Mathématiques

— Lycée L.-G. Damas, Cayenne —
Mathématiques
Partie A: Enseignement obligatoire
— Bernhard Riemann, créateur d’une des théories de calcul intégral. —
. Table des matières
? Partie B : Spécialité
? Partie C : Compléments
— Terminale S3— 2008/2009 —
Version du : 1er juin 2009
Table des matières
I
ANALYSE : OUTILS FONDAMENTAUX
1 Suites numériques réelles
[Thème) Comportement général] . . . . . . . . . . . . . . .
1. Principes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Rappel du vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . .
2. Suites réelles majorées ou minorées . . . . . . . . . . . . .
3. Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
[TD [savoir-faire]
P n 2) Nouveaux outils d’études] . . . . . .
1. La notation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. La démonstration par récurrence . . . . . . . . . . . . . .
[TP [machine] no 1) Moyenne arithmétique] . . . . . . . . . .
[DM no 1) Somme d’une suite arithmético-géométrique] . . .
[¿) Un corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[Thème) Comportement asymptotique] . . . . . . . . . . . .
1. Propriété vraie à partir d’un certain rang . . . . . . . . .
2. Suites divergentes vers ±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Propriétés de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Compléments : méthodes d’études . . . . . . . . . . . . .
[TD [savoir-faire] no 3) Le calcul de limite] . . . . . . . . . .
[Thème) Suites particulières] . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[TD [savoir-faire] no 4) Manipulations de suites particulières]
1. Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[DS no 1) Suites numériques] . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[¿) Un corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[DM no 2) Couple de suites récurrentes] . . . . . . . . . . . .
Exercice supplémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[¿) Un corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ACTIVITES COMPLEMENTAIRES . . . . . . . . . . . . .
2
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Terminale S3— 2008/2009
Mathématiques
1. Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Méthodes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Suites arithmético-géométriques . . . . . . . . . . .
1.4. Problème corrigé : Coût de production et bénéfice .
1.5. Problème corrigé : Evolution d’un capital . . . . .
2. Exercices d’approfondissement . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Enoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Des corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Fonctions : Comportement local
[Thème) Limite d’une fonction] . . . . . . . .
Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Limite réelle . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[Thème) Le calcul de limite] . . . . . . . . . .
1. Limites de références . . . . . . . . . . . . .
2. Opérations algébriques sur les limites . . .
3. Les théorèmes de comparaison . . . . . . .
4. Composition de limites . . . . . . . . . . .
[TD no 8) Le calcul de limites de fonctions] . .
[DS no 2) Limites de suites et de fonctions] . .
[¿) Un corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[DM no 3) Limites d’une fonction paramétrée]
[Thème) Nombre dérivé en un réel] . . . . . .
1. Corde et taux d’accroissement . . . . . . .
2. Tangente et nombre dérivé . . . . . . . . .
2.1. Limite du taux d’accroissement . . .
2.2. Développement limité . . . . . . . .
3. Nombres dérivées de fonctions usuelles . . .
4. Opérations et composition . . . . . . . . . .
4.1. Dérivation et opérations algébriques
4.2. Dérivation et composition . . . . . .
[TD no 9) Etudes locales de fonctions] . . . . .
1. Nombre dérivé et tangente . . . . . . . . .
2. Etudes locales d’ordre 1 . . . . . . . . . . .
[Thème) Exercices supplémentaires] . . . . . .
A. Calculs de limite . . . . . . . . . . . .
B. Nombre Dérivé . . . . . . . . . . . . .
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. 102
3 Fonctions : Comportement global
[Thème) Aspect global de la dérivation]
1. Définitions et notations . . . . . . .
2. Etude des variations . . . . . . . . .
3. Etude des extrema . . . . . . . . . .
4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . .
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3
Table des matières
Partie A: Enseignement obligatoire
Terminale S3— 2008/2009
Mathématiques
4.1. Calculs de dérivées . . . . . . . . . . . . .
4.2. Etudes de variations . . . . . . . . . . . .
[TD no 7) Fonctions trigonométriques] . . . . . . .
[Thème) Continuité] . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . .
2. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Le théorème des valeurs intermédiaires . . . . . .
3.1. Objet et énoncé du théorème . . . . . . .
[TD no 8) Continuité des fonctions] . . . . . . . . .
1. Régularité des fonctions . . . . . . . . . . . . . .
2. Applications du TVI . . . . . . . . . . . . . . . .
[DM no 4) Fonctions et régularité (un corrigé)] . . .
[Thème) Le théorème de la bijection] . . . . . . . .
1. Bijections et fonctions réciproques . . . . . . . .
1.1. Carrés et racines carrées . . . . . . . . . .
1.2. Autres exemples de fonctions réciproques
2. Le théorème de la bijection . . . . . . . . . . . .
[Thème) Invariances de courbes] . . . . . . . . . . .
1. Axe de symétrie vertical . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Cas particulier : fonction paire . . . . . .
2. Centre de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Cas particulier : fonction impaire . . . . .
3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
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ANALYSE : NOUVEAUX OUTILS
4 La fonction exponentielle
[TD d’introduction) Phénomènes de type exponentiel]
1. Evolution d’une population de bactéries . . . . . .
2. Les fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . .
3. Champs de vecteurs et équations différentielles . .
[Thème) La fonction exponentielle] . . . . . . . . . .
1. Définition et premières propriétés . . . . . . . . . .
2. Premières propriétés analytiques . . . . . . . . . .
2.1. Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Etude locale en 0 . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Formules de dérivation . . . . . . . . . . . .
2.4. Courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. La relation fonctionnelle . . . . . . . . . . .
3.2. Notation puissance . . . . . . . . . . . . . .
4. Comportement à l’infini . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Limites aux bornes . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Croissances comparées . . . . . . . . . . . .
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4
Table des matières
Partie A: Enseignement obligatoire
Terminale S3— 2008/2009
Mathématiques
[DS no 4) Fonctions avec exponentielle] . .
[¿) Un corrigé . . . . . . . . . . . . . . . .
[DS no 4 bis) Fonctions avec exponentielle]
[DM no 9) Fonction avec raccord (corrigé)]
[Thème) Equations différentielles] . . . . .
1. Equation homogène . . . . . . . . . . .
2. Equation non-homogène . . . . . . . . .
3. Retour sur la relation fonctionnelle . . .
[TD no 9) Manipulation de l’exponentielle]
1. Propriétés analytiques . . . . . . . . . .
2. Propriétés algébriques . . . . . . . . . .
3. Equations différentielles . . . . . . . . .
[DS no 5) Equation différentielle] . . . . . .
[¿) Un corrigé . . . . . . . . . . . . . . . .
[Formulaire) Exponentielle réelle] . . . . .
1. Propriétés analytiques . . . . . . . . . .
2. Propriétés algébriques . . . . . . . . . .
3. Equations différentielles . . . . . . . . .
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6 Calcul intégral
[Thème) Calculs d’aires] . . . . . . . . . . . . .
1. Intégrale d’une fonction positive . . . . . . .
2. Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . .
3. Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[Thème) L’intégrale de Riemann] . . . . . . . .
1. Intégrale d’une fonction de signe quelconque .
2. Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . .
[Thème) Intégrales et primitives] . . . . . . . .
1. Intégrales et primitives . . . . . . . . . . . .
2. Intégration par parties . . . . . . . . . . . . .
3. Primitives : formulaire . . . . . . . . . . . . .
[TD) Calculs d’intégrales] . . . . . . . . . . . .
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192
5 Fonctions Logarithmes
[Thème) Fonction Logarithme Néperien]
1. Introduction au Logarithme Népérien
1.1. Définitions . . . . . . . . . . .
1.2. Limites aux bornes . . . . . . .
1.3. Variations et courbes . . . . . .
1.4. Dérivation . . . . . . . . . . .
1.5. Autres limites remarquables . .
[Exercices) Approfondissement] . . . . .
[Thème) Logarithme de base a] . . . . .
1. Définitions et propriétés . . . . . . . .
2. Propriétés algébriques . . . . . . . . .
3. Fonctions puissances . . . . . . . . . .
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5
Table des matières
Partie A: Enseignement obligatoire
Terminale S3— 2008/2009
III
Mathématiques
ALGEBRE ET GEOMETRIE PLANE
7 Les nombres complexes
[TD d’introduction) Racines complexes d’un polynôme]
[Thème) Aspect algébrique] . . . . . . . . . . . . . . .
1. L’ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . .
2. Calcul complexe et interprétation géométrique . . .
3. Conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[Thème) Equations du second degré] . . . . . . . . . .
1. Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Résolution de (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[Thème) Aspect trigonométrique] . . . . . . . . . . . .
1. Module et arguments . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Liens avec les opérations . . . . . . . . . . . .
1.3. Applications géométriques . . . . . . . . . . .
2. Forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[Thème) Forme exponentielle] . . . . . . . . . . . . . .
1. La notation et ses applications . . . . . . . . . . . .
2. Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Remarques et compléments . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Forme exponentielle d’une somme . . . . . .
3.2. Triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Triangle équilatéral . . . . . . . . . . . . . . .
4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[DM no 12) Racines de l’unité] . . . . . . . . . . . . . .
[DS) Un devoir annulé] . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[Formulaire) Formules de trigonométrie] . . . . . . . .
[Approfondissement) Exercices supplémentaires] . . . .
IV
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203
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GEOMETRIE DANS L’ESPACE
8 Calcul vectoriel
[Thème) Fonction de Leibniz] . . . . . . . . .
1. Problématique, vocabulaire . . . . . . . . .
2. Barycentre d’un système de points pondéré
3. Démonstrations . . . . . . . . . . . . . . .
[Thème) Propriétés du barycentre] . . . . . .
[Thème) Rappels : repérage cartésien] . . . . .
1. Alignement et coplanarité . . . . . . . . . .
2. Bases des vecteurs de l’espace . . . . . . . .
3. Repères des points de l’espace . . . . . . . .
4. Changement de l’origine du repère . . . . .
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6
Table des matières
Partie A: Enseignement obligatoire
Terminale S3— 2008/2009
[Thème) Droites et plans] . . . . . . . .
[Exercices) Manipulation de barycentres]
1. Questions ROC . . . . . . . . . . . . .
2. Concours et alignement . . . . . . . .
3. Exercices de synthèse . . . . . . . . .
Mathématiques
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9 Produit scalaire et orthogonalité
[Thème) Produit scalaire dans le plan] . . .
[Thème) Produit scalaire dans l’Espace] . .
1. Définition et propriétés métriques . . . .
2. Projeté orthogonal . . . . . . . . . . . . .
[Thème) Géométrie cartésienne] . . . . . . .
1. Repère orthonormal . . . . . . . . . . . .
2. Applications de l’orthonormalité . . . . .
3. Equations cartésiennes de droite et plans
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V
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PROBABILITE
262
10 Conditionnement
[Thème) Expérience aléatoire] . . . . . . .
1. Espace probabilisé . . . . . . . . . . . .
2. Evénements . . . . . . . . . . . . . . . .
[Thème) Probabilités conditionnelles] . . .
1. Conditionnement d’un événement . . .
2. La formule des probabilités totales . . .
3. Expériences et évenements indépendants
4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11 Lois de probabilités
[Thème) Variables aléatoires] . . . . . . . . . . .
[Thème) Dénombrement] . . . . . . . . . . . . . .
1. Tirages successifs avec remise et p−listes . . .
2. Tirages successifs sans remise et arrangements
3. Tirages simultanés et combinaisons . . . . . . .
4. Propriétés des combinaisons . . . . . . . . . . .
[Thème) Exemples de lois discrètes] . . . . . . . .
1. Le schéma de Bernoulli . . . . . . . . . . . . .
2. La loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . .
[TD no 23) Probabilités discrètes] . . . . . . . . .
1. Combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . .
3. Situations diverses . . . . . . . . . . . . . . . .
[Thème) Exemples de lois continues] . . . . . . .
1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. La loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. La loi Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . .
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Table des matières
Partie A: Enseignement obligatoire
Terminale S3— 2008/2009
Mathématiques
[TD no 24) Applications des lois continues]
1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . .
[Lexique) Le langage des probabilités] . . .
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? Photo couverture : Bernhard Riemann, mathématicien allemand, né le 17 Septembre
1826 à Breselenz, Hanovre (aujourd’hui en allemagne), mort le 20 Juillet 1866 à Selasca, Italie.
8
Table des matières
Partie A: Enseignement obligatoire
Première partie
ANALYSE : OUTILS
FONDAMENTAUX
9
Chapitre 1
Suites numériques réelles
10
Suites numériques
Thème: Comportement général
[Thème) Comportement général
1. Principes généraux
1.1. Rappel du vocabulaire
Lorsqu’on considère une fonction u définie sur N, on dit que c’est une suite numérique. L’image
d’un entier m ∈ N est alors notée um au lieu de u(m) et est appelée terme de rang n. La suite
(i.e. la fonction) peut être notée (un )n∈N et l’expression générale un est appelée terme général
de u.
Il arrive que la suite u ne soit pas définie sur N tout entier mais seulement sur un sous-ensemble
de la forme {n0 , n0 + 1, ...}, où n0 ∈ N. On note alors u = (un )n≥n0 et on dit que un0 est le
premier terme de cette suite.
1.2. Représentations graphiques
1.2.1. Suite de la forme un = f (n)
On considère ici la suite u définie, pour tout entier naturel n, par un = n2 .
Si on note f la fonction carré, on a alors un = f (n) pour tout entier naturel n ; et u (en tant
que fonction) est la restriction de f à N.
Par exemple : u1 = f (1) = 1, u3 = f (3) = 9, ..., u60 = f (60) = 3600.
Deux types de représentations graphiques :
• Sur un axe réel :
• Dans un repère cartésien,
en utilisant la courbe de la
fonction f :
11
1.2.1. Suite de la forme un = f (n)
Chapitre no 1
Suites numériques
Thème: Comportement général
1.2.2. Suite récurrente (un+1 = f (un ))
On considère maintenant la suite u définie, par : u0 = 3/2 et un+1 = u2n si n ∈ N.
Si on note f la fonction carré, on a alors un+1 = f (un ), pour tout n ∈ N. Cette relation de
récurrence permet de calculer les termes de la suite de proche en proche :
u2 = f (u1 ) = (3/2)2 = 9/4 , u3 = f (u2 ) = (9/4)2 = 81/16 , ...
Représentation
graphique : On utilise cette
fois encore la courbe de
la fonction f mais aussi
la première bissectrice du
repère, d’équation y = x.
2. Suites réelles majorées ou minorées
B Définition 1: Majorant, minorant d’une suite réelle
? Soient (un )n∈N une suite numérique réelle ainsi que m, M deux réels. On dit que :
• m est un minorant de (un )n∈N si, pour tout n ∈ N, un ≥ m
• M est un majorant de (un )n∈N si, pour tout n ∈ N, un ≤ M .
Lorsque la suite (un )n∈N est majorée et minorée, on dit qu’elle est bornée.
♦ Méthode n◦ 1 [Suites bornées]
• Pour montrer qu’une suite (un )n∈N est majorée par un réel M , il suffit de montrer que, pour
tout entier naturel n, on a : un − M ≤ 0
(on a un principe analogue pour montrer qu’une suite est minorée).
• Pour montrer qu’une suite (un )n∈N est bornée, il suffit de montrer qu’il existe un réel K tel
que, pout entier n ≥ 0, |un | ≤ K.
Exemple [Applications directes] Dans chacun des cas, montrer que la suite (un )n∈N
est bornée :
5 − 2n
n2 + cos(8n2 + π)
un =
; un =
3+n
7n2
12
3. Suites monotones
Chapitre no 1
Suites numériques
Thème: Comportement général
3. Suites monotones
B Définition 2: Suite strictement monotone
? Soit (un )n≥n0 une suite numérique réelle. On dit que (un )n≥n0 est :
• strictement croissante si, pour tout entier n ≥ n0 , on a : un+1 > un
• strictement décroissante si, pour tout entier n ≥ n0 , on a : un+1 < un .
Dans les deux cas, on dit que la suite (un )n≥n0 est strictement monotone.
On a des définitions analogues pour les concepts de suites croissantes et décroissantes, associées
respectivement a inégalités larges un+1 ≥ un et un+1 ≤ un . On notera que ces définitions
sont cohérentes avec celle de fonctions croissantes ou décroissantes.
B Définition 3: Suite stationnaire
? Soit (un )n≥n0 une suite numérique.
On dit que (un )n≥n0 est stationnaire s’il existe un certain rang m à partir du quel u est
constante : Pour tout entier n ≥ m, un+1 = un .
♦ Méthode n◦ 2 [Etude de la monotonie d’une suite réelle]
Etude du signe de un+1 − un : Etudier la monotonie de la suite u de terme general un :=
−5n2 + 2n + 6.
(lorsque v > 0) : Etudier la monotonie de la
Comparaison de 1 et du quotient vn+1
vn
2n+3
suite v de terme général vn := 5n−1 .
Etude fonctionnelle (dans le cas d’une suite de la forme un = f (n)) : Etudier la monotonie de la suite u de terme general un := n2 − 3n + 6.
Le résultat suivant synthétise la troisième méthode. Comme il n’est pas au programme, on
devra pour l’utiliser reproduire ou adapter la démonstration :
B Proposition 4: Monotonie d’une suite de la forme un = f (n)
? Soient f une fonction numérique monotone définie sur un intervalle de la forme [A, +∞[.
Alors la suite (un )n≥A de terme général un = f (n) est de même monotonie (au sens strict)
que f .
Démonstration de 4.
On utilise la première méthode décrite précédemment.
? Pour tout entier naturel n ≥ A, on a : un+1 − un = f (n + 1) − f (n).
? Le signe de cette différence est :
• (strictement) positif si f est (strictement) croissante
• (strictement) négatif si f est (strictement) décroissante.
Conclusion : u et f sont donc bien de même monotonie.
4
13
3. Suites monotones
Chapitre no 1
TD [savoir-faire] no 2. Nouveaux outils d’études
Suites numériques
[TD [savoir-faire] no 2) Nouveaux outils d’études
B
∗
1. La notation
Notations.
Sur le livre
Lundi 13/9/8
P
On pose :
n
X
ai := ap + ap+1 + ... + an−1 + an .
i=p
Vocabulaire. Le membre de gauche de cette égalité se lit somme, pour i allant de p à
n, des ai . Sous
P le signe somme, l’indice (ou compteur ) i est dit muet. Il n’a de sens qu’avec
le symbole
et ne doit donc pas apparaı̂tre dans le résultat. Il peut donc être remplacé par
n’importe quelle lettre.
Exemple [Avec les premiers entiers] Si n > 0, les sommes des n premiers entiers
naturels et des n premiers carrées peuvent être respectivement notées :
n
X
i=1
i=
n
X
k = 1 + 2 + ... + n et
k=1
n
X
k 2 = 12 + 22 + ... + n2 .
k=1
2. La démonstration par récurrence
Exemple [Introduction]
Montrer que, pour tout n ≥ 1, 1 + 2 + ... + n =
n(n + 1)
.
2
Appelons P(n) cette propriété et montrons, de proche en proche, qu’elle est vraie pour tous
les entiers n ≥ 1.
? Initialisation : Pour n = 1, on a : n(n+1)
= 1×2
= 1. Donc P(1) est vraie.
2
2
? Hérédité : Soit maintenant k ≥ 1 un entier tel que P(k) est vraie : 1 + 2 + ... + k =
Montrons qu’alors P(k + 1) est vraie : 1 + 2 + ... + k + (k + 1) =
k(k+1)
.
2
(k+1)(k+2)
.
2
On calcule, en utilisant P(k), la somme
k(k + 1)
+ (k + 1)
2
k(k + 1) 2(k + 1)
=
+
2
2
k(k + 1) + 2(k + 1)
=
2
(k + 1)(k + 2)
=
,
2
1 + 2 + ... + k + (k + 1) =
Terminale S3
14
2008/2009
TD [savoir-faire] no 2. Nouveaux outils d’études
Suites numériques
ce qui prouve que P(k + 1) est vraie.
6 B Conclusion. On sait que
• P(1) est vraie
• Si P(k) est vraie, pour un certain entier k ≥ 1, alors P(k + 1) est vraie
Intuitivement, on a envie de dire que P(2) est vraie d’après la démonstration d’hérédité,
et ainsi de suite : P(3), P(4), .... ; et d’en déduire que P(n) est vraie pour tout n ≥ 1 :
.
1 + 2 + ... + n = n(n+1)
2
En toute rigueur, on est obligé d’appliquer un des axiomes de Peano, qui permettent d’admettre l’existence de l’ensemble N des entiers naturels :
∗ Axiome de Peano : Soit A une partie non vide de N tel que si un entier k appartient à A,
alors son successeur (k + 1) aussi. Alors A est un ensemble de la forme {n0 , n0 + 1, n0 + 2, ...}.
Ce principe de démonstration est précisé par le théorème suivant :
B Théorème 1: Principe de récurrence
? Soit P(n) une propriété dépendant de n ∈ N. On suppose que :
• [Initialisation] Il existe un entier n0 tel que P(n0 ) est vraie.
• [Hérédité] Si la propriété P(k) est vraie pour un certain entier k, alors P(k + 1) est
encore vraie.
Alors on peut en déduire que la propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ n0 .
Exemple [Application] Montrer que, pour tout n ≥ 1, la somme des n premiers carrés
n(n + 1)(2n + 1)
vaut : 12 + 22 + ... + n2 =
.
6
Appelons P(n) cette propriété et montrons par récurrence qu’elle est vraie pour tout n ≥ 1.
? Initialisation : Pour n = 1, on a :
est vraie.
n(n + 1)(2n + 1)
1×2×3
=
= 1 = 12 . Donc P(1)
6
6
? Hérédité : Soit k ≥ 1 un entier.
• Hypothèse de récurrence : on suppose que P(k) est vraie :
12 + 22 + ... + k 2 =
k(k + 1)(2k + 1)
.
6
• Conclusion de récurrence : montrons que P(k + 1) est vraie :
12 + 22 + ... + k 2 + (k + 1)2 =
(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
.
6
15
Terminale S3
2008/2009
TD [savoir-faire] no 2. Nouveaux outils d’études
Suites numériques
(HR) ⇒ (CR) : On calcule, en utilisant l’hypothèse de récurrence, la somme
12 + 22 + ... + k 2 + (k + 1)2 =
=
=
=
=
k(k + 1)(2k + 1)
+ (k + 1)2
6
k(k + 1)(2k + 1) 6(k + 1)2
+
6
6
(k + 1)[k(2k + 1) + 6(k + 1)]
6
(k + 1)(2k 2 + k + 6k + 6)
6
2
(k + 1)(2k + 7k + 6)
.
6
D’autre part : (k + 2)(2k + 3) = 2k 2 + 3k + 4k + 6 = 2k 2 + 7k + 6 ; donc :
(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
(k + 1)(2k 2 + 7k + 6)
=
,
1 + 2 + ... + k + (k + 1) =
6
6
2
2
2
2
ce qui établit la conclusion de récurrence.
6 B Conclusion. Pour tout n ≥ 1, 12 + 22 + ... + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
16
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2008/2009
TP [machine] no 1. Moyenne arithmétique
Suites numériques
[TP [machine] no 1) Moyenne arithmétique
B
∗
Polycopié no 5
Jeudi 18/9/8
17
Terminale S3
2008/2009
DM no 1. Somme d’une suite arithmético-géométrique
Suites numériques
[DM no 1) Somme d’une suite arithmético-géométrique
B
∗
Polycopié no 3
Pour le vendredi 12/9/8
∗ Partie 1. Suite arithmético-géométrique
On définit :
1
4
• la suite (un ) par : u0 = 13 et, pour tout entier naturel n, un+1 = un + .
5
5
• la suite (Sn ) par : pour tout entier naturel n, Sn =
n
X
uk .
k=0
1. (a) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un = 1 +
12
.
5n
(b) En déduire la limite de la suite (un ).
2. (a) Déterminer le sens de variation de la suite (Sn ).
(b) Calculer Sn en fonction de n.
(c) Déterminer la limite de (Sn ).
∗ Partie 2. Question ROC
Etant donné une suite (xn ) de nombres réels, définie pour tout entier naturel n, on considère
n
X
xk .
la suite définie par Sn =
k=0
Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse.
Justifier chaque réponse.
Proposition 1 :
Si la suite (xn ) est convergente, alors la suite (Sn ) aussi.
Proposition 2 :
Les suites (xn ) et (Sn ) ont le même sens de variation.
18
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2008/2009
DM no 1 (Corrigé)
Suites numériques
[DM no 1) Un corrigé
∗ Partie 1. Suite arithmético-géométrique
1
4
La suite (un ) est définie par : u0 = 13 et, pour tout entier naturel n, un+1 = un + .
5
5
12
1. (a) Montrons par récurrence que, pour tout n ∈ N, un = 1 + n (propriété (P(n)).
5
∗ Initialisation : Pour n = 0 : on a u0 = 13 et 1 +
Donc : P(0) est vraie.
12
12
= 13.
=1+
0
5
1
∗ Hérédité : Soit k un entier naturel.
12
(HR) On suppose que : uk = 1 + k .
5
12
.
5k+1
Pour exprimer uk+1 , on applique successivement la relation de récurrence de la suite
(un ) puis l’hypothèse de récurrence :
4
1
1
12
4
12
1
12
4
+ = 1 + k+1 ,
uk+1 = uk + =
1+ k + = +
k
5
5
5
5
5
5 5×5
5
5
(CR) Montrons qu’alors : uk+1 = 1 +
ce qui prouve que P(k + 1) est vraie.
6 B Conclusion. Pour tout n ∈ N, la propriété P(n) est vraie : un = 1 +
12
.
5n
(b) On en déduit la limite de la suite (un ) : Comme 0 < 15 < 1, alors
n
1
12
1
lim n = lim
= 0 , donc :
lim n = 0,
n→+∞ 5
n→+∞ 5
n→+∞
5
par multiplication par 12. En ajoutant la constante 1, on obtient :
lim un = 1.
n→+∞
2. (a) Sens de variation de la suite (Sn ). Méthode de la différence : pour tout n ∈ N :
Sn+1 − Sn =
n+1
X
k=0
uk −
n
X
k=0
uk = un+1 = 1 +
12
> 0,
5n+1
car 1 > 0, 12 > 0 et 5n+1 > 0.
6 B Conclusion. Comme Sn+1 −Sn > 0, pour tout n ∈ N, la suite (Sn ) est strictement
croissante.
19
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DM no 1 (Corrigé)
Suites numériques
(b) Calcul de Sn en fonction de n. Pour tout entier naturel n,
Sn =
n
X
n X
uk =
k=0
k=0
n
X
=
12
1+ n
5
1 + 12
k=0
n
X
1
5n
k=0
1 − (1/5)n+1
= (n + 1) + 12 ×
1 − 1/5
1 − (1/5)n+1
= (n + 1) + 12 ×
4/5
= (n + 1) + 15 1 − (1/5)n+1
∗ Remarque : On a utilisé la formule 1 + q + q 2 + ... + q n =
(c) Limite de (Sn ). On a, d’une part
lim
1
n→+∞
5n+1
=0,
1−q n+1
,
1−q
valable si q 6= 1.
lim (n + 1) = +∞ et, d’autre part :
n→+∞
donc
:
lim 15 1 − (1/5)n+1 = 15.
n→+∞
Par addition de ces deux limites, on obtient :
lim Sn = +∞.
n→+∞
∗ Partie 2. Question ROC
Etant donné une suite (xn ) de nombres réels, définie pour tout entier naturel n, on considère
n
X
la suite définie par Sn =
xk .
k=0
Proposition 1 :
Si la suite (xn ) est convergente, alors la suite (Sn ) aussi : c’est faux.
L’exemple de la suite (un ) de la partie 1 le prouve. On a en effet prouvé que (un ) converge et
que (Sn ) diverge.
Proposition 2 :
Les suites (xn ) et (Sn ) ont le même sens de variation : c’est faux.
L’exemple de la partie 1 permet encore d’en donner un contre exemple. On a en effet prouvé
que (Sn ) est strictement croissante ; or (un ) est strictement décroissante.
En effet, la suite (1/5n ) est strictement décroissante puisque c’est une suite géométrique de
raison 1/5 ∈]0; 1[ et de premier terme 1 > 0. Comme 12 > 0 alors la suite (12/5n ) est encore
strictement décroissante. Et comme 1 > 0 alors (un ) est aussi strictement décroissante.
6 B Conclusion. Les suite (un ) et (Sn ) sont de sens de variation contraires.
∗ Remarque : On peut généraliser l’exemple précédent : Si (xn ) est une suite réelle de termes
strictement positifs (éventuellement décroissante) alors (Sn ) est strictement croissante.
20
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Suites numériques
Thème: Comportement asymptotique
[Thème) Comportement asymptotique
1. Propriété vraie à partir d’un certain rang
On considère une propriété P(n), dont la validité dépend de l’entier naturel n.
On dira que P(n) est vraie à partir d’un certain rang s’il existe un entier naturel n0 (le rang
en question) tel que P(n) est vraie pour tous les entiers n ≥ n0 .
Exemple : On peut dire qu’à partir d’un certain rang, 2n > 63. Il n’est pas toujours utile de
préciser le rang en question, suivant ce que l’on a à faire.
Autre description : Dire que P(n) est vraie à partir d’un certain rang signifie que P(n)
est vraie pour tous les entiers naturels sauf un nombre fini d’entre eux.
Exercice no 1 [Majorations]
1. Montrer qu’à partir d’un certain rang, on a : 2n > 63.
2. Soit la suite arithmétique (An )n≥0 , de premier terme 4 et de raison 1/3. Montrer qu’à partir
d’un certain rang on a : An ≥ 10.
Même question pour An ≥ α, où α est un nombre réel fixé quelconque. Que peut-on en
déduire ?
2. Suites divergentes vers ±∞
On considère ici une suite numérique réelle u.
B Définition 1: Suite divergente vers +∞
? Dire que la suite u diverge vers +∞ signifie
que :
Pour tout nombre réel A on a un ≥ A, à
partir d’un certain rang.
Vocabulaire. On dit aussi que la suite
admet pour limite +∞.
Notations.
lim un = +∞ ou u −→ +∞.
n→+∞
? De même, on dira que la suite u diverge vers −∞ si, et seulement si :
Pour tout nombre réel A on a un ≤ A, à partir d’un certain rang.
Illustations :
21
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Suites numériques
Thème: Comportement asymptotique
∗ Remarque [Autres formulations de la définition]
Voici d’autres manières de signifier que la suite u diverge vers +∞ :
• Tout intervalle de la forme [A, +∞[ contient tous les termes un , sauf un nombre fini d’entre
eux.
• Pour tout réel A > 0, il existe un rang nA ∈ N tel que : si n ≥ nA alors un > A.
B Théorème 2: Condition suffisante : Suite monotone non bornée
? B Toute suite croissante non majorée diverge vers +∞
B Toute suite décroissante non minorée diverge vers −∞.
Démonstration de 2.
On montre la première assertion, la seconde étant analogue.
On suppose donc que u est strictement croissante et non majorée ; on considère un réel A et
il suffit de montrer qu’à partir d’un certain rang, on a : un > A.
Comme la suite u est non majorée, elle possède au moins un terme un0 strictement supérieur
à A. Or u est croissante donc : n ≥ n0 ⇒ un ≥ un0 > A.
A partir du rang n0 , le terme général de u vérifie bien un > A
2
∗ Théorème de comparaison (1/2)
B Théorème 3: Le théorème du gendarme
? Soient deux suites u et v telles que un ≤ vn , à
partir d’un certain rang.
• Si u diverge vers +∞ alors v aussi
• Si v diverge vers −∞ alors u aussi.
22
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Suites numériques
Thème: Comportement asymptotique
Démonstration de 3.
On prouve la première assertion et on suppose pour cela que :
• A partir d’un certain rang n0 , on a : un ≤ vn
• u diverge vers +∞.
Soit A ∈ R. Montrons, qu’à partir d’un certain rang, vn > A.
Comme u −→ +∞, on sait que un > A, à partir d’un certain rang n1 . Donc :
si n ≥ n0 et n ≥ n1 alors vn ≥ un > A.
On pose n2 = max(n0 ; n1 ) ; on a ainsi vn > A pour tout n ≥ n2 , ce qu’il fallait prouver.
3
B Proposition 4: Suites de référence divergentes vers +∞
? Soit k un entier naturel non nul et q > 1 un réel.
√
Les suites ( n)n∈N , (np )n∈N , (q n )n∈N divergent vers +∞.
Démonstration de 4.
A titre d’illustration de la définition, montrons que
√
n = +∞.
lim
n→+∞
Soit A un réel quelconque. Il suffit de prouver qu’on a
√
n > A, à partir d’un certain rang.
On peut choisir un entier n0 tel que n0 > A2 . Pour tout entier n ≥ n0 , on a alors :
√
√
√
n ≥ n0 > A2 ≥ |A| ≥ A.
√
6 B Conclusion. On a bien n > A, à partir d’un certain rang (en
√ l’occurrence n0 ) ; et ce,
quel que soit le nombre réel A. Ceci suffit à prouver que la suite ( n)n∈N diverge vers +∞.
4
Exercice no 2 [Application directe]
Dans chaque cas, prouver que la suite (un )n∈N diverge vers +∞ :
1. un = n3 + 1
2. (un )n∈N est la suite géométrique de raison 3/2 et de premier terme u0 = −9
3. un =
√
3 n
5
+4
23
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Suites numériques
Thème: Comportement asymptotique
3. Suites convergentes
3.1. Définition
On considère une suite numérique réelle u.
Notations.
B Définition 5: Suite convergente
? On dit que u converge vers un réel L si,
tout intervalle ouvert I possédant L contient
aussi tous les termes un à partir d’un certain
rang (dépendant de I).
lim un = L ou u −→ L.
n→+∞
Vocabulaire.
Lorsque la suite u ne
converge pas, on dit qu’elle est divergente.
Cela peut donc vouloir dire que u diverge
vers +∞, −∞ ou n’admet pas de limite.
Etudier la nature d’une suite consiste à conjecturer la limite éventuelle de cette suite (réelle
ou infinie) ; puis de démontrer cette conjecture.
Illustrations :
? Autres formalisations de la définition : Dire que u converge vers L signifie que
B La suite des distances (|un − L|)n∈N converge vers 0.
B Pour tout réel > 0, il existe un rang n ∈ N tel que : si n ≥ n alors un ∈]L − ; L + [.
Commentaires : Le nombre > 0 est considéré ici comme un écart par rapport à la
limite L, une erreur d’arrondi.
L’intervalle I :=]L − ; L + [, centré en L, est formé de toutes les valeurs approchées de L à
près. C’est en effet l’ensemble des réels x tels que : L − < x < L + .
N’importe quel intervalle ouvert I possédant L contient (au moins) un intervalle de la fome
I , quitte à choisir suffisamment petit (mais toujours strictement positif).
Si la suite u converge vers L alors, à partir d’un certain rang n , tous les termes un de la suite
appartiennent à I . Tous ses termes sont donc des valeurs approchées de L à près.
Réciproquement, pour que la suite converge, il suffit que cette propriété soit vérifiée pour
n’importe quelle erreur > 0, aussi petite que l’on veut.
24
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2008/2009
Suites numériques
Thème: Comportement asymptotique
Exercice no 3 [Application de la définition]
3 × (−1)n
avec n ≥ 1.
2n
1. Montrer qu’à partir d’un certain rang, on a : |un | ≤ 10−2 .
On considère la suite de terme général un =
2. Soit > 0. Montrer qu’à partir d’un certain rang, on a : |un | ≤ .
3. Conclure quant à la nature de la suite (un )n≥1 .
∗ Unicité de la limite : Si la suite u converge ou diverge vers ±∞, alors c’est la seule
limite de cette suite. On donne plusieurs éléments pour justifier ce principe.
Exercice no 4 [Démonstration par l’absurde]
On suppose que u converge deux limites différentes L et L0 .
1. Construire deux intervalles disjoints I et I 0 , centrés en L et L0 respectivement.
2. En déduire une contradiction quant à la position des termes de la suite, à partir d’un certain
rang.
B Proposition 6: Unicité de la limite
? Si la suite u converge vers les réels L et L0 , alors L = L0 .
Démonstration de 6.
Comme u converge à la fois vers L et L0 , il existe alors :
• un entier n1 tel que : si n ≥ n1 , alors L − < un < L + • un entier n2 tel que : si n ≥ n2 , alors L0 − < un < L0 + .
On pose N := max(n1 ; n2 ). Pour tout entier n ≥ N , on a :
L − < un < L + et L0 − < un < L0 + ⇔ un − < L < un + et − − un < −L0 < − un
⇒ −2 < L − L0 < 2.
Cette propriété étant valable pour tout > 0, ceci entraı̂ne que : L − L0 = 0.
6 B Conclusion. On a finalement L = L0 : la limite de (un ) est donc unique.
6
B Proposition 7: Condition nécéssaire de convergence
? Toute suite convergente est bornée.
Démonstration de 7.
Comme u converge vers une limite L, on peut affirmer, en
appliquant la définition avec = 1, qu’il existe un certain rang N ∈ N pour lequel on a :
n ≥ N ⇒ un ∈]L − 1; L + 1[.
On choisit maintenant deux réels α et β tels que :
25
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Suites numériques
Thème: Comportement asymptotique
• α<L−1<L+1<β
• les premiers termes u0 , u1 , ... , uN1 appartiennent à [α, β].
6 B Conclusion. Les deux nombres α et β sont construits de telle sorte que, pour n ∈ N,
un ∈ [α, β] ; ce qui signifie bien que la suite u est bornée.
7
∗ Remarque. La réciproque est fausse, comme le montre l’exemple de la suite de terme
général (−1)n : cette suite est bornée (par −1 et 1) mais ne converge pas.
3.2. Propriétés de calculs
3.2.1. Théorèmes de comparaison (2/2)
B Théorème 8: Le théorème des gendarmes
? Soient trois suites u, v et w.
Si on a :
• un ≤ vn ≤ wn , à partir d’un certain rang
• u et w convergent vers L
Alors v converge aussi vers L.
Exemple [Avec un cosinus]
Etudier la convergence de la suite de terme général
an =
cos(2n + π/3) + 5n
.
n
B Proposition 9: Limites et majorations
? Soient M un réel ainsi que u et u0 deux suites convegentes vers L et L0 respectivement.
• Si on a un ≤ M , à partir d’un certain rang, alors L ≤ M .
• Si on a un < M , à partir d’un certain rang, alors L ≤ M .
• Si on a un ≤ vn , à partir d’un certain rang, alors L ≤ L0
Exemple [Suite des inverses]
On considuère la suite (1/n)n≥1 .
On a 1/n > 0 pour tout n ≥ 1 mais 1/n −→ 0.
On prendra donc soin de manipuler les inégalités avec précision.
B Proposition 10: Suites convergentes monotones
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Suites numériques
Thème: Comportement asymptotique
? • Si une suite u est croissante et converge vers L ∈ R alors on a un ≤ L pour tout n ∈ N.
• Si une suite u est décroissante et converge vers L ∈ R alors on a un ≥ L pour tout n ∈ N.
Le théorème suivant permet de prouver qu’une suite converge, sous certaines conditions. Par
contre, il ne permet pas de calculer la limite.
B Théorème 11: Suite monotone et bornée
?
1. Toute suite croissante majorée est convergente.
2. Toute suite décroissante minorée est convergente.
Exercice no 5 [Mise en pratique]
0n considère la suite définie par u0 = −5 et la relation un+1 = 13 un + 7 pour n ∈ N.
1. On suppose dans cette question que (un ) converge vers une limite l. Que vaut cette limite ?
2. On pose vn = un − l, pour ni nN. Montrer que la suite (vn ) est géométrique puis calculer
sa limite.
3. En déduire la nature de (un ).
4. Reprendre la même démarche avec la suite (vn ) définie par v0 = −3 et la relation un+1 =
5un − 2 pour n ∈ N.
3.2.2. Limites de références
B Proposition 12: Suites de références convergentes vers 0
? Soient p un entier naturel non nul et q un réel tel que |q| < 1. Les suites suivantes convergent
vers 0 :
1
1
√
;
et (q n )n≥1
np n≥1
n n≥1
4. Opérations sur les limites
Soient u et v deux suites ainsi que L, L0 non nuls ainsi que λ un réel quelconque.
Le tableau suivant donne les règles d’opérations sur les limites. Dans ce tableau :
• L’abréviation ind. signifie qu’il n’y a pas de règle générale : c’est une forme indéterminée.
Il faut trouver une méthode de calcul adéquate pour l’exemple traité.
• La notation ±∞ signifie que le résultat vaut +∞ ou −∞ et que le signe reste à déterminer
en fonction des quantités en présence.
• On peut retrouver les résultats concernant des suites diergentes vers −∞ en utilisant la
règle des signes.
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Suites numériques
Thème: Comportement asymptotique
u+v
u−v
λ.u
u×v
1
u
v
u
u→L
v → L0
L + L0
L − L0
λ.L
L.L0
1
L
L0
L
u→0
v → L0
L0
−L0
0
0
±∞
ind.
u→L
v→0
L
L
λ.L
0
1
L
0
u→0
v→0
0
00
0
0
±∞
ind.
+∞ si L0 > 0
−∞ si L0 < 0
0
0
u → +∞
v → L0
+∞
+∞
+∞ si λ > 0
−∞ si λ < 0
0 si λ = 0
u→0
v → +∞
+∞
−∞
0
ind.
±∞
±∞
u → +∞
v → +∞
+∞
ind.
+∞ si λ > 0
−∞ si λ < 0
0 si λ = 0
+∞
0
ind.
−∞
0
ind.
ind.
0
0
u → +∞
v → −∞
ind.
+∞
+∞ si λ > 0
−∞ si λ < 0
0 si λ = 0
u → +∞
v→0
+∞
+∞
+∞ si λ > 0
−∞ si λ < 0
0 si λ = 0
∗ Synthèse des formes indéterminées
Sommes et différences (confrontation +∞ et −∞) : +∞ + (−∞) ; +∞ − ∞ ; −∞ + ∞.
Produits et quotients (confrontation 0 et ±∞) : 0 × ±∞ ;
0
0
;
±∞
.
±∞
Exercice no 6 [Applications directes]
Etudier la nature des suites dont le terme général est donné ci-dessous :
√
1. an = n2 − 6n + 12 ; bn = −3n3 − 5n + 1 ; cn = n − 50 n
2. dn =
4n2 −n+5
3n−4
; en =
4n2 −n+5
3n2 −4
; fn =
3n2 +5(−1)n
4n2
; gn =
3n2 +5×2n
4n3
3. hn = (−3/2)n ; in = (−2/3)n , n ≥ 0
28
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2008/2009
Suites numériques
Thème: Comportement asymptotique
5. Compléments : méthodes d’études
Exercice no 7 [Divergence et monotonie]
∗ Partie A : Démonstration d’un résultat : Soit (un ) une suite croissante non majorée.
1. Soit M un nombre réel et n0 un entier naturel tels que un0 ≥ M .
Justifier que pour tout entier naturel n, on a un ≥ M pour n ≥ n0 .
2. Que peut-on en déduire concernant la suite (un ) ?
3. Enoncer le résultat ainsi démontré.
∗ Partie B : vrai/faux : Répondre par Vrai ou Faux aux propositions suivantes en justifiant
chaque réponse :
1. Si une suite n’est pas majorée alors elle tend vers +∞.
2. Si une suite est croissante alors elle tend vers +∞.
3. Si une suite tend vers +∞ alors elle n’est pas majorée.
4. Si une suite tend vers +∞ alors elle est croissante.
Exercice no 8 [Limites et majorations]
Soit (un ) une suite numérique. On considère les propriétés suivantes :
• P1 : la suite (un ) est majorée
• P2 : la suite (un ) n’est pas majorée
• P3 : la suite (un ) converge
• P4 : la suite (un ) tend vers +∞
• P5 : la suite (un ) est croissante.
1. Donner la traduction mathématique des propriétés P1 et P4 .
2. Si les propriétés P1 et P5 sont vraies, que peut-on en conclure pour (un ) (on ne demande
pas de justifier la réponse) ?
3. Si les propriétés P2 et P5 sont vraies, que peut-on en conclure pour (un ) (on ne demande
pas de justifier la réponse) ?
4. Une suite vérifiant la propriété P4 vérifie-t-elle nécessairement la propriété P2 (on demande
de justifier la réponse) ?
5. Une suite vérifiant le propriété P2 vérifie-t-elle nécessairement la propriété P4 (on demande
de justifier la réponse) ?
Exercice no 9 [Croissances comparées]
∗ Partie I : A chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question,
une réponse exacte rapporte le nombre de points affectés ; une réponse inexacte enlève la moitié
des points affectés.
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2008/2009
Suites numériques
Thème: Comportement asymptotique
Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines de ces questions. Ces questions ne
rapportent aucun point et n’en enlèvent aucun.
Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
Pour chacune des affirmations suivantes, répondre par Vrai ou Faux :
1. Soit (un ) et (vn ) deux suites à valeurs strictement positives.
vn2
= +∞.
Si, pout tout entier n, vn ≥ un et si lim un = +∞ alors lim
n→+∞
n→+∞ un
2. Toute suite bornée est convergence.
3. Pour toutes suites (un ) et (vn ) à valeurs strictement positives qui tendent vers +∞, la suite
de terme général uvnn converge vers 1.
4. Toute suite croissante non majorée tend vers +∞.
∗ Partie II : Pour chacune des propositions de la première partie, justifier votre réponse :
– dans le cas où la proposition vous paraı̂t fausse : en donnant un contre-exemple ;
– dans le cas où la proposition vous paraı̂t exacte : en donnant une démonstration.
Exercice no 10 [Divergence d’une suite récurrente]
∗ Prérequis : Définition d’une suite tendant vers +∞.
Une suite (un ) tend vers +∞ si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir
d’un certain rang, supérieurs à A.
Démontrer le théorème suivant : Une suite croissante non majorée tend vers +∞.
Pour étudier la convergence d’une suite numérique u, c’est-à-dire la nature de celle-ci, on
procède en général cet ordre :
• Conjecture d’une limite éventuelle L ∈ R : en donnant à n de très grandes valeurs (10 ;
100 ; ... ; 10k , k ≥ 1).
B Si on pense que u n’a pas de limite, on tente de mettre en défaut les définitions.
B Si on estime que u admet une limite l ∈ R, on teste les méthodes suivantes.
• Inégalités : Recherche de minoration, majoration ou encadrement afin d’appliquer l’un
des théorèmes de comparaison (Théorèmes du ou des gendarmes, selon le cas).
• Opérations : Recherche d’une série d’opérations algébrique sur des suites de références
pour construire u.
B S’il est possible de construire u sans forme indéterminée, on applique les règles d’opérations
sur les limites.
B Si u est sous forme indéterminée, on est obligé de transformer l’expression un afin lever
la forme indeterminée.
30
Terminale S3
2008/2009
Suites numériques
Thème: Comportement asymptotique
• Maths dures : Il faut donc savoir reconnaitre une forme indéterminée et pouvoir trouver
une démarche calculatoire spécifique permettant de traiter le cas (la liste des cas, des
méthodes et des problèmes ouverts est longue).
Exercice no 11 [Applications directes]
Etudier la nature des suites dont le terme général est donné ci-dessous :
1. an =
3n2 +5(−1)n
4n2
et An =
3n2 +5×2n
,
4n3
n≥1
2. bn = (−3/2)n et Bn = (−2/3)n , n ≥ 0
3. cn =
13n+5
3n2 +1
et Cn =
13n2 +5
,
3n2 +1
n≥0
4. dn = n2 − 6n + 12 et Dn = −3n3 − 5n + 1, n ≥ 0
5. en =
4n2 −n+5
3n−4
et En =
4n2 −n+5
,
3n2 −4
n ≥ 0.
31
Terminale S3
2008/2009
TD [savoir-faire] no 3. Le calcul de limite
Suites numériques
[TD [savoir-faire] no 3) Le calcul de limite
B
∗
Polycopié no 6
Lundi 22/9/8
Exercice no 1 [Divergence et monotonie]
∗ Partie A : Démonstration d’un résultat : Soit (un ) une suite croissante non majorée.
1. Soit M un nombre réel et n0 un entier naturel tels que un0 ≥ M .
Justifier que pour tout entier naturel n, on a un ≥ M pour n ≥ n0 .
2. Que peut-on en déduire concernant la suite (un ) ?
3. Enoncer le résultat ainsi démontré.
∗ Partie B : vrai/faux : Répondre par Vrai ou Faux aux propositions suivantes en justifiant
chaque réponse :
1. Si une suite n’est pas majorée alors elle tend vers +∞.
2. Si une suite est croissante alors elle tend vers +∞.
3. Si une suite tend vers +∞ alors elle n’est pas majorée.
4. Si une suite tend vers +∞ alors elle est croissante.
Exercice no 2 [Limites et majorations]
Soit (un ) une suite numérique. On considère les propriétés suivantes :
• P1 : la suite (un ) est majorée
• P2 : la suite (un ) n’est pas majorée
• P3 : la suite (un ) converge
• P4 : la suite (un ) tend vers +∞
• P5 : la suite (un ) est croissante.
1. Donner la traduction mathématique des propriétés P1 et P4 .
2. Si les propriétés P1 et P5 sont vraies, que peut-on en conclure pour (un ) (on ne demande
pas de justifier la réponse) ?
3. Si les propriétés P2 et P5 sont vraies, que peut-on en conclure pour (un ) (on ne demande
pas de justifier la réponse) ?
4. Une suite vérifiant la propriété P4 vérifie-t-elle nécessairement la propriété P2 (on demande
de justifier la réponse) ?
5. Une suite vérifiant le propriété P2 vérifie-t-elle nécessairement la propriété P4 (on demande
de justifier la réponse) ?
Exercice no 3 [Croissances comparées]
32
Terminale S3
2008/2009
TD [savoir-faire] no 3. Le calcul de limite
Suites numériques
∗ Partie I : A chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question,
une réponse exacte rapporte le nombre de points affectés ; une réponse inexacte enlève la moitié
des points affectés.
Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines de ces questions. Ces questions ne
rapportent aucun point et n’en enlèvent aucun.
Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
Pour chacune des affirmations suivantes, répondre par Vrai ou Faux :
1. Soit (un ) et (vn ) deux suites à valeurs strictement positives.
vn2
= +∞.
Si, pout tout entier n, vn ≥ un et si lim un = +∞ alors lim
n→+∞
n→+∞ un
2. Toute suite bornée est convergence.
3. Pour toutes suites (un ) et (vn ) à valeurs strictement positives qui tendent vers +∞, la suite
de terme général uvnn converge vers 1.
4. Toute suite croissante non majorée tend vers +∞.
∗ Partie II : Pour chacune des propositions de la première partie, justifier votre réponse :
– dans le cas où la proposition vous paraı̂t fausse : en donnant un contre-exemple ;
– dans le cas où la proposition vous paraı̂t exacte : en donnant une démonstration.
Exercice no 4 [Divergence d’une suite récurrente]
∗ Prérequis : Définition d’une suite tendant vers +∞.
Une suite (un ) tend vers +∞ si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir
d’un certain rang, supérieurs à A.
Démontrer le théorème suivant : Une suite croissante non majorée tend vers +∞.
33
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2008/2009
Suites numériques
Thème: Suites particulières
[Thème) Suites particulières
1. Suites adjacentes
Dans ce numéro, toutes les suites sont supposées définies sur N, sauf mention du contraire.
La discussion qui suit s’adapte aisément à des suites définies sur un sous-ensemble de la forme
{n0 ; n0 + 1; ...}.
B Définition 1: Suites adjacentes
? Deux suites réelles (un ) et (vn ) sont dites adjacentes si, et seulement si elles vérifient les trois
? Monotonies
: (un ) est croissante et (vn ) décroissante
Différence
: La suite (vn − un ) converge vers 0
conditions suivantes : ?
? Comparaison : Pour tout entier naturel n, un ≤ vn .
? Conditions redondantes : Les conditions no 1 et 2 entraı̂nent la no 3.
Démonstration par l’absurde : Supposons que les suites (un ) et (vn ) satisfont aux
conditions no 1 et 2 mais pas à la no 3.
Dans ce cas, il existe un entier n0 tel que :
Compte tenu des monotonies des suites, on a alors :
un0 > vn0 .
un ≥ un0 > vn0 ≥ vn si n ≥ n0 .
D’où : un − vn ≥ (un0 − vn0 ) > 0.
6 B Conclusion. Ceci contredit le fait que (un − vn ) tend vers 0 (condition no 2).
B Méthode : Pour vérifier que deux suites sont adjacentes, il suffit de vérifier les deux
premières conditions (la troisième étant entrainée par ces deux-là).
B Théorème 2: Limite commune de suites adjacentes
? Soient (un ) et (vn ) deux suites adjacentes telles que un ≤ vn . Alors :
B Il existe alors un unique réel L tel que, pour tout entier naturel n, L ∈ [un , vn ].
B Les deux suites convergent vers L.
Démonstration de 2.
∗ Limite commune. Montrons d’abord que (un ) et (vn ) convergent vers une même limite.
Comme (un ) est croissante et que, pour tout n ∈ N, un ≤ vn , alors : u0 ≤ un ≤ vn .
La suite (vn ) est donc décroissante (par hypothèse) et minorée par la constante réelle u0 . Elle
converge donc vers une limite L.
B On montre de même que la suite (un ) est croissante et majorée par v0 ∈ R. Elle converge
donc vers une limite L0 .
34
Terminale S3
2008/2009
Suites numériques
Thème: Suites particulières
Enfin, comme (un − vn ) tend vers 0, on a finalement L − L0 = 0 ; La limite des suites est
bien la même.
∗ Propriété caractéristique de l. Montrons maintenant que L satisfait à la propriété
suivante : ∀ n ∈ N , l ∈ [un , vn ]. On a :
•
(un ) croit et tend vers L, donc
:
∀ n ∈ N , un ≤ L
•
(vn ) décroit et tend vers L, donc
:
∀ n ∈ N , L ≤ vn .
Ainsi pour tout n ∈ N, un ≤ L ≤ vn ;
ce qui peut aussi s’écrire : L ∈ [un , vn ].
∗ Unicité. Il reste à montrer que l est le seul réel qui satisfait à cette propriété. On introduit
pour cela un réel x vérifiant la même propriété (∀ n ∈ N , x ∈ [un , vn ]) et on montre que
x = L.
Comme (un ) et (vn ) convergent vers la même limite L, le théorème des gendarmes implique
que L ≤ x ≤ L ; soit : x = L.
La limite L des suites adjacentes est donc l’unique réel appartenant à tous les intervalles
[un , vn ], pour n ∈ N.
2
35
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2008/2009
Suites numériques
Thème: Suites particulières
2. Suites arithmétiques
Dans ce numéro, on considère une suite réelle (an )n≥n0 , définie à partir d’un certain rang
n0 ∈ N. On la notera abusivement (an ).
B Définition 3: Suite arithmétique
? On dit que la suite (an ) est arithmétique s’il existe un réel r tel que, pour tout entier
naturel n ≥ n0 , an+1 = an + r.
Le nombre r est alors appelé la raison de la suite arithmétique (an ).
B Méthode : Pour montrer que la suite (an ) est arithmétique, il suffit d’établir que la suite
de terme général (an+1 − an ) est constante. Cette constante est alors la raison r de (an ).
B Proposition 4: Terme général d’une suite arithmétique
? La suite (an ) est arithmétique de raison r si, et seulement si, pour tout entier n ≥ n0 ,
an = an0 + (n − n0 ) × r
• En particulier :
Si n0 = 0 alors : an = a0 + n × r.
Démonstration de 4.
(⇐) On suppose que : Pour tout entier n ≥ n0 , an = an0 + (n − n0 ) × r. Alors
an+1 − an = an0 + (n + 1 − n0 ) × r − [an0 + (n − n0 ) × r] = r.
La suite (an ) est bien arithmétique de raison r.
(⇒) On suppose que : (an ) est arithmétique de raison r. Montrons par récurrence la
formule de la proposition.
∗ Initialisation : Si n = n0 , an0 + (n − n0 ) × r = an0 : la propriété est vraie pour le rang
n0 .
∗ Hérédité : Soit un entier k ≥ n0
(HR) Supposons que ak = an0 + (k − n0 ) × r.
(CR) Montrons que ak+1 = an0 + (k + 1 − n0 ) × r.
Il suffit d’appliquer la relation de récurrence de la suite (an ) puis (HR) :
ak+1 = ak + r = an0 + (k − n0 ) × r + r = an0 + (k + 1 − n0 ) × r.
6 B Conclusion. La relation est bien vraie pour tout entier n ≥ n0 .
4
B Proposition 5: Variations et limites des suites arithmétiques
? On suppose que (an ) une suite arithmétique de raison r.
36
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Suites numériques
Thème: Suites particulières
• Si r < 0 alors (an ) est strictement décroissante et diverge vers −∞.
• Si r = 0 alors (an ) est constante.
• Si r > 0 alors (an ) est strictement croissante et diverge vers +∞.
Démonstration de 5.
On traı̂te le premier cas.
Pour tout entier n ≥ n0 , on a par définition : an+1 − an = r < 0. La suite (an ) est donc
strictement décroissante.
Pour tout entier n ≥ n0 , on a : an = an0 +r(n−n0 ). Comme r < 0, alors
lim r(n − n0 ) = −∞.
n→+∞
6 B Conclusion. Si r < 0, la suite (an ) est strictement décroissante et diverge vers −∞
5
B Proposition 6: Somme d’une suite arithmétique
? On suppose que (an ) est une suite arithmétique de raison r. Soient n, m ∈ N tels que
n0 ≥ n ≥ m.
Alors :
m
X
ai = an + an+1 + ... + am =
i=n
an + am
× (m − n + 1).
2
Pour la démonstration on a besoin du résultat crucial suivant, dû à Gauss :
B Lemme 7: Somme des premiers entiers
? Soit n un entier naturel. Alors :
n
X
i = 0 + 1 + 2 + ... + n =
i=0
Démonstration de 7.
n(n + 1)
.
2
Lorsque n = 0, la formule est une évidence.
Supposons maintenant que n ≥ 1 et posons : Sn :=
n
X
i = 0 + 1 + 2 + ... + n.
i=0
On effectue les sommes d’égalités suivantes, membre à membre, en regroupant à droite les
termes qui se compensent :
Sn =
1
+
2
+ ... + (n − 1) +
n
+ Sn =
n
+ (n − 1) + ... +
2
+
1
= 2Sn = (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1) + (n + 1) = n × (n + 1) ,
puisqu’il y a n termes vallant (n + 1) dans le membre de droite. On termine par l’implication
2Sn = n × (n + 1)
⇒
Sn =
n(n + 1)
.
2
7
37
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2008/2009
Suites numériques
Thème: Suites particulières
Reprenons maintenant les hypothèses de la proposition précédente. En utilisant la formule
donnant le terme général ai , i ≥ n, on calcule la somme
n
X
ai =
i=p
m
X
[an + r × (i − n)]
i=n
=
m
X
!
an
"
+
i=n
m
X
#
r × (i − n)
i=n
"
= (m − n + 1) × an + r ×
m
X
#
(i − n) ,
i=n
puisque :
• la somme
Pm
i=n
an admet (m − n + 1) termes de valeur constante an
• on peut factoriser la seconde somme par r.
Or, d’après le lemme précédent, cette seconde somme vaut :
m
X
(i − n) = 0 + 1 + ... + (m − n) =
i=n
(m − n)(m − n + 1)
2
On a donc :
m
X
(m − n)(m − n + 1)
m−n
ai = (m − n + 1) × an + r ×
= (m − n + 1) an + r ×
.
2
2
i=n
Or la quantité entre crochets peut s’exprimer selon :
an + r ×
2an r × (m − n)
m−n
=
+
2
2
2
an + [an + r × (m − n)]
=
2
an + am
=
,
2
en utilisant encore la formule donnant le terme général d’une suite arihtmétique.
m
X
an + am
6 B Conclusion. On obtient finalement :
ai = (m − n + 1) ×
.
2
i=n
38
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2008/2009
Suites numériques
Thème: Suites particulières
3. Suites géométriques
Dans ce numéro, on considère une suite réelle (un )n≥n0 , définie à partir d’un certain rang
n0 ∈ N. On la notera abusivement (un ).
B Définition 8: Suite géométrique
? On dit que la suite (un ) est géométrique de raison q ∈ R si, et suelement si, pour tout entier
n ≥ n0 , on a : un+1 = q × un .
B Méthode : Pour montrer que la suite (un ) est géométrique, on peut :
• Prouver que c’est la suite nulle.
• Prouver que la suite (un ) ne s’annulle jamais puis montrer que la suite de terme général
un+1
est constante. Cette constante est alors la raison q.
un
B Proposition 9: Terme général d’une suite géométrique
? La suite (un ) est géométrique de raison q si, et seulement si, pour tout entier n ≥ n0 , on a :
un = un0 × q n−n0 .
• En particulier :
Si n0 = 0, alors : un = u0 × q n .
B Proposition 10: Variations et limites d’une suite géométrique
? On suppose que, pour tout n ≥ n0 , un = q n .
• Si q > 1 alors u est strictement croissante et diverge vers +∞.
• Si q = 1 alors u est constante.
• Si 0 < q < 1 alors u est strictement décroissante et converge vers 0.
• Si q = 0 alors un = 0 si n ≥ 1.
• Si −1 < q < 0 alors u est altérnée et converge vers 0.
• Si q = −1 alors u ne prend que 2 valeurs : u0 et −u0 .
• Si q < −1 alors u est altérnée et n’a pas de limite.
∗ Remarque. Le résultat précédent s’étend à toute suite géométrique de premier terme
strictement positif. Il peut facilement s’adapter à une suite géométrique de premier terme
strictement négatif.
B Proposition 11: Somme d’une suite géométrique
? On suppose que (un ) est une suite géométrique de raison q ∈ R. Soient n et m deux entiers
tels que n0 ≥ n ≥ m. Alors :
• Si q = 1, alors :
m
X
ui = (m − n + 1)un0 .
i=n
• Si q 6= 1, alors :
m
X
i=n
ui = un
1 − q m−n+1
.
1−q
39
Terminale S3
2008/2009
Suites numériques
Thème: Suites particulières
La démonstration utilise le lemme suivant :
B Lemme 12: Résultat technique
? Soit q un réel différent de 1 et k ∈ N. Alors :
k
X
q i = 1 + q + ... + q k =
i=0
Démonstration de 12.
1−q
.
1 − q k+1
On développe puis simplifie le produit suivant :
(1 − q)(1 + q + ... + q k ) = (1 − q) + (q − q 2 ) + ... + (q k − q k+1 ) = 1 − q k+1 .
On en déduit la formule recherchée en divisant par (1 − q), ce qui est possible puisque q 6= 1.
12
Venons-en maintenant à la démonstration de la proposition.
Démonstration de 11. Le cas q = 1 est immédiat :
m
X
ui =
i=n
m
X
un0 = (m − n + 1)un0 .
i=n
On suppose maintenant que q 6= 1 ; alors :
m
X
i=n
ui
=
m
X
(un q
i=n
m−n
X
= un
i−n
)
= un
m
X
q i−n
i=n
qj
= un
j=0
1 − q m−n+1
.
1−q
40
Terminale S3
2008/2009
TD [savoir-faire] no 4. Manipulations de suites particulières
Suites numériques
[TD [savoir-faire] no 4) Manipulations de suites particulières
B
∗
Polycopié no 8
Lundi 29/9/8
1. Suites adjacentes
Exercice no 1 [Question ROC (Etude de la définition)]
? On rappelle que : Deux suites réelles (un ) et (vn ) sont dites adjacentes si, et seulement
si, elles vérifient les trois conditions suivantes :
1. Monotonies : (un ) est croissante et (vn ) décroissante
2. Différence : la suite (vn − un ) converge vers 0
3. Comparaison : pour tout entier naturel n, un ≤ vn .
∗ Partie conjecture :
fausse :
Pour chacune des implications suivantes, dire si elle est vraie ou
α) (1) et (2)
⇒
(3)
β) (2) et (3)
⇒
(1)
γ) (3) et (1)
⇒
(2).
∗ Partie démonstration :
• Lorsque l’implication (α, β ou γ) est vraie, en donner une démonstration
• Lorsqu’elle est fausse, en trouver un contre exemple.
Exercice no 2 [Suites adjacentes et suite auxiliaire]
On considère trois suites u, v et w définies par : u1 = 1, v1 = 12 et les relations
un+1 =
un + 3vn
un + 2vn
, vn+1 =
, wn = v n − u n , n ≥ 1
3
4
1. Montrer que la suite w est géométrique. En déduire qu’elle converge ; donner sa limite.
2. Montrer que u est strictement croissante et que v est strictement décroissante. En déduire
que ces deux suites convergent vers une même limite qu’on notera l.
3. Soit maintenant t la suite de terme général : tn = 3un + 8vn (n ≥ 1).
Montrer que cette suite est constante.
4. En déduire la valeur de la limite commune l de u et v.
41
Terminale S3
2008/2009
TD [savoir-faire] no 4. Manipulations de suites particulières
Suites numériques
2. Suites arithmétiques
Exercice no 3 [Suites arithmétiques ou géométriques]
1. Calculer :
(a) le treizième terme d’une suite arithmétique de premier terme 27 et de raison −1/3 ;
(b) le huitième terme d’une suite arithmétique de raison 2 et de seizième terme −48 ;
(c) la raison d’une suite arithmétique dont le deuxième terme vaut 896 et le neuvième vaut
15309.
2. Dans les questions suivantes, u désigne une suite aritmétique.
(a) On donne u12 = 2.5 et u43 = −44 ; calculer u60 .
(b) On donne u5 = −16 et u19 = 20 ; calculer u12 .
(c) On donne u6 = 4 et u13 = −512 ; calculer u20 .
(d) On donne u8 = 4 et u14 = 16 ; calculer u11 .
Exercice no 4 [Calculs de sommes]
1. On considère la suite arithmétique (un )n≥0 et raison 1/5 et telle que u2 = −5/3.
(a) Calculer u3 et u0 . Exprimer un en fonction de n ∈ N. Donner le sens de variation de u.
(b) Calculer la somme S :=
23
X
uk .
k=9
2. On considère maintenant la somme T := 7 + 11 + 15 + ... + 135 + 139.
(a) Déterminer la suite arithmétique v telle que v0 = 7 et v1 = 11.
(b) Ecrire T avec la notation Σ puis calculer T .
3. Suites géométriques
Exercice no 5 [Limite d’une suite de nombres décimaux]
∗ Question préliminaire
1. Rappeler deux caractéristiques1 des nombres décimaux.
2. Le nombre 1/7 est-il décimal ? Rationnel ?
∗ Etude d’un exemple
On considère la suite u de terme général un = 0.33...3 (n fois le chiffre 3).
1. Etablir la relation de récurrence de la suite u.
2. Exprimer maintenant un en fonction de n ∈ N.
1
Nécessairement équivalentes.
42
Terminale S3
2008/2009
Suites numériques
TD [savoir-faire] no 4. Manipulations de suites particulières
3. Conjecturer la convergence de u.
4. Etudier la monotonie de u.
5. Montrer que la suite v de terme général vn = un − un−1 , n ≥ 1, est une suite géométrique.
n
X
6. Pour tout entier n ≥ 1, Calculer la somme Sn =
vi .
i=2
7. Comparer les suites u et S. En déduire que u converge et calculer sa limite.
Exercice no 6 [Suite arithmético-géométrique convergente]
Soit la suite u définie par : u0 = 4 et un+1 = − 34 un + 4 (n ∈ N).
1. Calculer les 4 premiers termes de cette suite.
2. A l’aide de la courbe de la fonction affine f : x 7→ − 34 x + 4, représenter graphiquement
les premiers termes de u.
Emettre alors une conjecture quant à la monotonie et la convergence de u.
3. Montrer que, dans l’hypothèse où u converge, sa limite l vérifie f (l) = l.
4. Soit maintenant la suite v de terme général : vn = un − l (n ∈ N).
(a) Montrer que v est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
tudier ensuite sa convergence.
(b) Exprimer vn puis un en fonction de n ∈ N.
(c) Etudier la convergence de u.
5. Exprimer en fonction de n ∈ N les sommes suivantes : sn =
n
X
k=0
vn et Sn =
n
X
un .
k=0
Etudier la convergence des suites (sn ) et (Sn ).
Exercice no 7 [Etude d’une suite arithmético-géométrique par récurrence]
Soit la suite u définie par u0 = 1 et un+1 = 12 un + 1 (n ∈ N).
1. Représenter graphiquement les premiers termes de u.
2. Montrer que u est strictement croissante.
3. Montrer par récurrence que, pour tout n ∈ N, un ≤ 2.
4. En déduire que u est convergente puis caluler sa limite.
43
Terminale S3
2008/2009
DS no 1. Suites numériques
Suites numériques
[DS no 1) Suites numériques
B
∗
Polycopié no 9
Lundi 6/10/8
Exercice no 1 [Etude d’une suite récurrente]
On considère la suite (un ) définie par récurrence selon
√
u0 = −2 et un+1 = un + 6 si n ≥ 0
1. Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, 0 ≤ un ≤ 4.
2. (a) Dresser le tableau de variation de la fonction f : x 7→
√
x + 6 en justifiant les variations.
(b) Montrer que la suite (un ) est strictement croissante.
3. Construire, dans un repère ortonormé (O ; ~ı , ~ ),
(a) la courbe C de la fonction f
(b) les nombres u0 , u1 , u2 et u3 .
On prendra comme unités graphiques : 0,5 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.
4. (a) Montrer que la suite (un ) est convergente.
(b) Calculer la limite L de (un ).
(c) Construire le nombre L sur la figure de la question 3.
Exercice no 2 [Suite arithmético-géométrique]
1
On considère la suite (an ) définie par : a0 = −3 et an+1 = − an + 4 (n ∈ N).
3
1. Déterminer la limite éventuelle l de la suite (an ).
2. Soit la suite (gn ) de terme général : gn = an − l (n ∈ N).
(a) Montrer que (gn ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la
raison.
(b) Exprimer an en fonction de n ∈ N.
3. Montrer que la suite (an ) est convergente.
4. Exprimer en fonction de n ∈ N la somme Sn =
n
X
ak .
k=0
44
Terminale S3
2008/2009
DS no 1. Suites numériques
Suites numériques
Exercice no 3 [Questions ROC]
∗ Partie I : A chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question,
une réponse exacte rapporte le nombre de points affectés ; une réponse inexacte enlève la moitié
des points affectés.
Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines de ces questions. Ces questions ne
rapportent aucun point et n’en enlèvent aucun.
Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
Pour chacune des affirmations suivantes, répondre par Vrai ou Faux :
(A) Toute suite bornée est convergente.
(B) Pour toutes suites (un ) et (vn ) à valeurs strictement positives qui tendent vers +∞, la
suite de terme général uvnn converge vers 1.
(C) Toute suite croissante non majorée tend vers +∞
∗ Partie II :
donnée :
Pour chacune des propositions de la première partie, justifier la réponse
B Dans le cas où la propsition vous paraı̂t fausse : en donnant un contre-exemple.
B Dans le cas où la propsition vous paraı̂t exacte : en donnant une démonstration.
45
Terminale S3
2008/2009
DS no 1 (Corrigé)
Suites numériques
[DS no 1) Un corrigé
Exercice no 1 [Etude d’une suite récurrente]
On considère la suite (un ) définie par récurrence selon u0 = −2 et un+1 =
√
un + 6 si n ≥ 0.
1. Montrons par récurrence que, pour tout entier n ≥ 1, 0 ≤ un ≤ 4 (P(n)).
√
√
∗ Initialisation : u1 = u0 + 6 = 4 = 2 ∈ [0; 4]. Donc P(1) est vraie.
∗ Hérédité :
Soit k ≥ 1 un entier.
On a les implications
(HR) On suppose que : 0 ≤ uk ≤ 4.
(CR) Montrons que :
0 ≤ uk+1 ≤ 4.
0 ≤ uk ≤ 4
⇒ 6√≤ uk + 6 ≤ 10 √
√
√
⇒
6 ≤ uk + 6 ≤ 10 car
est croissante sur [6; 10]
√
√
⇒ 0 ≤ uk+1 ≤ 4
car 6 ≥ 0 et 10 < 4 (10 < 42 ).
6 B Conclusion. Pour tout entier n ≥ 1, 0 ≤ un ≤ 4.
√
2. (a) Montrons que la fonction f : x 7→ x + 6 est strictement croissante sur [−6; +∞[.
Soient a et b deux réels tels que −6 ≤ a < b.
Alors 0 ≤ a
√6
√+ 6 < b +
donc 0 ≤ a + 6 < b + 6 ,
puisque la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0; +∞[.
6 B Conclusion. La fonction f conserve l’ordre (au sens strict) sur [−6; +∞[, ce qui
signifie qu’elle est strictement croissante sur cet intervalle.
(b) Montrons que la suite (un ) est strictement croissante en montrant par récurrence que,
pour tout entier n ≥ 0, on a un < un+1 .
∗ Initialisation : u0 = −2 et u1 = 2 donc u0 < u1 . La propriété est donc vraie au
rang 0.
∗ Hérédité : Soit k ≥ 0 un entier.
(HR) On suppose que uk < uk+1 .
(CR) Montrons que uk+1 < uk+2 .
On a :
0 ≤ uk < uk+1
⇒ f (uk ) < f (uk+1 ) car f est strictement croissante sur [0; +∞[
⇒ uk+1 < uk+2
d’après la relation de récuurence de (un ).
6 B Conclusion. Pour tout entier n ≥ 0, un < un+1 , ce qui prouve que (un ) est
strictement croissante.
46
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2008/2009
DS no 1 (Corrigé)
Suites numériques
3. Figure
4. (a) On peut déduire des questions 1) et 2b) que la suite (un ) est convergente. On y a en
effet prouvé – entre autre – qu’elle est majorée (par 4) et (strictement2 ) croissante.
(b) Calcul de la limite L de (un ). Comme (un ) converge vers L alors3
√
√
lim un+1 = L et
lim
un + 6 = L + 6
n→+∞
n→+∞
√
Le passage à la limite de la relation un+1 = un + 6 permet ainsi d’affirmer que L
√
x2 − x − 6
est solution de l’équation x = 6 + x, équivalente à
x ≥ 0.
Le discriminant de l’équation du second degré vaut : ∆ = (−1)2 −4×1×(−6) = 25 > 0.
Cette équation admet donc deux racines réelles distinctes :
√
√
−(−1) − 25
−(−1) + 25
x1 =
= −2 < 0 et x2 =
= 3 > 0.
2×1
2×1
6 B Conclusion. La limite de (un ) est la seule solution positive de l’équation, soit : L = 3.
2
La stricte monotonie n’est pas nécessaire pour l’application du théorème
Pour la seconde limite, il faut en toute rigueur invoquer le fait la fonction f est continue sur [0; +i nf ty[ ;
ce que nous ferons plus tard dans l’année.
3
47
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DS no 1 (Corrigé)
Suites numériques
Exercice no 2 [Suite arithmético-géométrique]
1
La suite (an ) est définie par : a0 = −3 et an+1 = − un + 4 (n ∈ N).
3
1. Si la suite (an ) converge vers un réel l, alors
lim an+1
n→+∞ ⇒
lim
n→+∞
=l
1
1
− un + 4 = − l + 4,
3
3
par opération sur les limites.
Par passage à la limite de la relation de récurrence de (an ), on obtient que l est solution
de l’équation x = − 13 x + 4, donc l = 3.
2. Soit la suite (gn ) de terme général : gn = an − l (n ∈ N).
(a) Montrons que (gn ) est une suite géométrique en exprimant gn+1 en fonction gn :
1
1
1
1
gn+1 = an+1 − 3 = − an + 4 − 3 = − an + 1 = − (an − 3) = − gn .
3
3
3
3
1
La suite (gn ) est donc géométrique de raison − 3 et de premier terme g0 = a0 −3 = −6.
(b) Expression de an en fonction de n ∈ N. D’après la question précédente
n
n
1
1
gn = −6 × −
donc an = −6 × −
+ 3.
3
3
3. On en déduit que la suite (an ) est convergente : Comme − 31 < 1, la suite (gn ) converge
vers 0 ; donc (an ) converge vers 3.
4. Calcul des sommes partielles des termes de (an ). Pour tout entier n ∈ N, on a :
Sn =
n
X
an =
k=0
n
X
gn +
k=0
=
=
=
=
=
=
n
X
3
k=0
n+1
1 − − 13
+ 3 (n + 1)
−6 ×
1 − − 13
n+1
1 − − 13
−6 ×
+ 3 (n + 1)
4/3
"
n+1 #
1
9
+ 3 (n + 1)
− × 1− −
2
3
"
n+1 #
9
2
1
− × 1 − (n + 1) − −
2
3
3
"
n+1 #
9
1 2
1
− ×
− n− −
2
3 3
3
n 3
1
× 2n − 1 − −
,
2
3
en factorisant le crochet par −1/3 (mais on pouvait s’arréter à la ligne 4).
48
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DS no 1 (Corrigé)
Suites numériques
Exercice no 3 [QCM avec justification]
On traı̂te les parties I et II en même temps.
(A) Toute suite bornée est convergente : c’est faux en général.
Comme contre exemple, on peut considérer la suite de terme général (−1)n , qui est bornée
(ses valeurs appartiennent à [−1; 1]) et qui ne converge pas puisqu’elle est périodique et
non constante.
On peut néanmoins modifier l’assertion (A) pour obtenir deux propriétés vraies :
? Toute suite bornée et monotone est convergente (Théorème du cours).
? De toute suite bornée, on peut extraire une sous-suite convergente (Hors programme).
(B) Pour toutes suites (un ) et (vn ) à valeurs strictement positives qui tendent vers +∞, la
suite de terme général uvnn converge vers 1 : c’est faux en général4 .
un = n 2
Donnons simplement l’exemple des suites de terme général respectif
(n ≥ 1).
vn = n
Ces suites divergent toutes deux vers +∞ alors que le quotient
un
vn
= n tend vers +∞.
∗ Remarque. Il est d’ailleurs facile de prouver que, pour tout nombre réel L, on peut
trouver deux suites (un ) et (vn ) divergentes vers +∞ et telles que uvnn converge vers L ;
Il suffit en effet de poser un = Ln et vn = n, pour tout n ≥ 1.
(C) Toute suite croissante non majorée tend vers +∞ : c’est vrai ; démontrons-le :
Soit A un réel. Il suffit de montrer qu’à partir d’un certain rang nA , on a : un ≥ A.
Comme (un ) n’est pas bornée, il existe justement un entier nA tel que unA > A. Et puisque
(un ) est croissante, alors : n ≥ nA ⇒ un ≥ unA ≥ A.
Ceci signifie bien qu’à partir du rang nA , un ≥ A.
6 B Conclusion. La suite croissante non majorée (un ) diverge donc vers +∞.
∗ Remarque.
général :
Donnons pour terminer des assertions proches de (C) qui sont fausses en
? Toute suite strictement croissante diverge vers +∞ (contre exemple : −1/n).
? Toute suite non majorée diverge vers +∞ (contre exemple : (−2)n ).
4
Sinon, l’écriture
+∞
+∞
ne serait pas une forme indéterminée. Mais ceci pas un argument mathématique.
49
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2008/2009
DM no 2. Couple de suites récurrentes
Suites numériques
[DM no 2) Couple de suites récurrentes
B
∗
Polycopié no 10
Pour le mardi 14/10/8
Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles définies par u1 = 12, v1 = 1 et, pour tout entier n ≥ 1,


