toujours dans cette conguration a l'issue de la premiere phase du mouvement, et donc _(t0 =0) = 0. Notons avant de poursuivre qu'il peut para^tre troublant de voir une bille avancer sans rouler... Pourtant cela n'a rien de surprenant pour quiconque est amateur de billard, et notamment de billard francais pour lequel les boules sont plus massiques et donc se conforment assez bien aux lois de la mecanique sans frottements. Essayez donc de frapper une de ces boules exactement selon un diametre horizontal, de maniere a ne pas lui communiquer de rotation initiale, mais uniquement de la translation ; vous devriez constater que pendant quelques secondes la boule avance sans rouler ! E videmment, les frottements 347 Mecanique du solide sur le tapis ne sont dans ce cas de gure jamais nuls et la boule nit toujours par tourner, mais cela permet de se convaincre de la possibilite de la chose dans le cas ou les frottements deviennent faibles |une bille d'acier poli sur un plan d'acier. Au commencement de la seconde phase du mouvement, la vitesse de glissement se reduit a ~v(I; S =R0 )(t0 =0) = _(t0 =0) ~x. La vitesse de la sphere etant continue, sans quoi il faudrait faire intervenir des accelerations |donc des forces| innies, ce qui n'a physiquement pas de sens, _ en t0 = 0 est egal a _ en t = t0 , c'est-a-dire que la vitesse est orientee vers le bas et la sphere descend. Les lois empiriques du frottement solide nous permettent d'en deduire le sens !. de la reaction tangentielle, et le lien qui existe entre les modules de ! T et N Le frottement de glissement s'oppose au glissement ce qui implique que la valeur algebrique de la reaction tangentielle verie T (t0=0) < 0 . De plus il existe un coecient f appele coecient de frottement de glissement tel que les modules des deux composantes de la reaction du sol sont lies par une relation de proportionnalite !k . k! T k = fkN Les lois que nous venons de donner sont phenomenologiques: elles sont posees a posteriori de facon a rendre compte des phenomenes observes. Elles sont aussi appelees loi du glissement de Coulomb (voir les rappels de cours). 2.b) Tout comme a la question 1., appliquons la R.F.D., avec cette fois une reaction tangentielle non nulle. Un terme additionnel appara^t dans la premiere equation du systeme ( m =mg sin + T 0 =mg cos N (1) . (2) Pour completer ce jeu de deux equations, on applique comme le suggere l'enonce, le theoreme du moment cinetique par rapport a l'axe , passant par C , et de vecteur directeur ~y. Dans ces conditions, en reprenant la notation de l'equation (5) des rappels de cours, on a la relation d = dt . L'axe ainsi deni etant un diametre de la sphere, on utilise le resultat de la question 1.a) pour exprimer le membre de gauche de la precedente equation d = I . dt 348 Chapitre 6 Le moment des forces par rapport a l'axe s'exprime quant a lui de la maniere suivante (I est le point d'application de la reaction du sol et C celui du poids) h ! ! ! i h ! !i = CI ^ ( T + N ) ~y + CC ^ P ~y h i = R ~z ^ T~x + ~z ^ N~z ~y + ! 0 = R T: En recombinant les deux membres ainsi exprimes, on obtient une troisieme equation I = R T (3) . En utilisant (2) ainsi que les relations phenomenologiques sur le frottement de glissement, il vient T = mfg cos ; ce qui donne une fois insere dans les equations (1) et (3) les expressions respectives de l'acceleration du point C et de l'acceleration angulaire = 23Rg f cos et = g(sin f cos ) . 2.c) D'apres l'expression de la vitesse de glissement trouvee en 2.a), nous avons besoin de conna^tre non pas les accelerations, mais les vitesses a la fois angulaires et du point C . Elles s'obtiennent en integrant les resultats de la question precedente 8 3g < _ = f cos t0 + _(t0=0) R : _ = g2(sin f cos )t0 + _(t0 =0) et nous permettent une fois reportees dans la formule de la vitesse de glissement d'obtenir ~v(I; S =R0 )(t0 ) = ~v (I; S =R0 )(0) + gt0 (sin 25 f cos )~x . Les considerations precedentes nous ont donne pour valeur de la vitesse de glissement au commencement de la deuxieme phase du mouvement ~v (I; S =R0 )(t0 =0) = _(t0 =0) > 0. De ce fait, si le second terme de l'expression de la vitesse de glissement est egalement positif, cette derniere ne s'annulera jamais |elle s'annulera dans le cas contraire gr^ace au facteur t0 qui peut devenir inniment grand. Cette condition de signe s'ecrit sin 52 f cos > 0 349 Mecanique du solide soit pour le coecient de frottement de glissement f : f < 25 tan . 2.d) On se place dans le cas ou le glissement va s'annuler au bout d'un temps ni t01 . Cette condition s'exprime en utilisant la question precedente v(I; S =R0 )(t01 ) = 0 , gt01(sin 25 f cos ) = v(I; S =R0 )(t0 =0). De l'expression trouvee en 1.b) pour la position du centre C de la sphere, on deduit par simple derivation temporelle v(I; S =R0 )(t0 =0) = _(t0 =0) = _(t=t0 ) = g sin t0 ; d'ou pour t01 t01 = 5f 1 t0 . 2 tan 1 On peut remarquer a titre de verication, qu'avec la condition prise sur f et , ce temps t01 est positif, c'est-a-dire que l'annulation de la vitesse de glissement a eectivement lieu. 2.e) Pour calculer le travail des forces de frottement entre les instants t0 = 0 0 et t = t01 , utilisons tout d'abord la methode la plus generale a savoir le theoreme de l'energie cinetique. Celui-ci nous donne dEcin. = P forces ext. et int. . dt Les forces en presence etant le poids de la sphere, qui derive d'une energie potentielle, et la reaction tangentielle du sol |la composante normale, partout normale au deplacement, ne travaille pas| cette expression se transforme en dEcin. = dEpot. + P ; T dt dt ou PT designe la puissance des forces de contact. L'energie potentielle de pesanteur a pour expression Epot. = m g sin + Cte . Finalement le theoreme de l'energie cinetique prend pour forme dEcin. = mg sin _ + P . T dt Exprimons par ailleurs l'energie cinetique du solide au moyen du theoreme de Knig qui stipule que Ecin.(S =R0 ) = Ecin.