 un+1 = un + 2vn
3
u + 3vn

 vn+1 = n
.
4
1. Pour tout entier n ≥ 1, on pose wn = vn − un .
(a) Montrer que (wn ) est une suite géométrique.
(b) Exprimer wn en fonction de n ≥ 1.
(c) Montrer que (wn ) converge et déterminer sa limite.
2. Montrer que la suite (un ) est strictement décroissante et que la suite (vn ) est strictement
croissante.
3. (a) Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, vn < un .
(b) En déduire que, pour tout entier n ≥ 1, v1 < vn < un < u1 .
4. Pour tout n ≥ 1, on pose tn = 3un + 8vn .
(a) Montrer que (tn ) est une suite constante. Quelle est sa limite ?
(b) Exprimer un et vn en fonction de wn et tn .
(c) En déduire que (un ) et (vn ) convergent, et qu’elles ont la même limite.
Exercice supplémentaire
Soit la suite (un ) définie par :
u0 = 0, u1 = 1
un+1 = 7un + 8un−1 pour tout entier n ≥ 1,
1. Montrer que la suite (sn ) définie par sn = un+1 + un , est une suite géométrique dont on
déterminera le premier terme et la raison. En déduire sn en fonction de n.
2. On pose vn = (−1)n un et on considère la suite (tn ) définie par : tn = vn+1 − vn .
(a) Exprimer tn en fonction de sn .
(b) Exprimer vn , puis un en fonction de n.
? Indication : On pourra calculer, de deux façons, la somme t0 + · · · + tn−1 .
un
.
n→+∞ 8n
(c) Déterminer lim
50
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DM no 2 (Corrigé)
Suites numériques
[DM no 2) Un corrigé
Les suites (un ) et (vn ) sont définies par u1 = 12, v1 = 1 et, pour tout entier n ≥ 1,


 un+1 = un + 2vn
3
u + 3vn

 vn+1 = n
.
4
1. Pour tout entier n ≥ 1, on pose wn = vn − un .
(a) Montrons que (wn ) est une suite géométrique. Pour tout entier n ≥ 1 :
wn+1 = vn+1 − un+1 =
3 (un + 3vn ) − 4 (un + 2vn )
v n − un
1
=
=
wn .
12
12
12
On en déduit que la suite (wn ) est une suite géométrique ;
de premier terme w1 = v1 − u1 = −11 et de raison q = 1/12.
(b) Expression de wn en fonction de n ≥ 1. La suite (wn ) étant géométrique de raison q,
on sait que, pour tous entiers non nuls n et p, wn = wp q n−p .
En particulier : wn = w1 q n−1 , soit : wn = −11 × (1/12)n−1 .
(c) On en déduit que (wn ) converge 0 puisqu’elle est géoémtrique de raison 1/12 ∈] − 1; 1[.
2. Montrons que la suite (un ) est strictement décroissante. Pour tout entier n ≥ 1 :
un+1 − un =
2vn − 2un
2
2
un + 2vn 3un
−
=
= (vn − un ) = wn .
3
3
3
3
3
Or wn = −11 × (1/12)n−1 est strictement négatif, donc (un ) est strictement décroissante.
1
De même, la suite (vn ) est strictement croissante car vn+1 − vn = − wn > 0.
4
3. (a) Montrons que, pour tout entier n ≥ 1, vn < un . Pour tout entier n ≥ 1, on a :
vn − un = wn ≤ 0,
donc vn ≤ un .
(b) On en déduit que, pour tout entier n ≥ 1, v1 < vn < un < u1 car
• (vn ) est strictement croissante
• (un ) est strictement décroissante
• pour tout entier n ≥ 1, vn < un .
4. Pour tout n ≥ 1, on pose tn = 3 un + 8 vn .
(a) Montrons que (tn ) est une suite constante. Pour tout entier n ≥ 1 :
tn+1 = 3 un+1 + 8 vn+1 = (un + 2vn ) + 2 (un + 3vn ) = 3 un + 8 vn = tn .
La suite (tn ) est donc constante et :
lim tn = t1 = 44.
n→+∞
51
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DM no 2 (Corrigé)
Suites numériques
(b) Expression de un et vn en fonction de wn et tn . En inversant le système
vn − un = wn
8vn + 3un = tn ,
on obtient : un =
tn − 8wn
3wn + tn
et vn =
.
11
11
(c) Montrons que (un ) et (vn ) convergent vers la même limite.
Les suites (wn ) et (tn ) convergent 0 et 44 respectivement. Par opérations sur les limites,
on en déduit que (un ) et (vn ) convergent respectivement vers
lim un =
n→+∞
44 − 8 × 0
44
=
= 4 et
11
11
lim vn =
n→+∞
3 × 0 + 44
= 4.
11
6 B Conclusion. Les deux suites (un ) et (vn ) convergent bien vers la même limite 4.
∗ Commentaire :
Les deux suites réelles (un ) et (vn ) vérifient :
• (vn ) est croissante
• (un ) est décroissante
• (vn − un ) converge vers 0.
Les suites (un ) et (vn ) sont donc adjacentes.
? Théorème :
limite.
Si deux suites réelles sont adjacentes alors elles convergent vers la même
B Conséquence : On aurait pu dire, à la suite de la question 3b), que :
• (un ) converge puisqu’elle est décroissante et minorée (par v1 )
• (vn ) converge puisqu’elle est croissante et majorée (par u1 ).
Alors :
D’où :
lim vn − lim un = lim (vn − un ) = lim wn = 0
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n→+∞
lim vn = lim un .
n→+∞
n→+∞
52
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Suites numériques
Compléments (Corrigé)
ACTIVITES COMPLEMENTAIRES
1. Exercices supplémentaires
1.1. Méthodes usuelles
Exercice no 1 [Monotonie d’une suite strictement positive]
Etudier la monotonie de la suite (un )n≥0 de terme général un =
n+1
.
n+2
Un corrigé. On calcule le quotient
un+1
=
un
(n+1)+1
(n+1)+2
n+1
n+2
n+2 n+2
×
n+3 n+1
(n + 2)2
=
(n + 3)(n + 1)
n2 + 4n + 4
=
n2 + 4n + 3
n2 + 4n + 4
.
=
n2 + 4n + 3
=
Pour comparer cette dernière expression à 1, on calcule maintenant
n2 + 4n + 4
un+1
−1 =
−1
un
n2 + 4n + 3
n2 + 4n + 4 n2 + 4n + 3
=
−
n2 + 4n + 3 n2 + 4n + 3
1
.
=
2
n + 4n + 3
1
Comme n ≥ 0, on a n2 +4n+3
> 0, donc uun+1
> 1 ou encore un+1 > un puisque un > 0.
n
6 B Conclusion. La suite (un )n≥0 est donc strictement croissante.
Exercice no 2 [Monotonie d’une suite de signe quelconque]
Etudier la monotonie de la suite (vn )n≥0 de terme général vn = 3n − 4n .
∗ Un corrigé : On calcule la différence
vn+1 − vn =
=
=
=
=
(3n+1 − 4n+1 ) − (3n − 4n )
(3n+1 − 3n ) − (4n+1 − 4n )
(3n+1 − 3n ) − (4n+1 − 4n )
3n × (3 − 1) − 4n × (4 − 1)
3n × 2 − 4n × 3.
53
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2008/2009
Suites numériques
Compléments (Corrigé)
Or on a, pour tout entier naturel n, on a
3n ≤ 4n et 2 < 3, donc 3n × 2 < 4n × 3, soit vn+1 − vn < 0.
On en déduit que (vn )n≥0 est strictement décroissante.
1.2. Suites récurrentes
Exercice no 3 [Convergence de suites récurrentes]
√
√
2 et un+1 = 2 + un .
4 − vn
2. On considère la suite (vn ) définie par : v1 = 1 et vn+1 =
.
3 − vn
2n − 1
; en déduire la limite de (vn ).
Montrer par récurrence que, pour tout n ∈ N, vn =
n
wn+1 + wn
.
3. On considère la suite (wn ) définie par : w1 = 1 ; w2 = 2 et wn+2 =
2
On lui associe la suite (an ) de terme général an = wn+1 − wn , n ≥ 1.
1. Etudier la convergence de la suite (un ) définie par : u0 =
(a) Montrer que (an ) est une suite géométrique.
(b) En déduire le terme général de (wn ) ainsi que sa limite, si elle existe.
Exercice no 4 [Suite divergente]
Montrer que la relation de récurrence vn+1 = vn2 + 1 conduit nécessairement à une suite
divergente.
Exercice no 5 [La suite de Fibonacci]
Un fermier possède un couple de lapins qui commence à se reproduire au bout deuxième mois.
dèslors, il donne naissance à un couple de lapins qui ne pourra se reproduire qu’au bout de
deux mois et ainsi de suite pour chacun des couples nés.
On note cn le nombre de lapins au n-ième mois, ce qui définit la suite c de terme général cn .
1. Propriétés de base
(a) Donner les valeurs de c0 , c1 , c2 et de c3 .
(b) Soit n ≥ 2 ; exprimer cn+2 en fonction de cn et cn+1 .
(c) Soit n ≥ 1 ; exprimer cn+1 en fonction de cn et cn−1 .
(d) Montrer que, pour tout entier naturel n, cn > 0.
cn+1
2. Suite auxiliaire. On pose un :=
.
cn
(a) Montrer que, pour tout n ∈ N, un+1 = 1 + u1n .
(b) Montrer que u est croissante et majorée par 2 ; en déduire qu’elle converge puis calculer
sa limite.
3. Conclure en interprétant le résulat précédent.
54
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Suites numériques
Compléments (Corrigé)
Exercice no 6 [Suite dérivée de Fibonacci]
Cinquante personnes ont assistées, ravies, à un spectacle.
Le jour suivant, chacune d’entre elles en parle à deux amis. Le jour suivant, chaque personne
au courant de ce spectacle en parle encore à deux amis ; et ainsi de suite pendant 15 jours.
En supposant que les cinquante premières personnes ne reviennent pas voir le spectacle et
que seulement 1% des personnes contactées soient désireuses de le voir, calculer le nombre de
futurs spectateurs que cette publicité va ramener.
Exercice no 7 [Suite récurrente définie avec une fonction rationnelle]
Soient la fonction f et la suite u définies par :
x3 + x
f (x) = 2
et
x +x+1
u0
= 1
.
un+1 = f (un )
1. Etudier les variations de la fonction g, définie sur R par g(x) = x4 + 2x3 + 2x2 + 1.
2. Dresser le tableau de variation de g ; en déduire son signe.
3. Montrer que la fonction f est définie et dérivable sur R puis que, pour tout réel x,
f 0 (x) =
(x2
g(x)
.
+ x + 1)2
En déduire le sens de variation de f sur R. Résoudre enfin l’équation f (x) = 0.
4. Tracer la courbe représentative Cf de f dans un repère orthonormé (O ; ~ı , ~ ) du plan
(unité graphique : 2cm).
5. (a) Sur l’axe des abscisses du repère (O ; ~ı , ~ ), placer les quatre premiers termes de la suite
u. Calculer ensuite la valeur de chacun de ces termes.
(b) Supposons qu’il existe un entier naturel n tel que un+1 = 0. Montrer qu’alors un = 0.
(c) En déduire que la suite u ne s’annulle jamais.
(d) Montrer par récurrence que u est strictement décroissante.
(e) En utilisant le tableau de variation de f , montrer que u est minorée par 0. Est-ce une
minoration stricte ?
(f) Montrer que u converge. Calculer sa limite.
Exercice no 8 [Etude d’une suite récurrente]
√
Soient θ un réel appartenant à [0; π2 ] et (un ) la suite définie par u0 = 2 cos θ et un+1 = 2 + un ,
pour tout entier naturel n.
1. Exprimer u1 , u2 et u3 en fonction de θ. (On rappelle que, pour tout réel x, on a cos(2x) =
2 cos2 x − 1.)
2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a un = 2 cos 2θn .
3. Soit (vn ) la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn = 2θn . Déterminer sa limite.
4. En déduire que (un ) est convergente. Quelle est sa limite ?
0.1
55
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Suites numériques
Compléments (Corrigé)
1.3. Suites arithmético-géométriques
Exercice no 9 [Suites arithmético-géométriques]
3
On considère la suite (un )n∈N définie par u0 = 1 et un+1 = un − 2, n ∈ N.
4
1. Calculer u1 , u2 et u3 .
2. Représenter graphiquement les cinq premiers termes de (un )n∈N (unité graphique : 2cm).
3. (a) Déterminer la valeur du réel a telle que la suite de terme général vn := un + a soit
une suite géométrique de raison 3/4.
(b) Exprimer vn en fonction de n ∈ N.
(c) Exprimer la somme Sn des (n + 1) premiers termes de vn en fonction de n ∈ N.
(d) Etudier la convergence de (vn )n∈N puis celle de (Sn )n∈N .
4. A l’aide de la question 3, donner le terme général de la suite (un )n∈N .
5. Etudier la convergence de (un )n∈N .
6. Calculer la somme Tn des (n + 1) premiers termes de un en fonction de n ∈ N.
Exercice no 10 [Sommes de suites géométrique et aritmétique]
n+1
1
, pour n ∈ N.
Soit la suite (wn ) définie par w0 = 1 et wn+1 = wn + 3 −
2
1. Calculer w1 , w2 et w3 .
2. Soient (un ) la suite arithmétique de premier terme u0 = 0 et de raison 3 ainsi que (vn ) la
suite géométrique de premier terme v0 = 1 et de raison 1/2.
n+1
1
(a) Montrer que, pour tout n ∈ N, (un+1 + vn+1 ) − (un + vn ) = 3 −
.
2
(b) En déduire que les suites (wn ) et (un + vn )n∈N sont égales.
3. Exprimer wn en fonction de n ∈ N.
4. Calculer
lim (wn − 3n) puis une valeur approchée de w2008 .
n→+∞
Exercice no 11 [Suite arithmético-géométrique]
1
Soit la suite (un ) définie par u0 = 1/2 et un+1 = un + 1 (n ∈ N).
3
1. Dans un repère orthonomé, construire les réels u0 , u1 , u2 et u3 (unité graphique :2 cm).
2. Calculer les 5 premiers termes de cette suite. Que peut-on conjecturer quant à la monotonie
et la convergence de u ?
3. Soit la suite (vn ) de terme général vn = un + 1 (n ∈ N).
Montrer qu’il s’agit d’une suite géométrique de raison 3.
4. Exprimer vn puis un en fonction de n ∈ N.
5. Etudier la convergence de u.
56
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Suites numériques
Compléments (Corrigé)
Exercice no 12 [Suite arithmético-géométrique]
Soit la suite (un ) définie par : u0 = 1/2 et un+1 = 13 un + 1 (n ∈ N).
? Note. Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
1. Etude générale
(a) Dans un repère orthonomé, construire les réels u0 , u1 , u2 et u3 .
Unité graphique : 2 cm.
(b) Calculer u0 , u1 , u2 et u3 .
(c) Montrer par récurrence que la suite u est strictement croissante.
2. Utilisation d’une suite géométrique auxiliaire
3
(a) Soit la suite v de terme général vn = un − (n ∈ N).
2
Montrer qu’il s’agit d’une suite géométrique de raison 1/3.
(b) Exprimer vn puis un en fonction de n ∈ N.
(c) Etudier la monotonie de la suite (un ).
(d) On pose S = u2 + u3 + ... + u10 et T = v2 + v3 + ... + v10 .
9
( 1 ) −1
Montrer que : T = 3 6 . En déduire la valeur de S.
Un corrigé. Soit la suite u définie par
1
u0 = 1/2 et un+1 = un + 1 (n ∈ N).
3
1. Etude générale
(a) < Représentation graphique >
(b) Calcul des premiers termes :
u0
u1
u2
u3
=
=
=
=
1/2
1/6 + 1 = 7/6
7/18 + 1 = 25/18
25/54 + 1 = 79/54
(c) Montrons par récurrence que, pour tout n ∈ N, un < un+1 .
Initialisation : on a u0 = 1/2 < 7/6 = u1 .
Hypothèse de récurrence : uk < uk+1 (k ∈ N) ;
Conclusion de récurrence : uk+1 < uk+2 .
On a : uk+2 = 13 uk+1 + 1 > 31 uk + 1 = uk+1 , ce qui prouve la conclusion de récurrence.
6 B Conclusion. La suite (un ) est strictement croissante.
2. Utilisation d’une suite géométrique auxiliaire
57
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Compléments (Corrigé)
vn+1
3
2
(n ∈ N). Pour tout n ∈ N,
3
1
3
1
3
1
= un+1 − = un + 1 − =
un −
= vn .
2
3
2
3
2
3
(a) Soit la suite (vn ) de terme général vn = un −
La suite (vn ) est donc géométrique de premier terme v0 = 1/2 − 3/2 = −1 et de raison
1/3.
n
n
1
3
1
3
(b) On a donc, pour tout n ∈ N, vn = −
, soit un = vn + = −
+ .
3
2
3
2
vn+1
1
(c) Pour tout n ∈ N, vn = 3 < 1, donc
n
1
< 0.
vn+1 > vn puisque vn = −
3
6 B Conclusion. La suite (vn ) est donc strictement croissante.
(d) On a
T = v2 + v3 + ... + v10
1 − (1/3)9
1 1 − (1/3)9
= v2 ×
=− ×
=
1 − 1/3
9
1 − 1/3
1 9
3
−1
6
.
On en déduit que
S = (v2 + 3/2) + (v3 + 3/2) + ... + (v10 + 3/2) =
soit
S=
1 9
3
− 1 + 81
=
6
1 9
3
−1
6
+9×
3
2
1 9
3
+ 80
.
6
Exercice no 13 [Baccalauréat série S, Guyane septembre 2008]
∗ Partie 1. Suite arithmético-géométrique : On définit :
1
4
• la suite (un ) par : u0 = 13 et, pour tout entier naturel n, un+1 = un + .
5
5
n
X
• la suite (Sn ) par : pour tout entier naturel n, Sn =
uk .
k=0
1. (a) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un = 1 +
12
.
5n
(b) En déduire la limite de la suite (un ).
2. (a) Déterminer le sens de variation de la suite (Sn ).
(b) Calculer Sn en fonction de n.
(c) Déterminer la limite de (Sn ).
∗ Partie 2. Question ROC :
Etant donné une suite (xn ) de nombres réels, définie pour
n
X
tout entier naturel n, on considère la suite définie par Sn =
xk .
k=0
Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse.
58
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Proposition 1 :
Si la suite (xn ) est convergente, alors la suite (Sn ) aussi.
Proposition 2 :
Les suites (xn ) et (Sn ) ont le même sens de variation.
59
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1.4. Problème corrigé : Coût de production et bénéfice
1.4.1. Enoncé
Une entreprise fabrique et vend chaque jour un nombre x d’objets. Chaque objet est vendu
100 A
C.
∗ Partie 1. Coût de production unitaire
Le coût de production unitaire C(x), exprimant le coût de production par objet produit est :
C(x) = x − 10 +
900
x
pour
x ∈ [10; 100].
1. Si l’entreprise produit 45 objets ? Combien lui coûte la production d’un objet ? Quel est
alors son bénéfice.
2. Etude de C
(a) Justifier que C est dérivable sur [10; 100].
(b) Calculer C 0 (x), pour x ∈ [10; 100], puis étudier son signe.
(c) En déduire les variations de C sur [10; 100].
3. Tracer la courbe Γ de C dans un repère orthogonal (O ; ~ı , ~ ). On fera apparaı̂tre les
éventuelles tangentes parallèles à l’axe des abscisses.
Unités graphiques : 1 cm pour 5 objets et 1 cm pour 10 A
C.
4. Exploitation des résultats
(a) Déterminer pour quelle production le coût unitaire est le plus bas.
(b) Par un raisonnement graphique, déterminer le nombre d’objets que l’on doit fabriquer
et vendre pour avoir un coût de production unitaire inférieur ou égal à 80 A
C.
(c) Répondre à la question précédente par un raisonnement algébrique.
∗ Partie 2. Etude du bénéfice
1. Montrer que le bénéfice global de l’entreprise est :
B(x) = −x2 + 110x − 900.
2. Dresser le tableau de variations de B sur [10; 100].
3. Déterminer la production x pour avoir un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice ?
60
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1.4.2. Un corrigé :
Une entreprise fabrique et vend chaque jour un nombre x d’objets, vendus chacun 100 A
C.
∗ Partie 1. Coût de production unitaire
, pour x ∈ [10; 100].
Il est donné par : C(x) = x − 10 + 900
x
1. L’entreprise produit 45 objets. La production d’un seul objet lui coûte alors :
C(45) = 45 − 10 +
900
= 35 + 20 = 55 A
C.
45
Comme chaque objet est vendu 100 A
C, le bénéfice global de l’entreprise est alors :
B(45) = 45 × [100 − C(45)] = 45 × 45 = 2025 A
C.
2. (a) Dérivabilité sur [10; 100].
• la fonction affine u : x 7→ x − 10 est dérivable sur R
• la fonction inverse v : x 7→ x1 est dérivable sur ]0; +∞[
B la fonction C = u + 900 × v est donc dérivable sur [10; 100].
(b) Calcul de C 0 (x), pour x ∈ [10; 100] :
x2 − 900
(x − 30)(x + 30)
−1
900
0
=
=
.
C (x) = 1 + 900 ×
=
1
−
2
2
2
x
x
x
x2
Signe de C 0 (x) sur [10; 100]. Comme
x2 > 0 et (x + 30) > 0 si x ∈ [10; 100],
l’expression dérivée C 0 (x) est du signe de (x − 30). Donc :
• si x ∈ [10; 30[, alors : C 0 (x) < 0
• C 0 (30) = 0
• si x ∈]30; 100], alors : C 0 (x) > 0.
(c) Variations de C sur [10; 100] (déduites du signe de C 0 (x)) :
• sur [10; 30], la fonction C est strictement décroissante
30
1
• C(30) = 30 − 10 + 900
= 40 + 30
= 1201
30
• sur [30; 100], la fonction C est strictement croissante.
3. Courbe Γ de C.
61
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(a) Le co^
ut unitaire est le plus bas pour 30 objets produits puisque la fonction C
admet un minimum en x = 30.
(b) Résolution graphique de C(x) ≤ 80 :
• on trace la droite d’équation y = 80
• on relève les points d’intersection A et B de ∆ avec Γ
• on constate que la courbe Γ est en dessous de ∆ pour x ∈ [11; 78]
Conclusion : L’intervalle solution de C(x) ≤ 80 est [11; 78] (environ).
(c) Résolution algébrique :
C(x) ≤ 80 ⇔ x − 10 +
900
≤ 80
x
900
≤ 90
x
x2 + 900
⇔
≤ 90
x
⇔ x2 + 900 ≤ 90x ,
⇔ x+
car x > 0, puisque x ∈ [10; 100]. Il suffit donc de résoudre l’inéquation du second degré
x2 − 90x + 900 ≤ 0 ,
√
dont le discriminant vaut : ∆ = (−90)2 − 4 × 900 = 8100 − 3600 = 4500 = (30 5)2 .
La fonction trinôme x 7→ x2 − 90x + 900 admet donc deux racines réelles :
√
√
√
√
−(−90) − 30 5
x1 =
= 45 − 15 5 = 15(3 − 5) et x2 = 15(3 + 5).
2
Or, à 10−1 près, on a :
x1 = 15(3 −
√
5) ' 11, 5 et x2 = 15(3 +
√
5) ' 78, 5 ,
donc x1 et x2 appartiennent à [10; 100].
Comme le coefficient de degré deux du trinôme est 1 > 0, on en déduit que :
√
• sur [10; 15(3 − 5)[, on a : x2 − 90x + 900 > 0
√
• si x = 15(3 − 5), on a : x2 − 90x + 900 = 0
√
√
• sur ]15(3 − 5); 15(3 + 5)[, on a : x2 − 90x + 900 < 0
√
• si x = 15(3 + 5), on a : x2 − 90x + 900 = 0
√
• sur ]15(3 + 5); 100], on a : x2 − 90x + 900 > 0.
√
√
Conclusion : L’intervalle solution de C(x) ≤ 80 est : [15(3 − 5); 15(3 + 5)].
∗ Partie 2. Etude du bénéfice
1. Bénéfice global. Montrons que B(x) = −x2 + 110x − 900.
Soit x ∈ [10; 100]. Le bénéfice global pour x objets vendus est
B(x) = 100 × x − x × C(x) = 100x − (x2 − 10x + 900) = −x2 + 110x − 900.
62
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2. Variations de B sur [10; 100] : La fonction B est la restriction à [10; 100] d’une fonction
polynôme du second degré x 7→ ax2 + bx + c vérifiant
a = −1 , b = 110 , c = −900 ,
donc a < 0 et
−b
= 55.
2a
On en déduit que :
• sur [10; 55], la fonction B est strictement croissante
• la fonction B admet un minimum global en x = 55
• sur [55; 100], la fonction B est strictement décroissante
3. La production pour avoir un bénéfice maximal s’obtient pour x = 55, puisque B admet un maximum global en ce réel. Le bénéfice correspondant est alors :
B(55) = −552 + 110 × 55 − 900 = −3025 + 6050 − 900 = 2125 A
C.
63
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1.5. Problème corrigé : Evolution d’un capital
1.5.1. Enoncé
On place un capital C0 = 5000 A
C qui rapporte chaque mois selon la règle suivante :
• Gain de 10 % de la somme déjà acquise
• Gain supplémentaire 50 A
C.
Pour n ≥ 0, on note Cn le capital obtenu au n-ième mois.
1. Calculer C1 .
2. Montrer que, pour tout n ≥ 0, Cn+1 = 1, 1 × Cn + 50.
3. On pose Un := Cn + 500.
(a) Montrer que la suite (Un )n≥0 est une suite géométrique dont on précisera le premier
terme et la raison.
(b) Exprimer Un en fonction de n ∈ N.
(c) Etudier le sens de variation de (Un )n≥0 .
(d) Calculer la somme S := U10 + U11 + ... + U20 .
4. Déduire de la question 3b) une expression de Cn en fonction de n ∈ N.
5. Déduire de la question 3d) la valeur de la somme T := C10 + C11 + ... + C20 .
1.5.2. Un corrigé
On place un capital C0 = 5000 A
C qui rapporte chaque mois 10 % plus 50 A
C. Pour n ≥ 0, on
note Cn le capital obtenu au n-ième mois.
1. Calcul de C1 . On obtient C1 à partir de C0 en augmentant premièrement celui-ci de 10
1
%, soit de 10
C0 . Secondement, on ajoute 50 A
C, donc :
C1 = C0 +
1
C0 + 50 = C0 + 0, 1 × C0 + 50 = 1, 1 × C0 + 50 = 1, 1 × 5000 + 50 = 5550 A
C.
10
2. Relation de récurrence. Montrons que, pour tout n ≥ 0, Cn+1 = 1, 1 × Cn + 50.
De même qu’à la question 1), on obtient Cn+1 à partir de Cn en augmentant premièrement
10
celui-ci de 10 %, soit en le multipliant par (1 + 100
) ; puis en ajoutant 50 A
C. Donc :
10
Cn+1 = 1 +
× Cn + 50 = 1, 1 × Cn + 50.
100
64
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3. (a) Montrons que la suite (Un )n≥0 est une suite géométrique. Pour tout entier naturel n,
on a :
Un+1 =
=
=
=
=
Cn+1 + 500
1, 1 × Cn + 50 + 500
1, 1 × Cn + 550
1, 1 × (Cn + 500)
1, 1 × Un .
La suite (Un )n≥0 est donc géométrique de raison 1, 1 et de premier terme
U0 = C0 + 500 = 5500.
(b) Terme général Un en fonction de n ∈ N. A l’aide de la formule du cours :
Un = U0 × (1, 1)n = 5500 × (1, 1)n .
(c) Sens de variation de (Un )n≥0 . Comme (Un )n≥0 est une suite géométrique de premier
temre U0 > 0 et de raison 1, 1 > 1, on en déduit qu’elle est strictement croissante.
(d) Somme S : Comme (Un )n≥0 est géométrique de raison 1, 1 (différente de 1), on a :
S = U10 + ... + U20
1 − (1, 1)20−10+1
= U10 ×
1 − 1, 1
1 − (1, 1)11
= 5500 × (1, 1)10 ×
−0, 1
10
= 55000 × (1, 1) × (1, 1)11 − 1
= 55000 × (1, 1)21 − (1, 1)10
4. Terme général Cn en fonction de n ∈ N. D’après la question 3b), on a :
Cn = Un − 500 = 5500 × (1, 1)n − 500 = 500 × (11 × (1, 1)n − 1).
5. Somme T : D’après la question 3d), on a :
T =
=
=
=
C10 + C11 + ... + C20
(U10 + 50) + (U11 + 50) + ... + (U20 + 50)
(U10 + U11 + ... + U20 ) + 50 × (20 − 10 + 1)
55000 × (1, 1)21 − (1, 1)10 + 550.
.
65
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2. Exercices d’approfondissement
2.1. Enoncés
Exercice no 1 [Baccalauréat série D, Amérique du Nord 1986]
On considère les suites (vn ) et (wn ) définies pour tout n ∈ N par :

3


 v0 = −
2
et (wn ) : wn = 2vn + 6.
(vn ) :