(C=R0 ) + Ecin.(S =RC ); 350 Chapitre 6 ou RC est le referentiel du centre de masse. Autrement dit, l'energie cinetique totale du solide se decompose en une energie liee a la translation (premier terme), et une energie liee a la rotation propre (deuxieme terme). Ainsi decomposee, l'energie cinetique s'ecrit Ecin.(S =R0 ) = 21 m_2 + 21 I _2 soit, apres derivation et substitution de I : dEcin. = 2 mR2_ + m_. dt 3 De plus, la question 2.b) nous donne pour les derivees secondes 8 3g < = f cos R : = g2(sin f cos ) qui en reportant conduisent a PT = fmg cos (_ R_). Pour le travail de la force, il ne reste plus qu'a integrer en utilisant pour _ et _ les expressions temporelles trouvees au debut de 2.c) WT = fmg cos soit en fonction du temps t01 Z t01 " 0 _(0) + sin 25 f cos gt dt # 02 WT = fmg cos _(0)t01 + sin 52 f cos g t12 . La deuxieme methode quant a elle consiste a calculer directement le travail de la force au moyen de l'expression litterale de celle-ci, obtenue a la question 2.b). En eet, le travail associe a un deplacement elementaire s'ecrit WT = ! T ! dl . Le point delicat a ce niveau, est la facon dont s'exprime le deplacement elementaire : il s'agit d'une distance sur laquelle la sphere a glisse ce qui comprend a la fois une distance suivant , mais aussi une distance due a la rotation |si la sphere tournait sur place, les forces de frottement travailleraient sans que pour autant l'abscisse varie. L'expression du travail est alors WT = ! T ~v(I; S =R0 )(t0 )dt0 ; soit PT = fmg cos _ R_ ; expression identique a celle obtenue avec la methode precedente. 351 Mecanique du solide 6.3.2 Introduction a l'eet gyroscopique Universite Paris VI Duree 2 h Aucun document n'est autorise. A. Cinematique : Un solide indeformable (S ) est constitue : { d'un disque homogene (D), de masse m, de rayon R, de centre B { d'une AB de longueur l (avec l > R), de masse negligeable. On pose ! =tige BA l~z et le repere orthonorme direct (A ; ~x ; ~y ; ~z ) est lie a (S ) (cf. gure 6.12.A). Par rapport au repere galileen Rg (O ; x~o ; y~o ; z~o ), avec Oz!o vertical ascendant, le solide (S ) est en mouvement de facon que : ! = R z~ ; { le point A soit xe, avec OA o { le disque (D) soit en contact ponctuel en I avec une plaque (P ) en mouvement, dans le plan (xo Oyo ), de rotation autour de Oz!o , a la vitesse angulaire !(t), fonction donnee du temps t (cf. gure 6.12.B). On designe par (B ; ~x 0 ; ~y 0 ; ~z 0 ) le repere lie au solide (S ) deduit du repere (A ; ~x ; ~y ; ~z ) par la translation l~z. On choisit la ligne des nuds des angles d'Euler du mouvement de (S ) autour de son centre d'inertie B , de facon que l'angle de nutation = (z~o ;~z) soit egal a =2 (cf. gure 6.12.C). L'angle de precession est = (x~o ; ~u) et l'angle de rotation propre est ' = (~u; ~x0 ) ou ~u = ~zo ^ ~z: 1. Determiner le vecteur-vitesse de rotation instantanee ! de (S ) dans le mouvement par rapport au repere Rg , par ses composantes sur la base orthonormee directe (~u ; z~o ; ~z). En deduire que le vecteur-vitesse de I appartenant a (S ) est : v~S (I ) = R '_ l _ ~u: 2. Determiner, par ses composantes sur la base (~u ; z~o ; ~z), le vecteur-vitesse de rotation instantanee de (P ) dans le mouvement par rapport au repere Rg . En deduire le vecteur-vitesse de I appartenant a (P ). 3. Determiner, par ses composantes sur la base (~u ; z~o ; ~z), le vecteur de glissement de (S ) par rapport a (P ). 352 Chapitre 6 x z A y zo l B (D) R B A z y 0110 (S ) B u~ 010 z 1 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 10 10 (D) R1 010O 10 (P ) I 0000000000 1111111111 10 l 0000000000 1111111111 111111 000000 FIGURE C x FIGURE A 0110z 0 y 1 (D) 1010A z y B1111111 0000000 0 1 x 0000000000 0000000 1111111 1111111111 0000 1111 0 1 O 0000000 1111111 y u 0000 1111 0000000 I1111111 0000 1111 x 0000000 1111111 0000 1111 x 0000000 1111111 !(t) 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 FIGURE B o 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 (P) 00000000 11111111 00000000 11111111 0 0 o Fig. 6.12 - Description du gyroscope o 353 Mecanique du solide B. Cinetique : Dans le mouvement par rapport au repere galileen, determiner, par leurs composantes dans la base (~u ; z~o ; ~z), successivement: 1. les elements de reduction en B du torseur cinetique de (S ) en fonction des donnees, des angles d'Euler et de leurs derivees par rapport au temps ; N.B. On utilisera les notations a et c pour les constantes denies par: a = mR2 =4 + ml2 ; c = mR2=2: 2. les elements de reduction en A du torseur cinetique de (S ) en fonction des m^emes elements; 3. les elements de reduction en A du torseur dynamique de (S ). C. Dynamique : Les seules forces donnees, exterieures a (S ), sont la pesanteur, d'acceleration ~g = gz~o (g > 0). La liaison en A est spherique et parfaite (liaison rotule). La liaison en I entre (P ) et (S ) est ponctuelle, de resultante : ! R = T~u + N z~o: 1. E tablir, a partir du theoreme du moment dynamique en A applique a (S ), 2. 3. 4. 5. trois equations dierentielles du mouvement de (S ), ne comportant que les donnees, les angles d'Euler et leurs derivees par rapport au temps et les composantes de ! R. On suppose que le mouvement a lieu, dorenavant, sans glissement. Deduire de la relation de non-glissement en I une relation entre '_ , _ et !. Trouver alors l'expression de , de ' et de T en fonction de d!=dt. Les conditions initiales (a t = 0) du mouvement sont telles que !(0) = 0, '_ (0) = 0, _ (0) = 0. Calculer '_ (t) et _ (t) en fonction de !(t). Determiner N en fonction de !(t). On suppose que !(t) est une fonction croissante du temps pour t > 0. Montrer qu'il existe une valeur ! de !(t) pour laquelle N s'annule et calculer !. Expliquer intuitivement ce qui se passe lorsque !(t) > !. Solution A.1. On travaille dans le repere galileen Rg . En decomposant le mouvement de (S ) sur la base orthonormee directe (~u ; z~o ; ~z), il appara^t que : ! (S=Rg ) = _ z~o + '~ _z : 354 Chapitre 6 En appliquant la relation cinematique liant la vitesse du solide (S ) au point I et au point A : !