2

 vn+1 = vn − 1
3
1. Démontrer que la suite (wn ) est une suite géométrique dont on déterminera le premier
terme et la raison.
2. Donner les expressions de wn et vn en fonction de n. En déduire la limite de (vn ).
n−1
X
3. Calculer Sn =
wk . En déduire lim Sn .
n→+∞
k=0
Exercice no 2 [Baccalauréat série D, Amiens 1990]
On considère :
u0 = 1
2un+1 = un − 1,
• la suite (vn ) définie par : vn = un + a, où a est un nombre réel donné.
• la suite (un ) définie par :
1.
2.
3.
4.
Déterminer le nombre réel a tel que la suite (vn ) soit géométrique.
En déduire les valeurs de vn et de un en fonction de n.
Etudier le sens de variation et la convergence de la suite (un ).
Trouver le plus petit entier n0 tel que −1 soit une valeur approchée de un0 à 10−4 près.
n
X
Sn
5. Calculer Sn =
uk . En déduire lim
.
n→+∞ n
k=0
Exercice no 3 [Baccalaréat série D option sport, 1990]
Soit la suite (un )n∈N définie par : u0 = 0, u1 = 1 et, pour tout entier n ≥ 1,
un+1 = 7un + 8un−1 .
1. Montrer que la suite (sn )n∈N définie par : sn = un+1 + un , est une suite géométrique dont
on déterminera le premier terme et la raison. En déduire sn en fonction de n.
2. On pose vn = (−1)n un et on considère la suite (tn )n∈N définie par : tn = vn+1 − vn .
Exprimer tn en fonction de sn .
3. Exprimer vn , puis un en fonction de n.
? Indication : On pourra calculer, de deux façons, la somme t0 + · · · + tn−1 .
un
Déterminer lim n .
n→+∞ 8
66
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Exercice no 4 [Baccalauréat série D, Rouen 1976]
Une suite numérique (un ) est définie par son premier terme u1 et la relation de récurrence :
un+1 =
6 + un
.
2 + un
On admet que pour tout n ∈ N, un 6= −2.
1. Montrer qu’il existe deux valeurs a et b de u1 (a < b), qui rendent la suite constante.
2. Montrer que si u1 6= a et u1 6= b, il en est de même de un .
un+1 − a
un − a
Dans ces conditions, calculer
en fonction de
.
un+1 − b
un − b
un − a
3. En déduire que la suite (vn ) définie par vn =
, est une suite géométrique.
un − b
Déterminer la limite de |vn | quand n tend vers +∞. En déduire celle de (un ).
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2.2. Des corrigés
Exercice no 1 [Baccalauréat série D, Amérique du Nord 1986 — un corrigé]
a) Soit n ∈ N. Exprimons wn+1 en fonction de wn :
4
2
2
2
2
wn+1 = 2vn+1 + 6 = 2( vn − 1) + 6 = vn + 4 = (2vn ) + 4 = (wn − 6) + 4 = wn .
3
3
3
3
3
Ceci étant vrai pour tout n dans N, on en déduit que la suite (wn ) est une suite géométrique
2
de premier terme w0 = 2v0 + 6 = 3, et de raison q = .
3
n−p
b) Il découle directement du a que, pour tout n et pour tout p dans
N,nwn = wp q , et donc
2
en particulier, que pour tout n dans N, wn = w0 q n , i.e. wn = 3
. Par suite , comme
3
n
n−1
1
3 2
2
vn = wn − 3, on obtient : vn =
− 3, ou encore si on veut vn =
− 3.
2
2 3
3
Enfin, q ayant une valeur absolue strictement inférieure à 1, on en déduit que lorsque
n → +∞, q n → 0, donc wn → 0, et donc vn → −3. Conclusion : lim vn = −3.
n→+∞
Remarque : Rappelons le résultat fondamental, valable dans C :
|q| < 1 ⇔ q n → 0.
c) On sait qu’une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de raison q 6= 1 a
pour valeur :
[le 1er terme (de la somme)] ×
1 − q [ le nombre de termes]
.
1−q
Sn étant une somme de n termes consécutifs, à partir de w0 , de la suite géométrique (wn ),
n
2
n 1−
n
2
1−q
3
Sn = w0
=3
=9 1−
.
2
1−q
3
1−
3
Et puisque (comme on l’a déjà dit) q n → 0, lorsque n → +∞, on en déduit :
lim Sn = 9.
n→+∞
Exercice no 2 [Baccalauréat série D, Amiens 1990 — un corrigé]
1
1
a−1
1
a−1
a) Pour tout n ∈ N : vn+1 = un+1 + a = (un − 1) + a = (un + a) +
= vn +
.
2
2
2
2
2
Donc, pour que la suite (vn ) soit une suite géométrique, il faut et il suffit que a soit égal à 1,
et dans ce cas, (vn ) a pour premier terme v0 = u0 + 1 = 2, et pour raison q = 1/2.
b) Il découle directement du a que, pour tout n et pour tout p dans N, vn = vp q n−p , et donc
en particulier, que pour tout n dans N, vn = v0 q n , i.e. vn = 2 · (1/2)n = (1/2)n−1 . Par suite,
un = vn − 1 = (1/2)n−1 − 1.
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c) Pour tout n ∈ N : un+1 − un = (1/2)n−1 (1/2 − 1) = −(1/2)n ≤ 0, donc la suite (un ) est
décroissante. Enfin, q ayant une valeur absolue strictement inférieure à 1, on en déduit
que lorsque n → +∞, q n → 0, donc vn → 0, et donc un → −1. Conclusion : lim un = −1.
n→+∞
−4
d) Dire que -1 est une valeur approchée de un , à 10 près, signifie que la distance entre un
et -1 est inférieure à 10−4 . Ce qu’on écrit sous la forme :
|un − (−1)| ≤ 10−4 .
On cherche donc les naturels n tel que |un + 1| ≤ 10−4 , i.e. |vn | ≤ 10−4 , soit encore
vn ≤ 10−4 (puisque vn est ¿0). On a alors classiquement, en utilisant la fonction ln :
vn ≤ 10−4 ⇔ (1/2)n−1 ≤ 10−4 ⇔ ln (1/2)n−1 ≤ ln 10−4 ⇔ (n − 1) ln(1/2) ≤ ln 10−4 ,
et comme 1/2¡1, on a ln(1/2) < 0, et donc il faut changer le sens de l’inégalité si on ”divise”
ln 10−4
. Une calculatrice fournissant,
par ln(1/2), ce qui nous donne : vn ≤ 10−4 ⇔ n − 1 ≥
ln(1/2)
ln 10−4
à 10−1 près,
≈ 13.3, on en déduit que : vn ≤ 10−4 ⇔ n − 1 ≥ 14 ⇔ n ≥ 15. Donc
ln(1/2)
n0 = 15.
n
n
n
n
n
X
X
X
X
X
vk − (n + 1). Or, (vn ) étant une suite
1=
vk −
(vk − 1) =
uk =
e) Sn =
k=0
k=0
k=0
k=0
n
X
k=0
1 − (1/2)n+1
= 4[1 − (1/2)n+1 ], d’où Sn .
1
−
1/2
k=0
Sn
4
n+1
4
n+1
n+1
Enfin, qd n → +∞,
= [1 − (1/2) ] −
→ −1, car → 0, [· · · ] → 1, et
→ 1.
n
n
n
n
n
géométrique de raison q 6= 1, on sait que :
vk = 2
Exercice no 3 [Baccalauréat série D, Rouen 1976 — un corrigé]
a) La suite (un ) est constante si et seulement si, pour tout n ≥ 1, un+1 = un . Or :
un+1 = un ⇔
6 + un
= un ⇔ u2n + un − 6 = 0 ⇔ un = −3 ou un = 2.
2 + un
Il existe donc deux valeurs de u1 pour lesquelles la suite (un ) est constante : a = −3 et b = 2.
b) Raisonnons par récurrence sur n. Soit n ≥ 1. Supposons que un 6= −3 et un 6= 2. Alors :
6 + un
12 + 4un
3 + un
6 + un
2 − un
un+1 + 3 =
+3=
=4
6= 0, et un+1 − 2 =
−2=
6= 0.
2 + un
2 + un
2 + un
2 + un
2 + un
Donc on a encore un+1 6= −3 et un+1 6= 2, et on a donc établi que, si u1 6= −3 et u1 6= 2, il en
est de même de un .
Dans ces conditions, et d’après ce qui précède :
6 + un
+3
3 + un
un+1 + 3
un + 3
2 + un
=
=4
= −4
.
6
+
u
n
un+1 − 2
2 − un
un − 2
−2
2 + un
un + 3
, est telle que, pour tout n ≥ 1,
un − 2
u1 + 3
= −4vn . C’est donc une suite géométrique dont le premier terme est v1 =
6= 0
u1 − 2
c) On en déduit que la suite (vn ) définie par : vn =
vn+1
69
Terminale S3
2008/2009
Suites numériques
Compléments (Corrigé)
et la raison est q = −4. Il en résulte que, pour tout n ≥ 1, vn = v1 q n−1 = v1 (−4)n−1 . Donc
|vn | = |v1 | · 4n−1 → +∞, lorsque n → +∞.
On a enfin :
2vn + 3
un + 3
vn =
⇔ vn (un − 2) = un + 3 ⇔ un (vn − 1) = 2vn + 3 ⇔ un =
.
un − 2
vn − 1
3
2+
3
1
vn
Donc, un =
→ 2, lorsque n → +∞, puisque
→ 0 et
→ 0.
1
vn
vn
1−
vn
3
1
3
1
En effet : ≤
, ≤
, et |vn | → +∞, lorsque n → +∞.
vn
|vn | vn
|vn |
Remarque : Ici, dans les deux cas, il y a égalité, mais le bon réflexe pour montrer qu’une
suite tend vers 0, c’est de majorer.
Commentaire : La suite (un ), étudiée ici, s’appelle une suite homographique. En effet,il
s’agit d’une suite récurrente associée à la fonction homographique f définie sur R \ {−2}
6+x
par : f (x) =
, la suite (un ) vérifiant la relation de récurrence un+1 = f (un ).
2+x
On sait qu’ après avoir représenté la fonction f , dès qu’on s’est donné u1 sur l’axe des abscisses,
on peut, en s’aidant de la droite d’équation y = x, représenter graphiquement les termes de
la suite (un ).
D’autre part, si dans l’énoncé il est admis que ”pour tout n ∈ N, un 6= −2 ”, c’est parce qu’il
y a un problème d’existence pour la suite (un ) ( lequel ne se poserait plus si on travaillait,
non pas dans R, mais dans l’ensemble R ∪ {∞}, qu’on appelle droite projective et qu’on
note R).
En effet, il ne suffit pas d’interdire la valeur -2 à u1 , pour que un soit ensuite défini pour
tout n ≥ 1 ! ! ! On pourrait être tenté de montrer par récurrence sur n que pour tout n ≥ 1,
un 6= −2, mais on n’y parviendrait pas ! ! ! Car, comme nous allons le voir, il existe une infinité
de valeurs de u1 pour lesquelles, à partir d’un certain rang, un cesse d’être défini :
Après avoir interdit la valeur -2 à u1 , il faut aussi interdire l’antécédent de -2, puis l’antécédent
de l’antécédent de -2, et ainsi de suite. Si on remarque que f est une bijection de R \ {−2} sur
R \ {1}, et si on pose w1 = −2, il faut donc interdire aussi w2 = f −1 (w1 ), puis w3 = f −1 (w2 ),
etc. Déterminons f −1 :
6 − 2y
6+x
⇔ y(2 + x) = 6 + x ⇔ x(y − 1) = 6 − 2y ⇔ x =
.
y=
2+x
y−1
6 − 2x
Donc f −1 est définie par : f −1 (x) =
, et la suite (un ) est donc définie pour u1 ∈ R \ W ,
x−1
où :
6 − 2wn
−1
W = wn ∈ R w1 = −2, wn+1 = f (wn ) =
.
wn − 1
D’où l’existence d’une infinité de valeurs wn interdites pour u1 , résultat qu’on retrouvera
plus loin en explicitant les wn . Auparavant reprenons l’exercice :
• Dans la question a il suffit de chercher les points fixes de f :
6+x
f (x) = x ⇔
= x ⇔ x2 + x − 6 = 0 ⇔ x = −3 ou x = 2.
2+x
D’où les valeurs de a et b.
70
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Suites numériques
Compléments (Corrigé)
• Dans la question b, f étant une bijection de R \ {−2} sur R \ {1}, elle est donc injective,
i.e. telle que, pour tout x et pour tout y dans R \ {−2} , si x 6= y alors f (x) 6= f (y). Donc, a
étant point fixe de f , si on suppose un 6= a alors f (un ) 6= f (a), i.e un+1 6= a. Idem pour b.
un − a
, était une suite
un − b
géométrique, on aurait pu déterminer explicitement les valeurs interdites pour u1 . En effet,
sachant que :
2vn + 3
un + 3
⇔ un =
,
vn =
un − 2
vn − 1
on peut écrire pour tout n ≥ 1 :
Ensuite, après avoir montré que la suite (vn ) définie par : vn =
2vn + 3
1
= −2 ⇔ 2vn + 3 = −2vn + 2 ⇔ 4vn = −1 ⇔ vn = − ⇔ v1 (−4)n−1 =
vn − 1
4
n
1
n
2 −
+3
1
2 + 3(−4)n
1
4
− ⇔ v1 = −
⇔ u1 =
⇔ u1 =
.
n
4
4
1 − (−4)n
1
−1
−
4
2 + 3(−4)k
∗
; k ∈ N , et
On en déduit que la suite (un ) est définie si et seulement si u1 ∈
/
1 − (−4)k
2 + 3(−4)n
.
que les wn sont les nombres
1 − (−4)n
−10
En particulier, pour k = 1, on retrouve w1 =
= −2 ; pour k = 2, on retrouve w2 =
5
50
10
= − = f −1 (−2) = f −1 (w1 ).
−15
3
un = −2 ⇔
Remarque : Dans l’avant-dernière équivalence, l’implication de droite à gauche peut se jus2q + 3
u1 + 3
5q
tifier en constatant que si u1 =
, alors v1 =
=
= q ; ou encore, de façon plus
q−1
u1 − 2
5
2x + 3
, laquelle est une bijection
élégante, en considérant la fonction ϕ définie par ϕ(x) =
x−1
de R \ {1} dans R \ {2} telle que u1 = ϕ(v1 ), donc, de u1 = ϕ(q), on déduit, en utilisant
l’injectivité de ϕ sous sa forme contraposée, que v1 = q.
Rappelons qu’on appelle contraposée d’une implication P ⇒ Q l’implication non Q ⇒ non P ,
et qu’une implication et sa contraposée sont équivalentes.
Un exemple, tiré du langage courant, en est le proverbe : ”il n’y a pas de fumée sans feu”, qui
équivaut à ”sans feu, pas de fumée”, donc qu’on peut coder : (pas de feu) ⇒ (pas de fumée).
Sa contraposée étant : (fumée) ⇒ (feu), on en déduit que notre proverbe est équivalent à :
”s’il y a de la fumée, alors il y a du feu”.
D’après des solutions rédigées par Patrick SOUBEYRAND et Rémi DE GAVOTY.
71
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2008/2009
Chapitre 2
Fonctions : Comportement local
72
Fonctions : Comportement local
Thème: Limite d’une fonction
[Thème) Limite d’une fonction
Notations
Dans tout ce chapitre, le symbole α désigne ou bien un nombres réel, ou bien +∞ ou −∞.
On considère une fonction f définie au voisinage de α, c’est-à-dire1 :
• Si α = +∞ : f est définie sur un intervalle de la forme ]c; +∞[ (avec c ∈ R).
• Si α = −∞ : f est définie sur un intervalle de la forme ] − ∞; c0 [ (avec c0 ∈ R).
• Si α ∈ R : f est définie sur un intervalle de la forme ]a; α[ ou ]α; b[ (a < α < b).
Le plan est muni d’un repère (O ; ~ı , ~ ) et on note Cf la courbe d’une foncton f dans ce repère.
Exercice no 1 [Conjecture avec la calculatrice]
Conjecturer le comportement au voisinage de 0 des fonctions suivantes :
φ1 : x 7→
sin x
1
5x − 7
; φ2 : x 7→ sin
; φ3 : x 7→
.
x
x
3x + 2
Exercice no 2 [Fonction partie entière : des limites particulières]
1) Justifier les caractéristiques de la courbe E de la fonction partie entière ; notée ici E.
2) Les assertions suivantes sont-elles vraies
ou fausses.
Justifier à l’aide d’un
raisonnement
graphique.
∗ lim E = +∞
+∞
∗ lim E = E(0)
0
∗ lim
E = E(0)
−
0
∗ E admet une asymptote.
Exercice no 3 [Fonction rationnelle]
2
a) Montrer que la fonction ψ : x 7→ −3x +−11x+20
admet deux droites asymptotes.
x+5
b) Etudier la position relative de l’asymptote oblique et de la courbe de v.
1
Ceci n’est pas la définition mathématique habituellement utilisée. Ce sera juste pour simplifier l’exposé.
73
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Fonctions : Comportement local
Thème: Limite d’une fonction
1. Limites infinies
B Définition 1: Limite égale à +∞
? On dit que la limite de f en α est +∞ si, et seulement si tout intervalle de la forme
]M ; +∞[ contient toutes les images f (x), dès que x est suffisamment proche de α :
B lim f (x) = +∞
x→α
⇔
Pour tout réel M ,
f (x) > M
si x est suffisamment proche de α.
Dire que lim f = +∞ signifie que Cf reste au dessus de
α
∗ Interprétation graphique :
toute droite d’équation y = M, dès que x est
suffisamment proche de α.
B Définition 2: Limite égale à −∞
? On dit que la limite de f en α est −∞ si, et seulement si tout intervalle de la forme ]−∞; M [
contient toutes les images f (x), dès que x est suffisamment proche de α.
Exemple [Observation et notation lim]
Soit u : x 7→
1
.
1−x
• lim
u = −∞
+
Justifier graphiquement que : • 1lim u(x) = +∞.
<
x−→1
74
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Fonctions : Comportement local
Thème: Limite d’une fonction
2. Limite réelle
B Définition 3: Limite égale à un réel L
? On dit que la limite de f en α est le réel L si, et seulement si :
Tout intervalle de la forme ]L − ; L + [ (avec > 0) contient toutes les images f (x),
dès que x est suffisamment proche de α .
∗ Interprétation graphique Dire que lim f = L signifie que Cf reste dans toute bande2
α
de la forme L − < y < L + , dès que x est suffisamment proche de α.
∗ Remarque [Traductions]
• La condition f (x) ∈]L − ; L + [ peut aussi s’écrire :
•
•
L − < f (x) < L + |f (x) − L| < .
B En particulier, on a les équivalences suivantes :
lim f (x) = L
⇔
lim |f (x) − L| = 0
x→α
x→α
|f (x) − L| < ⇔
Pour tout > 0,
si x est suffisamment proche de α.
♦ Notations définitives Si λ ∈ R
lim f = λ
ou λ = ±∞,
lim f (x) = λ.
α
Eventuellement :
α
2
x→α
lim f = λ
+ ou −
lim f (x) = λ
(si α est réel).
> ou <
x −→ α
C’est-à-dire entre les droites d’équations y = L − et y = L + .
75
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Fonctions : Comportement local
Thème: Limite d’une fonction
3. Asymptotes
On dit qu’une droite ∆ est asymptote à Cf si, et seulement si
? Asymptote parallèle à (Oy)
B α est réel
B lim f = ±∞
α
B ∆ a pour équation réduite
x = α.
Ou bien
? Asymptote oblique
B α±∞
B ∆ a pour équation réduitea
y = ax + b
B lim [f (x) − (ax + b)] = 0.
x→α
a
C’est-à-dire avec un coefficient directeur (réel).
∗ [Interprétation graphique]
B Alors : lim [f (x) − (ax + b)] = 0
x→α
Pour x ∈ Df , on note :
M (x; f (x)) le point de Cf d’abscisse x
N (x; ax + b) le point de ∆ d’abscisse x
limx→α M N = 0
∗
∗
⇔
∗ [Développement limité]
⇔
f (x)
avec
= (ax + b) + Φ(x)
limα Φ = limx→α M N = 0.
∗ Cas particulier : Asymptote parallèle à l’axe des abscisses
B Lorsque a = 0, l’équation de ∆ devient y = b ; en particulier : ∆ // (Ox).
? Méthodes d’études
B Pour montrer que ∆ est asymptote oblique à Cf on calcule lim [f (x) − (ax + b)].
x→α
B Pour conjecturer l’équation d’une éventuelle asymptote oblique, on évalue
f (x)
puis b := lim [f (x) − ax].
x→α x
x→α
a := lim
B Pour étudier la position relative de ∆ et Cf on étudie le signe de f (x) − (ax + b).
76
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Fonctions : Comportement local
Thème: Le calcul de limite
[Thème) Le calcul de limite
1. Limites de références
On fixe des entiers n ≥ 0 et p ≥ 1.
B Proposition 1: Limites aux infinis
1
lim √ = 0
√x
x = +∞
lim
Limites nulles :
et
x→+∞
? Limites +∞ :
et
x→+∞
Limites en −∞ :
lim x
2n
x→−∞
= +∞
et
1
=0
xp
lim xp = +∞
lim
x→±∞
x→+∞
lim x2n+1 = −∞
x→−∞
B Proposition 2: Limites en 0
Limites nulles :
lim+
√
x=0
1
lim+ √ = +∞
x→0
x
1
lim
= +∞
x→0− x2n
lim xp = 0
1
lim+ p = +∞
x→0 x
1
lim− 2n+1 = −∞
x→0 x
et
x→0
x→0
? Limites +∞ :
Limites en 0− :
et
et
2. Opérations algébriques sur les limites
Le symbole α désigne ou bien un nombre réel, ou bien +∞ ou −∞.
On considère deux fonctions f et g définies au voisinage de α ainsi que deux réels L et L0 .
B Proposition 3: Opérations sur les limites de fonctions
(
lim f = L
α
? Si
lim g = L0
alors
•
lim(f + g) = L + L0
•
lim(f × g) = L × L0
α
1
lim = +∞ si L = 0+
α f
1
lim = −∞ si L = 0−
α f
α
•
α
(
Si
lim f = +∞
α
lim g = L0
lim
α
(indéterminé sinon)
•
lim(f + g) = +∞
•
lim(f × g) = +∞, si L0 > 0
alors
α
•
1
1
= si L 6= 0
f
L
α
α
lim(f × g) = −∞, si L0 < 0
α
1
lim = 0+
α f
(indéterminé si L0 = 0)
77
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Fonctions : Comportement local
(
lim f = +∞
α
Si
alors
lim g = −∞
α
Thème: Le calcul de limite
•
lim(f + g) est indéterminé
•
lim(f × g) = −∞
α
f
lim
est indéterminé
α g
α
•
Exercice no 1 [Cas des fonctions rationnelles]
Déterminer les limites des fonctions suivantes aux bornes de leurs ensembles de définition :
u : x 7→
x3 + 4x − 1
x2 + x − 1
et v : x 7→
.
4 − 3x
−4x2 + 20x − 24
3. Les théorèmes de comparaison
B Théorème 4: Le théorème des gendarmes
? On considère trois fonctions f , g et h définies sur un même voisinage de α ∈ R ∪ {±∞}.
On suppose que, pour x suffisamment proche de α, g(x) ≤ f (x) ≤ h(x).
Les implications suivantes sont alors vraies :
∗ lim g = lim h = L ∈ R
∗ lim g = +∞
∗ lim h = −∞
α
⇒
lim f = lim h = +∞
α
α
α
α
⇒
α
⇒
lim f = L
α
lim f = lim g = −∞
α
α
B Proposition 5: Limite d’une fonction monotone
? Les symboles α et β désignent des éléments de R ∪ {±∞}.
B Si la fonction f est monotone sur ]α; β[ alors f admet des limites en α+ et en β − .
B Si f est croissante et non majorée alors lim
f = +∞.
−
β
Exercice no 2 [Question ROC : Démonstration de la proposition]
On suppose que f est une fonction croissante non majorée et on souhaite démontrer que
f = +∞.
lim
−
β
Soit M un nombre réel.
1. Prouver qu’il existe un nombre a appartenant à ]α; β[ tel que f (a) > M .
2. En déduire que, pour tout réel x appartenant à ]a; β[, on a : f (x) > M .
3. Conclure.
78
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Fonctions : Comportement local
Thème: Le calcul de limite
4. Composition de limites
Les symboles α, β et λ désignent des éléments de R ∪ {±∞}.
B Théorème 6: Composition de deux fonctions
? Soient f et g deux fonctions telles que :
• f est définie au voisinage de α
• g est définie au voisinage de β. Alors :
B Si lim f = β alors g ◦ f est définie au voisinage de α.
α
B Si de plus lim g = λ alors lim g(f (x)) = lim g(X) = λ
β
x→α
X→β
Exercice no 3 [Applications directes]
Déterminer les limites suivantes, en raisonnant par composition :
r
r
3
√
√
x
x3
lim
3x − 1 ;
lim
x2 + 1−5x ;
lim
; lim
;
x→+∞
x→−∞
x→+∞
x→2
x−2
x−2
r
lim
x→−∞
x3
.
x−2
B Corollaire 7: Composition d’une suite par une fonction
? Soient
• f est définie au voisinage de α et lim f = λ
α
• (un ) une suite convergente vers α.
Alors la suite (f (un )) est définie à partir d’un certain rang et converge vers λ
Exercice no 4 [Applications directes]
A) Déterminer la limite éventuelle de la suite de terme général donné ci-dessous :
r
r
3
n2 + 3
2n + 1
+ 1 ; Vn =
−
; (n ≥ 1).
Un =
n
9n2 + n
6n
p
B) Soit (an ) une suite vérifiant an+1 = a2n + 3, pour n ≥ 1.
√
Justifier que, si (an ) converge vers un réel L, celui-ci vérifie L2 + 3 = L. En déduire la valeur
de L.
79
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TD no 8. Le calcul de limites de fonctions
Le calcul de limites de fonctions
[TD no 8) Le calcul de limites de fonctions
B
∗
Sur le livre
Jeudi 3/11/8
? Plan du TD
1. Techniques usuelles
1.1. Limites aux infinis (no 14 à 21 page 74)
1.2. Limites en un réel (no 29 à 33 page 75)
2. Recherches d’asymptotes (no 49 à 52 page 77)
3. Limites et composition
80
Terminale S3
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DS no 2. Limites de suites et de fonctions
Limites de suites et de fonctions
[DS no 2) Limites de suites et de fonctions
B
∗
Polycopié no 14
Lundi 17/11/8
Exercice no 1 [Suite définie par une somme – 5 points]
On considère la suite (un )n≥2 définie par un = 1 +
1
1
1
+ 2 + ... + 2 , pour tout n ≥ 2.
2
2
3
n
1. Etudier le sens de variation de la suite (un )n≥2 .
2. Montrer que, pour tout entier k ≥ 2,
1
1
1
− .
<
2
k
k−1 k
3. En déduire que la suite (un )n≥2 est majorée.
4. Etudier la nature de la suite (un )n≥2 .
Exercice no 2 [Etude d’une suite récurrente – 8 points]
On considère la suite (An )n∈N définie par A0 = 2 et, pour tout entier naturel n,
5An − 1
.
An + 3
An+1 =
1. Montrer que, pour tout entier n ≥ 0, An 6= 1.
2. On pose Bn =
1
.
An − 1
(a) Montrer que (Bn )n∈N est une suite arithmétique dont on précisera la raison et la premier
terme.
(b) Exprimer Bn puis An en fonction de n.
(c) Calculer la limite de la suite (An )n∈N .
Exercice no 3 [Limites d’une fonction – 9 points]
r
On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[ par :
x2 +
1
− 2x.
x
On note Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
1. Calculer la limite de f (x) lorsque x tend vers +∞.
2. (a) Déterminer lim+ f (x). Interpréter graphiquement ce résultat.
x→0
3. (a) Calculer
lim [f (x) + x].
x→+∞
(b) En déduire l’existence d’une asymptote oblique ∆ à Cf .
(c) Etudier la position relative de ∆ par rapport à Cf .
81
Terminale S3
2008/2009
DS no 2 (Corrigé)
Limites de suites et de fonctions
[DS no 2) Un corrigé
Exercice no 1 [Suite définie par une somme – 5 points]
L’objet d’étude est la suite (un )n≥2 définie par un = 1 +
1
1
1
+
+
...
+
, pour tout n ≥ 2.
22 32
n2
1. Sens de variation (un )n≥2 . Pour tout entier n ≥ 2,
1
1
1
1
1
1
1
1
− 1 + 2 + 2 + ... + 2 =
un+1 −un = 1 + 2 + 2 + ... + 2 +
> 0.
2
2
3
n
(n + 1)
2
3
n
(n + 1)2
6 B Conclusion. La suite (un )n≥2 est donc strictement croissante.
1
1
1
− , en réduisant au même dénominateur :
2. Montrons que, pour tout k ≥ 2,
<
2
k
k−1 k
1
1
k − (k − 1)
1
1
1
− =
=
et k 2 > k(k − 1) > 0 ⇒
> 2.
k−1 k
k(k − 1)
k(k − 1)
k(k − 1)
k
6 B Conclusion. On a bien
1
1
1
− > 2 , pour tout entier k ≥ 2.
k−1 k
k
3. On en déduit que (un )n≥2 est majorée en sommant les inégalités précédentes pour 2 ≤ k ≤
n:
1
22
1
32
..
.
1
(n − 1)2
1
n2
n
X
1
k2
k=2
Donc
1 1
−
1 2
1 1
<
−
2 3
..
.
1
1
<
−
n−2 n−1
1
1
<
−
n−1 n
1 1
<
−
< 1.
1 n
<
1
1
1
un = 1+ 2 + 2 + ... + 2 < 1+1 ≤ 2.
2
3
n
6 B Conclusion. La suite (un )n≥2 est
strictement majorée par 2.
4. Nature de la suite (un )n≥2 . Cette suite
est strictement croissante (question 1) et
majorée par 2 (question 3). Elle est donc
convergente.
Exercice no 2 [Etude d’une suite récurrente – 8 points]

 A0 = 2
5An − 1
On considère la suite (An )n∈N définie par :
(n ∈ N).
 An+1 =
An + 3
1. Montrons par récurrence que, pour tout entier n ≥ 0, An 6= 1.
∗ Initialisation. Par hypothèse, A0 = 2 6= 1 ;
HR : Supposons que Ak 6= 1
∗ Hérédité. Soit k un entier naturel.
CR : Montrons que Ak+1 6= 1.
Ak+1 − 1 =
On calcule
5Ak − 1
5Ak − 1 − (Ak + 3)
4Ak − 4
4(Ak − 1)
−1=
=
=
6= 0,
Ak + 3
Ak + 3
Ak + 3
Ak + 3
82
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DS no 2 (Corrigé)
Limites de suites et de fonctions
car Ak 6= 1 d’après (HR). Finalement : Ak+1 − 1 6= 0 ⇒ Ak+1 6= 1.
6 B Conclusion. Pour tout entier n ≥ 0, on a bien An 6= 1.
1
2. On pose Bn =
(qui est bien défini puisque Ak+1 6= 1).
An − 1
(a) Montrons que (Bn )n∈N est une suite arithmétique. Pour tout entier n ≥ 0,
Bn+1 − Bn =
=
=
=
1
An+1 −1
1
−
1
An −1
−
5An −1−(An +3)
An +3
An +3
1
4An −4
An −1
An −1
4(An −1)
1
1
An −1
1
1
4An −4 − A −1
n
An +3
An +3
− 4(An4−1)
4(An −1)
1
.
4
=
1
An −1
5An −1
−1
An +3
=
−
=
=
−
La suite (Bn )n∈N est donc arithmétique de premier terme B0 = A01−1 = 1.
(b) Comme (Bn )n∈N est la suite arithmétique de raison 1/4 et de premier terme B0 = 1,
la formule du cours affirme que, pour tout entier naturel n, Bn = n4 + 1.
On exprime maintenant An en fonction de n par les équivalences suivantes :
1
n+8
1
1
1
+1 =
⇔ An − 1 =
.
⇔ An =
+1= n
Bn =
+1
An − 1
Bn
Bn
n+4
4
n
+ 1 = +∞, donc
(c) Limite de (An )n∈N . Comme 1/4 > 0, on a lim
n→+∞ 4
1
1
lim
= lim
= 0. En ajoutant 1 à cette limite, il vient lim An = 1.
n→+∞ n + 1
n→+∞
N →+∞ N
4
Exercice no 3 [Limites d’une fonction – 9 points]
r
x2 +
On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[ par
représentative dans un repère orthonormé.
r
1. Calcul de
lim f (x). Pour tout réel x > 0, f (x) = x
x→+∞
1
Or : lim 3 = 0 ⇒
x→+∞ x
Comme d’autre part
1
lim 1 + 3 = 1 ⇒
x→+∞
x
1
− 2x en notant Cf sa courbe
x
1
1 + 3 − 2x = x
x
r
lim
x→+∞
1+
!
1
1+ 3 −2 .
x
√
1
−
2
=
lim
X − 2 = −1.
X→1
x3
lim x = +∞, on obtient par produit
x→+∞
r
lim f (x) = −∞.
x→+∞
1
= +∞ et lim x2 = 0 donc, par addition,
x→0
x→0
x→0 x
r
√
1
1
2
lim+ x +
= +∞, d’où
lim+ x2 + = lim
X = +∞,
x→0
x→0
x
x X→+∞
2. (a) Calcul de lim+ f (x). On a lim+
d’après le théorème de composition. Comme finalement lim 2x = 0, on obtient, par
x→0
soustraction, lim+ f (x) = +∞.
x→0
B Interprétation graphique : L’axe des ordonnées est asymptote à Cf .
83
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DS no 2 (Corrigé)
Limites de suites et de fonctions
3. (a) Calcul de
lim [f (x) + x]. Si x > 0, alors
x→+∞
r
f (x) + x =
x2 +
1
x2 + x1 − x2
1
x
−x= q
=q
x
x2 + x1 + x
x2 + x1 + x
1
Comme x > 0, les quantités x, ,
x
0< q
r
x2 +
1
sont strictement positives donc :
x
1
x
x2 +
<
1
x
+x
1
x
x
=
1
.
x2
Le théorème des gendarmes permet finalement de conclure :
(
1
lim 2 = 0
⇒
lim [f (x) + x] = 0.
x→+∞ x
x→+∞
0 < f (x) + x < x12 (si x > 0)
(b) On déduit de la limite
asymptote oblique à Cf .
lim [f (x) + x] que la droite ∆ d’équation y = −x est
x→+∞
(c) La position relative de ∆ par rapport à Cf est donnée par le signe de
f (x) + x = q
1
x
x2 +
> 0.
1
x
+x
6 B Conclusion. La courbe Cf est au dessus de son asymptote ∆.
84
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DM no 3. Limites d’une fonction paramétrée
Limites d’une fonction paramétrée
[DM no 3) Limites d’une fonction paramétrée
B
∗
Polycopié no 14 ter
Lundi 17/11/8
B Sur le livre : No 35 page 76.
Etudier, en fonction des valeurs des paramètres m, a, b et c, la limite en +∞ de
√
√
f (x) = x3 + a x2 + b x + c + m x x + 2.
On commence3 par transformer f (x) à l’aide de la quantité conjuguée. Pour tout réel x > 0,
(1 − m2 ) x3 + (a − 2 m2 ) x2 + b x + c
x3 + a x2 + b x + c − m2 x2 (x + 2)
q
= √ q
f (x) = √
√
.
b
a
c
2
x 3 + a x2 + b x + c − m x x + 2
x x
1 + x + x2 + x3 − m 1 + x
r
r
a
b
2
c
Pour la suite de l’exercice, on pose R1 (x) = 1 + + 2 + 3 et R2 (x) = 1 + ,
x x
x
x
quantités qui tendent vers 1 en +∞, quelques soient les valeurs de m, a, b et c. D’autre part :
√
√
(1 − m2 ) x x + (a − 2 m2 ) x + √bx + x√c x
(1 − m2 ) x3 + (a − 2 m2 ) x2 + b x + c
√
f (x) =
=
.
R1 (x) − m R2 (x)
x x (R1 (x) − m R2 (x))
On note N (x) et D(x) le numérateur et le dénominateur4 de cette dernière expression. On
raisonne maintenant par disjonction des cas :
∗ Si 1 − m2 < 0 (⇔ m ∈] − ∞; −1[∪]1; +∞[)
(
lim N = +∞
−∞ si m < −1
+∞
On a
donc lim f =
lim D = 1 − m 6= 0
+∞ si m > 1.
+∞
+∞
(
∗ Si 1 − m2 > 0 (⇔ m ∈] − 1; 1[).
lim N = +∞
+∞
lim D = 1 − m > 0
donc
lim f = +∞
+∞
+∞
∗ Si 1 − m2 = 0 (⇔ m = −1 ou m = 1). On distingue deux sous-cas :
√
(a − 2) x + √bx + x√c x
N (x)
B Si m = −1 f (x) =
=
avec lim D = lim(R1 + R2 ) = 2
+∞
+∞
D(x)
R1 (x) + R2 (x)


lim N = +∞ si a > 2


 +∞
 +∞ si a > 2
lim
N
=
0
si
a
=
2
0 si a = 2
et
Donc : lim f = lim N =
+∞
+∞
+∞



−∞ si a < 2.
 lim N = −∞ si a < 2.
+∞
3
On pourrait traı̂ter tout de suite le cas m ≥ 0 mais, comme il faudra utiliser la quantité conjuguée pour
les autres cas, autant le faire tout de suite. Cela permettra d’avoir une étude des différents cas possibles plus
synthétique.
4
La quantité D(x) = R1 (x)−m R2 (x) tend toujours vers (1−m) ; mais le coefficient du terme prépondérant
de N (x) est (1 − m2 ). C’est à cause de cela qu’il faut distinguer plusieurs cas en fonction du signe de ce dernier
facteur.
85
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DM no 3. Limites d’une fonction paramétrée
Limites d’une fonction paramétrée
B Si m = 1. Ce cas peut se traı̂ter avec l’expressiobn initiale de f :
√
√
√ p
x 3 + a x2 + b x + c + x x + 2 = x x
1 + xa + xc2 +
f (x) =
√
= x x (R1 (x) + R2 (x)) .
c
x3
+
q
1 + x2
On en déduit que lim f (x) = +∞.
+∞
6 B Conclusion.
? lim f = −∞ si m < −1
ou (m = −1 et a < 2)
+∞
? lim f = 0
si (m = −1 et a = 2)
? lim f = +∞
si m > −1
+∞
+∞
ou (m = −1 et a > 2)
86
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Limites d’une fonction paramétrée
Thème: Nombre dérivé en un réel
[Thème) Nombre dérivé en un réel
Dans tout le chapitre, on considère un intervalle I possédant un réel a, ainsi qu’une fonction
f définie sur I.
On fixe un repère cartésien du plan (O ; ~ı , ~ ) et on note C la courbe représentative de f dans
ce repère.
1. Corde et taux d’accroissement
B Définition 1: Taux d’accroissement
? Pour tout réel x appartenant à I et différent de a, le quotient T (a, x) =
f (x) − f (a)
est
x−a
appelé taux d’accroissement (moyen) de f entre a et x.
? Propriétés immédiates
B Symétrie : T (a, x) = T (x, a).
B Changement de variable :
pose
h = x − a (⇔ x = a + h), alors
T (a, a + h) =
Notations.
si on
f (a + h) − f (a)
.
h
∆f
f (x) − f (a)
=
.
∆x
x−a
B Interprétation géométrique. Soient les points A(a, f (a)) et M (x, f (x)) appartenant à
C . Alors T (a, x) est le coefficient directeur de la corde (AM ) puisque :
yM − yA
∆y
f (x) − f (a)
=
T (a, x) =
=
.
x−a
xM − xA
∆x
Exercice no 1 [Premiers calculs]
1. (a) Soit la fonction g : x 7→ x2 − 3 définie sur R et x un réel.
Pour x 6= 1, exprimer le taux d’accroissement de g entre 1 et x sous forme polynomiale.
1
(b) Même question pour les fonctions u : x 7→ −2x − 7 et v : x 7→ x+2
.
2. Soit la fonction v : x 7→ |x| définie sur R.
Calculer son taux d’acroissement T (0, x) pour x > 0 puis pour x < 0.
f (x) = 0
si x ≤ 0
3. Mêmes questions pour la fonction θ définie sur R par :
.
x
f (x) = 1+x2
si x > 0.
87
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Limites d’une fonction paramétrée
Thème: Nombre dérivé en un réel
2. Tangente et nombre dérivé
2.1. Limite du taux d’accroissement
B Définition 2: Nombre dérivé en un réel
f (x) − f (a)
existe et est un
x→a
x−a
? Lorsque la limite du taux d’accroissement lim T (a, x) = lim
x→a
nombre réel, on dit que la fonction f est dérivable en a.
B Dans ce cas : Ce nombre est noté f 0 (a) et appelé nombre dérivé de f en a.
Notations différentielle :
df
(a)
dx
= f 0 (a).
C’est la notation originelle, qui rend compte du fait que le nombre dérivé est la limite du taux
df
∆f
=
(a)
d’accroissement. En d’autre termes : lim
x→a ∆x
dx
B Changement de variable h = x−a = ∆x.
f (x) − f (a)
f (a + h) − f (a)
= lim
.
x→a
h→0
x−a
h
f 0 (a) = lim
? Tangente à la courbe
On considère ici :
• un réel x appartenant à I différent de a
• les points A(a, f (a)) et M (x, f (x))
appartenant à C .
On rappelle que le taux d’accroissement
T (a, x) est le coefficient directeur de
(AM ).
B Convergence
Lorsqu’on fait tendre x vers a, cela revient à faire tendre le point M vers A le long de C .
Si la fonction f est dérivable en a alors la corde (AM ) se rapproche alors de la droite :
• passant encore par A
f (x) − f (a)
, c’est-à-dire f 0 (a).
x→a
x−a
• de coefficient directeur lim
B Définition 3: Tangente à C en A
? Si f est dérivable en a, la tangente T de C au point A(a; f (a)) est par définition la droite
passant par A et de coefficient directeur f 0 (a).
B Proposition 4: Equation de la tangente
88
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Limites d’une fonction paramétrée
Thème: Nombre dérivé en un réel
? Si f est dérivable en a alors la tangente T admet pour équation y = f 0 (a)(x − a) + f (a).
Démonstration de 4. D’après la définition, le vecteur ~u(1; f 0 (a)) est un vecteur directeur
de la tangente T . Donc :
x−a
1
~
Un point N (x, y) appartient à T si et seulement si AN
et ~u
sont
y − f (a)
f 0 (a)
colinéaires ; ce qui équivaut à :
x−a
1
~ , ~u) = 0 ⇔ =0
det(AM
0
y − f (a)
f (a) ⇔ f 0 (a)(x − a) − (y − f (a)) = 0
⇔ y = f 0 (a)(x − a) + f (a).
4
Exemple [Fonction racine carrée]
√
lim
x→0
La fonction
√
n’est pas dérivable en 0 puisque
√
1
x− 0
= lim √ = +∞.
x→0
x−0
x
Ceci peut s’interpréter graphiquement par le fait que l’axe des ordonnées est tangent à la
√
dans un repère cartésien.
courbe de
2.2. Développement limité
Lorsque f est dérivable, la tangente T est la droite qui approche le mieux la courbe C au
voisinage de A. Ceci est précisé par le résultat suivant :
B Théorème 5: Développement limité d’ordre 1 de f en a
? La fonction f est dérivable en a si et seulement si la condition suivante est vérifiée :
Il existe une fonction affine A et une fonction
ϕ, définie sur I, telles que
(
f (x) = A(x) + (x − a)ϕ(x)
lim ϕ(x) = 0.
B Dans ce cas :
α(x) = f 0 (a)(x − a) + f (a).
x→a
89
Terminale S3
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Limites d’une fonction paramétrée
Thème: Nombre dérivé en un réel
Vocabulaire.
• Le terme (x − a) ϕ(x) est appelé
reste d’ordre 1 de f en a.
• Le développement limité d’ordre 1
de f en a est en fait une approximation f au voisinage de a par une
fonction affine A.
Cette fonction est appelée la
meilleure approximation affine de
f en a
Démonstration de 5.
Il s’agit de montrer une équivalence.
(⇒) Sens direct. Supposons que f est dérivable en a.
(
(a)
− f 0 (a),
ϕ(x) = f (x)−f
x−a
On définit alors la fonction ϕ sur I par
ϕ(a) = 0.
si x 6= a ;
En isolant f (x) dans la relation précédente, on obtient :
f (x) = f 0 (a)(x − a) + f (a) + (x − a) ϕ(x), pour tout x ∈ I (même x = a),
∗ D’une part :
avec
A : x 7→ f 0 (a)(x − a) + f (a)
fonction affine.
f (x) − f (a)
∗ D’autre part : lim ϕ(x) = lim
− f 0 (a) = f 0 (a) − f 0 (a) = 0.
x→a
x→a
x−a
(
A fonction affine
6 B Conclusion. On a bien f (x) = A(x) + (x − a)ϕ(x) avec
lim ϕ = 0.
0
(⇐) Réciproque. Supposons d’abord qu’il existe une fonction affine A et une fonction ϕ,
définie sur I, telles que f (x) = A(x) + (x − a)ϕ(x) et lim ϕ(x) = 0. Alors :
x→a
f (x) − f (a)
A(x) + (x − a)ϕ(x) − A(a)
=
x−a
x−a
A(x) − A(a)
+ ϕ(x),
=
x−a
f (x) − f (a)
A(x) − A(a)
= lim
+ lim ϕ(x) = A0 (a),
x→a
x→a
x→a
x−a
x−a
puisqu’on sait que la fonction affine A est dérivable en a (A0 (a) est son coefficient directeur).
donc :
lim
6 B Conclusion. La fonction f est donc dérivable en a, de nombre dérivé f 0 (a) = A0 (a).
5
90
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2008/2009
Limites d’une fonction paramétrée
Thème: Nombre dérivé en un réel
3. Nombres dérivées de fonctions usuelles
On fixe un réel a et un entier naturel n ≥ 1.
Fonction affine :
A : x 7→ α.x + β est dérivable en a et :
A0 (a) = α.
Fonction puissance :
p : x 7→ xn est dérivable en a et :
p0 (a) = n.an−1 .
Fonction puissance inverse :
P : x 7→
Fonction racine carrée :
Fonctions trigonométriques :
√
1
xn
est dérivable en a 6= 0 et :
est dérivable5 en a > 0 et :
cos est dérivable en a et :
sin est dérivable en a et :
tan est dérivable en a 6=
π
2
[π] et :
P 0 (a) =
√ 0
−n
.
an+1
(a) =
1
√ .
2. a
cos0 = − sin.
sin0 = cos.
1
tan0 =
= 1 + tan2 .
cos2
Démonstration au TP no 9.
4. Opérations et composition
4.1. Dérivation et opérations algébriques
B Proposition 6: Dérivation et opérations algébriques
? Soient u et v deux fonctions dérivables en réel a. Soit d’autre part λ un réel.
B La fonction (u + v)
B La fonction (λ · u)
B La fonction (u · v)
B Si v(a) 6= 0
les
est dérivable en a et (u + v)0 (a) = u0 (a) + v 0 (a).
est dérivable en a et (λ · u)0 (a) = λ · u0 (a).
est dérivable en a et (u · v)0 (a) = u0 (a) · v(a) + u(a) · v 0 (a).
1
u
fonctions
et
sont dérivables en a et
u
v
0
u 0
−u0 (a)
1
u0 (a) · v(a) − u(a) · v 0 (a)
(a) = 2
et
(a) =
u
u (a)
v
v 2 (a)
Démonstration de 6.
On montre la troisième assertion afin de donner une idée des
principes utilisés dans ce type de démonstrations. On doit en fait montrer que
u(x)v(x) − u(a)v(a)
= u0 (a).v(a) + u(a).v 0 (a).
x→a
x−a
lim
Soit x ∈ I, pour l’instant fixé différent de a. L’artifice de calcul qui suit permet d’obtenir des
91
Terminale S3
2008/2009
Limites d’une fonction paramétrée
Thème: Nombre dérivé en un réel
quantités dont on connait la limite par hypothèse :
u(x) · v(x) − u(x) · v(a) + u(x) · v(a) − u(a) · v(a)
u(x) · v(x) − u(a) · v(a)
=
x−a
x−a
u(x) [v(x) − v(a)] + v(a) [u(x) − u(a)]
=
x−a
v(x) − v(a)
u(x) − u(a)
= u(x)
+ v(a)
.
x−a
x−a
Si maintenant x → a, comme u et v sont dérivables en a, alors
u(x) − u(a)
lim
= u0 (a)
x→a
x−a
donc lim u(x) = u(a)
x→a
et
lim
x→a
v(x) − v(a)
= v 0 (a).
x−a
u(x) · v(x) − u(a) · v(a)
= u0 (a) · v(a) + u(a) · v 0 (a).
x→a
x−a
On conclut par opérations sur les limites : lim
6
4.2. Dérivation et composition
On considère deux fonctions u : I → R et v : J → R telles que :
? (C )
Pour tout réel x appartenant à I, l’image u(x) appartient à J.
Notation.
Synthétiquement : u(I) ⊂ J (l’image de I par u est contenue dans J).
4.2.1. Rappels sur la composition
La condition (C ) entraı̂ne que, pour tout x ∈ I, l’image v(u(x)) existe.
B La fonction composée v ◦ u peut alors être définie par
I −→
J
−→ R
v◦u:
x 7→ u(x) = y 7→ v ◦ u(x) = v(u(x)) = v(y).
Exemple [Fonction avec radical (1/2)]
R : y 7→
√
On considère les fonctions
y et w : x 7→ −5x + 1.
1. (a) Sachant que R est définie sur J = [0; +∞[, déterminer l’ensemble I des réels x tels
que :
x ∈ I ⇔ u(x) ∈ [0; +∞[.
(b) En déduire l’ensemble de définition de la fonction R ◦ w.
2. Etudier le signe de R ◦ w ; le sens de variation de R ◦ w.
3. Tracer l’allure de la courbe de R ◦ w dans un repère orthonormé.
Terminale S3
92
2008/2009
Limites d’une fonction paramétrée
Thème: Nombre dérivé en un réel
4.2.2. Dérivation d’une fonction composée
On suppose que u et v satisfont à la condition (C ).
B Théorème 7: Nombre dérivé d’une fonction composée
? Soient a un réel appartenant à I et b = u(a), appartenant à J.
∗ Si u est dérivable en a et v est dérivable en b
B alors v ◦ u est dérivable en a et : (v ◦ u)0 (a) = (v 0 ◦ u)(a) · u0 (a) = v 0 (u(a)) · u0 (a).
∗ Remarque [Moyens mnémotechnique]
B Avec l’image intermédiaire b :
∗
Avec la notation différentielle :
(v ◦ u)0 (a) = v 0 (b) · u0 (a)
dv
du
(v ◦ u)0 (a) =
(b) · (a).
du
dx
Exemple [Fonction avec radical (2/2)]
w : x 7→ −5x + 1.
On revient sur les fonctions R : y 7→
√
y et
1. Sachant que R est dérivable sur J 0 =]0; +∞[, déterminer l’ensemble I 0 des réels x tels que :
x ∈ I 0 ⇔ u(x) ∈]0; +∞[.
2. En déduire l’ensemble de dérivabilité de la fonction R ◦ w.
3. Application. Etudier le sens de variation de R ◦ w.
Exercice no 2 [Applications directes]
Pour chacun des couples de fonctions (a, b) donnés ci-dessous,
• déterminer l’ensemble de définition de la fonction a ◦ b
• calculer le nombre dérivé (a ◦ b)0 (1/2)
• déterminer une équation de la tangente à la courbe de a ◦ b au point d’abscisse −1.
√
√
a : x 7→ (x − 5)2
a : x 7→ x4
a : x 7→ x
a:x→
7
x+3
;
;
;
1
b : x 7→ x+3
b : x 7→ −3x + 1
b : x 7→ 7x + 15
b : x 7→ (x − 5)2 .
v(u(x)) − v(u(a))
= v 0 (u(a)) · u0 (a).
x−a
Démonstration de 7.
Montrons que : lim
Si x ∈ I et x 6= a, alors :
v(u(x)) − v(u(a))
v(u(x)) − v(u(a)) u(x) − u(a)
=
×
.
x−a
u(x) − u(a)
x−a
x→a
Si maintenant x tend vers a, le facteur de droite tend vers u0 (a), puisque u est dérivable en a.
Pour celui de gauche : comme lima u = u(a), on peut écrire
v(u(x)) − v(u(a))
v(Y ) − v(u(a))
= lim
= v 0 (u(a)).
x→a
Y →u(a)
u(x) − u(a)
Y − u(a)
lim
Il reste enfin à conclure en multipliant les deux limites obtenues.
93
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2008/2009
Limites d’une fonction paramétrée
Thème: Nombre dérivé en un réel
7
B Corollaire 8: Cas particuliers usuels
? Soit n ≥ 1 un entier. On suppose que la fonction u est dérivable en a. Alors :
B La fonction un est dérivable en a et : (un )0 (a) = n · u(a)n−1 · u0 (a).
0
−n.u0
1
1
=
B Si u(a) 6= 0, la fonction un est dérivable en a et :
.
un
un+1
√ 0
√
u0
B Si u(a) > 0, la fonction u est dérivable en a et :
u = √ .
2. u
B Si u est la fonction affine x 7→ α x+β alors la fonction f : x 7→ u(α.x+β) est dérivable
en t = −β/α et f 0 (t) = α · u0 (α t + β) = α · u0 (a).
Démonstration de 8. Laisser en exercice (appliquer le théorème précédent).
8
Exercice no 3 [Applications directes]
Pour chacune des fonctions donnés ci-dessous,
• déterminer l’ensemble de définition
• déterminer l’ensemble de dérivabilité
• calculer, lorsque c’est possible, le nombre dérivé en un réel quelconque a
√
1
−3
; ξ : x 7→ −6 x3 + 5 x2 + 17 ; χ : x 7→ √
φ : x 7→ (−5x+1)2009 ; ψ : x 7→ 2
.
x +1
x2 + 7
94
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TD no 9. Etudes locales de fonctions
Etudes locales de fonctions
[TD no 9) Etudes locales de fonctions
B
∗
Polycopié no 13
Jeudi 6/11/8
1. Nombre dérivé et tangente
Exercice no 1 [Ajustements de coefficient]
Soient a et b deux réels et la fonction P : x 7→ a x3 + b x2 + x − 5.
On note CP la courbe représentative de P dans un repére orthonormé du plan (O ; ~ı , ~ ).
Déterminer a et b pour que la droite y = −5 x − 9 soit tangente à CP au point d’abscisse −1.
Exercice no 2 [Ajustement de coefficients]
Soient a et b deux réels ainsi que la fonction 1. Déterminer a et b pour que ∆ soit la tan3t2 + at + b
gente à Γ au point d’abscisse 0.
θ : t 7→
. On note :
t2 + 1
2. Préciser alors la position relative de Γ et de
• Γ la courbe représentative de θ dans un
∆.
repére orthonormé du plan (O ; ~ı , ~ )
3. Dresser le tableau de variation de θ.
• ∆ la droite d’équation y = 4x + 3.
4. Tracer les courbes Γ et ∆ dans (O ; ~ı , ~ ).
Exercice no 3 [Tangente à un cercle]
On considère :
? la fonction R : x 7→
√
3. On fixe un réel a appartenant à ] − 1; 1[.
1−
x2
? la courbe C de R dans un repère orthonormé (O ; ~ı , ~ )
? le cercle Γ de centre Ω(1; −2) et de rayon 3.
1. Déterminer l’ensemble de définition de la
fonction R.
2. (a) Déterminer l’équation réduite du cercle
Γ.
(a) Montrer que f est dérivable en a et que
−a
.
f 0 (a) = √
1 − a2
(b) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point A
d’abscisse a.
(c) Montrer que T est orthogonale à la
droite (OA).
(d) En déduire que T est la tangente au
cercle Γ en A.
(b) Montrer que le cercle unité Γ contient
la courbe C .
4. Etudier le cas a = 1.
Exercice no 4 [Courbes orhogonales]
1
x3
Dans un repère orthonormal du plan, on considère les courbes H : y =
et C : y = .
x
3
Montrer que ces courbes sont orthogonales.
95
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TD no 9. Etudes locales de fonctions
Etudes locales de fonctions
2. Etudes locales d’ordre 1
Exercice no 5 [Etude locale et valeurs approchées]
1. Montrer qu’il existe une fonction telle que, pour tout réel h tel que 1 + h ≥ 0,
√
1
1 + h = 1 + h + h (h) avec lim (h) = 0.
h→0
2
√
−h2
1
.
2. Démontrer que, pour tout h ≥ 0, 1 + h − 1 + h = √
2
4 1 + h + 1 + 21 h
√
1 h2
3. En déduire que, pour tout h ≥ 0, 1 + h − 1 + h ≤ .
2
8
4. Application. Donner des
des nombres suivants en donnant un majorant
√
√ valeurs approchées
de l’erreur commise : 1, 002 et 4, 004.
√
5. Donner un intervalle I tel que, si h appartient à I, les nombres 1 + h et 1 + 21 h ont les
mêmes 8 premières décimales.
Exercice no 6 [Etude locale et valeurs approchées]
f : − 12 , 12 → R (b) En déduire des valeurs approchées de
Soit la fonction numérique
1
.
x 7→ x+1
1
1
1. Donner le développement limité d’ordre 1
et de
.
0.99992
2.00006
de f en 0.
On donnera pour chacune d’elles une
2. (a) Montrer que, pour tout réel x appartemajoration de l’erreur.
nant à − 21 , 12 ,
1
2
x + 1 − (1 − x) ≤ 2x .
Exercice no 7 [ROC : Nombres dérivés de fonctions usuelles]
Soient a un nombre réel et n un entier naturel non nul.
Montrer les assertions suivantes du cours (Pour les deux dernières, on pourra utiliser l’identité
remarquable de l’exercice qui suit).
∗ Toute fonction affine A : x 7→ α.x + β est dérivable en a et A0 (a) = α.
∗ La fonction puissance p : x 7→ xn est dérivable en a et p0 (a) = n an−1 .
∗ Si a 6= 0, la fonction puissance inverse P : x 7→ 1/xn est dérivable en a et P 0 (a) =
0
√
√
1
∗ Si a > 0, la fonction racine carrée
est dérivable en a et
(a) = 2 √
.
a
−n.
.
an+1
Exercice no 8 [ROC : Identité remarquable]
On fixe un entier naturel n ≥ 1 ainsi que deux réels a et b.
1. Montrer que, pour tout réel q, 1 − q n = (1 − q)(1 + q + ... + q n−1 ).
2. En déduire, en posant q = ab , que an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + ... + abn−2 + bn−1 ).
96
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Etudes locales de fonctions
Thème: Exercices supplémentaires
[Thème) Exercices supplémentaires
A. Calculs de limite
Exercice no 1 [Calculs de limites]
Etudier les limites éventuelles suivantes :
lim +
x→2/5
3x + 1
;
5x − 2
lim −
x→2/5
3x + 1
;
5x − 2
3x + 1
;
x→+∞ 5x − 2
lim
3x + 1
;
x→−∞ 5x − 2
lim
√
2x2 − 4x + 1
2x2 − 4x + 1
;
lim
;
lim [ x2 + 4x + 3 + x + 2] ;
x→+∞
x→−∞
x→−∞
x−2
x−2
√
√
x5 + x4 + x3 − 3
.
lim [ x2 + 2x − x + 3] ;
lim [ x2 + 2x − x + 3] ; lim
x→+∞
x→−∞
x→1 x12 + x10 − 2
lim
Exercice no 2 [Limites et asymptotes]
Pour chacune des fonctions proposées,
• Déterminer les limites aux bornes de l’ensemble de définition
• Déterminer les asymptotes éventuelles à la courbe représentative
• Etudier les variations sur l’ensemble de définition puis les extrema
• Déterminer les coordonnées des points de la courbe où la tangente est parallèle à l’une des
asymptotes.
p
√
1 − 2x
3x2 + 4x − 1
f : x 7→
; g : x 7→
; h : x 7→ 2x2 + x − 4 ; k : x 7→ x2 + 1 + 2/x.
4x + 1
x+1
Exercice no 3 [Avec la fonction partie entière]
On note E la fonction partie entière qui, à tout réel x, associe l’unique entier E(t) vérifiant
E(t) ≤ t < E(t) + 1.
h
Soit d’autre part f la fonction définie sur ]0; 2π] par f (x) = sin xE
π i
x
.
1. Montrer que, pour tout réel t, t − 1 < E(t) ≤ t.
2. Calculer la limite quand x tend vers 0 par valeurs supérieures de la fonction définie par
π x 7→ x E
(x ∈]0; 2π]).
x
En déduire la limite éventuelle de f en 0.
Exercice no 4 [Comportement à l’infini d’une fonction]
−9t2 + 4 + sin 2t +
Soit la fonction g définie sur ]2/3; +∞[ par g : t 7→
2 − 3t
π
3
.
On note C sa courbe dans un repère cartésien du plan.
97
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Etudes locales de fonctions
Thème: Exercices supplémentaires
1. Calculer la limite de g(t) lorsque t tend vers +∞.
2. En déduire que C admet un asymptote ∆ dont on donnera une équation.
3. Etudier les positions relatives de C et ∆.
Exercice no 5 [Etude d’une fonction algébrique]
r
x3
Soient la fonction f : x 7→
et C sa courbe dans un repère cartésien.
x−2
1. (a) Déterminer l’ensemble de définition Df de f .
(b) Déterminer les limites de f aux bornes de Df .
En déduire que C admet une asymptote dont on donnera une équation.
2. (a) Etudier la dérivabilité de f en 0.
Déterminer une équation d’une tangente éventuelle à C au point d’abscisse 0.
(b) Soit x ∈] − ∞; 0]∪]2; +∞[. Montrer que f 0 (x) existe puis le calculer.
3. (a) Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation. On donnera une
équation de chacune des tangentes horizontales.
(b) Etudier les extrema de f .
4. (a) Etudier la limite en −∞ de la fonction x 7→ f (x) + x.
(b) En déduire que C admet une asymptote ∆ (dont on déterminera une équation) au
voisinage de −∞.
(c) Etudier la position de C par rapport à ∆.
5. (a) Etudier la limite en +∞ de la fonction x 7→ f (x) − x.
(b) En déduire que C admet une asymptote ∆0 (dont on déterminera une équation) au
voisinage de +∞.
(c) Etudier la position de C par rapport à ∆0 .
6. Construire C , ses asymptotes ainsi que ses tangentes remarquables.
Un corrigé. Soient f : x 7→
q
x3
x−2
et C sa courbe dans un repère cartésien.
1. (a) Ensemble de définition. Soit x un réel ; f (x) existe si et seulement si
x − 2 6= 0 et
x3
≥ 0,
x−2
ce qui équivaut à (x ≤ 0 ou x > 2). Donc : Df =] − ∞; 0]∪]2; +∞[.
1
1
(b) Limite en 2 : Comme lim+
= lim+ = +∞ et
lim x3 = 8,; alors, par
x→2
x→2 x − 2
h→0 h
√
x3
produit, lim+
= +∞. Or lim
X = +∞ donc, par composition, lim+ f (x) =
X→+∞
x→2
r x→2 x − 2
x3
lim
= +∞.
x→2+
x−2
La droite δ d’équation x = 2 est donc asymptote à C (de même direction que (Oy)).
98
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Etudes locales de fonctions
Thème: Exercices supplémentaires
s
∗ Limites aux infinis : pour tout x ∈ Df , f (x) = |x|
1
. Par le même type
1 − 2/x
de raisonnement que précédemment, on montre que
s
s
1
1
= 1 et
lim
= 1,
lim
x→+∞
x→−∞
1 − 2/x
1 − 2/x
lim f (x) = +∞ et
x→−∞
donc
lim f (x) = +∞.
x→+∞
2. (a) Dérivabilité de f en 0. Soit x < 0 ; on a :
s
s
s
1
f (x) − f (0)
f (x)
|x|
1
1
f (x) = |x|
⇒
=
=
=−
.
1 − 2/x
x−0
x
x 1 − 2/x
1 − 2/x
On en déduit alors, par opérations sur les limites (à détailler), que
" s
#
1
lim −
= 0.
x→0−
1 − 2/x
La fonction f est donc dérivable en 0 (de nombre dérivé 0) et sa courbe C admet l’axe
des abscisses comme tangente en O(0, f (0)).
x3
est dérivable
(b) Dérivabilité sur ] − ∞; 0]∪]2; +∞[. La fonction rationnelle x 7→
x−2
et strictement positive sur ] − ∞; 0[∪]2; +∞[. Donc f est dérivable en tout réel x
appartenant à cet ensemble et
0
f (x) =
3x2 (x−2)−x3
(x−2)2
2f (x)
x3 − 3x2
x2 (x − 3)
=
=
(x − 2)2 f (x)
(x − 2)2
r
x−2
.
x3
Cette expression est valable pour tout réel non nul appartenant à Df et, d’après la
question précédente, f 0 (0) = 0.
3. (a) Variations. Soit x ∈ Df . D’après la question précédente, on a :
f 0 (x) = 0
⇔ x = 0 ou x = 3.
x2
En dehors de ces réels, f (x) est du même signe que (x − 3) car
(x − 2)2
0
r
x−2
> 0.
x3
D’où les variations de f :
• sur l’intervalle ] − ∞; 0[, f 0 (x) < 0 donc f est strictement décroissante sur ] − ∞; 0]
• f 0 (0) = 0 et f (0) = 0 donc C admet l’axe des abscisses comme tangente en O
• sur l’intervalle ]2; 3[, f 0 (x) < 0 donc f est strictement décroissante sur ]2; 3]
√
√
• f 0 (3) = 0 et f (3) =√3 3 donc C admet la droite T d’équation y = 3 3 comme
tangente en A(3; 3 3)
• sur l’intervalle ]3; +∞[, f 0 (x) > 0 donc f est strictement croissante sur [3; +∞[.
99
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Etudes locales de fonctions
Thème: Exercices supplémentaires
(b) Extrema. Comme lim f (x) = +∞ alors f n’admet pas de maximum global. De plus,
x→+∞
comme, pour tout x ∈ Df , f (x) ≥ 0 et que (f (x) = 0 ⇔ x = 0) alors f admet un
minimum global en 0 qui vaut 0. Enfin, le seul réel appartenant à Df pour lequel la
dérivée s’annulle et change de √
signe est 3. D’après l’étude des variations, f admet un
minimum local en 3 qui vaut 3 3.
4. (a) Limite en −∞ de f (x) + x. Si x < 0 alors
3
x
x2 − x−2
−2x2
−2
=
.
q
q
q
=
f (x) + x =
1
1
x3
(x
−
2)x
1
+
(1
−
2/x)
1
+
x − x−2
1−2/x
1−2/x
lim (f (x) + x) = −1.
Par opérations sur les limites, on obtient :
(b) On a ainsi
x→−∞
lim (f (x) − (−x − 1)) = 0, ce qui prouve que C admet la droite ∆
x→−∞
d’équation y = −x − 1 pour asymptote.
(c) Position de C par rapport à ∆. On étudie le signe de la différence
r
x3
+ x + 1.
d1 (x) = f (x) − (−x − 1) =
x−2
r
x3
• Si x ∈]2; +∞[, alors
> 0 et x > 0 donc d1 (x) > 0.
x−2
• Sur ] − ∞; 0], on résout l’inéquation d1 (x) < 0 qui équivaut à
r
x3
x3
(0 ≤)
< −(x + 1)
< (x + 1)2 x3 > (x − 2)(x + 1)2 ,
x−2
x−2
car x − 2 < 0 (c’est pour cette étape qu’on a dû distinguer 2 cas). D’où
x3 > x3 − 3x − 2 soit x > −2/3 (avec toujours x ∈] − ∞; 0]).
Finalement, sur ] − 2/3; 0], C est en dessous de ∆ et sur ] − ∞; −2/3[∪]2; +∞[, C est
au dessus de ∆.
5. (a) Limite en +∞ de f (x) − x. Si x > 0 alors
x3
x−2
f (x) − x = q
− x2
x3
x−2
+x
=
(x − 2)x
2x2
q
Par opérations sur les limites, on obtient
(b) On a donc
1
1−2/x
+ 1)
=
2
(1 − 2/x) 1 +
q
1
1−2/x
.
lim (f (x) − x) = 1.
x→+∞
lim (f (x) − (x + 1)) = 0, ce qui prouve que C admet la droite ∆0
x→+∞
d’équation y = x + 1 comme asymptote.
(c) Position de C par rapport à ∆0 . On étudie le signe de la différence
r
x3
d2 (x) = f (x) − (x + 1) =
−x−1
x−2
100
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2008/2009
Etudes locales de fonctions
Thème: Exercices supplémentaires
en résolvant cette fois-ci sur Df l’inéquation d2 (x) < 0, qui équivaut à
r
x3
x3
(0 ≤)
< x + 1 soit
< (x + 1)2 .
x−2
x−2
On distingue maintenant ici les deux cas : l’inéquation précédente équivaut à
(x > 2 et x3 < (x − 2)(x + 1)2 )
ou
(x ≤ 0 et x3 > (x − 2)(x + 1)2 )
ou encore (comme en 4.C) : (x > 2 et x < −2/3) ou (x ≤ 0 et x > −2/3) (cette
dernière condition étant irréalisable). Finalement, sur ] − 2/3; 0], C est en dessous de
∆0 et sur ] − ∞; −2/3[∪]2; +∞[, C est au dessus de ∆0 .
6. Courbes :
Exercice no 6 [Du calcul de limites au nombre dérivé]
On considère la fonction numérique f définie sur R par : f (x) =
√
x2 + 1 − x.
On note C la courbe de f dans un repère orthogonal du plan.
1. Justifier que f est bien définie sur R. Etudier le signe de f (x) en fonction de x ∈ R.
2. Déterminer la limite de f en +∞, puis en −∞.
3. (a) Etudier la limite de (f (x) + 2x) en −∞. Interpréter graphiquement ce résultat.
(b) Etudier la position relative de C et de la droite D d’équation y = −2x.
4. (a) Soit h un réel. Montrer que f (h) − f (0) =
h2
√
− h.
1 + h2 + 1
f (h) − f (0)
. Interpréter graphiquement ce résultat.
h→0
h
(b) En déduire la limite suivante : lim
101
Terminale S3
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Etudes locales de fonctions
Thème: Exercices supplémentaires
B. Nombre Dérivé
Exercice no 7 [Etudes locales d’une fonction avec radical]
√
Soit la fonction f : x 7→ x3 − 27x + 54 dont on note C sa courbe dans un repère orthogonal.
1. (a) Factoriser l’expression p(x) = x3 − 27x + 54 (on remarquera que p(3) = 0).
(b) En déduire le signe de p(x) en fonction de x ∈ R.
(c) Déterminer l’ensemble de définition de f .
2. Montrer que f est dérivable sur ] − 6; 3[∪]3; +∞[ et calculer l’expression de sa dérivée.
3. (a) Etudier la dérivabilité de f en −6.
(b) La courbe C admet-elle une tangente au point d’abscisse 6 ? Si oui laquelle ?
f (3 + h) − f (3)
f (3 + h) − f (3)
et lim+
.
4. (a) Calculer les limites lim−
h→0
h→0
h
h
(b) Que peut-on en déduire quant à la courbe C au point d’abscisse 3 ? Quel est finalement
l’ensemble de dérivabilité de f ?
(c) Déterminer des équations des deux demi-tangentes à C au point d’abscisse 3.
5. Etudier les variations de f . Dresser son tableau de variation.
6. Tracer f ainsi que ses tangentes ou demi-tangentes remarquables.
Un corrigé.
1. (a) La fonction polynôme p : x 7→ x3 − 27x + 54 admet 3 pour racine évidente. L’expression
p(x) se factorise alors selon x3 − 27x + 54 = (x − 3)(x2 − 6x + 9). à l’aide des
formules concernant les fonctions trinômes du second degré, on obtient finalement que
p(x) = (x − 3)2 (x + 6).
(b) Soit x un réel. L’expression p(x) s’annulle si, et seulement si (x = 3 ou x = −6). Dans
le cas contraire, elle est du signe de x + 6, c’est-à-dire :
• si x < −6, alors p(x) < 0
• si ] − 6; 3[∪]3; +∞[, alors p(x) > 0.
(c) Soit x un réel. Le nombre f (x) existe si et seulement si p(x) ≥ 0, ce qui, compte tenu
de la question précédente, équivaut à x ≥ −6.
L ’ensemble de définition de f est donc [−6; +∞[.
2. La fonction polynôme p est dérivable et strictement positive sur ] − 6; 3[∪]3; +∞[. La
√
fonction f = p est donc dérivable sur cet ensemble et
3x2 − 27
3
(x − 3)(x + 3)
f 0 (x) = √
= ×√
.
3
2
2 x − 27x + 54
x3 − 27x + 54
3. (a) Soit h > 0. On calcule d’abords
f (−6 + h) − f (−6)
=
h
p
h(h − 9)2
|h − 9|
= √
h
h
dont la limite, lorsque h tend vers 0, vaut +∞ (raisonner par quotient). On en déduit
que la fonction f n’est pas dérivable en −6.
102
Terminale S3
2008/2009
Etudes locales de fonctions
Thème: Exercices supplémentaires
f (−6 + h) − f (−6)
= +∞, on peut affirmer que la courbe C admet
h→0
h
une tangente verticale au point d’abscisse −6 : c’est évidemment la droite d’équation
x = −6.
4. (a) Soit h 6= 0. On calcule d’abords
p
√
√
h2 (h + 9)
f (3 + h) − f (3)
|h| h + 9
h+9
si h > 0
√
=
=
=
− h + 9 si h < 0.
h
h
h
(b) Comme lim
Or, par composition de limites de références, on a
√
√
√
lim h + 9 = lim H = 9 = 3.
h→0
H→9
f (3 + h) − f (3)
f (3 + h) − f (3)
= −3 et lim+
= 3.
h→0
h→0
h
h
(b) Au point d’abscisse 3 la courbe C admet deux demi-tangentes à gauche et à droite de
coefficients directeurs respectifs −3 et 3.
On en déduit que : lim−
En particulier, f n’es pas dérivable en 3. Son ensemble de dérivabilité est donc finalement ] − 6; 3[∪]3; +∞[.
(c) Equations des deux demi-tangentes à C au point d’abscisse 3 : Elles passent toutes les
deux par le point de coordonnées (3; f (3)) = (3; 0). La demi-tangente à gauche, soit
∆g , admet −3 pour coefficient directeur et l’autre, soit ∆d , 3. Elle admettent donc pour
équations
∆g : y = −3(x − 3) et ∆d : y = 3(x − 3)
soit
∆g : y = −3x + 9 et ∆d : y = 3x − 9.
5. Variations de f . Pour tout x ∈] − 6; 3[∪]3; +∞[, f 0 (x) =
3
(x − 3)(x + 3)
×√
, qui est du
2
x3 − 27x + 54
signe de (x − 3)(x + 3). D’où :
sur l’intervalle ] − 6; −3[, on a f 0 > 0 donc f est strictement croissante sur [−6; −3]
sur l’intervalle ] − 3; 3[, on a f 0 < 0 donc f est strictement décroissante sur [−3; 3]
sur l’intervalle ]3; +∞[, on a f 0 > 0 donc f est strictement croissante sur [3; +∞[.
6. Courbe de f :
103
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2008/2009
Etudes locales de fonctions
Thème: Exercices supplémentaires
Exercice no 8 [Utilisation de la dérivation pour le calcul de limite]
cos(3x) − 1
1
1. Etudier les limites suivantes : lim
et
lim x sin
.
x→0
x→+∞
2x
x
√
1 + x − 1 + x2
2. Etudier la limite en 0 de la fonction x 7→
.
x2
r
p
n+1
(n ∈ N∗ ).
En déduire une valeur appochée des nombres :
1, 002 et
n
Un corrigé.
1. Calcul de lim
x→0
dérivé 3, on a :
cos(3x) − 1
. La fonction (x 7→ cos(3x)) étant dérivable en 0 de nombre
2x
cos(3x) − 1
1 cos(3x) − cos(3 × 0)
3
= lim ×
= .
x→0
x→0 2
2x
x
2
1
Calcul de lim x sin
. Comme la fonction sinus est dérivable en 0, il existe une
x→+∞
x
fonction ϕ définie sur R telle que : sin(t) = t + tϕ(t) avec lim ϕ(t) = 0.
lim
t→0
Donc, pour tout x > 0, on a
1
1 1
1
1
1
x sin
=x
+ ϕ
=1+ϕ
avec
lim ϕ
= lim+ ϕ(t) = 0.
x→+∞
t→0
x
x x
x
x
x
1
Donc, par addition des limites, lim x sin
= 1.
x→+∞
x
√
1+x−(1+ x2 )
2. Limite en 0 de la fonction x 7→
. On utilise la quantité conjuguée du numérateur :
x2
pour tout réel non nul x > −1,
2
√
1 + x − 1 + x2
(1 + x) − 1 + x2
−1
= √
.
= 2 √
x
2
x
x
1+x+ 1+ 2
4 1 + x + 1 + x2
Or, par compositions et opérations sur des limites usuelles, on obtient que
h√
x i
1+x+ 1+
= 2, donc
lim
x→0
2
√
1 + x − 1 + x2
−1
1
√
lim
=
lim
=
−
.
x→0
x→0 4 1 + x + 1 + x
x2
8
2
Pour les questions suivantes, on en déduit qu’il existe une fonction ϕ définie au voisinage
de 0 telle que
√
1 + x − 1 + x2
1
= − + ϕ(x) et lim ϕ(x) = 0,
2
x→0
x
8
2
√
x x
ce qui implique que : 1 + x = 1 + −
+ x2 ϕ(x).
2
8
104
Terminale S3
2008/2009
Etudes locales de fonctions
∗ Valeur appochée de
Thème: Exercices supplémentaires
√
1, 002 =
1+
∗ Valeur appochée de
q
√
1 + 0, 002 :
0, 002 0, 0022
−
= 1, 000 999 5.
2
8
q
(n ∈ N∗ ) :
n+1
n
=
1+
1/n (1/n)2
1
1
−
=1+
− 2.
2
8
2n 8n
1+
1
n
Exercice no 9 [Utilisation de la dérivation pour le calcul de limite (bis)]
Etudier les limites suivantes :
√
√
√
1+x−1
x− 2
sin(3x)
lim
; lim
; lim
;
x→0
x→2
x→0
x
x−2
x
√
√
√
x2 − 1 + 3x
x+5−x
x+6−3
lim
;
lim √
; lim
;
x→+∞
x→+∞
x→3
x
x−3
x2 − x
√
x+4−2
cos x − 1
lim √
; lim 3
.
x→0
x→0 x + x
1+x−1
105
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2008/2009
Chapitre 3
Fonctions : Comportement global
106
Fonctions : Etudes globales
Thème: Aspect global de la dérivation
[Thème) Aspect global de la dérivation
1. Définitions et notations
On considère dans cette partie une fonction f définie sur un intervalle I.
B Définition 1: Fonction dérivée
? On considère la fontion f 0 qui, à tout réel x ∈ I, associe, s’il existe, le nombre dérivé f 0 (x)
de f en x. Cette fonction est appelée fonction dérivée de f .
L’ensemble de définition de f 0 est appelé ensemble de dérivabilité de f : c’est donc l’ensemble
des réels x ∈ I tels que f est dérivable en x.
√
On a vu au chapitre 2 que la fonction r =
est
1
définie sur [0; +∞[ mais n’est dérivable que sur ]0; +∞[ avec, pour x > 0, r0 (x) = √ .
2 x
Exemple [Fonction racine carrée]
Notations.
df
∆f
=
(a).
δx→0 ∆x
dx
• Notation différentielle : f 0 (a) = lim
•
• Notation cinématique : Lorsque f dépend du temps t, on note parfois f 0 =f .
? Dérivées successives : On peut parfois itérer le procédé de dérivation :
d2 f
.
dx2
3f
d
f (3) = dx3 .
• Dérivée seconde : si f 0 est dérivable en a ∈ I, alors f 00 = f (2) =
• Dérivée tierce : si de plus f 00 est dérivable en a alors f 000 =
• Dérivée n-ième : lorsque c’est possible, on définit les dérivées successives de f par :
f (0) = f et f (n) =
dn f
d (n−1) =
f
, n ≥ 1.
dxn
dx
Exercice no 1 [Cas des fonctions polynômes]
1. Montrer que la dérivée seconde d’une fonction affine est nulle.
2. Montrer que la dérivée tierce d’une fonction trinôme de degré 2 est nulle.
3. Enoncer un résultat général pour une fonction polynôme de degré n ≥ 1.
4. Soit k un entier naturel. Déterminer1 cos(k) et sin(k) .
? Règle. Toute fonction polynôme, et plus généralement toute fonction rationnelle, est
dérivable sur son ensemble de définition.
1
C’est-à-dire, pour une fonction, déterminer l’ensemble de définition et une expression.
107
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2008/2009
Fonctions : Etudes globales
Thème: Aspect global de la dérivation
2. Etude des variations