^ ! ~vS (I; Rg ) = ~vS (A; Rg ) + IA (S=Rg ) ; on obtient l'expression : ~vS (I; Rg ) = R'_ l _ ~u car la vitesse du point A est nulle dans le referentiel galileen Rg . A.2. La m^eme demarche et des notations analogues a celles utilisees precedemment conduisent a : ! (P )=(Rg ) = !z~o : En appliquant la relation cinematique liant la vitesse du solide de la plaque (P ) au point I et au point O (qui est immobile dans le referentiel Rg ), il vient : ~vP (I; Rg ) = l!~u : A.3. La vitesse de glissement de (S ) par rapport a (P ) est denie par la relation : ~vg(S=P ) = ~vS (I; Rg ) ~vP (I; Rg ): En reportant les resultats des deux questions precedentes, elle se met sous la forme : h i ~vg(S=P ) = R'_ l( _ !) ~u : B.1. Par denition, les elements de reduction du torseur cinetique de (S ) dans le referentiel Rg sont le moment cinetique de (S ) en un point N , L~ S (N; Rg ) et la resultante cinetique de (S ) p~S (Rg ) = M~vS (G; Rg ), ou M est la masse de (S ) et G son barycentre. Par rapport au point B , le moment cinetique s'exprime, gr^ace au theoreme de Knig, sous la forme : ! ^ M~v (G; R ); L~ S (B; Rg ) = L~ S (B; R ) + BG S g ou R est le referentiel barycentrique lie au solide (S ). Or, la barre AB est supposee sans masse. G est donc confondu avec le point B , barycentre du disque (D), M = m et les grandeurs cinetiques ne se rattachent plus qu'au disque (D). Dans R, de repere associe (B ; x~o ; y~o ; z~o ), le mouvement est compose d'une rotation autour de l'axe = (B;~z) a la vitesse angulaire '~ _ z et d'une rotation autour de l'axe 0 = (O; z~o ) a la vitesse angulaire _ z~o . Les deux axes et 0 etant xes, on a la relation : L~ S (B; Rg ) = L~ S (B; R ) = I '~ _ z + I0 _ z~o 355 Mecanique du solide ou I et I0 sont les moments d'inertie du solide (S ) respectivement par rapport aux axes et 0 . (D) 0 B Fig. 6.13 - Les deux axes d'inertie et 0 du solide (S ). L'axe passant par le centre B du disque (D) etant perpendiculaire a (D), on a I = mR2=2 = c. Pour le calcul de I0 , on peut utiliser la relation 2I0 = I (a demontrer, par exemple en s'inspirant de la question 1.a) du probleme 6.3.1). Cette relation est valable en negligeant l'epaisseur du disque (D) devant son rayon, et conduit a I0 = c=2. En regroupant les dierents termes, il vient : 1 ~LS (B; Rg ) = c '~ _ z + 2 _ z~o : La resultante cinetique se calcule quant a elle en utilisant la relation cinematique entre le point G = B et le point I du solide (S ) : ! ! p~S (Rg ) = m~vS (B; Rg ) = m ~vS (I; Rg ) + BI ^ (S=Rg ) ; ce qui donne : p~S (Rg ) = ml _ ~u: Les elements de reduction du torseur cinetique de (S ) au point B sont donc : L~ S (B; Rg ) = c '~ _ z + 12 _ z~o et ~pS (Rg ) = ml _ ~u : Remarque : si l'on n'utilise pas le theoreme de Knig, un calcul direct ! Z ! ! ~LS (B; Rg ) = BM ^ ^ BM dm donne M 2D (S=Rg ) puisque la barre AB est sans masse. Par ailleurs, !^ ! ! = BM 2 ! BM (S=Rg ) ^ BM (S=Rg ) !! ! BM (S=Rg ) BM; 356 Chapitre 6 d'ou L~ S (B; Rg ) = c ! (S=Rg ) + _ = c! (S=Rg ) ! = c (S=Rg ) _ Z =R Z '=2 2 cos ' sin ' ~u =0 '=0 m d d' sin2 '~zo R 2 Z =R m =0 1 _ 2 ~zo 3 R2 d~zo = c '_ ~z + 21 _ ~zo : B.2. Les elements de reduction du torseur cinetique au point A sont par denition : ! ^ p~ (R ) L~ S (A; Rg ) = L~ S (B; Rg ) + AB S g ~pS (Rg ): On arrive, en utilisant le resultat de la question precedente, a l'expression des elements de reduction du torseur cinetique au point A : L~ S (A; Rg ) = c'~ _ z + a _ z~o et p~S (Rg ) = ml _ ~u : B.3. Par denition, les elements de reduction au point A du torseur dynamique de (S ) sont le moment dynamique de (S ) D~ S (A; Rg ) et la resultante dynamique de (S ) M~aS (G; Rg ) ou ~aS (G; Rg ) est l'acceleration au point G du solide (S ) dans Rg . Le point A etant xe dans le referentiel galileen, on a : ! ~ D~ S (A; Rg ) = d LS (dtA; Rg ) : (Rg ) Avec cette derniere relation, on deduit les elements de reduction du torseur dynamique au point A : h i h i D~ S (A; Rg ) = c '~ z + '_ _ ~u + a z~o ; m~aS (G; Rg ) = ml ( _ )2 ~z ~u ; car les vecteurs ~u et ~z sont des vecteurs tournants autour de l'axe (Ozo ), ce qui impose les relations 8 d~u < dt = _ ~zo ^ ~u = _ ~z : d~z dt = _ ~zo ^ ~z = _ ~u: 357 Mecanique du solide C.1. L'application du theoreme du moment dynamique au point A, au solide (S ) dans le referentiel galileen donne : !(A; ext) = M ![A; poids] + M ![A; (S ) A] + M ![A; (S ) (P )] D~ S (A; Rg ) = M ou ![A; poids] est le moment en A du poids -M ![A; (S ) A] est le moment en A des eorts de contact de la liaison au -M point A ![A; (S ) (P )] est le moment en A des eorts de contact en I entre la -M plaque (P ) et le solide (S ). La liaison en A est supposee parfaite : il y a possibilite de pivotement en A sans frottements de pivotement en A sans frottements de ![A; (Set) deA]roulement roulement, ce qui implique M =! 0. De m^eme, au point de contact I entre (P ) et (S ), la liaison est supposee ponctuelle s'eectue sans frottements de roulement. On en deduit ![I; (S ) : (leProulement M )] = ! 0 . D'ou : ![A; (S ) (P )] = M ![I; (S ) (P )] + AI !^ ! M R = l(N ~u T z~o) + R T ~z: De m^eme, la tige AB etant sans masse, ![A; poids] = M ! M | [B;{zpoids}] mgl ~u: =! 0 car B =G On obtient ainsi les trois equations dierentielles du mouvement de (S ) : c'_ _ = a = c' = mgl + l N lT RT (1) (2) . (3) C.2. L'hypothese de mouvement sans glissement conduit a ~vg(S=P ) = !0 . D'apres la question A.3., on a alors la relation : '_ = Rl ( _ !) : (4) C.3. La combinaison des equations (2) et (3) de la question C.1. fournit une relation entre ' et : Ra + lc ' = 0: (5) 358 Chapitre 6 La combinaison des equations (4) et (5) permet d'aboutir aux relations demandees : 2 = 2 l c 2 d! et ' = 2 alR 2 d! : R a + l c dt R a + l c dt L'expression de T en fonction de d!