B Théorème 2: Application de la dérivation à l’étude des variations
? On considère une fonction dérivable f sur un non vide I.
∗ f est constante sur I si, et seulement si f 0 est nulle sur I.
∗ f est (strictement) croissante sur I si, et seulement si f 0 est (strictement) positive sur I
(sauf éventuellement en un nombre fini de réels).
∗ f est (strictement) décroissante sur I si, et seulement si f 0 est (strictement) négative sur
I (sauf éventuellement en un nombre fini de réels).
Démonstration de 2.
On n’effectue que les vérifications les plus simples.
∗ Fonction constante. Si f est constante sur I alors, pour tous x, x0 ∈ I, distincts,
f (x) − f (x0 )
= 0,
x − x0
donc f 0 (x0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
= 0.
x − x0
La fonction f 0 est donc identiquement nulle sur I.
∗ Fonction strictement croissante. Suppososns que f est strictement croissante. On
montre seulement que f 0 existe et est positive sur I.
Soient x0 et x deux réels distincts appartenant à I. Comme f est strictement croissante sur
I, on a l’inégalité stricte suivante :
f (x) − f (x0 )
> 0, donc
x − x0
lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
≥ 0.
x − x0
On remarquera qu’avec le passage à la limite, on ne peut obtenir qu’une inégalité large. La
propriété énoncée dans le théorème, plus forte, peut se démontrer en exploitant plus finement
la structure de l’intervalle I.
2
3. Etude des extrema
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit f admet un extremum local en
x0 ∈ I si, et seulement si f change de
sens de variation en x0 .
C’est-à-dire : il existe un réel α > 0
tel que f est monotone sur [x0 −α; x0 ]
et sur [x0 ; x0 + α], de monotonies
contraires.
108
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2008/2009
Fonctions : Etudes globales
Thème: Aspect global de la dérivation
La valeur de l’extrema est alors l’image f (x0 ).
Le plus grand (respectivement le plus petit) des extrema locaux de f , s’il existe, est appelé
maximum (respectivement minimum) global de f sur I
Le théorème suivant est une conséquence du théorème 2 et de la définition d’un extremum
local.
B Théorème 3: Application de la dérivation à l’étude des extrema
? Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et x0 ∈ I. Alors :
∗ Si f admet un extremum local en x0 qui n’est pas une borne de I alors f 0 (x0 ) = 0 ;
∗ Si f 0 s’annule et change de signe en x0 alors f admet un extremum local en x0 .
4. Exercices
Exercice no 2 [Etude de fonctions]
1. Etudier les fonctions suivantes (ensemble de définition, signe, intersection de la courbe
avec les axes du repère, ensemble de dérivabilité, fonction dérivée, variations et limites aux
bornes)
u : x 7→ x3 − 3x2 + 3x + 5 ; v : x 7→
p
2x − 1
|x2 − 3x + 2| ; H : x 7→
.
−3x + 1
2. Pour chacune de ses fonctions, déterminer une équation cartésienne de la tangente T à au
point d’abscisse 1.
3. Déterminer les réels x0 appartenant à l’ensemble de dérivabilité tels que la tangente T 0 en
x0 soit parrallèle à T .
0
Exercice no 3 [Optimisation]
Soit a un nombre réel donné. Décomposer a en une somme de deux réels dont le produit est
maximal. 0
4.1. Calculs de dérivées
Exercice no 4 [Fonctions dérivées]
Etudier la dérivabilité puis calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :
√
2 + 13
2
x2
1
f : x 7→ x3 −
+x−
; g : x 7→ √ x
; h : x 7→ x2 2x − 1.
3
2
4
x−1
109
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Fonctions : Etudes globales
Thème: Aspect global de la dérivation
Un corrigé.
1. La fonction polynôme f est dérivable sur R et, pour tout réel x, f 0 (x) = 2x2 − x + 1.
2 + x13
2. La fonction g : x 7→ √
est définie pour tous les réels x tels que
x−1
√
x3 6= 0, x ≥ 0 et
x − 1 6= 0.
Donc Dg = R∗+ − {1}.
D’autre part, √
la fonction g est dérivable sur le même ensemble puisque les fonctions x 7→
1
et
x
→
7
x − 1 y sont dérivables et que cette dernière ne s’y annulle pas. En outre,
x3
pour tout x ∈ Dg ,
√
√
√
√
− x34 ( x − 1) − x13 × 2√1 x
−3( x − 1) − 21 x
3 − 25 x
0
√
√
=
= 4 √
.
g (x) =
( x − 1)2
x4 ( x − 1)2
x ( x − 1)2
√
3. La fonction (h : x 7→ x2 2x − 1) est définie pour tous les réels x tels que 2x − 1 ≥ 0.
Donc Dh = [1/2, +∞[. Elle dérivable sur ]1/2, +∞[ puisque la fonction (x 7→ 2x − 1) y est
√
x2
.
strictement positive et, pour tout x ∈]1/2, +∞[, h0 (x) = 2x 2x − 1 + √
2x − 1
Exercice no 5 [Etudes de fonctions rationnelles]
On considère les fonctions numériques de la variable réelle définies par
1
1
2
x 7→ f (x) =
x +x+
et x 7→ g(x) = 2x3 + x2 − 1.
3
x
1. Etudier la dérivabilité de f puis montrer que, pour tout x 6= 0, les nombres f 0 (x) et g(x)
ont le même signe.
2. Etudier les variations de la fonction g sur R. En déduire que l’équation g(x) = 0 admet
dans R une solution unique α, avec 0 < α < 1 (on ne cherchera pas à calculer α).
3. Dresser le tableau de variations de la fonction f .
4. On désigne par (C) la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé
(unité 3 cm), par I le point de (C) d’abscisse −1 et par J le point de (C) d’abscisse +1.
(a) Vérifier que la droite (IJ) est la tangente en J à (C).
(b) Déterminer une équation de la tangente (T ) en I à (C).
5. Etudier la position de (C) par rapport à (T ).
6. Utiliser les résultats précédents pour construire la courbe (C) (on prendra 32 comme valeur
approchée de α).
4.2. Etudes de variations
Exercice no 6 [Etude d’une fonction polynôme de degré 3]
On considère la fonction g : x 7→ x3 − x2 + 4, définie sur R.
1. Calculer la fonction dérivée de g 0 puis étudier le signe de g 0 (x) en fonction de x ∈ R.
110
Terminale S3
2008/2009
Fonctions : Etudes globales
Thème: Aspect global de la dérivation
2. En déduire les variations de g.
Un corrigé. La démarche suivante est très classique.
1. Comme tout fonction polynôme, la fonction g est dérivable sur R et, pour tout réel x,
g 0 (x) = 3x2 − 2x.
Pour étudier le signe de g 0 (x), on peut utiliser les résultats concernant les fonctions du
second degré ou dresser le tableau de signe de g 0 (x) en utilisant la forme factorisée suivante :
g 0 (x) = 3x2 − 2x = x (3x − 2).
Dans tous les cas, on obtient :
• Si x ∈]2/3; +∞[, alors g 0 (x) > 0.
• Si x ∈] − ∞; 0[, alors g 0 (x) > 0.
Notons que, pour l’étude des variations qui
va suivre, il est plus précis de considérer
des intervalles ouverts.
• Si x ∈]0; 2/3[, alors g 0 (x) < 0.
2. En appliquant successivement le théorème concernant les variations aux intervalles ]−∞; 0[,
]2/3; +∞[ et ]0; 2/3[ on obtient :
• Sur ] − ∞; 0[, on a g 0 > 0 donc g est strictement croissante sur ] − ∞; 0].
• Sur ]2/3; +∞[, on a g 0 > 0 donc g est strictement croissante sur [2/3; +∞[.
• Sur ]0; 2/3[, on a g 0 < 0 donc g est strictement croissante sur [0; 2/3].
111
Terminale S3
2008/2009
TD no 7. Fonctions trigonométriques
Fonctions : comportement global
[TD no 7) Fonctions trigonométriques
B
∗
Polycopié no 15
***
Exercice no 1 [Méthode générale]
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 2 sin(3x + π/6).
1. Prouver que f est
2π
-périodique.
3
2. Justifier que f est dérivable sur R et calculer sa fonction dérivée.
3. Variations de f
h π πi
?
− ;
3 3
5π
7π
(b) Etudier le signe de l’expression cos(Y ) pour −
≤Y ≤
.
6
5
π
π
(c) En déduire le tableau de signe de f 0 (x) pour − ≤ x ≤ .
3
h π π3i
(d) Dresser le tableau de variation de f sur − ; .
3 3
4. Tracer la courbe représentative de f sur [−π, π] dans un repère orthonormé (unité graphique : 2cm).
(a) Pourquoi peut-on se contenter d’étudier les variations sur
Exercice no 2 [Etude locale]
Dans cet exercice, on étudie la régularité en 0 de la fonction f définie sur [0; +∞[ par
f (0) = 1 et f (x) =
sin(x)
,
x
si x > 0.
1. Résultats préliminaires
(a) Soit la fonction u définie sur [0; +∞[ par u(x) = cos(x) − 1 +
x2
.
2
• Etudier la limite de u(x) lorsque x → +∞.
• Déterminer le sens de variation de u puis dresser son tableau de variation.
x2
(b) En déduire que, pour tout réel x ∈ [0; +∞[, 1 −
≤ cos(x) ≤ 1.
2
3
(c) Suivre une démarche similaire pour montrer que, pour tout x ≥ 0, x − x6 ≤ sin(x) ≤ x.
2. Etude principale On considère maintenant la fonction f évoquée en introduction.
(a) Montrer que lim f (x) = f (0). On dit que f est continue en 0 ;
x→0
(b) Prouver que f est dérivable en x puis calculer f 0 (x) : d’abord pour x > 0 ;
puis pour x = 0. Etablir enfin que lim f 0 (x) = f 0 (0).
x→0
0
Exercice no 3 [Etude d’une fonction trigonométrique]
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = sin x (cos x + 1).
On note Γ sa courbe dans un repère orthonormal (O ; ~ı , ~ ).
112
Terminale S3
2008/2009
TD no 7. Fonctions trigonométriques
Fonctions : comportement global
1. Justifier que l’on peut se contenter d’étudier les variations de f sur l’intervalle [0, π].
2. Calculer la fonction dérivée f 0 de f et étudier son signe ; puis dresser le tableau de variation
de f sur l’intervalle [0, π].
3. Tracer la tangente D à C au point d’abscisse 0 après en avoir déterminé une équation.
Tracer ensuite C .
4. Etude de la position de Γ par rapport à D. On note g la meilleure approximation
affine de f en 0 et d la fonction définie par d(x) = f (x) − g(x).
(a) Etudier les variations de d sur [−π, π].
(b) En déduire le signe de d(x) en fonction de x ∈ [−π, π] puis la position de Γ par rapport
à D sur [−π, π]. Etudier ensuite la position de Γ par rapport à D sur R − [−π, π].
0
Exercice no 4 [Fonction non continuement dérivable et suites numériques]
f (x) = x2 cos x1 , si x 6= 0
On considère la fonction f définie sur R par
f (0) = 0.
1. Montrer que lim f (x) = f (0).
x→0
2. Montrer que f est dérivable sur R∗ et déterminer f 0 (x) pour x 6= 0.
3. Montrer que f est dérivable en 0 et calculer f 0 (0).
1
4. (a) Etudier la limite lim x cos
.
x→0
x
ϕ(x) = sin x1 , si x 6= 0
(b) On considère la fonction ϕ définie sur R par
ϕ(0)
(=0
2
an = (4n+1)π
ainsi que les suites (an )n≥0 et (bn )n≥0 définies par
2
.
bn = (4n−1)π
Etudier les limites des suites de termes généraux An = ϕ(an ) et Bn = ϕ(bn ).
(c) En déduire ϕ n’admet pas de limite en 0. Même question pour f 0 .
0
Exercice no 5 [Etude d’une fonction trigonométrique (bis)]
1. Soit la fonction g définie sur R par g(x) = cos 2x+2 sin 4x. Prouver que g est π-périodique.
2. Détrminer le sens de variation de g sur [−π, π] puis dresser son tableau de variation en
étudiant les extrema.
3. On note C la courbe représentative de g dans un repère orthonormal (O ; ~ı , ~ ). Montrer
que C est symétrique par rapport à la droite d’équation x = π/2.
4. (a) Déterminer une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0.
(b) On appelle A la meilleure approximation affine de g en 0. Dresser le tableau de signe
de la fonction g − A sur [0, π/6]. En déduire la position relative de T par rapport à C .
5. Tracer la tangente T puis la courbe C sur [−2π, 2π] dans (O ; ~ı , ~ ).
Exercice no 6 [Fonction non continuement dérivable (bis)]
f (x) = x2 sin x1 , si x 6= 0
On considère la fonction f définie sur R par
f (0) = 0.
113
Terminale S3
2008/2009
TD no 7. Fonctions trigonométriques
Fonctions : comportement global
1. Montrer que lim f (x) = f (0). On dit que f est continue en 0.
x→0
2. Montrer que f est dérivable sur R∗ et calculer f 0 (x) pour x 6= 0.
3. Montrer que f est dérivable en 0 et calculer f 0 (0).
1
4. (a) Etudier les limites suivantes : lim x sin
;
x→0
x
(b) En déduire que lim f 0 (x) 6= f 0 (0).
1
lim cos
.
x→0
x
x→0
Exercice no 7 [Fonction continuement dérivable]
x2 x4
x2
≤ cos(x) ≤ 1 −
+ .
2
2
24
2. Montrer que l’encadrement précédent est valable sur R.
f (x) = 1−cos(x)
, si x 6= 0
x2
3. On considère maintenant la fonction f définie par
1
f (0) = 2 .
1. Montrer que, pour tout réel x ≥ 0, 1 −
(a) Montrer que f est dérivable sur R et calculer sa fonction dérivée.
(b) Montrer que lim f 0 (x) = f 0 (0). On dit que f 0 est continue en 0.
x→0
114
Terminale S3
2008/2009
Fonctions : comportement global
Thème: Continuité
[Thème) Continuité
1. Définitions et exemples
Dans ce paragraphe, f désigne une fonction définie sur un intervalle I.
B Définition 1: Continuité
?
1. Soit a ∈ I. On dit que f est continue en a si, et seulement si lim f = f (a).
x→a
2. On dit que f est continue sur I si elle est continue en tout réel appartenant à I.
? Illustration.
Exercice no 1 [Fonctions définies par morceaux]
1. On considère la fonction partie entière E, définie comme suit : pour tout réel x, E(x) est
l’unique entier tel que E(x) ≤ x < E(x) + 1.
√
(a) Calculer les images par E de π, 2 et de leurs opposés.
(b) Montrer que, sur tout intervalle de la forme [n, n + 1[, où n ∈ Z, E est constante.
(c) Tracer la courbe de E dans un repère orthogonal du plan.
(d) Etudier la continuité de E.
f (x) = x − 1
si x ≤ 1
f (x) = 2 − mx2 si x > 1.
Pour quelles valeurs de m la fonction f est-elle continue sur R ?
2. Soit la fonction f définie sur R par :
3. Soit la fonction g, 2-périodique, définie sur R et telle que f (x) = x2 (2 − x) si x ∈ [0; 2[.
(a) Courstruire la courbe de g dans un repère orthonormé.
(b) Soit n un entier relatif. Montrer que si x ∈ [2n, 2n+2] alors f (x) = (x−2n)2 (2n+2−x).
(c) Etudier la continuité et la dérivablité de f sur R.
115
Terminale S3
2008/2009
Fonctions : comportement global
Thème: Continuité
2. Propriétés
B Proposition 2: Continuité et dérivabilité
? Si f est dérivable en a alors f est continue en a.
En conséquence : Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I.
Démonstration de 2. Si f est dérivable en a, il existe une fonction ϕ, définie sur I,
telle que, pour tout x ∈ E, f (x) = [f 0 (a)(x − a) + f (a)] + (x − a)ϕ(x), et lim ϕ(x) = 0.
x→a
Par opérations sur les limites, on obtient bien lim f (x) = f (a).
x→a
2
Exercice no 2 [QuestionROC]
On considère une fonction f définie sur un intervalle I et un nombre réel a appartenant à I.
1. Rappeler la définition de la dérivabilité de f en a.
2. Dans chacun des cas suivants, indiquer si les deux propriétés citées peuvent être vérifiées
simultanément ou non. Si la réponse est « oui », donner un exemple (un graphique sera
accepté) ; dans le cas contraire, justifier la réponse.
• f est continue en a et f est dérivable en a ;
• f est continue en a et f n’est pas dérivable en a ;
• f n’est pas continue en a et f est dérivable en a ;
• f n’est pas continue en a et f n’est pas dérivable en a ;
B Corollaire 3: Fonctions de références continues
? • Toute fonction rationnelle est dérivable (donc continue) sur son ensemble de définition.
B En particulier : Toute fonction polynôme est continue et dérivable sur R.
• La fonction racine carrée est dérivable sur ]0; +∞[ mais continue sur [0; +∞[.
• La fonction valeur absolue est continue sur R et dérivable sur R∗ .
• Les fonctions cos, sin sont dérivables (donc continues) sur R.
B Proposition 4: Continuité et suite numérique
? Soit (un ) une suite numérique telle que, à partir d’un certain rang, un ∈ I.
On suppose que :
• (un ) converge vers un réel a ∈ I
• f est continue en a.
Démonstration de 4.
On raisonne par composition de limites, puis par continuité :
lim un = a
n→+∞
Alors la suite (f (un ))
converge vers f (a).
⇒
lim f (un ) = lim f (x) = f (a).
n→+∞
x→a
116
Terminale S3
2008/2009
Fonctions : comportement global
Thème: Continuité
4
? Stabilité de la notion de continuité
∗ Soient f et g continues en un certain nombre réel a. Soit d’autre part λ un réel. Alors :
B La somme f + g, la différence f − g et les produits f.g et λ.f sont continues en a.
B Si g(a) est non nul, le quotient f /g est continue en a.
∗ Soient u une fonction définie et continue en un réel α ainsi que v une fonction définie et
continue en β = u(α). Alors la fonction v ◦ u est continue en α :
lim (v ◦ u)(x)
= lim v(X) = v(β)
= (v ◦ u)(α).
x→α
B conséquence : Si •
•
•
X→β
u est continue sur un intervalle I
v est continue sur un intervalle J
u(I) ⊂ J
Alors la fonction
v ◦ u est continue I.
0
Exercice no 3 [Etude de régularité]
Etudier la continuité et la dérivabilité de la fonction
f : [−1; 1] → R
√
.
1 − x2
x 7→
3. Le théorème des valeurs intermédiaires
3.1. Objet et énoncé du théorème
Exercice no 4 [Existence et encadrement des solutions d’une équation]
Déterminer le nombre de solution de l’équation x3 + x + 1 = 0, puis les localiser.
B Théorème 5: TVI
? Soient f une fonction continue sur un intervalle [a, b] (avec a < b) et k un réel.
Si k est compris entre f (a) et f (b) alors il existe un réel c ∈ [a, b] tel que f (c) = k.
∗ Cas k = 0. l’hypothèse « 0 est compris entre f (a) et f (b) »équivaut à : f (a) · f (b) ≤ 0.
∗ La conclusion du théorème peut aussi s’exprimer comme suit :
• L’équation f (x) = k admet au moins une solution c appartenant à [a, b]
• Le réel k admet au moins un antécédent par f appartenant à [a, b].
Exercice no 5 [Applications directes]
√
1
1. Montrer que l’équation x 1 − x = √ admet une solution appartenant à − 13 ; 1 .
3 3
117
Terminale S3
2008/2009
Fonctions : comportement global
2. Montrer que l’équation
1
3−x
Thème: Continuité
+ x4 = 0 admet au moins une solution réelle supérieure à 3.
B Corollaire 6: Cas particuliers et extension
?
1. Si f est seulement continue sur l’intervalle [a, b[, on peut remplacer l’hypothèse par :
« k est compris au sens strict entre f (a) et lim f (x) ».
x→b
2. Dans tous les cas, si de plus f est strictement monotone sur ]a, b[ alors l’antécédent de
k est unique.
Exercice no 6 [Localisation des solutions d’une équation]
√
1
Montrer que l’équation x 1 − x = √ admet exactement trois solutions réelles x1 , x2 et
3 3
x3 vérifiant : − 13 < x1 < 0 ; 0 < x2 < 23 ; 23 < x3 < 1.
Démonstration de 6.
∗ Assertion 1. On peut distinguer selon le sens de variation de f . Supposons par exemple
que f est strictement décroissante et : f (a) > k > lim f (x) (l’autre cas étant analogue).
x→b
Il existe donc α > 0 tels que, si x ∈ [b − α, b[ alors f (x) < k .
En particulier f (a) > k > f (b − α) et on peut appliquer le TVI à la fonction f sur l’intervalle
[a, b − α] : Il existe un réel c ∈ [a, b − α] tel que f (c) = k.
∗ Assertion 3. D’après le TVI, l’équation f (x) = k admet une solution c ∈ [a, b]. Il suffit
donc de montrer que c’est la seule, ce qui résulte alors de la stricte monotonie de f :
Supposons qu’il existe c0 ∈ [a, b], différent de c, tel que f (c0 ) = k. Comme c0 6= c, on a c0 > c
ou c0 < c.
Traı̂tons le premier cas : si c0 > c alors f (c0 ) < f (c), puisque f est strictement décroissante.
Ceci est absrde puisqu’on a supposé f (c0 ) = f (c) = k. Le cas c0 < c est analogue.
Finalement, l’antécédent c de k est unique si f est strictement décroissante sur [a, b]. Il en va
de même lorsque f est strictement croissante.
6
Exercice no 7 [Procédé de dichotomie]
Montrer que l’équation x3 + x + 1 = 0 admet une unique solution x0 dans R.
Montrer que x0 appartient à [−1; 1] et en déterminer un encadrement d’amplitude 10−1 .
Exercice no 8 [Application du TVI aux fonctions plynômes]
Soit p une fonction polynôme de degré impaire. Montrer que p admet au moins une racine
réelle. 0
118
Terminale S3
2008/2009
TD no 8. Continuité des fonctions
Fonctions : comportement local
[TD no 8) Continuité des fonctions
B
∗
Polycopié no 17
vendredi 28/11/8
1. Régularité des fonctions
Exercice no 1 [Etude de la régularité d’une fonction]
√
Soit la fonction numérique définie sur [0; +∞[ par θ : x 7→ x sin(x).
1. Etudier la dérivablité de θ : sur ]0; +∞[ puis en 0.
2. Montrer que la fonction dérivée dérivée θ0 est continue en 0. On pourra utiliser l’encadrement
0 < sin x < x, valable pour tout x > 0.
0
Exercice no 2 [Fonction partie entière : Application]
On note E la fonction partie entière définie comme suit : Pour tout réel x, E(x) est le plus
grand entier relatif inférieur ou égal à x.
1. (a) Calculer E(π), E(−π) et E(400π).
(b) Montrer que, pour tout réel x, E(x) ≤ x < E(x) + 1.
(c) En déduire que, pour tout réel x, x − 1 < E(x) ≤ x.
(d) Montrer que, pour tout réel x, E(x + 1) = E(x) + 1.
(e) Tracer la courbe de E dans un repère orthonormal (O ; ~ı , ~ ) du plan.
2. On considère maintenant la fonction S définie, pour tout réel x, par S(x) = x − E(x).
(a) Montrer que S est 1−périodique.
(b) Tracer la courbe de S dans (O ; ~ı , ~ ).
Exercice no 3 [Continuité, dérivabilité et partie entière]
On note E la fonction partie entière et on considère la fonction numérique
p
f : x 7→ E(x) − x − E(x).
1. Justifier que f est définie sur R.
2. (a) Soit a un nombre réel qui n’est pas un entier. Montrer que f est continue en a.
(b) Soit maintenant b ∈ Z. Etudier la continuité de f en b.
(c) Sur quel ensemble la fontion f est-elle continue ?
3. (a) Montrer que f est dérivable sur R − Z.
(b) Soit b un entier relatif. Etudier la dérivabilité de f en b.
(c) Conclure quant à l’ensemble de dérivabilité de f .
4. Soit C la courbe de f dans un repère orthonormé (O ; ~ı , ~ ) du plan (unité : 2 cm).
119
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2008/2009
TD no 8. Continuité des fonctions
Fonctions : comportement local
(a)
(b)
5. (a)
(b)
Montrer que, pour tout réel x, f (x + 1) = f (x) + 1.
En déduire que C est invariante par translation de vecteur ~u = ~i + ~j.
Déterminer une expression de f sans E(x) sur l’invervalle [0; 1[.
Tracer la portion de C correspondant à l’intervalle [0; 1[.
On tracera la demi-tangente en 0.
(c) Utiliser la droite d’équation y = x et les résultats précedents pour tracer la portion
de C correspondant à [−2; 2].
6. Etudier la limite de f en +∞.
0
Exercice no 4 [Continuité et partie entière]
Etudier la continuité des fonctions suivantes définies sur ]0; +∞[ :
α : x 7→ E(1/x) et β : x 7→ x, E(1/x).
Peut-on prolonger par continuité ces fonctions en 0 ?
2. Applications du TVI
Exercice no 5 [TVI et principe de Dichotomie]
Pour chacune des équations suivantes,
• Dénombrer et localiser les solutions sur [0; +∞[.
• Donner un encadrement d’amplitude 0, 01 de chacune des solutions.
√
1
x3 − 3x = 1 ; x2 = + 3 ;
x + 2 = 3x − 1 ; cos(x) = 1.
x
Exercice no 6 [Baccalauréat (Amiens, 1984)]
√
Soit f la fonction numérique définie par f (x) = x 1 − x.
1. (a)
(b)
2. (a)
(b)
Déterminer l’ensemble de définition de f ; étudier sa continuité et sa dérivablité.
Dresser le tableau de variation de f et représenter graphiquement la fonction f .
Etudier, suivant les valeurs du réel k, le nombre de solutions de l’équation f (x) = k.
√
Montrer que l’équation x 1 − x = 3√1 3 admet trois solutions x1 , x2 et x3 vérifiant
−1
2
2
< x1 < 0 ; 0 < x2 <
;
< x3 < 1.
3
3
3
3
1
3. Pour i ∈ {1; 2; 3; } on pose ui =
xi −
.
2
3
(a) Montrer qu’il existe un unique réel θi élément de [0, π] tel que ui = cos θi .
1
(b) Montrer que θ1 , θ2 et θ3 sont solutions de l’équation cos 3θ = , θ ∈ [0, π].
2
(c) Donner alors une valeur approchée à 10−5 près de x1 , x2 et x3 .
120
Terminale S3
2008/2009
DM no 4. Fonctions et régularité (un corrigé)
Fonctions : comportement local
[DM no 4) Fonctions et régularité (un corrigé)
B
∗
Polycopié no 22
lundi 18/1/9
Exercice no 1 [no 39 page 109]
On considère la fonction f 2−périodique définie sur R par : f (x) = x2 (2 − x), si x ∈ [0; 2[.
On note Cf sa courbe dans un repère orthogonal.
1) Variations de f sur [0; 2[. Si x ∈]0; 2[ alors f (x) = x2 (2 − x) = −x3 + 2 x2 . C’est une
expression polynômiale, donc f est dérivable sur ]0; 2[ et : f 0 (x) = −3 x2 + 4 x = x (−3 x + 4).
On obtient cette fois-ci une expression polynomiale de degré deux qui admet deux racines
réelles distinctes (0 et 4/3) et dont le coefficient de degré 2 vaut −3 < 0.
D’où le tableau (∗) :
x
f (x)
0
0
0
+
%
f
0
4/3
0
32
27
2
−
&
0
∗ Justifications des valeurs :
• f (0) = 02 × (0 − 2) = 0 et f
4
3
=
4 2
3
× 2−
4
3
=
32
27
• lim− f (x) = lim− x2 (2 − x) = 22 × (2 − 2) = 0 (expression polynomiale).
x→2
x→2
∗ Remarque. Pour l’étude de f sur [0; 2[, on a utilisé l’expression polynomiale x2 (2 − x).
On ne peut pas dire pour autant que f est une fonction polynôme puisque cette expression
n’est valable que sur [0; 2[. Par la suite, on ne pourra donc pas utiliser les propriétés globales
des polynômes (continuité sur R, dérivabilité ...).
2) Courbe Cf sur [2 n; 2 n + 2[. Soit n ∈ Z ; on a l’équivalence :
x ∈ [2 n; 2 n + 2[ si et seulement si x − 2 n ∈ [0; 2[.
Comme f est 2−périodique, elle est aussi 2n−périodique donc la portion de Cf sur [2 n; 2 n+2[
est l’image de la portion de Cf sur [0; 2[ par la translation de vecteur (2 n)~i.
121
Terminale S3
2008/2009
DM no 4. Fonctions et régularité (un corrigé)
Fonctions : comportement local
3) Expression de f sur [2 n; 2 n + 2[ (n ∈ Z)
Si x ∈ [2 n; 2 n + 2[ alors x − 2 n ∈ [0; 2[. De plus f est 2−périodique donc :
f (x) = f (x − 2 n) = (x − 2 n)2 (2 − (x − 2 n)) = (x − 2 n)2 (2 (n + 1) − x).
4) Régularité de f
La fonction f est dérivable (donc continue) sur ]0; 2[. Comme c’est une fonction 2−périodique,
on en déduit qu’elle est encore dérivable sur tout intervalle de la forme ]2 n; 2 n + 2[ (n ∈ Z).
Pour montrer que f est continue en 0, il suffit de montrer que lim− f (x) = lim+ f (x) = f (0).
x→0
Or : f (0) = 0 ;
x→0
lim+ f (x) = 02 (0 − 2) = 0 (expression polynomiale) et, par périodicité, :
x→0
lim− f (x) = lim− f (x) = 22 (2 − 2) = 0 (expression polynomiale).
x→0
x→2
La fonction f est donc continue en 0. Par periodicité, f est alors continue en tout réel de
forme 2 n, n ∈ Z ; et finalement, d’après l’introduction de la question, f est continue sur R.
Pour montrer qu’elle n’est pas dérivable en 0, il suffit de montrer que :
f (x) − f (0)
f (x) − f (0)
6= lim−
. Or :
lim−
x→0
x→0
x−0
x−0
f (x) − f (0)
• lim+
= lim+ x (2 − x) = 0 × (2 − 0) = 0
x→0
x→0
x−0
f (x) − f (0)
f (x) − f (2)
= lim−
= lim− x2 = 4.
x→0
x→2
x→2
x−0
x−2
Donc f n’est pas dérivable en 0. Par périodicité, elle n’est pas dérivable en tout réel de la
forme 2 n, n ∈ Z.
• lim−
6 B Conclusion. f est continue sur R et dérivable seulement sur les intervalles de la forme
]2 n; 2 n + 2[ (n ∈ Z).
Exercice no 2 [no 24 page 108]
Soient f et g deux fonctions définies sur R et dérivables en un réel x0 .
1) Montrons que : f (x) g(x) − f (x0 ) g(x0 ) = [f (x) − f (x0 )] g(x) − [g(x) − g(x0 )] f (x0 ).
On développe le membre de droite : [f (x) − f (x0 )] g(x) − [g(x) − g(x0 )] f (x0 )
= f (x) g(x) − f (x0 ) g(x) − g(x) f (x0 ) − g(x0 ) f (x0 ) = f (x) g(x) − f (x0 ) g(x0 ).
2) Montrons que (f g est dérivable en x0 . Si x 6= x0 alors, d’après 1) :
f (x) g(x) − f (x0 ) g(x0 )
f (x) − f (x0 )
g(x) − g(x0 )
=
g(x) −
f (x0 ). 0r :
x − x0
x − x0
x − x0
• lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
= f 0 (x0 ) car f est dérivable en x0
x − x0
122
Terminale S3
2008/2009
DM no 4. Fonctions et régularité (un corrigé)
Fonctions : comportement local
g(x) − g(x0 )
= g 0 (x0 ) car g est dérivable en x0
x→x0
x − x0
• lim g(x) = g(x0 ) car g est continue (car dérivable) en x0 .
• lim
x→x0
Par opérations sur ces limites, on en déduit que :
lim
x→x0
f (x) g(x) − f (x0 ) g(x0 )
= f 0 (x0 ) g(x0 ) + g 0 (x0 ) f (x0 ).
x − x0
La fonction produit f g est bien dérivable en x0 et (f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) g(x0 ) + g 0 (x0 ) f (x0 ).
123
Terminale S3
2008/2009
Fonctions : comportement local
Thème: Le théorème de la bijection
[Thème) Le théorème de la bijection
1. Bijections et fonctions réciproques
1.1. Carrés et racines carrées
Pour commencer, on rappelle une propriété bien connue : pour tout réel a,
√
B En particulier : Si a ≥ 0 alors a2 = a.
√
a2 = |a|.
Ces deux dernières relations peuvent se décrire en termes de fonction de la manière suivante :
R : [0; +∞[ → [0;
c : [0; +∞[ → [0; +∞[
√ +∞[
et
2
x 7→ x
X 7→
X
et on note Γc et Γr leurs courbes respectives dans un repère orthonormal (O ; ~ı , ~ ).
On considère les deux fonctions
Les fonction R et c vérifient les relations suivantes :
√
√
(c ◦ R)(X) = ( X)2 = X et (r ◦ c)(x) = x2 = |x| = x.
D’un point de vue géométrique, cela revient à dire que leurs courbes sont symétriques par
rapport à la droite d’équation y = x.
124
Terminale S3
2008/2009
Fonctions : comportement local
Thème: Le théorème de la bijection
1.2. Autres exemples de fonctions réciproques
Fonctions cube et racine cubique :
C: R → R
x 7→ 3
Fonctions cosinus et arccosinus :
cos : [0; π] → [−1; 1]
x 7→ cos(x)
Fonctions sinus et arcsinus :
sin : [−π/2; π/2] → [−1; 1]
x 7→ sin(x)
√
3
et
: R → R
√ .
x 7→ 3 x
arccos : [−1; 1] → [0; π]
.
x 7→ arccos(x)
et
arcsin : [−1; 1] → [−π/2; π/2]
.
x 7→ arcsin(x)
et
Fonctions Exponentielle et logarithme népérien :
exp : R → ]0; +∞[
x 7→ ex
ln : ]0; +∞[ → R
.
x 7→ ln(x)
et
Fonctions puissance de a et logarithme de base a, a > 0 :
a. : R → ]0; +∞[
x 7→ ax = exp(x ln(a))
et
loga : ]0; +∞[ → R
.
x 7→ ln(x)
ln(a)
2. Le théorème de la bijection
B Théorème 1: Bijection continue strictement monotone
? Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I. Soit d’autre part
J = f (I) l’intervalle image de f .
Il existe alors une et une seule fonction f : J → I satisfasant, pour tous x ∈ I et y ∈ J,
(g ◦ f )(x) = x et (f ◦ g)(y) = y.
En outre, la fonction g vérifie l’équivalence
y = f (x)
⇔
x = g(y)
ainsi que les propriétés suivantes :
B La fonction g est continue et strictement monotone sur J, de même sens de variation
que f .
B Si f est dérivable, alors g aussi et, pour tout réel y ∈ I,
1
g 0 (y) = 0
.
f (g(y))
La fonction g peut aussi être notée f −1 .
Démonstration de 1. Sous les hypothèses du corollaire, on sait, grâce au corollaire de
la valeur intermédiaire, que :
Tout y appartenant à J admet un unique antécédent x par f . Pour cet y ∈ J, on pose g(y) = x.
Ceci permet de définir une fonction g sur J.
125
Terminale S3
2008/2009
Fonctions : comportement local
Thème: Le théorème de la bijection
Montrons que ∀x ∈ I, g ◦ f (x) = x : Le réel g(f (x)) est défini comme l’unique antécédent
de y = f (x) par f , c’est-à-dire x. On a donc bien
g ◦ f (x) = x (x ∈ I).
Montrons que ∀y ∈ J, f ◦ g(y) = y : Tout y ∈ J admet un unique antécédent x ∈ I par
f : y = f (x). D’après ce qui précède, on a alors
g(y) = g ◦ f (x) = x donc f ◦ g(y) = f (x) = y.
Montrons que les assertions précédentes sont équivalentes à la suivante :
(x ∈ I et y = f (x))
⇔
(y ∈ J et x = f (y)).
1. Supposons que
∀x ∈ I, g ◦ f (x) = x et ∀y ∈ J, f ◦ g(y) = y.
Soient x ∈ I et y = f (x) ; alors y ∈ J (par définition de J) et g(y) = g(f (x)) = x.
Réciproquement, soient y ∈ J et x = g(y) ; alors x ∈ I (par définition de g) et
f (x) = f (g(y)) = y.
2. Supposons maintenant que l’équivalence
(x ∈ I et y = f (x))
⇔
(y ∈ J et x = f (y))
soit vraie. Montrons que
∀x ∈ I, g ◦ f (x) = x et ∀y ∈ J, f ◦ g(y) = y.
Soit x ∈ I et y = f (x) ; ceci équivaut à x = g(y) = g(f (x)).
Soit y ∈ J et x = g(y) ; ceci équivaut à y = f (x) = f (g(y)).
Montrons que g est de même monotonie que f : Soient y1 et y2 appartenant à J tels
que y1 6= y2 . Soient x1 = g(y1 ) et x2 = g(y2 ) ; on a aussi y1 = f (x1 ) et y2 = f (x2 ). Donc
g(y1 ) − g(y2 )
x1 − x2
=
y1 − y2
f (x1 ) − f (x2 )
ce qui prouve que les taux de variations moyens
f (x1 ) − f (x2 )
g(y1 ) − g(y2 )
et
y1 − y2
x1 − x2
sont de même signe : les fonctions f et g sont donc de même monotonie.
126
Terminale S3
2008/2009
Fonctions : comportement local
Thème: Le théorème de la bijection
On admet la continuité de g.
1
Exemple [définition des fonctions racines n-ième]
nul et
p n : R+ → R
x 7→ xn
Soient n un entier naturel non
la fonction puissance n-ième définie sur R+ . Elle est dérivable sur R+ et, pour tout
x > 0,
p0n (x) = nxn−1 > 0.
La fonction pn est donc continue, strictement croissante sur R+ et vérifie :
pn (0) = 0 et
lim pn (x) = +∞.
x→+∞
D’après le théorème de la bijection, pn admet une fonction réciproque
+
+
rn = p−1
n : R → R
caractérisée par : pour tout y ≥ 0, rn (y) est l’unique antécédent de x par pn .
Le réel rn (y) est noté
√
n
y = y 1/n
et appelé racine n-ième de y : c’est l’unique nombre positif x tel que xn = y.
Conséquences : puissances rationnelles. Soient α = p/q un nombre rationnel (p, q
entiers relatifs, q 6= 0). Si x est un réel positif on peut maintenant poser
xα = (xp )1/q .
On vérifie que cette notation est compatible avec :
– toute autre écriture de α : si α = p0 /q 0 (p0 , q 0 entiers relatifs, q 0 6= 0) est une autre écriture
de α alors
0
0
(xp )1/q = (xp )1/q .
– l’écriture suivante
(xp )1/q = (x1/q )p .
– toutes les règles usuelles du calcul de puissance.
Par exemple,
21.2 = 212/10 = 26/5 = (26 )1/5 .
et
√
√
3
3
50.6 = 52/3 = (51/3 )2 = ( 5)2 = 25.
Exercice no 1 [La fonction arcsinus]
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,~i, ~j). On considère la fonction s, restriction
de la fonction sinus à l’intervalle [−π/2; π/2] et on note S sa courbe représentative dans
(O,~i, ~j).
127
Terminale S3
2008/2009
Fonctions : comportement local
Thème: Le théorème de la bijection
1. Dresser le tableau de variation de s puis tracer S (unité graphique : 2cm).
2. Montrer que s admet une fonction réciproque
a : [−1; 1] :→ [−π/2; π/2].
Dresser son tableau de variation puis tracer sa courbe A dans (O,~i, ~j). On tracera les
tangentes éventuelles aux points d’abscisses -1 et 1.
La fonction a est appelée fonction arcsinus et notée arcsin.
Si x ∈ [−1; 1], arcsin(x) est la mesure de l’arc du cercle trigonométrique appartenant à
[−π/2; π/2] dont le sinus est x.
3. Dire pour quels réels x et y les relations suivantes sont vraies :
sin(arcsin(x)) = x et
arcsin(sin(y)) = y.
4. Montrer que a est impaire.
5. Montrer que a est dérivable sur ] − 1; 1[ et que, pour tout réel appartenant à cet intervalle,
a0 (x) = √
1
.
1 − x2
128
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2008/2009
Fonctions : comportement local
Thème: Invariances de courbes
[Thème) Invariances de courbes
Dans tout ce devoir, f désigne une fonction numérique définie sur des ensemble Df . On note
Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O,~i, ~j) du plan.
1. Axe de symétrie vertical
1.1. Cas général
B Proposition 1: Axe de symétrie vertical
? Soient α un nombre réel fixé et ∆ la droite d’équation x = α.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
• La courbe Cf est symétrique par rapport à ∆.
• Pour tout
 nombre réel h, si (α + h) ∈ Df
 (α − h) ∈ Df
et
alors

f (α + h) = f (α − h).
• Pour tout
 x ∈ Df , si (α + h) ∈ Df
 (2a − x) ∈ Df
et
alors

f (2a − x) = f (x).
Exemple [Méthode] Soit la fonction p : x 7→ x2 − 10x + 1 définie sur R et D la droite
d’équation x = 5. Montrer la courbe Cp de p admet D comme axe de symétrie.
1.2. Cas particulier : fonction paire
B Définition 2: Fonction paire
? On dit que la fonction f : Df → R est paire si, et seulement si

 (−x) ∈ Df
et
pour tout x ∈ Df ,

f (−x) = f (x).
Exercice no 1 [Parité et variations]
On considère la fonction ξ 7→
x2 −4
.
|x|−2
1. Etudier la parité de ξ.
2. Donner une expression simplifiée de ξ(x) pour x ≥ 0.
129
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Fonctions : comportement local
Thème: Invariances de courbes
3. Etudier les variations de ξ sur [0, +∞[.
4. En déduire les variations de ξ sur R, ses extrema éventuels ainsi que sa représentation
graphique.
Exercice no 2 [Fonction définie par parité]
Soit f la fonction impaire définie sur R telle que, pour tout réel x positif,
√
f (x) = x2 + x.
Déterminer une expression de f sur ] − ∞, 0]. 0
B Proposition 3: Caractérisation graphique
? La fonction f : Df → R est paire si et seulement si :
Pour tout x ∈ Df , les points M (x, f (x)) et M 0 (−x, f (−x)) de Cf sont symétriques par
rapport à (Oy),
ce qui équivaut à :
La courbe Cf est symétrique par rapport à (Oy).
0
Exemple [Méthode pour montrer qu’une fonction n’est pas paire] Soit la fonction
v : x 7→ 1 − x + x2 .
1. Son ensemble de définition est-il centré en zéro ?
2. Calculer les images de 1 et de −1.
3. En déduire que v n’est pas paire.
Méthode. Pour montrer qu’une fonction n’est pas paire, il suffit de trouver deux nombres
opposés dans l’ensemble de définition qui n’ont pas la même image.
Exemple [Méthode d’étude d’une fonction paire]
Soit la fonction u : x 7→
√
1 − x2 .
1. Déterminer son ensemble de définition, noté I.
2. Montrer que u est strictement décroissante sur l’intervalle [0; 1].
3. Montrer que u est paire.
4. En déduire les variations de u sur I tout entier.
On a utilisé le proposition suivante :
B Proposition 4: Reflexion du sens de variation
130
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Fonctions : comportement local
Thème: Invariances de courbes
? Supposons que f est une fonction paire sur Df .
Soit [a, b] un intervalle contenu dans Df . Si f est strictement croissante (respectivement
décroissante) sur [a, b] alors elle est strictement décroissante (respectivement croissante)
sur [−b, −a]. Autrement dit :
La fonction f est strictement monotone sur [a, b] si et seulement si elle l’est sur [−b, −a].
Les sens de variations sont alors contraires.
0
2. Centre de symétrie
2.1. Cas général
B Proposition 5: Centre de symétrie
? Soit Ω(α, β) un point du plan.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
1. La courbe Cf est symétrique par rapport à Ω.
2. Pour tout nombre réel h, si (α + h) ∈ Df alors (α − h) ∈ Df et :
f (α + h) − β = β − f (α − h) , soit f (α + h) + f (α − h) = 2β.
3. Pour tout x ∈ Df , on a (2α − x) ∈ Df et f (2α − x) + f (x) = 2β.
Exemple [Méthode]
Soit la fonction h : x 7→
courbe Cp de p admet Ω comme centre de symétrie.
2x+3
x+1
et le point Ω(−1; 2). Montrer la
2.2. Cas particulier : fonction impaire
B Définition 6: Fonction impaire
? On dit que la fonction f : Df → R est impaire si et seulement si :
Pour tout x ∈ Df , (−x) ∈ Df et f (−x) = −f (x).
B Proposition 7: Caractérisation graphique
? La fonction f : Df → R est impaire si et seulement si :
Pour tout x ∈ Df , les points M (x, f (x)) et M 0 (−x, f (−x)) de Cf sont symétriques par
rapport à l’origine O du repère,
131
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Fonctions : comportement local
Thème: Invariances de courbes
ce qui équivaut à :
La courbe Cf est symétrique par rapport à O.
On peut aussi utiliser la proposition suivante :
B Proposition 8: Reflexion du sens de variation
? Supposons que f est une fonction impaire sur Df .
Soit [a, b] un intervalle contenu dans Df . Si f est strictement croissante (respectivement
décroissante) sur [a, b] alors elle est strictement croissante (respectivement décroissante)
sur [−b, −a]. Autrement dit :
La fonction f est strictement monotone sur [a, b] si et seulement si elle l’est sur [−b, −a].
Les sens de variations sont les mêmes.
3. Exercices
Exercice no 3 [Etudes de parité — Entrainement]
Etudier la parité de chacune des fonctions suivantes, c’est-à-dire déterminer si elle paire, si
elle est impaire ou ni l’un ni l’autre. Dans chacun des cas, le démontrer.
2
3
3
f : x 7→ −x + x ; g : x 7→ x − 3x ; h : x 7→ |x| ; k : x 7→ + x ;
x
p
1 − x2
x2
x+2
;
m
:
x
→
7
;
n
:
x
→
7
;
p
:
x
→
7
x(3x − 2) ;
1 + x2
x2 + 3
x+3
r
x2 − 1
x
3x
; r : x 7→
; s : x 7→ x4 − 3x2 − 5 ; t : x 7→ 3x + √
q : x 7→ √
.
2
2
2
x +4
x −5
x +2
l : x 7→
Exercice no 4 [Parité d’une fonction algébrique]
Soit u la fonction définie par l’expression
u(x) =
2x4
.
x2 − 32
1. Déterminer l’ensemble de définition de u. Est-il centré en zéro.
2. Etudier la parité de u.
Exercice no 5 [Opérations, parité et périodicité]
1. Soient u et v deux fonctions paires définies sur un même intervalle I.
(a) Etudier la parité des fonctions u + v, u − v, u v et u/v.
132
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Fonctions : comportement local
Thème: Invariances de courbes
(b) Même question lorsque u et v sont impaires.
(c) Même question avec u paire et v impaire.
2. Soit f une fonction définie sur R.
(a) Montrer que les fonctions
p : x 7→
f (x) − f (−x)
f (x) + f (−x)
et i : x 7→
.
2
2
sont respectivement paires et impaires.
(b) En déduire que f est somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
3. Soit g une fonction impaire définie en 0. Montrer que g(0) = 0.
4. Soit h une fonction affine périodique. Montrer que h est constante.
5. Soit k une fonction périodique de période T > 0. Montrer que, pour tout n ∈ N, h est aussi
nT -périodique.
Exercice no 6 [Axe et centre de symétrie]
1. Dans chacun des cas suivants, la droite donnée est axe de symétrie de la courbe de la
fonction proposée. Le prouver.
(a) La fonction p : x 7→ x2 − 4x + 7 et la droite D : x = 2.
√
(b) La fonction q : x 7→ x2 + 6x + 5 et la droite D0 : x = −3.
(c) La fonction r : x 7→ x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16 et la droite D0 : x = −2.
2. Dans chacun des cas suivants, la point donné est centre de symétrie de la courbe de la
fonction proposée. Le prouver.
(a) La fonction h : x 7→
3x−10
x+4
3
et le point A(−4; 3).
(b) La fonction c : x 7→ x + 3x2 + 3x − 1 et le point A(−1; −2).
(c) La fonction affine l : x 7→ 2x + 3 et tout point de sa courbe.
133
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Deuxième partie
ANALYSE : NOUVEAUX OUTILS
134
Chapitre 4
La fonction exponentielle
135
Fonctions exponentielles
TD d’introduction. Phénomènes de type exponentiel
[TD d’introduction) Phénomènes de type exponentiel
B
∗
Polycopié no 18
Mardi 16/12/8
1. Evolution d’une population de bactéries
On considère une population de bactéries P. On note N (t) le nombre de bactéries à l’instant
t ≥ 0 et on suppose que N (0) = 1.
On constate expérimentalement que, si la population n’a pas de problème de ressource ni de
place, alors l’accroissement de N pendant une durée ∆t est proportionnel à N . C’est-à-dire qu’il
existe une constante réelle K telle que :
N (t + ∆t) − N (t) = K × N (t),
|
{z
}
soit N (t + ∆t) = (K + 1) × N (t).
(4.1)
∆N
C Questions :
1. Montrer que N (∆t) = (K + 1) puis que N (t + s) = N (s) × N (t) (s, t ∈ [0; +∞[).
2. On considère s comme un paramètre et on suppose que N est dérivable sur [0; +∞[.
Dériver les fonctions suivantes de la variable t ∈ [0; +∞[ : t 7→ N (t+s) ; t 7→ N (s)×N (t).
3. En déduire que N 0 (s) = N 0 (0) × N (s).
0
2. Les fonctions exponentielles
L’activité précédente conduit à rechercher les fonctions Ψ dérivables sur R telles que Ψ0 = K ×
Ψ, pour une certaine constante réelle K. Ces fonctions sont appelées fonctions exponentielles.
? Partie I. Réduction du problème
1. Résoudre le problème dans le cas où K = 0.
Dans la suite, on suppose que K 6= 0.
2. On considère Φ : x 7→ Ψ(x/K). Montrer que Φ0 = Φ.
? Partie II. Recherche de la fonction exponentielle
Dans cet partie, on considère une fonction Φ dérivable sur R telle que Φ0 = Φ et Φ(0) = 1.
1. Montrer par l’absurde que Φ ne peut pas être une fonction polynôme.
2. On considère la fonction F : x 7→ Φ(x) Φ(−x).
(a) Montrer que F est une fonction constante dont on déterminera la valeur.
136
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Fonctions exponentielles
TD d’introduction. Phénomènes de type exponentiel
(b) En déduire que Φ ne s’annulle jamais.
(c) Etudier le signe de Φ(x) en fontion du réel x.
(d) Quelle relation a-t-on établi entre Φ(−x) et Φ(x) ?
3. Soit χ une fonction dérivable sur R telle que χ0 = χ.
χ
(a) Montrer que la fonction G =
est définie sur R et est constante.
Φ
(b) Dans cette question, on suppose qu’il existe un réel a tel que χ(a) = Φ(a).
Montrer que χ = Φ.
(c) Qu’a-t-on démontré dans cette question 2 ?
4. Etudier le sens de variation de la fonction Φ
3. Champs de vecteurs et équations différentielles
Les études précédentes amènent à considérer les équations différentielles du type y 0 = K y.
Pour une telle équation, l’inconnue y est une fonction dérivable (sur un intervalle maximal)
et y 0 est sa dérivée. Résoudre cette équation différentielle consiste donc à trouver toutes les
fonctions Ψ vérifiant Ψ0 (x) = K × Ψ(x). Dans l’activité précédente, c’est ce qu’on a appelé
les fonctions exponentielles.
Dans un premier temps, on étudie une
résolution graphique de ce type d’équation
en considérant son champs de vecteurs.
B On pose K = 1. Le champs de vecteurs est obtenu en traçant en tout point
(x, y) du plan le vecteur de coordonnées
(1, y 0 (x)), c’est-à-dire ici le vecteur de coordonnées (1, y(x)).
On voit alors se dessiner les courbes
représentatives des solutions de l’équation
différentielle de la même façon que les
lignes de champs apparaissent lorsqu’on
dispose de la limaille de fer dans un champ
magnétique. Ces courbes sont appelées
courbes intégrales de l’équation y 0 = y.
C Questions
1. Tracer la courbe de la solution f vérifiant f (0) = 2.
2. En quels points les courbes intégrales s’intersectent-elles ?
137
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Fonctions exponentielles
TD d’introduction. Phénomènes de type exponentiel
3. Identifier la courbe de la fonction exponentielle.
0
138
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Fonctions exponentielles
Thème: La fonction exponentielle
[Thème) La fonction exponentielle
1. Définition et premières propriétés
Suite aux activités d’introduction, on admet le résultat suivant :
B Théorème 1: Existence d’une solution
? Il existe une fonction Φ dérivable sur R vérifiant Φ0 = Φ et Φ(0) = 1.
De l’existence même de Φ on va déduire ces propriétés de base, notamment son caractère
unique.
∗ Rappel d’un principe : Contraposée du TVI
Soit u une fonction continue sur un intervalle I.
B Lemme 2: Signe
? La fonction Φ est strictement
positive sur R.
La démonstration utilise le
principe rappelé ci-contre.
• TVI : Si u change de signe alors l’équation u(x) = 0
admet une solution sur I.
• Contraposée : Si u ne s’annulle pas alors u garde un
signe constant.
Démonstration de 2. On considère la fonction F : x 7→ (Φ(x) × Φ(−x)) sur R.
C’est une fonction dérivable car Φ et x 7→ −x sont dérivables sur R et :
F 0 (x) = Φ0 (x) × Φ(−x) + Φ(x) × [−Φ0 (−x)] = Φ(x) × Φ(−x) − Φ(x) × Φ(−x) = 0.
La fonction F est donc constante sur l’intervalle R. Donc, pour tout x ∈ R,
Φ(x) × Φ(−x) = F (x) = F (0) = Φ(0) × Φ(−0) = Φ(0)2 = 1.
On en déduit que Φ(x) n’est jamais nul, sinon le produit avec Φ(−x) ne serait pas égal à 1.
Comme Φ est continue (car dérivable) et ne s’annulle pas sur R (qui est un intervalle), la
contraposée du théorème des valeurs intermédiaires entraı̂ne que Φ garde un signe constant.
Comme d’autre part Φ(0) = 1 > 0 alors Φ > 0.
2
B Lemme 3: Unicité
? Soit Ψ une fonction dérivable sur R telle que Ψ0 = Ψ et Ψ(0) = 1. Alors Ψ = Φ.
Ψ
est définie et dérivable sur R puisque Ψ et
Φ
Ψ0 Φ − Φ0 Ψ
ΨΦ − ΦΨ
Φ le sont et que Φ ne s’y annulle pas. Alors : G0 =
=
= 0.
2
Φ
Φ2
Démonstration de 3.
La fonction G =
139
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Fonctions exponentielles
Thème: La fonction exponentielle
La fonction G est donc constante sur l’intervalle R. Sa valeur est
F (0) =
Ψ(0)
= 1,
Φ(0)
donc F (x) = 1,
soit Ψ(x) = Φ(x).
3
B Définition 4: Fonction exponentielle
? Le théorème 1 et le lemme 3 entrainent l’existence d’une unique fonction Φ dérivable sur R
telle que Φ0 = Φ et Φ(0) = 1.
exp0
= exp
Cette fonction est par définition la fonction exponentielle et est notée exp :
exp(0) = 1.
Vocabulaire. Le nombre de Neper e est l’image de 1 par exp : e = exp(1).
C’est un nombre transcendant (comme π) et donc irrationnel qui vérifie l’encadrement :
2, 718 281 828 4 < e < 2, 718 281 828 5.
B Corollaire 5: Changement de condition initiale
? Soit (a, b) un couple de nombres réels. Il existe une unique fonction ϕ dérivable sur R telle
que ϕ0 = ϕ et ϕ(a) = b. C’est la fonction x 7→ b exp(x − a).
Exercice no 1 [Démonstration du corollaire]
1. Montrer que la solution proposée répond à la question.
2. Soit ϕ une fonction dérivable sur R telle que ϕ0 = ϕ et ϕ(a) = b.
(a) Montrer que si b = 0 alors ϕ = 0.
Dans la suite, on suppose que b 6= 0.
1
(b) Montrer que la fonction ψ : x 7→ ϕ(x + a) est la fonction exponentielle.
b
(c) En déduire que, pour tout réel x, ϕ(x) = b exp(x − a).
2. Premières propriétés analytiques
On note Γ la courbe de exp dans un repère cartésien du plan. Comme exp > 0, la courbe Γ
est toujours au-dessus de l’axe des abscisses sans jamais le rencontrer.
2.1. Sens de variation
B Corollaire 6: Stricte monotonie
? La fonction exp est strictement croissante sur R.
140
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Fonctions exponentielles
Thème: La fonction exponentielle
Démonstration de 6.
Comme exp0 = exp et que exp > 0, la dérivée de exp est
strictement positive sur R. Donc exp est strictement croissante sur R.
6
B Conséquences.
Par définition d’une fonction strictement croissante :
• Pour tous réels a et b : a < b
⇔
• Pour tous réels a et b : a = b
⇔
B En particulier : exp(x) > 1
⇔
exp(a) < exp(b).
exp(a) = exp(b).
si x < 0 alors 0 < exp(x) < 1
x > 0, soit :
si x > 0 alors exp(x) > 1.
Exercice no 2 [Applications directes]
2
Résoudre dans R : exp(3x − 1) > exp(x ) ;
2
exp(1 + x ) > 0 ;
exp
x−1
x+1
> 1.
2.2. Etude locale en 0
La fonction exponentielle est dérivale en 0 et exp(0)0 = exp(0) = 1 .
Ceci s’exprime de plusieurs manières :
(
B Il existe une fonction ϕ, définie sur R telle que
exp(x) = x + 1 + x ϕ(x)
lim ϕ(x) = 0.
x→0
On peut d’ailleurs montrer qu’on a x ϕ(x) =
x2
2
+
x3
6
+ ... > 0 si x 6= 0.
exp(x) − 1
= 1.
x→0
x
B Limite du taux d’accroissement. On retiendra : lim
B La tangente à Γ au point de coordonnées (0; 1) est T : y = x + 1.
En effet, T admet pour équation y = exp0 (0)(x − 0) + exp(0), soit y = x + 1.
De plus, T est au dessus de Γ (voir exercice suivant).
Exercice no 3 [Position relative de Γ et T ]
On considère la fonction f définie sur R par : f (x) = exp(x) − (x + 1).
1. Dresser le tableau de variation de f (sans les limites).
2. En déduire le signe de f (x) en fonction de x ∈ R.
3. Etudier la position relative de Γ et de T .
Exercice no 4 [Calculs de limites]
exp(2 x) − 1
;
x→0
3x
Etudier : lim
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2 exp(x) − 2
et
x→0
5x
lim
141
x
.
x→0 exp(3 x) − 1
lim
2008/2009
Fonctions exponentielles
Thème: La fonction exponentielle
2.3. Formules de dérivation
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
∗ Alors la fonction (exp ◦u) = exp(u) est dérivable sur I et : (exp ◦u)0 = u0 × exp(u).
Exercice no 5 [Etude de variations]
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le sens de variation et une équation de la
tangente à la courbe au point d’abscisse 0.
√
f : x 7→ exp(−3 x) ; g : x 7→ 5 exp(x2 + 1) ; h : x 7→ −2 exp( x).
2.4. Courbe
3. Propriétés algébriques
3.1. La relation fonctionnelle
B Théorème 7: Relation caractéristique
? Il existe une fonction dérivable ϕ sur R et une seule telle que, pour tous réels x et y, on
ait : ϕ(1) = e et ϕ(x + y) = ϕ(x) ϕ(y) (relation fonctionnelle).
Cette fonction ϕ est la fonction exponentielle : pour tous a, b ∈ R, exp(a+b) = exp(a) exp(b).
142
Terminale S3
2008/2009
Fonctions exponentielles
Thème: La fonction exponentielle
Démonstration de 7. On montre que l’exponentielle vérifie la relation fonctionnelle.
La réciproque sera démontrée en exercice dans le thème Equations différentielles.
exp(x + a)
. C’est une fonction dérivable sur R et, pour
exp(a)
exp0 (x + a)
exp(x + a)
exp(0 + a)
tout réel x : G0 (x) =
=
= G(x). De plus : G(0) =
= 1.
exp(a)
exp(a)
exp(a)
On considère la fonction G : x 7→
On a ainsi G0 = G et G(0) = 1, d’où l’on tire que G = exp (définition 4). Par suite, pour
exp(x + a)
tout réel x,
= exp(x), soit exp(x + a) = exp(a) exp(x).
exp(a)
7
B Corollaire 8: Inverse
? Pour tout réel x, exp(−x) =
Démonstration de 8.
1
.
exp(x)
On applique le théorème précédent aux deux réels x et −x :
exp(x) exp(−x) = exp(x − x) = exp(0) = 1, donc
exp(−x) =
1
.
exp(x)
8
Exercice no 6 [Autre méthode]
Montrer que la fonction S : x 7→ exp(x) exp(−x) est constante sur R de valeur 1.
En déduire le résultat.
B Corollaire 9: Formulaire algébrique
? Soient n un entier relatif et x, y deux réels. Alors :
exp(x + y) = exp(x) exp(y)
exp(−x)
=
1
exp(x)
exp(n x)
=
[exp(x)]n
exp(0)
= 1
= (exp(x))−1 exp(x − y) =
exp(x/n)
exp(x)
exp(y)
= [exp(x)]1/n , si n 6= 0.
3.2. Notation puissance
? Rappel : racine n-ième. Soit a un réel positif et n un entier naturel non nul.
√
La racine n-ième de a est l’unique réel b tel que bn = a. On note : b = n a = a1/n .
143
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2008/2009
Fonctions exponentielles
Thème: La fonction exponentielle
Cette définition permet de généraliser la notation puissance aux nombres rationnels.
5 /3
=(81/3 )5 = 25 = 32.
√
√
Simplifier : A = 3 2 × 24 ; B = 5 9 × 3−3 ; C =
Exemple.
8
√
7
121
11−5
; D=
−2
75
√
.
3
45
Exercice no 7 [Exponentielle et puissance]
1. Montrer par récurrence que, pour tout
On pourra utiliser le fait que la somme de
entier naturel n, exp(n) = en .
q termes égaux à 1/q vaut 1.
2. Montrer que la relation reste valable 4. Soit p un entier naturel. En utilisant la
lorsque n est un entier relatif quelconque.
somme de
ptermes égaux à 1/q montrer
p
p
3. Soit un entier q > 1. Montrer que :
= eq .
que exp
q
1
1
= eq .
exp
q
6 B Conclusion. On a ainsi montré que, pour tout nombre rationnel r, exp(r) = er . 0
B Ceci motive la généralisation de la notation puissance à tout réel x : exp(x) = ex . 0
0
Exercice no 8 [Equations, inéquations]
p
2
Résoudre dans R : e3 x = [exp(x + 1)]2 ;
exp(5 x) × ex +1 = e ; e2x + 2ex − 3 < 0
4. Comportement à l’infini
Les deux théorèmes de ce numéro reposent sur l’étude de suites numériques particulières.
4.1. Limites aux bornes
B Lemme 10: Rappel sur les suites géométriques
? Pour tout réel a > 1 la suite de terme général un = an est croissante et diverge vers +∞.
Démonstration de 10.
La croissance est claire puisque un+1 = a un avec a > 1.
On pose a = 1 + b avec b > 0 car a > 1.
1. Montrer par récurrence que, pour tout entier n ≥ 0, an = (1 + b)n ≥ 1 + n b.
2. En déduire que la suite (un ) diverge vers +∞.
10
B Théorème 11: Limites aux bornes
? La fonction exponentielle vérifie
lim ex = +∞ et
x→+∞
lim ex = 0.
x→−∞
144
Terminale S3
2008/2009
Fonctions exponentielles
Thème: La fonction exponentielle
On en déduit notamment que l’axe des abscisses est asymptôte à Γ au voisinage de −∞.
Démonstration de 11.
On sait que e > 1 puisque la fonction exponentielle est
strictement croissante sur R (donc e1 > e0 ). D’après le lemme précédent, la suite de terme
général en diverge donc vers +∞.
Soit A > 0. Il existe donc un entier n0 tel que, pour tout entier n ≥ n0 , on ait en ≥ A.
Or la fonction exp est croissante donc, pour tout réel x ≥ n0 , on a ex ≥ en0 ≥ A.
Ceci prouve que
lim ex = +∞
x→+∞
La deuxième limite se démontre en utilisant la formule d’inversion : e−x =
1
:
ex
1
= 0.
X→+∞ eX
lim ex = lim e−X = lim
x→−∞
X→+∞
11
4.2. Croissances comparées
B Lemme 12: Rappel sur les suites
? Pour tout réel a > 1 et tout entier k ≥ 0, le terme général un =
an
diverge vers +∞.
nk
Démonstration de 12.
un+1
un
Remarquons que, pour tout entier n > 0,
k
k
nk
n
an+1
n
×
=a
=
. avec
lim
=1
n→+∞
(n + 1)k an
n+1
n+1
Soit un nombre a0 < 1 un réel tel que aa0 > 1, c’est-à-dire a0 > 1/a, ce qui est possible par
hypothèse. D’après la limite précédente, il existe un certain rang n0 tel que pour tout n ≥ n0
k
n
on ait :
≥ a0 .
n+1
k
un+1
n
=a
≥ a a0 donc : un+1 ≥ (a a0 ) un .
En conséquence pour tout n ≥ n0 ,
un
n+1
2
n+1−n0
On en déduit que : un+1 ≥ (a a0 ) un−1 ≥ ... ≥ (a a0 )
un0 .
Comme a a0 > 1 alors le membre de droite diverge vers +∞, donc (un ) aussi, ce qui prouve le
résultat.
12
B Théorème 13: Croissances comparées
? Soit k un entier ≥ 0. Alors
ex
= +∞ et
x→+∞ xk
lim
lim xk ex = 0.
x→−∞
145
Terminale S3
2008/2009
Fonctions exponentielles
Thème: La fonction exponentielle
On peut supposer que k ≥ 1 puisque le théorème précédent
Démonstration de 13.
traı̂te du cas k = 0.
ex
On considère la fonction H : x 7→ k définie sur ]0; +∞[. Cette fonction est dérivable et,
x
pour tout x > 0,
ex xk − ex k xk−1
ex xk−1 (x − k)
H 0 (x) =
=
.
x2k
x2k
On en déduit que la fonction H est croissante sur [k, +∞[.
Soit A > 0. D’après le lemme précédent, il existe un entier n0 tel que, pour tout entier n ≥ n0 ,
on ait H(n) ≥ A. Comme H est croissante sur [k, +∞[, en posant n1 = max(k, n0 ), on obtient
que pour tout x ≥ n1 on a H(x) ≥ H(n0 ) ≥ A.
♦ Exercice. Prouver la deuxième limite en utilisant la formule e−x =
1
.
ex
13
? Courbes comparées :
Comme conséquence on obtient
B Théorème 14: Exponentielle et polynômes
ex
? Pour toute fonction polynôme non nulle P , lim
= +∞ et
x→+∞ |P (x)|
∗ Remarque. La limite de
P
exp
lim P (x)ex = 0.
x→−∞
en 0 est connue puisque lim ex = 1.
x→0
Exercice no 9 [Démonstration du théorème]
1. Prouver le théorème lorsque P (x) = 2x3 − 5x + 1.
2. Prouver le cas général en posant P (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0
146
Terminale S3
2008/2009
DS no 4. Fonctions avec exponentielle
Fonctions exponentielles
[DS no 4) Fonctions avec exponentielle
B
∗
Polycopié no 23
mardi 20/1/9
Exercice no 1 [Questions ROC]
∗ Prérequis : La fonction exp est dérivable sur R et vérifie :
exp(0) = 1
exp0 = exp > 0.
1. Montrer que la fonction exp est strictement croissante sur R.
2. On note (Γ) la courbe de exp dans un repère orthonormal.
(a) Déterminer une équation de la tangente (T ) à (Γ) au point d’abscisse 0.
(b) Etudier la position relative de (Γ) par rapport à (T ).
Exercice no 2 [Inéquation]
Résoudre dans R l’inéquation suivante : e2 x + 4 ex − 5 ≤ 0.
Exercice no 3 [Etude d’une fonction]
On considère la fonction f définie sur R par : f (x) =
1
x + (1 − x) e2 x .
2
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O ; ~ı , ~ )
(unité graphique : 2cm).
1. (a) Déterminer les limites de f en +∞ et −∞.
(b) Montrer que la droite ∆ d’équation y =
x
est asymptote à C.
2
(c) Etudier la position de C par rapport à ∆.
2. Justifier que f est dérivable et calculer f 0 (x).
3. Soit u la fonction définie sur R par : u(x) = 1 + (−2 x + 1) e2 x .
(a) Etudier le sens de variation de u.
(b) Montrer que l’équation u(x) = 0 possède une unique solution α ; puis que α ∈ [0; 1].
Déterminer une valeur approchée de α à 10−2 près.
(c) Montrer que e2 α =
1
(on pourra utiliser la relation f 0 (α) = 0).
1 − 2α
1 − 2 α2
En déduire que : f (α) =
. Donner ensuite une valeur approchée de f (α).
2 (1 − 2 α)
(d) Déterminer le signe u(x) suivant les valeurs de x.
147
Terminale S3
2008/2009
DS no 4. Fonctions avec exponentielle
Fonctions exponentielles
4. Etudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation.
5. Tracer ∆ puis C dans (O ; ~ı , ~ ). On placera les éventuelles tangentes parallèles à (Ox)
148
Terminale S3
2008/2009
DS no 4 (Corrigé)
Fonctions exponentielles
[DS no 4) Un corrigé
Exercice no 1 [Questions ROC]
∗ Prérequis : La fonction exp est dérivable sur R et vérifie :
exp(0) = 1
exp0 = exp > 0.
1. La fonction exp est strictement croissante sur R puisque exp0 = exp > 0.
2. On note (Γ) la courbe de exp dans un repère orthonormal.
exp(0) = 1
exp0 (0) = exp(0) = 1.
Donc (T ) admet pour équation y = 1 × (x − 0) + 1, soit : y = x + 1.
(a) Equation de la tangente (T ) à (Γ) au point d’abscisse 0. On a :
(b) Position relative de (Γ) par rapport à (T ). On considère la fonction d définie sur R
par d(x) = exp(x) − (x + 1). C’est une fonction dérivable (comme différence de deux
fonctions dérivables) et d0 (x) = exp(x) − 1. Or, exp est strictement croissante donc :
• si x < 0 alors exp(x) < exp(0) = 1
• si x > 0 alors exp(x) > exp(0) = 1.
x
d0 (x) = exp(x) − 1
d
D’où le tableau :
−∞
0
0
−
&
+∞
+
%
d(0) = 0
Comme d admet 0 pour minimum en x = 0 uniquement, on en déduit que :
(d(x) > 0 si x 6= 0 et d(0) = 0) , soit
(exp(x) > x + 1 si x 6= 0 et
exp(0) = 0 + 1) .
La courbe (Γ) est donc toujours strictement au dessus de (T ), sauf au point de contact (x = 0).
Exercice no 2 [Inéquation]
Résolution dans R l’inéquation (I ) : e2 x + 4 ex − 5 ≤ 0. On pose X = ex ; X > 0 car c’est
X = ex > 0
une exponentielle. Alors : (I ) ⇔
.
X 2 + 4 X − 5 ≤ 0 (I 0 ).
∗ Résolution de (I 0 ). Le discriminant vaut : ∆ = 42 − 4 × (−5) = 36 = 62 . Le membre de
gauche admet donc deux racines réelles distinctes :
X1 =
−4 − 6
−4 + 6
= −5 et X2 =
= 1.
2
2
Comme le coefficient de degré 2 est 1 > 0, on en déduit le tableau de signe suivant :
X
X2 + 4 X − 5
−∞
+
−5
1
0 − 0
+∞
+
X = ex > 0
⇔ 0 < ex ≤ 1 ⇔ x ≤ 0.
−5 ≤ X ≤ 1.
6 B Conclusion. L’ensemble solution de (I ) est ] − ∞; 0].
Donc : (I ) ⇔
149
Terminale S3
2008/2009
DS no 4 (Corrigé)
Fonctions exponentielles
Exercice no 3 [Etude d’une fonction]
1
x + (1 − x) e2 x .
On considère la fonction f définie sur R par : f (x) =
2
x
1 − x 2x
. Or :
1. (a) Limite de f en +∞. Si x > 0 alors f (x) =
1+
e
2
x
1−x
1 − x 2x
2x
lim
= −1 et
lim e = +∞ donc
lim 1 +
e
= −∞.
x→+∞
x→+∞
x→+∞
x
x
x
= +∞ alors, par produit : lim f (x) = −∞.
x→+∞
x→+∞ 2
x
= −∞ et
lim (1 − x) e2 x = 0 par croissance
Limite de f en −∞. On a : lim
x→−∞
x→−∞ 2
comparée. Par somme puis multiplication par 1/2, on obtient : lim f (x) = −∞
Comme d’autre part
lim
x→−∞
x
(b) Montrons que la droite ∆ d’équation y =
est asymptote à C. On considère
2
x
x
1
1
=
x + (1 − x) e2 x − =
(1 − x) e2 x .
2
2
2
2
x
Or, par croissance comparée, lim (1 − x) e2 x = 0, donc lim f (x) −
= 0,
x→−∞
x→−∞
2
(par multiplication par 1/2). Ceci prouve que ∆ est asymptote à C en −∞.
f (x) −
(c) Etude de la position de C par rapport à ∆. On étudie la signe de
f (x) −
x
1
e2 x
=
,
(1 − x) e2 x = (1 − x)
2
2
2
qui possède le même signe que (1 − x) puisqu’on a toujours
e2 x
2
> 0. Donc :
• si x < 1 alors 1 − x > 0 donc C est au dessus de ∆
• si x = 1 alors 1 − x = 0 donc C et ∆ se coupent au point A(1; 1/2)
• si x > 1 alors 1 − x < 0 donc C est en dessous de ∆.
2. La fonction f est dérivable sur R car elle est obtenue par opérations algébriques (sauf
quotient) sur les fonctions x 7→ x, x 7→ (1 − x) et x 7→ e2 x qui sont dérivables sur R. De
plus :
f 0 (x) =
1
1
1 + (−1) × e2 x + (1 − x) × 2 × e2 x =
1 + (−2 x + 1) e2 x .
2
2
3. Soit u la fonction définie sur R par : u(x) = 1 + (−2 x + 1) e2 x .
(a) Sens de variation de u. La fonction u est dérivable sur R (pour les mêmes raisons que
f ) et :
u0 (x) = 0 + (−2) × e2 x + (−2 x + 1) × 2 × e2 x = −4 x × e2 x ,
qui est du signe contraire de x. D’où le tableau suivant :
150
Terminale S3
2008/2009
DS no 4 (Corrigé)
Fonctions exponentielles
x
0
u (x)
−∞
+
%
u
0
0
2
∗ Justifications succintes :
+∞
−
•
&
• u(0) = 1 + (−2 × 0 + 1) e2×0 = 2
•
−∞
1
lim u(x) = 1 par croissance comparée
x→−∞
lim u(x) = −∞ par opérations.
x→+∞
(b) Equation (E) : u(x) = 0. D’après la question précédente :
• si x ∈] − ∞; 0] alors u(x) ≥ 1 donc (E) n’a pas de solution sur ] − ∞; 0]
• sur [0; +∞[ : u est continue (car dérivable), strictement décroissante avec :
f (0) = 2 > 0 et
lim u(x) = −∞.
x→+∞
Le théorème des valeurs intermédiaires prouve alors l’éxistence d’une unique solution
α ∈]0; +∞[ de (E). D’après l’étude de (E) sur ] − ∞; 0], c’est la seule solution sur R.
Enfin, comme u(0) = 2 > 0 et u(1) = 1 − e2 < 0, alors α ∈]0; 1[.
A l’aide la calculatrice, on obtient (à 10−2 près) :
u(0, 63) ' 0, 083 > 0 et u(0, 64) ' −0, 007 < 0 donc 0, 63 < α < 0, 64.
Comme valeur approchée de α à 10−2 près, on choisit (par exemple) : 0, 63.
1
(c) Montrons que e2 α =
. Comme α est solution de (E), alors
2α − 1
1 + (−2 α + 1) e2 α = 0 donc e2 α =
1
−1
=
.
−2 α + 1
2α − 1
On en déduit que :
1
1
f (α) =
α + (1 − α) e2 α =
2
2
1
α + (1 − α) ×
2α − 1
=
2 α2 − 2 α + 1
.
2 (2 α − 1)
Valeur approchée de f (α) : 0, 97 à 10−2 près.
(d) Signe de u(x). D’après la question 3.b),
• Si x ∈]−∞; 0] alors u(x) ≥ 1. Donc u(x) > 0.
D’où le tableau de signe :
• Sur [0; +∞[ : u est strictement décroissante
et s’annulle en α, donc :
u(x) > 0 sur [0; α[ et u(x) < 0 sur [α, +∞[.
x
u(x)
−∞
α
+ 0
+∞
−
4. Variations de f . Comme f 0 est du même signe que u, on déduit de la question précédente :
• sur ] − ∞; α[ on a f 0 (x) > 0 donc f est strictement croissante sur ] − ∞; α]
• sur ]α; +∞; [ on a f 0 (x) < 0 donc f est strictement décroissante sur [α; +∞[.
• Par suite, f admet un maximum global en x = α
2
α+1
qui vaut f (α) = 2 2α(2−2
.
α−1)
D’où le tableau de signe :
x
−∞
α
f (α)
%
f
−∞
+∞
&
−∞
151
Terminale S3
2008/2009
DS no 4 (Corrigé)
Fonctions exponentielles
5. Courbes ∆ et C.
152
Terminale S3
2008/2009
DS no 4 bis. Fonctions avec exponentielle
Fonctions exponentielles
[DS no 4 bis) Fonctions avec exponentielle
B
∗
Polycopié no 23 bis
vendredi 30/1/9
Exercice no 1 [Inéquation]
Résoudre dans R l’inéquation suivante : exp((x − 4) (2 x − 1)) ≤ e.
Exercice no 2 [Etude de fonctions]
? Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire
Soit la fonction g définie sur R par : g(x) = 2 ex − x − 2.
On note Cg la courbe représentative de g dans un repère orthonormal du plan (O ; ~ı , ~ ).
1. (a) Calculer la limite de g en +∞ et en −∞.
(b) Montrer que la droite ∆ d’équation y = x + 2 est asymptote à la courbe Cg .
(c) Etudier la position relative de ∆ par rapport à Cg .
2. Dresser le tableau de variation de g.
3. (a) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet exactement deux solutions réelles.
(b) Vérifier que 0 est l’une de ces solutions.
(c) L’autre solution est appelée α. Montrer que −1, 6 ≤ α ≤ −1, 5.
(d) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
? Partie B : Etude de la fonction principale
On considère la fonction f définie sur R par : f (x) = e2 x − (x + 1) ex .
1. Calculer la limite de f en +∞ et en −∞.
2. Calculer f 0 (x) et démontrer que f 0 (x) et g(x) ont le même signe.
3. Montrer que : f (α) = −
α2 + 2 α
, où α est défini dans la partie A.
4
4. En déduire une valeur approchée de f (α).
5. Etudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation.
6. Tracer la courbe C dans (O ; ~ı , ~ ) (unité graphique : 2cm).
153
Terminale S3
2008/2009
DM no 9. Fonction avec raccord (corrigé)
Fonctions exponentielles
[DM no 9) Fonction avec raccord (corrigé)
B
∗
On considère la fonction f définie sur [0; +∞[ par :
f (0) = 0
f (x) = x e−1/x si x > 0.
f (h) − f (0)
.
h
1) Dérivabilité en 0. On étudie la limite du taux d’accroissement lim+
h→0
Si h > 0 alors
f (h) − f (0)
h e−1/h − 0
=
= e−1/h = eX ,
h
h
1
avec X = − .
h
Sachant que lim+ (−1/h) = −∞, on en déduit que : lim+
h→0
Polycopié no 27
vendredi 6/2/9
h→0
f (h) − f (0)
= lim eX = 0.
X→−∞
h
6 B Conclusion. La fonction f est dérivable en 0 et f 0 (0) = 0.
On en déduit que f est aussi continue en 0.
2) Limite de f en +∞. On pose encore X = −1/x dans le calcul suivant :
lim f (x) = lim x e−1/x = lim −
x→+∞
Or, on sait que :
x→+∞
•
x→+∞
e−1/x
eX
= lim− − ,
−1/x X→0
X
lim eX = e0 = 1 (fonction continue)
X→0−
•
lim−
X→0
1
= −∞ (fonction de référence).
X
car
lim (−1/x) = 0− .
x→+∞
Donc, par produit :
lim− −
X→0
eX
= +∞.
X
3) Limite de [f (x) − x] quand x → +∞. On utilise l’indication, valable lorsque x > 0 :
f (x) − x = x e
−1/x
−x=x e
Si on pose maintenant X = −1/x alors, comme
lim [f (x) − x] = lim −
x→+∞
6 B Conclusion.
x→+∞
−1/x
e−1/x − 1
−1 =−
.
−1/x
lim (−1/x) = 0− , on obtient :
x→+∞
e−1/x − 1
eX − 1
= lim− −
= − exp0 (0) = − e0 = −1.
x→0
−1/x
X
lim [f (x) − x] = −1 donc
x→+∞
lim [f (x) − (x − 1)] = 0.
x→+∞
Ceci signifie que la droite D d’équation y = x − 1 est asymptote à C en +∞.
∗ Intersection de C et D. On considère un point M (x; y) appartenant à C et D.
Comme f (0) = 0 et que D coupe l’axe des ordonnées en −1 alors nécessairement le point
commun M n’est pas sur (Oy). Donc x > 0 et dans ce cas :
y = f (x) = x − 1 ⇒ x e−1/x − x + 1 = 0
⇒ x e−1/x − (−1/x) −1 = 0
⇒ x e−1/x − 1 + 1/x = 0 ⇒ e−1/x − (−1/x) − 1 = 0 car x 6= 0
Si on pose maintenant X = −1/x alors : e−1/x − (−1/x) − 1 = 0 ⇒ eX − X − 1 = 0. Or
on sait, d’après le cours :
154
Terminale S3
2008/2009
DM no 9. Fonction avec raccord (corrigé)
Fonctions exponentielles
• la tangente à la courbe de exp au point d’abscisse 0 est la droite d’équation Y = X + 1
• cette tangente ne rencontre la courbe qu’au point d’abscisse X = 0.
On a donc l’implication : eX − X − 1 = 0 ⇒ X = 0
6 B Conclusion. Mais la condition X = 0 est absurde puisqu’elle équivaut à −1/x = 0 qui
est impossible sur R. On en déduit que C et D n’ont aucun point commun.
4) Courbes
155
Terminale S3
2008/2009
Fonctions exponentielles
Thème: Equations différentielles
[Thème) Equations différentielles
1. Equation homogène
On considère ici l’équation différentielle (Ec ) : y 0 = c y où c est un réel non nul.
Résoudre cette équation différentielle consiste à trouver toutes les fonctions f dérivables sur R
telles que, pour tout réel x, f 0 (x) = c f (x).
B Théorème 1: Ensemble solution
? Les solutions de l’équation différentielle (Ec ) sont les fonctions de la forme fλ : x 7→ λ ec x ,
où λ est une constante réelle quelconque.
Exercice no 1 [Applications directes et cas classiques]
1. On considère l’équation différentielle (E ) : y 0 = 32 y, où y est une fonction dérivable de la
variable réelle t.
(a) Résoudre l’équation (E ). Déterminer la solution de (E ) qui s’annulle en −5.
(b) Même question avec les conditions initiales suivantes : y(−1) = 2 ; y(3) = 7.
(c) Représenter ces trois fonctions dans un même reprère orthogonal. Que remarque-t-on ?
2. (a) Quelles sont les solutions de l’équation différentielle y 0 = y ?
(b) Trouver une formule générale en fonction de l’image de 0.
(c) Même question pour l’équation homogène générale (Ec ).
Démonstration de 1. Soit f une solution de (Ec ). On considère la fonction F définie
par g(x) = f (x) e−c x , qui est dérivable sur R et vérifie, pour tout réel x,
g 0 (x) = f 0 (x) e−c x + f (x) −c e−c x = c ϕ(x) e−c x − c ϕ(x) e−c x = 0.
La fonction g est donc constante sur R : il existe λ ∈ R telle que, pour tout réel x,
g(x) = f (x) e−c x = λ,
soit f (x) = λ ec x .
Réciproquement, une telle fonction f est bien solution de (Ec ) puisque, pour tout x ∈ R,
f 0 (x) = λ (c ec x ) = c λ ec x = c f (x).
1
B Corollaire 2: Condition initiale
? Soient x0 et y0 deux réels. Il existe une et une seule solution f de (Ec ) qui vérifie f (x0 ) = y0 .
B Elle est donnée par : f (x) = y0 ec (x−x0 ) = y0 exp[c (x − x0 )]
(ce qui correspond à λ = y0 e−c x0 ).
156
Terminale S3
2008/2009
Fonctions exponentielles
Thème: Equations différentielles
Démonstration de 2. On sait que toute solution f de (Ec ) est de la forme f : x 7→ λ ec x ,
pour un certain réel λ. Or : f (x0 ) = y0 ⇔ λ ec x0 = y0 ⇔ λ = y0 e−c x0 .
6 B Conclusion. f (x) = y0 e−c x0 ec x = y0 ec (x−x0 ) .
2
Exercice no 2 [Application de la formule]
1. Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E 0 ) : 4 y 0 −5 y = 0 qui vérifie f (1) = 3.
2. Soient f1 et f2 deux solutions de (E 0 ) et C1 et C2 leurs courbes respectives dans un repère
orthogonal. Montrer que si C1 et C2 se rencontrent alors f1 = f2 .
Exercice no 3 [Fonctions à sous-tangente constante]
Dans un plan muni d’un repère orthonoren un point K dont l’ordonnée YT vérifie :
mal (O ; ~ı , ~ ), on désigne par C la courbe
YT = f (x) − x f 0 (x).
représentative d’une fonction f définie et
dérivable sur un intervalle I de R, f et f 0
ne s’annulant pas sur l’intervalle I.
? B) Sous-tangente
On note M un point de C d’abscisse x et d’or- k désigne un réel fixé non nul. On cherche à
déterminer les fonctions f pour lesquelles la
donnée y = f (x).
différence x − XT est constante, et égale à k,
On désigne par T la tangente à la courbe C pour tout nombre réel x. (Propriété 1)
au point M . On rappelle qu’une équation de
T est de la forme : Y = f 0 (x)[X − x] + f (x). 1. Démontrer que f vérifie la propriété 1
si, et seulement si f vérifie l’équation
différentielle :
? A) Questions préliminaires
1. Montrer que T coupe l’axe des abscisses en
un point H dont l’abscisse XT vérifie :
y0 =
1
y.
k
2. En déduire la famille des fonctions vérifiant
1
la propriété (1) et déterminer pour k =
2
la fonction f de cette famille qui vérifie de
2. Montrer que T coupe l’axe des ordonnées
plus la condition f (0) = 1.
XT = x −
f (x)
.
f 0 (x)
0
2. Equation non-homogène
Soient a et b deux réels. On considère l’équation différentielle (Ea,b ) : y 0 = a y + b.
B Théorème 3: Ensemble solution
? L’ensemble des solutions sur R de (Ea,b ) est :
• si a = 0, l’ensemble des fonctions fk telles que, pour tout réel x, fk (x) = b x + k, où k
est une constante réelle (i.e. les fonctions affines de coefficient directeur b).
157
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2008/2009
Fonctions exponentielles
Thème: Equations différentielles
• si a 6= 0, l’ensemble des fonctions fK telles que, pour tout réel x, fK (x) = K exp(a x)− ab ,
où K est une constante réelle.
B Condition initale. Soient x0 et y0 deux réels. Parmis les solutions
de (Ea,b ), il en existe
f (x0 ) = y0
une et une seule qui soit solution au problème de Cauchy suivant :
y 0 = a y + b.
b
b
ea (x−x0 ) − .
C’est la fonction f donnée, pour tout x ∈ R, par f (x) = y0 +
a
a
Démonstration de 3.
∗ Cas a = 0. L’équation (E0,b ) équivaut à y 0 = b. Si f est une solution, alors la fonction
g : x 7→ f (x) − b x est dérivable sur R et vérifie : g 0 (x) = f 0 (x) − b = b − b = 0.
Il existe donc un réel k tel que, pour x ∈ R, f (x) − b x = k, soit f (x) = b x + k.
Réciproquement, toute fonction affine de cette forme vérifie évidemment (E0,b ).
∗ Cas a 6= 0. L’équation (Ea,b ) : y 0 = a y + b se transforme selon :
0
b
z = az
z(x) = K ea x
0
⇔
y =a y+
⇔
z = y + ab (⇒ z 0 = y 0 )
y(x) = K ea x − ab .
a
(K ∈ R)
B Condition initale. La condition initale y(x0 ) = y0 équivaut à :
b
b
−a x0
a x0
Ke
y0 +
.
− = y0 , soit K = e
a
a
b
b
b
b
−a x0
ax
Donc : y(x) = e
e − = y0 +
ea (x−x0 ) − .
y0 +
a
a
a
a
3
Exercice no 4 [Circuit RL]
Un circuit électrique est composé d’un générateur, d’une bobine (d’induction L et de résistance
R) et d’un interrupteur.
Toute petite variation di de l’intensité dans le circuit, pendant la durée dt, produit une force
di
électromotrice d’auto-induction e qui répond à une loi de la forme : e = −L .
dt
Quand on ferme l’interrupteur, un courant d’intensité i = E
s’établit
conformément
à la loi
R
d’Ohm : E + e = R i.
1. Etablir que la fonction i est solution de l’équation différentielle : R y + L y 0 = E.
E
2. A l’instant t = 0, i = 0. Justifier que : i(t) =
1 − e−R t/L .
R
3. Etudier la fonction i et justifier que la courbe représentative de i dans un repère orthogonal
admet une asymptote horizontale.
Exercice no 5 [Vitesse d’un parachutiste]
Un parachutiste tombe à une vitesse de 55 m.s−1 au moment où son parachute s’ouvre.
158
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Fonctions exponentielles
Thème: Equations différentielles
B On fixe l’origine du temps à cet instant-là (t = 0, en seconde).
• Pour tout t ∈ [0; +∞[, on note v(t) la vitesse (en m.s−1 ) du parachutiste à l’instant t.
P v2
? On admet que la résistance de l’air est donnée par R =
, où P est le poids du
25
parachutiste avec son équipement (P = m g en Newton, m masse en kg et g = 9, 81 m.s−2
constante de gravitation).
1. Démontrer que la fonction v est solution sur [0; +∞[ de l’équation différentielle
v2
0
v =g 1−
.
25
1
.
v−5
Déterminer une équation différentielle (L) satisfaite par z sur [0; +∞[.
3. Question ROC
2. On suppose que v > 5 sur [0; +∞[ et on pose z =
? Prérequis : La fonction exponentielle exp est dérivable, strictement positive sur R et
est la seule vérifiant : exp0 = exp et exp(0) = 1.
? Question : Résoudre l’équation différentielle (L) sur R.
4. En déduire une expression v(t) et préciser sa limite lorsque t tend vers +∞.
3. Retour sur la relation fonctionnelle
Rappelons que l’exponentielle vérifie
exp(x + y) = exp(x) exp(y)
exp0 (0) = 1.
On n’a pas encore montré dans ce cours que c’est la seule fontion dérivable sur R qui vérifie
cette propriété. On va en fait montrer davantage.
B Théorème 4: Relation fonctionnelle : cas général
? Soit k un nombre réel. Il existe une et une seule fonction ϕ dérivable sur R qui vérifie
ϕ(x + y) = ϕ(x) ϕ(y), pour tout x, y ∈ R
et
ϕ0 (0) = k.
C’est la fonction exponentielle généralisée : expk : x 7→ ek x .
Démonstration de 4.
[Exercice]
Soit une fonction ϕ vérifiant la relation fonctionnelle de l’énoncé.
ϕ(x + h) − ϕ(x)
ϕ(h) − 1
1. Montrer que, pour tous réels x et h, h 6= 0,
= ϕ(x) ×
.
h
h
2. En déduire que, pour tous réels x, ϕ0 (x) = ϕ(x) ϕ0 (0).
3. Conclure, en considérant l’équation différentielle (Ek ) : y 0 = k y, avec k = ϕ0 (0).
4. Traı̂ter la réciproque.
4
0
159
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TD no 9. Manipulation de l’exponentielle
Fonction exponentielle
[TD no 9) Manipulation de l’exponentielle
B
∗
Polycopié no 20
mardi 13/1/9
1. Propriétés analytiques
Exercice no 1 [Autour du nombre de Neper]
? Partie A : Questions ROC
1. Soit f une fonction réelle définie sur [a ; +∞[. Compléter la phrase suivante :
« On dit que f admet une limite finie ` en +∞ si . . . »
2. Démontrer le théorème « des gendarmes » : soient f, g et h trois fonctions définies sur
[a ; +∞[ et ` un nombre réel. Si g et h ont pour limite commune ` quand x tend vers +∞,
et si pour tout x assez grand g(x) ≤ f (x) ≤ h(x), alors la limite de f quand x tend vers
+∞ est égale à `.
? Partie B : Etude d’une fonction
Soient f la fonction définie sur R par f (x) = ex − x − 1 et (C ) sa courbe représentative
dans un repère orthonormal du plan. On admet que la droite (D) d’équation y = −x − 1 est
asymptote à (C ) et on a représenté ci-dessous la courbe (C ) et la droite (D).
1. Soit a un nombre réel. Écrire, en fonction de a, une équation de la tangente (T ) à (C ) au
point M d’abscisse a.
2. Cette tangente (T ) coupe la droite (D) au point N d’abscisse b. Vérifier que b − a = −1.
3. En déduire une construction, sur la figure ci-dessous, de la tangente (T ) à (C ) au point M
d’abscisse 1, 5. On fera apparaı̂tre le point N correspondant.
? Partie C : Suite convergente vers e
1. Déterminer graphiquement le signe de f .
2. En déduire, pour tout entier naturel non nul n, les inégalités suivantes :
1
(1) e n ≥ 1 +
1
n
−1
(2) e n+1 ≥ 1 −
1
.
n+1
160
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TD no 9. Manipulation de l’exponentielle
Fonction exponentielle
n
1
≤ e.
3. En utilisant l’inégalité (1), montrer que, pour tout entier n ≥ 1, 1 +
n
n+1
1
4. En utilisant l’inégalité (2), montrer que, pour tout entier n ≥ 1, e ≤ 1 +
.
n
n
1
5. Déduire des questions précédentes un encadrement de 1 +
puis sa limite en +∞.
n
Exercice no 2 [Divergence d’une suite récurrente]
1. Démonstration de cours.
? Prérequis. Définition d’une suite tendant vers +∞ :
Une suite (un ) tend vers +∞ si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir
d’un certain rang, supérieurs à A.
B Démontrer le théorème suivant : Une suite croissante non majorée tend vers +∞.
2. On considère la suite (un ) définie par u0 = 0 et la relation un+1 = un + e−un .
(a) Etablir que la suite (un ) est croissante.
(b) Montrer que si (un ) a pour limite un réel L alors L vérifie la relation L = L + e−L .
(c) en déduire que (un ) diverge vers +∞.
0
Exercice no 3 [Approximation de la solution d’une équation]
Le but de l’exercice est de montrer que l’équation (E) : ex = x1 admet une unique solution
réelle puis de construire une suite qui converge vers cette solution.
∗ I. Existence et unicité de la solution
On note f la fonction définie sur R par : f (x) = x − e−x .
1. Démonter que x est solution de l’équation (E) si, et seulement si f (x) = 0.
2. Étude du signe de la fonction f
(a) Étudier le sens de variations de la fonction f sur R.
(b) En déduire que l’équation (E) possède une unique solution sur R, notée α.
1
(c) Démontrer que α appartient à l’intervalle
; 1 .
2
(d) Étudier le signe de f sur l’intervalle [0 ; α].
∗ II. Deuxième approche
1+x
.
1 + ex
1. Démontrer que l’équation f (x) = 0 est équivalente à l’équation g(x) = x.
On note g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par : g(x) =
2. En déduire que α est l’unique réel vérifiant g(α) = α.
3. Calculer g 0 (x) et en déduire que la fonction g est croissante sur l’intervalle [0 ; α].
∗ III. Construction d’une suite de réels ayant pour limite α
On considère la suite (un ) définie par : u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = g (un ).
161
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TD no 9. Manipulation de l’exponentielle
Fonction exponentielle
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ α.
2. En déduire que la suite (un ) est convergente. On note ` sa limite.
3. Justifier l’égalité g(`) = `. En déduire la valeur de `.
2. Propriétés algébriques
Exercice no 4 [Moyennes arithmétique et géométrique]
Soient n un entier naturel non nul et a1 , ... an des réels strictement positifs. On définit :
n
a1 + ... + an
1 X
• La moyenne arithmétique des ai par : A =
=
ai .
n
n i=1
• La moyenne géométrique des ai par : G =
√
n
a1 ...an =
n
Y
!1/n
ai
.
i=1
Le but de cet exercice est de prouver que G ≤ A.
1. Montrer que, pour tout réel x, ex−1 ≥ x.
a
Gn
i
− 1 ≥ ; puis que : 1 ≥ n .
A
A
A
3. Conclure. Donner un exemple où l’inégalité démontrée est une égalité.
2. En déduire que, pour tout i ∈ {1, ..., n}, exp
a
i
3. Equations différentielles
Exercice no 5 [Le modèle de Verlhust]
On repique des plants de 10 cm de haut sous une serre. On sait que la taille maximale de ces
plants est de 1 m.
On note f (t) la taille, en mètre, d’un plant après t jours. En particulier : f (0) = 0, 1.
Le modèle de Verhulst repose sur la relation suivante, qui caractérise la vitesse de croissance
de la plante selon : f 0 (t) = a f (t) (1 − f (t)) où a est une constante dépendant des conditions
expérimentales. Autrement dit, f est solution sur [0; +∞[ de l’équation différentielle
y 0 = a y (1 − y).
1
.
f (t)
Montrer que z est solution sur [0; +∞[ de l’équation différentielle z 0 + a z = a.
1. On pose, pour tout t ∈ [0; +∞[, z(t) =
162
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TD no 9. Manipulation de l’exponentielle
Fonction exponentielle
2. Question ROC
? Prérequis : La fonction exponentielle exp est dérivable, strictement positive et est la
seule vérifiant : exp0 = exp et exp(0) = 1.
? Question : En n’utilisant que ces propriétés, résoudre l’équation z 0 + a z = a sur R.
1
3. En déduire que, pour tout réel t ∈ [0; +∞[, on a : f (t) = −at
.
9e + 1
4. On observe qu’au bout de 15 jours, la plante mesure 19 cm.
1
9
(a) Montrer que : a = − ln
. En donner une valeur approchée à 10−2 près.
15
19
(b) Etudier la limite de f en +∞ et préciser son sens de variation.
(c) Représenter graphiquement la fonction f .
Unités graphiques : 1 cm en abscisse et 10 cm en ordonnée.
(d) Au bout de combien de jours la plante mesurera-t-elle 90 cm de haut ?
Exercice no 6 [Taux d’alcoolémie]
Le taux d’alcoolémie f (t) (en g.l−1 ) d’une personne ayant, à jeun, une certaine quantité
d’alcool, vérifie sur ]0; +∞[, l’équation différentielle y 0 + y = ae−t , où :
• t est le temps (exprimé en heure) écoulé après l’injestion
• a une constante qui dépend des conditions expérimentales.
1. On pose, pour tout t ∈]0; +∞[, g(t) = f (t) et . Démontrer que g est une fonction affine.
2. Exprimer f (t) en fonction de t et de a.
3. (a) Etudier les variations de f puis tracer sa courbe dans un repère orthogonal.
(b) Déterminer le taux d’alcoolémie maximal et le temps au bout duquel il est atteint.
(c) Donner une valeur du délai T (à l’heure près par excès) au bout duquel le taux d’alcoolémie de cette personne est inférieur à 0, 5 g.L−1 .
Exercice no 7 [D’après Baccalauréat La Réunion, septembre 2007]
i π πh
On considère les deux équations différentielles suivantes définies sur − ;
:
2 2
∗
(E) :
y 0 + (1 + tan x) y = cos x
∗
(E0 ) :
y 0 + y = 1.
1. Donner l’ensemble des solutions de l’équation (E0 ).
i π πh
2. Soient f et g deux fonctions dérivables sur − ;
et telles que f (x) = g(x) cos x.
2 2
Démontrer que la fonction f est solution de (E) si, et seulement si g est solution de (E0 ).
3. Déterminer la solution f de (E) telle que f (0) = 0.
Exercice no 8 [La loi de refroidissement de Newton]
En thermodynamique, la loi de Newton s’énonce ainsi :
163
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TD no 9. Manipulation de l’exponentielle
Fonction exponentielle
La vitesse de refroidissement d’un corps inerte est proportionnelle à la différence de température
entre ce corps et le milieu ambiant.
Dans ces conditions, la température d’un corps passe de 100◦ C à 70◦ C en 15 minutes.
Au bout de combien de temps se trouvera-t-il à 40◦ C ?
164
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DS no 5. Equation différentielle
Fonction exponentielle
[DS no 5) Equation différentielle
B
∗
Polycopié no 26
jeudi 5/2/9
On considère l’équation différentielle (E) : 2 y 0 − 3 y = 3 x − 2, où y est une fonction de la
variable réelle x et y 0 sa dérivée.
1. On pose z = y + x. Déterminer une équation différentielle (F ) satisfaite par z.
2. Résoudre l’équation (F ).
3. Soit α un réel. Déterminer la solution yα de (E) vérifiant yα (0) = α.
4. Soient x0 un réel et (Cα ) la courbe de yα dans un repère orthonormal du plan.
Déterminer une équation de la tangente (Tα ) à (Cα ) au point d’abscisse x0 .
5. En déduire que les tangentes (Tα ) sont concourantes en un point commun de (C0 ).
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DS no 5 (Corrigé)
Fonction exponentielle
[DS no 5) Un corrigé
On considère l’équation différentielle (E) : 2 y 0 − 3 y = 3 x − 2, où y est une fonction de la
variable réelle x et y 0 sa dérivée.
y =z−x
0
0
1. On pose z(x) = y(x)+x. Alors z est dérivable et z (x) = y (x)+1. Donc :
.
y0 = z0 − 1
L’équation (E) est donc équivalente à 2 (z 0 − 1) − 3 (z − x) = 3 x − 2, soit :
2 z0 − 2 − 3 z + 3 x = 3 x − 2 ⇔ 2 z0 − 3 z = 0 ⇔ z0 =
3
z.
2
2. Résolution de (F ) : z 0 = 32 z. Ses solutions sont les fonctions définies sur R de la forme
3
z : x 7→ λ e 2 x ,
où λ est un réel quelconque.
3. Solution particulière de (E). D’après la question précédente, les solutions de (E) sont les
3
fonctions définies par : y(x) = z(x) − x = λ e 2 x − x.
3
De plus, la condition initiale yα (0) = α équivaut à λ e 2 0 − 0 = α , soit λ = α.
3
La solution yα de (E) vérifiant yα (0) = α est donc donnée par : yα (x) = α e 2 x − x.
4. Soient x0 un réel et (Cα ) la courbe de yα dans un repère orthonormal du plan.
Pour déterminer une équation de la tangente (Tα ) à (Cα ) au point d’abscisse x0 on utilise :
3
yα (x0 ) = α e 2 x0 − x0 et yα0 (x) =
3 α 3 x0
3α 3 x
e 2 − 1 donc yα0 (x0 ) =
e2 − 1
2
2
Une équation de (Tα ) est ainsi donnée par Y = yα0 (x0 ) (X − x0 ) + yα (x0 ), soit
3
3
3 α 3 x0
3 α 3 x0
3 x0
x
x
0
0
Y =
e 2 − 1 (X−x0 )+α e 2 −x0 ⇔ Y =
e 2 − 1 X+α e 2
1−
.
2
2
2
5. La courbe (C0 ) représente la fonction y0 : x 7→ −x. L’intersection de (C0 ) et de (Tα ) est
donc donnée par le système :
(
Y = −X
3
3 x0
3 α 32 x0
x
2 0
−X =
e
−
1
X
+
α
e
1
−
2
2
2
3 x0
La seconde équation conduit à : X = −
1−
.
3
2
Les courbes (C0 ) et (Tα ) se rencontrent donc au point A − 32 1 −
3 x0
2
;
2
3
1−
3 x0
2
.
Comme les coordonnées de A ne dépendent pas de α, on en déduit que toutes les tangentes
(Tα ) sont concourantes en A ∈ (C0 ).
166
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2008/2009
DS no 5 (Corrigé)
Fonction exponentielle
167
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Fonction exponentielle
Formulaire. Exponentielle réelle
[Formulaire) Exponentielle réelle
1. Propriétés analytiques
Soit Γ la courbe de exp : x 7→ ex dans un repère orthogonal (O ; ~ı , ~ ).
? Introduction : La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur R vérifiant :
exp = exp0
e0 = 1.
On en déduit immédiatement les propriétés qui suivent, nécéssaires au tracé de Γ :
? Signe : exp est à valeurs dans ]0; +∞[ : pour tout réel x, ex > 0.
La courbe Γ est donc toujours au-dessus de l’axe (Ox) et ne le rencontre jamais.
? Stricte monotonie : exp est strictement croissante sur R (car exp0 > 0 sur R).
On a donc : pour tous réels a et b : a < b ⇔ ea < eb .
B En particulier : ex > 1 ⇔ x > 0.
? Bijection : exp réalise une bijection dérivable et strictement croissante de R sur ]0; +∞[.
Sa fonction réciproque est la fonction Logarithme népérien ln :]0; +∞[→ R.
? Etude locale en 0 : Comme exp(0) = exp0 (0) = 1 alors :
il existe une fonction ϕ, définie sur R telle que ex = x + 1 + x ϕ(x) et
lim ϕ(x) = 0.
x→0
ex − 1
= 1 et la droite T d’équation y = x + 1 est tangente à Γ
x→0
x
au point de coordonnées (0; 1) et toujours en dessous de Γ.
B En particulier :
lim
? Nombre de Neper : Le nombre e = exp(1) est appelé1 nombre de Neper.
Le nombre e est un nombre transcendant (comme π) et donc irrationnel.
Une valeur approchée de e à 10−3 près est 2, 718.
? Formule de dérivation : Si u une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction
(exp ◦u) = eu est dérivable sur I et (exp ◦u)0 = u0 · (exp ◦u).