=dt s'obtient alors a partir de l'equation (3) par exemple : d! T = R2 aacl + l2 c dt : C.4. A l'instant initial t = 0, toutes les vitesses angulaires sont nulles. La vitesse angulaire etant une fonction continue en t = 0 (sinon, cela conduirait a des accelerations et donc a des forces (( innies )), ce qui n'est pas acceptable d'un point de vue physique), l'integration des relations precedentes conduit a : '_ = alR R2 a + l2 c !(t) et _= l2 c R2 a + l2c !(t) : C.5. D'apres l'equation (1), on peut determiner l'expression de N en fonction de !(t) : cl!(t) 2 N = mg aR R2 a + l2 c : Puisque !(t) est une fonction croissante de t, positive pour tout t, il existe ! tel que N = 0 pour ! = ! (a > 0 et mg > 0). L'expression precedente de N donne alors l'expression de ! : 2 ! = l + aR cl r mg aR : Pour ! = ! , la composante verticale de la reaction du support (P ) sur le solide (S ) s'annule et change de signe. Ainsi, pour ! > !, le solide (S ) va decoller du plateau, tout en continuant a tourner sur lui-m^eme et autour de l'axe (Ozo ), puisque '_ 6= 0 et _ 6= 0 pour tout ! 6= 0. Le solide (S ) va donc, pour ! > ! , se comporter comme une toupie : il va tourner sur lui-m^eme et avoir un mouvement de precession autour de l'axe de (Ozo ). 6.3.3 Mouvement d'une planche posee sur deux rouleaux ; etude d'une persienne en mecanique des uides Universite Paris VI Duree : 3 h Aucun document n'est autorise. Les (( calculettes )) sont interdites. Les deux problemes sont independants. Mecanique du solide 359 Probleme I : Mecanique du solide rigide (note sur 10) L'objet du probleme est d'etudier le mouvement d'une planche parallelepipedique (P ) homogene, d'epaisseur negligeable, posee sur deux rouleaux cylindriques homogenes, identiques, (C1 ) et (C2 ), reposant sur un plan () non horizontal. La premiere partie est consacree a une etude cinematique du systeme lorsque les contacts entre les rouleaux et le plan () d'une part, les rouleaux et la planche (P ) d'autre part, sont sans glissement : pour des conditions initiales bien choisies, on etablira que le mouvement du systeme considere ne depend que d'une seule fonction inconnue du temps. La deuxieme partie est consacree a l'etude dynamique du systeme place dans le champ de la pesanteur : on determinera la fonction du temps mentionnee cidessus et les eorts de contact. Premiere Partie : Cinematique Soit (R) un repere orthonorme direct (O ; ~x ; ~y ; ~z ) tel que () soit dans le plan (O ; ~x ; ~y). 1. On considere (Figure 6.14.A) un cylindre de revolution, homogene (C ) de rayon a, de centre d'inertie C , d'axe (C; X~ ) en contact d'une ! = x~lex +long generatrice notee () avec le plan () : X~ ~z = 0 et OC y~y + a~z. (Rw ) designe le repere (O ; X~ ; w~ ; ~z ) tel que w~ = ~z ^ X~ . On pose : { (~x; X~ ) = (~y; w~ ) = (t) mesure autour de ~z. { (C ; X~ ; Y~ ; Z~ ) designe un repere orthonorme direct lie a (C ). { (w~ ; Y~ ) = (~z; Z~ ) = (t) mesure autour de X~ . A l'instant initial, t = 0; = 0. a) E crire la condition de roulement !sans glissement pour deux points M1 et M2 de (). En deduire que (C =R) est colineaire a X~ : on pose ! (C =R) = !(t)X~ . Demontrer que !(t) = _(t) et (t) 0. != b) E tablir que ~v(C =R; t) = a !~y (on designe par K le point tel que CK a~z). En deduire x_ (t); y_ (t) en fonction de !(t) et des donnees. 2. On considere deux rouleaux cylindriques (C1) et (C2) identiques au cylindre (C ) de precedente, en contact sans glissement avec (). ! la=question On pose OC x ~ x + y ~ y i i i + a~z (i = 1; 2). A l'instant initial, t = 0; OC!1 = l=2 ~y + a~z; OC!2 = l=2 ~y + a~z (l constante strictement positive donnee) et les axes des cylindres sont paralleles a ~x (Figure 6.14.B). 8! < (Ci =R; t) = !i(t) ~x Montrer que : : xi (t) 0 pour i = 1; 2 y_i = a !i 360 Chapitre 6 w X ~z O y~ ~x x ~z () C X~ (C ) Z (C1 ) C1 (C2 ) C2 ~z O Figure B a t = 0 ( ! OC1 = l=2y~ + a~z OC!2 = l=2y~ + a~z J2 G C1 ~z ~x O C2 y~ G ~g ~z ~x O Figure C a t = 0 I2 J1 ~z0 Y w J1 C1 y~ ~x I1 z X~ Figure A I1 y J2 Figure D a t = 0 C2 ~y I2 Fig. 6.14 - Denition des dierents systemes etudies Mecanique du solide 361 3. Soit (P ) une planche parallelepipedique homogene, d'epaisseur negligea- ble, de longueur 2l, de centre d'inertie G, en contact sans glissement avec les rouleaux!introduits note J1 et J2 les points geometriques ! =ena~z2..et On tels!que C! J = C J I et I2 , les points geometriques tels que 1 1 2 2 1 C1 I1 = C2 I2 = a~z. Soit R (G ; X~ ; Y~ ; ~z) un repere orthonorme direct lie a P . On pose : { (~x ; X~ ) = (~y ; Y~ ) = (t) mesure autour de ~z. ! = (t)~x + (t)~y + 2a~z { OG ! = 2a~z; = 0 (Figure 6.14.C) et les A l'instant initial, t = 0; OG donnees du 2. sont valables. a) Montrer que le roulement sans glissement!entre (P ) et! (C1) d'une part, entre (P ) et (C2 ) d'autre part impose : (P =R) = 0 (on pourra uti- liser les resultats des questions precedentes pour etablir ce resultat). b) Calculer ~v(Ji Ci; Ci =P ; t) (i = 1; 2). = 2a !i(t) En deduire : _ ((tt)) 0 y (t) = (t)=2 l=2 c) Montrer que y12(t) = (t)=2 + l=2 d) Montrer J1!G = (l=2 + =2) ~y et J2!G = ( l=2 + =2) ~y. Quelle conclusion vous inspirent les resultats obtenus? Deuxieme Partie : Dynamique Dans cette partie, les cylindres (C1 ) et (C2 ) de m^eme masse m et la planche (P ) de masse M sont pesants. Soit ~z0 le vecteur unitaire de la verticale ascendante : ~g = g~z0 est l'acceleration de la pesanteur. Le plan () est un plan incline, on pose : ~z0 = sin ~y + cos ~z (0 < < =2 ; = constante). Le repere (R) deja introduit est suppose galileen. A l'instant initial, (Figure 6.14.D) les donnees en position sont celles de la partie cinematique et toutes les vitesses initiales sont nulles. On schematise les eorts de contact de () sur (Ci ) par un glisseur (Gi ) de moment nul en Ii , de resultante R!i = Xi ~x + Yi ~y + Ni ~z (i = 1; 2). On schematise les eorts de contact de (P ) sur (Ci ) par un glisseur (Gi ) de ! moment nul en Ji , de resultante Ri = Xi~x + Yi~y + Ni~z (i = 1; 2) . 1.a) Appliquer le theoreme de la resultante dynamique a (P ) et en deduire 3 equations scalaires (en projetant sur ~x ; ~y ; ~z). On notera (E ) l'equation contenant . b) Appliquer le theoreme du moment cinetique en G a (P ). c) En combinant les resultats precedents, calculer Xi, Ni en fonction de et des donnees. 362 Chapitre 6 2. Appliquer le theoreme de la resultante dynamique a (Ci ) et en deduire Ni , Xi en fonction des donnees et une equation contenant notee (Ei ). 3. Appliquer le theoreme du moment cinetique a (Ci ) en Ci et en deduire une equation contenant notee (Fi ). 4. En combinant les equations (E ), (E1 ), (E2 ), (F1 ), (F2 ) calculer en fonction des donnees et en deduire en fonction du temps. 5. Achever la determination des eorts de contact introduits. 6. Aurait-on pu obtenir plus rapidement le resultat du 4.? Nota Bene On rappelle que le moment d'inertie d'un cylindre de revolution homogene, de rayon a, de masse m, par rapport a son axe de revolution est I = ma2 =2. Probleme II : Mecanique des uides (note sur 10) On considere une (( persienne )) constituee d'un grand nombre de plaques planes Pn ; n = 1; 2; : : :, paralleles, normales au vecteur unitaire ~y, se deduisant les unes des autres par la translation T de vecteur h ~y, h etant une constante positive (Figure 6.15.A). Ces plaques ont pour largeur a et pour longueur b avec b tres grand par rapport a a (b a). Le repere orthonorme direct (O ; ~x ; ~y ; ~z ) est choisi de sorte que O soit le centre de symetrie de la plaque P0 et que le plan (O ; ~x ; ~y) coupe la plaque Pn selon un segment Pn (Figure 6.15.B) d'equations : 8 z=0 < : a=2y = xn h a=2 n = 1; 2; : : : On suppose qu'a travers la persienne s'ecoule un uide parfait, incompressible, de masse volumique constante, dont le mouvement est plan dans le plan (O ; ~x ; ~y) et stationnaire. Le uide est suppose non pesant. On suppose que tres loin en amont (x ! 1) l'ecoulement est uniforme de vitesse ! V 1 = U1(~x + tan 1 ~y), et que tres loin en aval (x ! +1) l'ecoulement est egalement uniforme de vitesse ! V 2 = U2 (~x + tan 2 ~y). On suppose que les pressions en amont et en aval sont aussi uniformes, de valeurs respectives p1 et p2 . On admet que toute grandeur attachee a l'ecoulement (pression, composantes de la vitesse, ...) est une fonction de x et de y, la dependance en y etant de periode h. On aura a considerer dans la suite un domaine plan L admettant pour frontieres, d'une part le prol de persienne P0 , et d'autre part une courbe fermee L constituee de deux arcs rectilignes M10 M20 et M1 M2, le premier etant deduit du second par la translation T , et de deux segments rectilignes M1 M10 et 363 Mecanique du solide y y P2 P2 h P1 x O P0 z P h P1 O P0 P b 1 1 a Figure A Figure B y P1 M10 L M1 M20 L L O L P0 ! V2 x M2 ! V1 P 1 Figure C y L H h SL L P 0 O VL x z Figure D Fig. 6.15 - Les dierents elements de la persienne x 364 Chapitre 6 M2 M20 d'abscisses x1 = L et x2 = +L, L etant une longueur arbitrairement grande (Figure 6.15.C). On note VL le volume parallelepipedique cylindrique de generatrices paralleles a (O; ~z ), de section droite le domaine plan L et limite par les deux plans z = H=2 et z = H=2 (H > b). Enn on note SL la surface limitant VL (Figure 6.15.D). 1. Pour l'ecoulement stationnaire du uide deni dans l'enonce, ecrire sous forme vectorielle l'equation d'Euler traduisant la loi fondamentale de la dynamique, puis demontrer le theoreme de Bernouilli. On admettra que pour toute quantit Q denie dans l'espace de l'ecoulement, ! Q = e0 scalaire l'equation ~u grad signie que Q est constante le long des lignes de courant. Appliquer ce theoreme et en deduire une relation entre les grandeurs de l'amont, celles de l'aval et la masse volumique . 2. Soit f (x; y) une fonction periodique en y de periode h. Verier que Z M1 M2 f (x; y)ds = Z M10 M20 f (x0 ; y0 )ds0 ou s et s0 sont respectivement les abscisses curvilignes le long de M1 M2 et de M10 M20 . 3. Calculer le ux de masse a travers la surface SL et montrer que U1 = U2. Dans la suite on designera par U cette valeur commune. 4. On note ! F = Fx ~x + Fy ~y la resultante des eorts exerces par le uide sur la partie de la persienne P0 interieure a VL (pour des raisons de symetrie il n'y a pas de composante Fz sur ~z ). En appliquant le theoreme du bilan global de quantite de mouvement (partie resultante) au uide contenu dans VL, montrer que le calcul de ! F se ramene a celui d'integrales curvilignes sur M1 M10 et M2 M20 . 5. Montrer que les composantes Fx et Fy s'expriment a l'aide de h, H , U , 1 , 2 et naturellement de la masse volumique . 6. Montrer que la force ! F est orthogonale au vecteur ! V = 1 (! V +! V ): m 2 2 1 Repr esenter sur une m^eme gure les vitesses ! V 1, ! V 2, ! V m et la force ! ! F . Quel est l'eet de la force F ? 365 Mecanique du solide RAPPEL : Z Z ! D @ ! DT Dt U dv = Dt @t ( U )dv + Z !! U ( U :~n) dS St St Dt ~n Solution Probleme I Premiere Partie 1.a) Soient M1 et M2 deux points de (). La condition de roulement sans glissement du rouleau (C ) par rapport au plan () impose : ~vg (C =) = ! 0: Comme le plan () est immobile dans le referentiel galileen R, on peut ecrire : ~vC (M1 ; R) = ! 0 = ~vC (M2 ; R) ; ou la notation ~vS (M; R) designe la vitesse du point M appartenant au solide S dans le referentiel R. On en deduit, en utilisant la relation du torseur cinematique liant les points M1 et M2 du rouleau : ! 0 = ~vC (M1 ; R) = ~v|C (M{z2 ; R}) + |M1{zM!2} ^ ! (C =R); ! ! (M1M2 ) X 0 d'ou : !^ ! X (C =R) = ! 0: !. (C =R) est colineaire a X Par consequent, ! !. Or, d'apres les notations utilisees, on a On peut poser ! (C =R) = !(t) X aussi ! (C =R) = _ ~z + _X~ , ce qui conduit a : _ = !(t) (t) = 0 car _ = 0 et (t = 0) = 0 d'apres les conditions initiales. 1.b) Le point C est le centre d'inertie du rouleau (C ) considere. La relation du torseur cinematique, pour les points C et K du rouleau, donne : !^ ! ~vC (C; R) = ~vC (K; R) + CK (C =R): 366 Chapitre 6 Or, le roulement a lieu sans glissement, ce qui signie que ~vC (K; R) = ! 0 puisque le point K appartient a la generatrice (). On peut donc ecrire !; ~vC (C; R) = a !(t)~z ^ X ce qui conduit nalement a : ~vC (C; R) = a !(t)~y : ~v(C; R) s'exprime, en fonction des variables du probleme, sous la forme : ~vC (C; R) = x_ ~x + y_ ~y: On en deduit : x_ = y_ = 0 a!(t) : 2. Un raisonnement analogue a celui de la question precedente donne, pour chaque rouleau Ci : ! (Ci =R) = !i (t)~x : y_i = a !i (t) On a egalement la relation x_ i = 0, qui s'ecrit, en vertu des conditions initiales : xi = 0 . 3.a) Supposons que le mouvement de la planche (P ) et des deux rouleaux (Ci ) s'eectue sans glissement, ce qui se traduit mathematiquement par : ~vg (P =Ci) = ! 0: En introduisant les points geometriques Ji , on peut ecrire la relation precedente sous la forme : ~vCi (Ji ; R) = ~vP (Ji ; R): La relation du torseur cinematique pour le rouleau Ci donne : ~vP (Ji ; R) = ~vCi (Ji ; R) = ~|vCi (C{zi ; R}) +Ji C!i ^ ! (Ci =R) = 2a!i~y: a!i~y De m^eme en ce qui concerne la planche (P ) ~vP (J1 ; R) = ~vP (J2 ; R) + J1 ! J2 ^ ! (P =R): ! Puisque ~vP (Ji ; R) et J1 J2 sont colineaires a ~y, il vient : J1 ! J2 ^ ! (P =R) = ! 0: Par ailleurs, la planche reste en contact avec les rouleaux, ce qui astreint son vecteur rotation a ^etre suivant ~z uniquement. Par consequent : ! (P =R) = ! 0 : 367 Mecanique du solide On a ~vP (J1 ; R) = ~vP (J2 ; R), ce qui permet de trouver une relation supplementaire : !1 = !2 , qui sera utilisee de facon implicite a la question suivante. 3.b) La planche (P ) et le rouleau (Ci) sont en contact sans glissement. On a donc : ( 0 : ~vC1 (J1 ; P ) = ! ! ~vC2 (J2 ; P ) = 0 De plus, ~vP (G; R) = ~vP (J1 ; R) + ! (P =R) ^ J1! G = ~vP (J1 ; R): D'apres les calculs eectues a la question 3.a), il s'ensuit que ! ~vP (G; R) = 2a !i~y = dtd OG R : Compte tenu de la condition initiale = 0 nous en deduisons : = _ (t) = 0 2a !(t) ou on a pose !1 (t) = !(t) = !2 (t). 3.c) D'apres la question 2., on a y_i = a !. A l'aide de la question precedente, on en deduit la relation : y_1 = 2_ = y_2 : Avec comme conditions initiales (t = 0) = 0; y1 (t = 0) = l=2; y2 (t = 0) = l=2; l'integration de ces deux equations conduit a : 8 > < y1 = (2t) l=2 : > : y2 = (t) + l=2 2 3.d) On peut ecrire par exemple : ! Ji! G = Ji C!i + Ci! O + OG pour i = 1; 2, ce qui permet d'obtenir : 8 ! > < J1G > : J2!G = l 2 + 2 ~y l : 2 + 2 ~y On constate que J1 ! J2 = l~y d'ou l'on conclut : les deux rouleaux (C1 ) et (C2 ) restent a une distance constante l au cours du mouvement du systeme. = 368 Chapitre 6 Deuxieme Partie 1.a) La planche (P ) est soumise a son poids M~g et aux eorts de contact ! Ri avec chacun des deux rouleaux (Ci ). Le principe fondamental de la dynamique, applique a la planche (P ) dans le referentiel R suppose galileen, donne : 0 !1 d2 OG ! ! M @ dt2 A R = M~g R 1 R 2: D'apres la question 3. de l'etude cinematique, on a : ! = ~y + 2a~z: OG On en deduit par projection sur les axes ~x; ~y; ~z, les equations: M = Mg sin Y1 Y2 0 = X1 + X2 0 = Mg cos + N1 + N2 (E ) (1) : (2) 1.b) Le theoreme du moment cinetique, applique au point G et a la planche (P ) dans le referentiel R suppose galileen, donne : d ! ! ! ! dt L P (G; R) R = Mpoids (G) + M( R~ 1 ) (G) + M( R~ 2 ) (G): ! (G) = ! Or, M 0 puisque G est le centre d'inertie de la planche (P ). poids Les eorts de contact de (P ) sur (Ci ) sont modelises par un glisseur de moment nul en Ji , d'ou : ! (G) = M ! (J ) +GJ! ^ ( ! M R i ): i R~ i ) i ( R~ i ) ( | {z } ! =0 Le calcul du moment cinetique ! L P (G; R) peut ^etre mene en utilisant le theoreme de Knig entre les referentiels R et R : ! ! ^ M~v (G; R): L P (G; R) = ! L P (R ) + |{z} GG P ! =0 Or, la planche (P ) est immobile dans le referentiel R . On a donc : ! L P (G; R) = ! 0; ce qui permet d'ecrire le theoreme du moment cinetique sous la forme : GJ!1 ^ ! R 1 + GJ!2 ^ ! R2 = ! 0 : 369 Mecanique du solide En developpant cette expression sur les axes ~x; ~y; ~z, on arrive a (l=2 + =2)N1 = (l=2 =2)N2 (l=2 + =2)X1 = (l=2 =2)X2 (3) : (4) 1.c) La combinaison des equations (1) et (4) donne : X1 = 0 = X2 : Les equations (2) et (3) permettent quant a elles d'ecrire : 8 > < N1 > : N2 ( l)Mg cos 2l : cos = ( + l)2Mg l 2. Chaque rouleau Ci est soumis a son poids m~g et aux actions de contact ! R i de la planche et ! R i du plan (). On peut ecrire, en appliquant le theoreme de la resultante dynamique au rouleau (Ci ) dans le referentiel R suppose galileen : 1 0 = 2 !i A = m~g + ! Ri + ! Ri: m @ d dtOC 2 R En projetant sur les axes ~x; ~y; ~z, on obtient : m = mg sin + Yi + Y (Ei ) i 2 : mxi = Xi + Xi 0 = mg cos + Ni + Ni En utilisant les resultats de la question precedente et de la question 2. de l'etude cinematique, on trouve nalement 8 X1 > > > < X2 N1 > > > : N2 = 0 = 0 ( l ) = g cos m M 2l : = g cos m + M ( 2+l l) 3. Le theoreme du moment cinetique applique au rouleau (Ci ) au point Ci dans le referentiel R galileen s'ecrit : ! d ! ! (C ) + M ! ~ (C ): ( C ; R ) L = M ( C ) + M i C poids i ~i ) i (Ri ) i i R ( dt R | {z } ! =0 car Ci est le centre d'inertie du rouleau (Ci ). 370 Chapitre 6 Le moment cinetique ! L Ci (Ci ; R) peut se calculer comme a la question 1.b), en utilisant le theoreme de Knig et en remarquant que dans le referentiel barycentrique attache au rouleau (Ci ), le mouvement est une rotation autour de l'axe xe i = (Ci ; ~x ) a la vitesse !i : 2 ! L Ci (Ci ; R) = I !!i = ma2 !i ~x: L'expression des moments des actions de contact au point Ci est obtenue comme a la question 1.b), en introduisant les points Ji et Ii : d ma2 ! ~x = C ! ! !I ^ ! J ^ R + C i i i i i R i: i dt 2 R D'apres les questions 2. et 3.c) de l'etude cinematique, on a les relations : !i = ay_ i = 2a_ ; ce qui permet, apres projection sur les axes ~x; ~y; ~z, d'obtenir : m = Y Y (F ) : i i i 4 On remarque que l'une des equations obtenues apres la projection redonne la relation Xi = Xi , ces quantites etant nulles d'apres la question 1.c. 4. On a desormais a notre disposition 5 equations : 8 M > < m > : m2 = Mg sin Y1 Y2 (E ) = mg sin + Yi + Yi (Ei ) i = 1; 2 = Yi Yi (Fi ) i = 1; 2 4 et cinq inconnues a determiner : , Y1 ; Y2 ; Y1 et Y2 . Les combinaisons (E1 ) + (F1 ) et (E2 ) + (F2 ) permettent de determiner une expression de Y1 + Y2 en fonction de . L'utilisation de cette expression dans l'equation (E ) conduit a : M + m) = 4( 4M + 3m g sin : Puisqu'a t = 0, _ = 0 et = 0, on obtient par integration: M + m) 2 = 2( 4M + 3m (g sin )t : 5. La determination complete des eorts de contact s'eectue en remplacant par son expression dans les dierentes equations de la question 4.. On trouve 371 Mecanique du solide en denitive : 8 X1 > > > > X1 > > > > Y1 > > > > > < Y1 > N1 > > > > > N2 > > > > N1 > > > : N = 0 = X2 = 0 = X2 mg sin m + 3M = Y2 = 3m 2 + 4M sin = 2(3mg m + 4M ) = Y2 = g cos m M ( 2l l) ( + l ) = g cos m + M 2l cos = ( l)Mg 2l ( + l)Mg cos 2 = 2l 6. D'apres l'etude cinematique menee dans la premiere partie, le probleme etudie!ne comporte qu'un seul degre de liberte : la seule donnee de (t) (deni par OG = (t)~y + 2a~z) sut pour conna^tre le mouvement du systeme (S ), compose de la planche (P ) et des deux rouleaux (C1 ) et (C2 ). Il est alors tentant d'appliquer le theoreme de l'energie cinetique dans un referentiel (R0 ) : dEc(R0 ) = P (R0 ) + P (R0 ) ; ext int dt car ce theoreme est particulierement ecace dans le cas de systemes, m^eme complexes, ne comportant qu'un seul degre de liberte. Cependant, il faut choisir convenablement le referentiel (R0 ) et le systeme auquel on applique le theoreme, an de s'aranchir du calcul des puissances des forces inconnues (ici les actions de contact). Un premier systeme serait la planche (P ) seule dans le referentiel R. On constate cependant en ecrivant les dierentes puissances mises en jeu qu'il est necessaire de conna^tre les actions de contact ! R i entre la planche et les deux rouleaux. On peut alors considerer le systeme (S ) deni precedemment. Les forces exterieures a (S ) sont le poids et les actions de contact entre les rouleaux et le plan (). Les forces interieures au systeme sont les actions de contact de la planche sur les rouleaux, et des rouleaux sur la planche, dont la puissance n'est a priori pas nulle. Le theoreme de l'energie cinetique, applique dans le referentiel galileen R a (S ) a pour expression : dEc(R) = P (R) + P (R) ext int dt (R) + P (R) + P (R) + P (R) : ( R ) = PP$C1 + PP$C poids !C2 !C1 2 372 Chapitre 6 Les hypotheses de contact sans glissement et de moment des eorts de contact nul au point de contact (cette derniere hypothese etant equivalente a la possibilite de roulement sans frottement de roulement) permettent d'ecrire: ! ! (J ) ! ! (R) PP$C 1 =P ) + |M 1{z 1} (C1 =P ) = 0 1 = R 1 ~|vg (C{z } ! ! 0 0 ! ! ( R ) PP$C2 = R 2 ~|vg (C{z2 =P}) + |M 2{z(J2}) ! (C2 =P ) = ! 0 ! ! 0 0 ! (I ) ! ! I1 ; R}) + |M R 1 ~|vC1 ({z P(R!)C1 = ! 1{z 1} (C1 =R) = 0 ! ! 0 0 ! ! ( R ) I2 ; R}) + |M 2{z(I2}) ! P!C2 = R 2 ~|vC2 ({z (C2 =R) = ! 0: ! ! 0 0 Le theoreme de l'energie cinetique se resume ainsi a : dEc(R) = P (R) ; poids dt ce qui va nous permettre de retrouver de facon plus simple le resultat de la question 4.. Le calcul de l'energie cinetique du systeme peut s'eectuer par : Ec(R) = 21 M (_ )2 + EcC(R1 ) + EcC(R2 ) : En utilisant le theoreme de Knig, on obtient : EcC(Ri ) = 12 m(y_i )2 + EcC(Ri i ) ou Ri est le referentiel barycentrique attache au rouleau (Ci ). Dans son referentiel barycentrique, le mouvement du rouleau (Ci ) est un mouvement de rotation autour de l'axe xe i = (Ci ; ~x ) a la vitesse angulaire !i . On a donc : 2 2 EcC(Ri ) = 12 m(y_i )2 + 12 I!i2 = 21 (I + ma2 )!i2 = 3ma 4 ! d'apres la relation y_i = a! deduite de la partie cinematique. En utilisant de plus la relation _ = 2a! provenant de la question 3.b) de la premiere partie, il vient : 3m (_ )2 : Ec(R) = 4M + 8 Quant a la puissance du poids, on peut la determiner en decomposant le systeme en ses dierents elements : (R) = M~g ~v (G; R) + m~g ~v (C ; R) + m~g ~v (C ; R) Ppoids C2 2 P C1 1 373 Mecanique du solide = g sin _ [M + m] : L'application du theoreme de l'energie cinetique permet d'ecrire, en simpliant membre a membre par _ qui est non nul au cours du mouvement : (M + m) : = 4g sin 4M + 3m Remarque : on aurait pu egalement calculer l'energie cinetique de chacun des deux rouleaux en utilisant le mouvement helicodal tangent de chaque rouleau, qui est une rotation d'axe xe (Ii ; ~x ) et de vitesse angulaire !i . L'expression du moment d'inertie par rapport a cet axe peut ^etre obtenue gr^ace au theoreme d'Huyggens a partir du moment d'inertie par rapport a i que l'on conna^t. Cette remarque est d'ailleurs valable pour l'ensemble des calculs des elements cinetiques des rouleaux eectues dans ce probleme. Probleme II 1. Dans le cas le plus general, l'equation d'Euler s'ecrit : @~v ! ! p+ ! + ~v r ~v = grad F ext @t pour un uide de masse volumique soumis a des forces exte! rieures de resultante ! F ext . L'operateur gradient est note indieremment grad ou ! r . Dans le cas qui nous interesse, le uide est suppose non pesant et n'est soumis a aucune force exterieure ; on se place de plus en regime stationnaire. L'equation d'Euler se met alors sous la forme : ! p: ~v ! r ~v = grad Le uide considere etant incompressible, sa densite est constante, ce qui permet d'ecrire : ! ! p : ~v r ~v = grad La demonstration du theoreme de Bernouilli necessite l'utilisation de la formule d'analyse vectorielle : ! 1 ! ! ~v r ~v = 2 grad (~v2 ) + rot ~v ^ ~v qui permet d'exprimer l'equation d'Euler sous la forme : ! ~v2 + p + rot ! ~v ^ ~v = ! 0: grad 2 374 Chapitre 6 h i ! ~v ^ ~v , nous pouvons aussi ecrire : Comme ~v ? rot ~v2 p ! ~v grad + = 0; 2 d'ou la forme usuelle de la relation de Bernouilli : ~v2 + p = constante 2 le long d'une ligne de courant : L'application du theoreme de Bernouilli necessite de choisir une ligne de courant dans l'ecoulement considere. Dans le cas qui nous interesse, on peut choisir n'importe quelle ligne de courant joignant la zone (x ! 1) en amont de la persienne a la zone (x ! +1) en aval de la persienne. Pour cette ligne de courant, le theoreme de Bernouilli donne : ! V 1 + p = ! V 2 +p 1 2 2 2 2 2 ce qui peut encore s'ecrire, en fonction des donnees du probleme : U12 (1 + tan2 ) + p = U22 (1 + tan2 ) + p : 1 1 2 2 2 2 2. En eectuant le changement de variables x0 = x et y0 = y + h, il vient : Z M1 M2 f (x; y) ds = Z M10 M20 f (x0 ; y0 h) ds0 ; avec (ds0 )2 = (dx0 )2 +(dy0 )2 = dx2 + dy2 = ds2 . La fonction f etant periodique en y de periode h, on a : Z M1 M2 f (x; y) ds = Z M10 M20 f (x0 ; y0 ) ds0 avec les m^emes sens d'orientation pour les arcs M1 M2 et M10 M20 . 3. Soit m le ux de masse a travers SL. Il s'ecrit, par denition : ZZ ZZ ! = ! V ~n dS V dS m = ! SL SL ou ~n est oriente vers l'exterieur de la surface SL , le vecteur ! V etant le vecteur densite de courant de masse. En developpant l'integrale precedente conformement aux notations des gures 6.15.C et 6.15.D, on a : m = Z z=H=2 Z z= H=2 dz L ! V ~n ds = Z H=2 H=2 dz Z M1 M2 ! V ~n1 ds1 375 Mecanique du solide + Z Z ! V ~ n ds + 2 2 0 M2 M2 Z ! V ~ n ds + 3 3 0 M20 M1 M10 M1 ! V ~n4 ds4 # ou ~ni ; i = 1; 2; 3; 4 est un vecteur unitaire perpendiculaire a l'arc d'integration considere, dirige vers l'exterieur de SL . dsi est oriente positivement selon les conventions de la gure 6.16 (~n2 et ~n4 sont paralleles a Ox). y P1 ~n3 ~n4 M10 s4 P0 s1 M1 P s3 M20 s2 O x M2 ~n1 1 ~n2 Fig. 6.16 - Les orientations des vecteurs unitaires ~ni et des abscisses curvi- lignes le long de la courbe L . Z Les grandeurs considerees sont toutes periodiques en y de periode h, d'ou : M1 M2 Z ! V |{z} ~n3 ds3 = 0 Z ! V ~n1 ds1 + M20 M1 M1 M2 = ~n1 V? ds1 Z V? |{z} ds3 Z= ds1 V? ds1 V ds 0 0 ? 1 M20 M10 Z = M1 M2 = 0 M1 M2 d'apres la question 2.. De plus, L est une longueur tres grande devant toutes les autres longueurs du probleme. On peut alors considerer que l'on a : ( Ainsi, m = Z H=2 H=2 dz sur l'arc M2 M20 , sur l'arc M10 M1 , Z V ds + 0 2x 2 M2 M2 ! V '! V2 ! ! V 'V : 1 Z H=2 H=2 dz Z M10 M1 ( V1x )ds4 puisque le long de l'arc M2M20 , ~n2 = ~ex et le long de l'arc M10 M1, ~n4 = ~ex, les grandeurs ds2 et ds4 etant orientees conformement a la gure 6.16. Le ux de 376 Chapitre 6 masse a travers SL s'ecrit donc : m = Hh(U2 U1 ) : En regime stationnaire, la conservation de la masse contenue dans le volume VL entoure par SL , impose la relation : 0 = dm dt = m ; ou m est la masse de uide contenue dans le volume VL . On en deduit : U1 = U = U2 : 4. Les forces ressenties par le uide contenu dans VL sont ! F exercee par ! la persienne P0 et pdS sur chaque element de surface dS de SL . Ce dernier terme resulte des forces de pression exercees par le uide exterieur sur le uide ! orient interieur au volume VL avec dS e vers l'exterieur du volume VL . Le theoreme du bilan global de quantite de mouvement, applique au uide contenu dans VL , donne : D Dt ZZZ VL ! ZZ ! V d = F + Or, d'apres le rappel, on a, en regime permanent : D Dt ZZZ VL ! pdS: SL ZZZ @ ! ZZ ! ! V + V V ~n dS VL |@t {z } SL ! V d = =! 0 ce qui conduit a l'expression de ! F: ZZ ZZ ! V ! V ~n dS p dS ~n F = ! SL SL ou ~n est oriente vers l'exterieur du volume VL . Le calcul des dierents termes s'eectue selon une methode analogue a celle utilisee a la question 3. : Z H=2 "Z ! ! dz V ( V ~n) dS = ZZ H=2 SL Z ! ( V ~n2 ) ds2 + M1 M2 ! V (! V ~n1 ) ds1 Z ! ! V ( V ~n3 ) ds3 + 0 M20 M1 M10 M1 Z M2 M20 ! V ! V (! V ~n ) ds 4 # 4 avec les orientations de la gure 6.16. Cette expression se simplie composante par composante pour les m^emes raisons qu'a la question 3., ce qui permet d'ecrire : "Z ! ! V ( V ~n)dS = H ZZ SL Z ! ! V ( V ~ex )ds2 + 0 M2 M2 M10 M1 ! V (! V ( ~ex))ds4 # 377 Mecanique du solide ZZ p dS~n = SL Z H=2 "Z H=2 dz + Z M1 M2 M20 M10 p~n1 ds1 + p~n3 ds3 + Z Z M2 M20 M10 M1 p~n2 ds2 # p~n4 ds4 : Cette expression se simplie egalement par un traitement analogue a celui de la question 3. : ZZ p dS~n = H SL "Z M2 M20 # Z p~ex ds2 M10 M1 p~ex ds4 : En regroupant nalement les dierents termes, il vient : Z ! F= M10 M1 Z ! ! H p~ex + V ( V ~ex) ds4 ! ! H p~ex + V ( V ~ex) ds2 : 0 M2 M2 5. On peut considerer, comme a la question 3., que ( sur l'arc M10 M1, ! V '! V 1 et p ' p1 ! ! 0 sur l'arc M2 M2, V ' V 2 et p ' p2 : Par projection sur ~ex et ~ey de la relation obtenue a la question precedente, et en utilisant l'expression de la quantite (p2 p1) deduite la question 1., il vient : 8 < Fx :F 2 tan2 2 tan2 1 = HhU 2 y = HhU 2 (tan 1 tan 2 ) On peut s'etonner de trouver que la force depend de H qui est le c^ote a priori arbitraire du volume de contr^ole VL . Le probleme vient de ce que l'on a suppose a la question 4. que les integrales curvilignes sur M1 M10 et M2 M20 sont invariantes par translation d'axe z . Cela n'est correct que pour H ' b (avec toujours H > b), c'est-a-dire H b H . Dans ces conditions, F depend lineairement de H! , c'est-a-dire de b. ! 6. Le vecteur V m = (1=2) ( ! V 1 + V 2 ) a pour composantes sur la base ~ex et ~ey : 8 < Vmx = 12 (U1 + U2) = U : Vmy = U (tan 1 + tan 2): 2 Le calcul du produit scalaire ! F ! V m montre que ! F est bien orthogonale a ! V m. 378 Chapitre 6 ! F y P0 ! V2 ! Vm x ! V1 Fig. 6.17 - Les directions des vitesses V~1 , V~2 , V~m et de la force F~ L'eet de la force ! F est de fermer la persienne, c'est-a-dire de positionner les plaques Pn perpendiculairement a la direction moyenne de l'ecoulement du uide, ce qui correspond bien au r^ole protecteur d'une persienne. En toute rigueur, il faudrait calculer le moment des forces plut^ot que la resultante ! F pour pouvoir conclure quant au r^ole protecteur des persiennes: : :