x
 lim e
= +∞
x→+∞ xn
? Limites et croissances comparées : Soit n un entier relatif. Alors :
 lim xn ex = 0.
x→−∞
On en déduit que l’axe (Ox) est asymptôte à Γ au voisinage de −∞.
1
Du nom du mathématicien qui formalisa le premier les phénomènes exponentiels et le logarithmique.
168
Terminale S3
2008/2009
Fonction exponentielle
Formulaire. Exponentielle réelle
? Courbe :
2. Propriétés algébriques
Soient n un entier relatif et x, y deux réels. Alors :
ex+y = ex · ey
e0 = 1
x
1
= (ex )−1 ex−y = eey
e−x =
ex
en x = (ex )n
ex/n = (ex )1/n si n 6= 0.
3. Equations différentielles
? Résolution de y 0 = ay + b. Soient a et b deux réels donnés.
1. L’ensemble des solutions sur R de l’équation différentielle (Ea,b ) : y 0 = ay + b est :
∗ si a = 0, l’ensemble des fonctions f telles que, pour tout réel x, f (x) = b x + c
où c est une constante réelle.
b
∗ si a 6= 0, l’ensemble des fonctions f telles que, pour tout réel x, f (x) = c ea x −
a
où c est une constante réelle.
2. Soient x0 et y0 deux réels. Parmis les solutions
de (Ea,b ), il en existe une seule qui soit
f (x0 ) = y0
solution au problème de Cauchy suivant :
.
y0 = a y + b
169
Terminale S3
2008/2009
Chapitre 5
Fonctions Logarithmes
170
Fonctions logarithmes
Thème: Fonction Logarithme Néperien
[Thème) Fonction Logarithme Néperien
1. Introduction au Logarithme Népérien
1.1. Définitions
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante de R sur ]0; +∞[.
Ceci entraine notament que :
Pour tout réel y > 0, il existe un unique réel x tel que exp(x) = y.
B Définition 1: logarithme népérien (ou naturel)
? D’après le théorème de la bijection, l’exponentielle admet une fonction réciproque, appelé
logarithme népérien et noté ln.
B Proposition 2: propriétés immédiates
? D’après le théorème de la bijection, le logarithme népérien vérifie les propriétés suivantes :
1. ln est continue et strictement croissant de R∗+ sur R.
2. Soient x ∈ R et y ∈ R∗+ . Alors :
ln(ex ) = x et exp(ln(y)) = y
et on a l’équivalence
ex = y ⇔ x = ln(y).
3. En particulier ln(1) = 0 et ln(e) = 1. La première image justifie l’appellation de
logarithme naturel.
4. La courbe de ln dans un repère cartésien du plan est l’image de celle de exp par la
reflexion d’axe la première bissectrice du repère.
1.2. Limites aux bornes
B Théorème 3: limites aux bornes
? La fonction ln admet les limites suivantes :
lim ln(x) = −∞ et
>
x
0
→
lim ln(x) = +∞.
x→+∞
Démonstration de 3.
171
Terminale S3
2008/2009
Fonctions logarithmes
Thème: Fonction Logarithme Néperien
En +∞ : Soit A > 0. Montrons que, pour x assez grand, on a ln(x) > A. Or on a
l’équivalence
ln(x) > A ⇔ x > exp(A)
puisque exp est strictement croissante sur R. En particulier,
si x > exp(A) alors ln(x) > A.
En 0 : Soit maintenant B < 0. Montrons que, pour x > 0 suffisamment proche de 0,
ln(x) < B. De même que précédemment,
ln(x) < B ⇔ 0 < x < exp(B)
puisque exp est strictement croissante sur R. En particulier,
si 0 < x < exp(B) alors ln(x) < B.
3
1.3. Variations et courbes
La fonction logarithme népérien est strictement croissante de R∗+ sur R.
B Corollaire 4: tableau de variations
?
∗ Remarque [conservation de l’ordre] La stricte croissance de ln équivaut à l’assertion
suivante :
0 < a < b ⇔ ln a < ln b.
D’autre part, on a l’équivalence (conséquence de la première)
0 < a = b ⇔ ln a = ln b.
172
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Fonctions logarithmes
Thème: Fonction Logarithme Néperien
1.4. Dérivation
B Proposition 5: formule
? La fonction ln est dérivable sur R∗+ et, pour tout x > 0,
ln0 (x) =
1
.
x
Démonstration de 5.
L’exponentielle exp : R → R∗+ est dérivable et sa dérivée ne
s’annule pas. La fonction ln : R∗+ → R est donc dérivable et, pour tout x > 0,
ln0 (x) =
1
−1 0
ln
(ln(x))
=
1
1
= .
exp(ln(x))
x
5
Utilisons maintenant cette relation dans la formule de dérivation composée.
Soit d’abord u : I → R∗+ dérivable ; alors, sur I, on a
(ln ◦u)0 = (ln0 ◦u).u0 =
1 0 u0
.u =
u
u
puisque ln est dérivable sur R∗+ , que u est dérivable et strictement positive sur I.
On a donc obtenu le corollaire suivant :
B Proposition 6: composition
173
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Fonctions logarithmes
Thème: Fonction Logarithme Néperien
? Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I ; alors la fonction
ln ◦u est dérivable sur I et
u0
(ln ◦u)0 = .
u
Exercice no 1 [variations et signe d’une fonction]
Etudier les variations puis le signe de la fonction
x 7→ ln(x) − x + 1.
Exercice no 2 [Etude de fonction]
Soit la fonction
f : x 7→ ln
x−1
2x − 3
.
1. Déterminer l’ensemble de définition de f .
2. On admet que f est dérivable sur son ensemble de définiton. Calculer f 0 (x).
3. Résoudre l’inéquation :
f (x) > 1.
1.5. Autres limites remarquables
Comme la fonction ln est dérivable en 1 de nombre dérivé 1 ; de ceci et de l’exercice précédent,
on déduit le corollaire suivant :
B Corollaire 7: étude locale en 1
? Tangente : La courbe de ln admet pour tangente au point d’abscisse 1 la droite d’équation
y = x − 1.
Cette tangente est toujours au dessus de la courbe.
Développement limité : Il existe une fonction , définie sur R, telle que, pour tout
x > 0,
ln(x) = x − 1 + (x − 1)(x − 1) avec lim (h) = 0 ,
h→0
ce qui peut aussi s’écrire, pour tout x > −1,
ln(1 + x) = x + x(x) avec
lim (h) = 0.
h→0
Limite : On a donc en particulier la limite suivante :
ln(1 + x)
= 1.
x→0
x
lim
On a d’autre part, comme pour l’exponentielle, un théorème de croissances comparées :
B Théorème 8: croissances comparées
174
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Fonctions logarithmes
Thème: Fonction Logarithme Néperien
? Soit n un entier naturel non nul ; alors :
lim xn ln(x) = 0 et
>
x
0
→
Démonstration de 8.
ln(x)
= 0.
x→+∞ xn
lim
Sur le livre : ***.
8
Exercice no 3 [Suite convergente vers l’Exponentielle]
Soit a un réel. On considère la suite (bn ) de terme général
a n
bn = 1 +
.
n
Le but de l’exercice est d’établir la limite suivante :
lim bn = exp(a).
n→+∞
1. Justifier l’existence d’une fonction ϕ vérifiant les propriétés suivantes :
∀ x ∈ R , ln(1 + x) = x + xϕ(x) et
lim ϕ(x) = 0.
x→0
2. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul,
h
a i
a n
1+
= exp a + aϕ
.
n
n
3. Conclure en prouvant alors que :
lim bn = exp(a).
n→+∞
175
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Fonctions logarithmes
Exercices. Approfondissement
[Exercices) Approfondissement
Exercice no 1 [D’après Aix-Marseille série D, 1990 (5 pts)]
1. Soit (un ) la suite numérique définie pour tout n ∈ N∗ par : un =
n(n + 2)
.
(n + 1)2
(a) Montrer que pour tout n ∈ N∗ , 0 < un ≤ 1.
(b) Etudier le sens de variation de la suite (un ), puis déterminer sa limite.
2. On pose pour tout n ∈ N∗ , xn = u1 × u2 × · · · × un .
n+2
(a) Montrer que pour tout n ∈ N∗ , xn =
.
2(n + 1)
(b) Déterminer la limite de (xn ).
3. On pose pour tout n ∈ N∗ , vn = ln(un ).
(a) Justifier que la suite (vn ) est définie pour tout entier naturel non nul, et qu’elle est à
valeurs négatives.
(b) Montrer que la suite (vn ) est croissante, et déterminer sa limite.
4. On pose pour tout n ∈ N∗ , yn = v1 + v2 + · · · + vn .
(a) Exprimer yn en fonction de xn .
(b) Déterminer la limite de yn quand n tend vers +∞.
0
Exercice no 2 [Baccalauréat série D, Amiens 1987]
1. On considère la suite numérique (vn )n∈N définie par : ln(7n vn ) = 2n.
2. Démontrer que la suite (vn ) est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme
et la raison.
3. La suite (vn ) admet-elle une limite ?
4. Déterminer un entier n0 tel que, pour tout entier n ≥ n0 , on ait vn ≥ 100.
0
Exercice no 3 [Baccalauréat série D, sujet national 1987]
2
un+1 = 4un
On considère la suite numérique (un )n∈N∗ définie par :
u1 = 1.
1. Calculer u2 , u3 , u4 , u5 . Donner les résultats sous la forme 2α .
2. On considère la suite numérique (vn )n∈N∗ définie par : vn = ln(un ) − ln(4).
Démontrer que (vn ) est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la
raison.
3. Exprimer vn en fonction de n. En déduire un . Calculer
lim un .
n→+∞
4. Pour quelles valeurs de n a-t-on un ≥ 3, 96 ?
176
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Fonctions logarithmes
Exercices. Approfondissement
0
Exercice no 4 [D’après Problème Groupe IV, série D, 1991]
n
On considère la suite (un )n∈N∗ de terme général un = ln
.
n+1
1. Déterminer son sens de variation, et, pour tout entier n ≥ 1, le signe de un .
2. On pose Sn = u1 + u2 + · · · + un . Calculer Sn en fonction de n, puis sa limite quand n tend
vers +∞.
3. On pose Tn = un+1 + un+2 + · · · + u2n . Calculer Tn en fonction de n, puis sa limite quand
n tend vers +∞.
0
Exercice no 5 [D’après Réunion, septembre 1983]
1. Montrer par récurrence que, ∀n ∈ N∗ , 12 + 22 + · · · + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
2. Montrer que chacune des fonctions : x 7→ x − ln(1 + x) et x 7→ ln(1 + x) − x +
que des valeurs positives ou nulles sur [0 ; +∞[.
x2
, ne prend
2
1
n
)
+
·
·
·
+
ln(1
+
).
n2
n2
Montrer, en utilisant 1) et 2) que la suite (un ) est convergente et donner sa limite.
1
n
4. En déduire la limite de la suite (vn ) de terme général vn = (1 + 2 ) · · · (1 + 2 ).
n
n
0
3. On considère la suite (un ) de terme général un = ln(1 +
Exercice no 6 [D’après Antilles Septembre 1995, série S]
1
1
− ln(1 + ). Quelle est sa limite ?
n
n
2
x
x2 x3
2. (a) Montrer que, pour tout x ≥ 0, x −
≤ ln(1 + x) ≤ x −
+ .
2
2
3
1
1
1
(b) En déduire que, pour tout entier n ≥ 1 on a :
− 3 ≤ un ≤ 2 .
2
2n
3n
2n
2
3. Déterminer la limite de 2n · un lorsque n tend vers +∞.
1. Soit la suite (un )n∈N∗ définie par : un =
0
D’après des exercices et solutions rédigés par Patrick SOUBEYRAND et Rémi DE GAVOTY.
177
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Fonctions logarithmes
Thème: Logarithme de base a
[Thème) Logarithme de base a
1. Définitions et propriétés
Soit a > 0 ; on note loga la fonction
loga : ]0; +∞[ → R
x 7→ loga (x) =
ln(x)
ln(a)
appelée Logarithme de base a.
Exercice no 1 [étude de loga ]
1. Que vaut log1 ; log1/2 ?
2. Etudier les variations de loga selon les cas suivants :
0 < a < 1 et a > 1.
Logarithme décimal. -
On note
log = log10 .
Exercice sur le livre. -
TP2 page 128 (question 2.1.)
2. Propriétés algébriques
B Théorème 1: relation fonctionnelle
? Les fonctions f définies sur R∗+ satisfaisant à la relation fonctionnelle
f (xy) = f (x) + f (y) ,
sont les fonctions logarithmes.
Démonstration de 1.
Condition suffisante. Montrons que la fonction ln vérifie la relation fonctionnelle du
théorème. Soient x et y des réels strictement positifs. On pose :
X = ln(x) et Y = ln(y).
Alors :
exp(X + Y ) = exp(X). exp(Y ) ⇒ ln(exp(X + Y )) = ln(exp(X). exp(Y ))
178
Terminale S3
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Fonctions logarithmes
Thème: Logarithme de base a
ce qui entrı̂ne que :
ln(x) + ln(y) = X + Y = ln(xy).
Soit maintenant a > 0. La fonction loga vérifie elle aussi la relation fonctionnelle du théorème
puisque, pour tous réels x et y stritement positifs :
loga (xy) =
ln(x) + ln(y)
ln(x) ln(y)
ln(xy)
=
=
+
= loga (x) + loga (y).
ln(a)
ln(a)
ln(a) ln(a)
Les fonctions logarithmes vérifient bien la relation fonctionnelle du théorème.
Condition nécéssaire. Soit f définie sur R∗+ telle que, pour tous x et y strictement positifs,
f (xy) = f (x) + f (y).
Considérons la fonction Θ définie sur R par :
Θ : X 7→ f (exp(X)).
Pour tous réels X et Y , on a alors :
Θ(X + Y ) = f (exp(XY )) = f (exp(X). exp(Y )) = f (exp(X)) + f (exp(Y )) = Θ(X) + Θ(Y ).
D’après le cours de seconde, Θ est une fonction linéaire : il existe un réel α tel que, pour tout
réel X,
Θ(X) = f (exp(X)) = αX.
On pose alors :
x = exp(X) (x > 0) ( ⇔ X = ln(x) )v irg
et on a :
f (x) = f (exp(ln(x))) = α ln(x).
Enfin, comme ln est une bijection de R∗+ sur R, il existe un réel strictement positif a tel que :
1
= ln(a).
α
Finalement, pour tout réel x strictement positif,
f (x) =
ln(x)
= loga (x).
ln(a)
Une fonction vérifiant la relation fonctionnelle du théorème est donc nécéssairement une fonction logarithme.
1
B Corollaire 2: formulaire
179
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Fonctions logarithmes
Thème: Logarithme de base a
? Soient n un entier relatif ainsi que x et y deux réels strictement positifs ; alors
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
1
= − ln(x)
ln
x
et
ln(1) = 0
y
et
ln
= ln(y) − ln(x)
x
1
ln (xn ) = n ln(x)
et
ln x1/n = ln(x)
n
On a des relations analogues pour les autres fonctions logarithmes.
Démonstration de 2. Comme pour l’Exponentielle, il suffit, pour établir ce formulaire,
d’appliquer la relation fonctionnelle dans des cas particuliers convenables.
2
Exercice no 2 [application du formulaire]
Montrer que le nombre
10 ln 9 + 5 ln 8
ln 648
est un nombre entier.
Exercice no 3 [(in)équations]
Résoudre :
ln(x2 − 5x − 3) ≥ 2 ln(3) ;
ln(x − 1) + ln(x − 2) = ln(2x − 8) et
ln(5x + 1) − 2 < 0.
On considère l’inéquation
(I)
:
ln(x2 + 2x + 2) ≥ ln(3 − x) + ln(x + 1).
1. Déterminer l’ensemble de définition de (I).
2. Résoudre (I).
Retour sur le Logarithme décimal. -
sur le livre : TP2 page 128 (question 2.2. et 2.3)
3. Fonctions puissances
Soient x > 0 et n ∈ Q ; on remarque que :
xn = exp (ln(xn )) = exp(n ln(x))).
On utilise cette formule pour définir les fonctions puissances généralisées :
B Définition 3: puissance généralisée
? Soit α un nombre réel et x un réel strictement positif. On pose :
xα = exp(α ln(x)).
Cette notation est comptatible aux propriétés usuelles du calcul de puissance.
180
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Chapitre 6
Calcul intégral
181
Calcul integral
Thème: Calculs d’aires
[Thème) Calculs d’aires
Dans ce thème, f désigne une fonction définie sur un intervalle [a, b], avec a ≤ b.
On note Cf la courbe de f dans un repère orthonogonal (O,~i, ~j) du plan.
1. Intégrale d’une fonction positive
B Définition 1: Unité d’aire
? Dans le repère orthogonal (O,~i, ~j), on considère les points I(1; 0), J(0; 1) et K(1; 1).
L’unité d’aire graphique est par définition l’aire du rectangle OIKJ, soit OI × OJ.
Dans ce chapitre, toute aire sera implicitement estimée en unité d’aire (U.A).
B Définition 2: Intégrale d’une fonction positive
? On suppose que f est positive et continue sur l’intervalle [a, b].
Soit Ef (a, b) l’ensemble des points M (x, y) du plan tels que :
a≤x≤b
0 ≤ y ≤ f (x).
L’aire du domaine Ef (a, b)
est appelée intégrale de
f entre a et b (dans cet
ordre). Ce nombre est noté
Z
b
f (x)dx ,
a
et la fonction f est appelée
intégrande de cette
intégrale.
On notera qu’en particulier, on a toujours
Ra
a
f = 0.
R
∗ Remarque [notations] Les symboles et dx sont indissociables dans cette notation.
Ils proviennent de l’interprétation physique du calcul de l’aire. 0 La variable
x est, dans cette
R
notation une variable muette : elle n’a de sens qu’entre les symboles
et dx et peut être
remplacée par une autre lettre ou simplement ommise :
Z b
Z b
Z b
f (x)dx =
f (t)dt =
f.
a
a
a
182
Terminale S3
2008/2009
Calcul integral
Thème: Calculs d’aires
2. Sommes de Riemann
On suppose que f est continue et positive sur un intervalle [a, b].
On considère un entier n ≥ 1 et la
subdivision suivante de [a, b] :
a = α0 < ... < αk = a+k
b−a
< ... < αn = b.
n
Les sommes de Riemann d’ordre n associées à cette subdivision sont par définition :
n−1 b−a X
b−a
an =
f a+k
n k=0
n
n
b−a X
b−a
et An =
.
f a+k
n k=1
n
B Proposition 3: Approximation par les sommes de Riemann
? Sous les hypothèses précédentes, les suites (an ) et (An ) convergent et :
Z
lim an = lim An =
n→+∞
n→+∞
b
f (x)dx.
a
D’autre part, lorsque f est monotone, ces suites sont adjacentes avec :
• si f est croissante alors an ≤ An
• si f est décroissante alors An ≤ an .
Démonstration de 3. Admise. On notera que c’est une généralisation de cette proposition (avec des subdivisions quelconques) qui établit de manière rigoureuse la définition de
l’aire sous une courbe. C’est ainsi le point de départ de la théorie de l’intégration de Riemann.
3
Exercice no 1 [Etudes de somme de Riemann]
1. Exprimer la limite les termes généraux suivants (n ∈ N∗ ) sous la forme d’une intégrale :
n−1 3
1 X k
un =
n k=0 n
n
n
1 X
1
1 X
; vn =
; wn =
n k=1 1 + k/n
n k=0
r
3+
k2
.
n
2. Utiliser ces exemples pour trouver trois exemples de couple de suites adjacentes.
3. A l’aide des techniques du calcul de primitive, calculer les trois intégrales correspondantes.
0
Terminale S3
183
2008/2009
Calcul integral
Thème: Calculs d’aires
3. Valeur moyenne
On suppose que f est continue et positive sur l’intervalle [a, b] (a < b).
B Définition 4: Valeur moyenne
1
• si a < b alors Mf (a, b) =
? La valeur moyenne de f sur [a, b] est donnée par :
b−a
• si a = b alors Mf (a, b) = f (a).
Z
b
f (x)dx
a
B Interprétation.
La valeur
moyenne vérifie toujours la relation :
Z b
f (x)dx.
(b − a) Mf (a, b) =
a
C’est donc le réel µ tel que le rectangle de dimension µ et (b − a) ait la
même aire que le domaine Ef (a, b).
En particulier, si f est constante, elle doit prendre la valeur Mf (a, b) pour que l’aire
inchangée. 0
Rb
a
f reste
4. Exemples
∗ Fonction affine
On considère la fonction u définie sur R par u(x) = 2 x − 3.
1. Calculer sa valeur moyenne sur l’intervalle [2; 5].
2. Même question sur l’intervalle [1; 2].
∗ Fonction en escalier
Soit la fonction g définie sur [−2; 3] par :
• f (−2) = 1 ;
• si x ∈] − 2; −3/2[ alors g(x) = 1/2 ;
• si x ∈ [−3/2; 3/2[ alors g(x) = 6 ;
• si x ∈ [3/2; 3[ alors g(x) = 6/5 ;
Calculer la valeur moyenne de g.
0
184
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Calcul integral
Thème: L’intégrale de Riemann
[Thème) L’intégrale de Riemann
1. Intégrale d’une fonction de signe quelconque
Dans cette section, f désigne une fonction continue et de signe quelconque sur un intervalle
[a, b], avec a < b.
On admet qu’il existe une subdivision : a = α0 < ... < αp+1 = b telle que, sur chacun des
intervalles ]αi , αi+1 [ (i ∈ {0, ..., p}), f est de signe constant. On note d’ailleurs εi ce signe.
Dans ce cas, pour tout i ∈ {0, ..., p}, la fonction εi f = |f | est positive sur l’intervalle ]αi , αi+1 [
et on a donc déjà donné un sens à son intégrale
Z αi+1
εi f (t)dt.
αi
B Définition 1: intégrale d’une fonction de signe quelconque
? Sous les hypothèses précédentes, on définit l’intégrale de a à b de f par la somme suivante :
Z
b
f (t)dt =
a
p
X
Z
αi+1
εi
εi f (t)dt =
αi
i=0
Z
a
Z
b
αi+1
Z
|f (t)| dt.
εi
i=0
f (t)dt = −
On convient d’autre part que :
p
X
b
αi
Z
a
b
−f (t)dt.
f (t)dt =
a
0
∗ Remarque [Notion d’aire algébrique]
Pour une fonction de signe quelconque,
l’intégrale de a à b de f peut être interprétée comme l’aire algébrique du domaine :
Ef (a, b) = {M (x, y) : x ∈ [a, b] et y ∈ [0, f (x)]} , où :
• l’aire est comptée positivement lorsque f (x) ≥ 0 et a ≤ b
• l’aire est comptée négativement lorsque f (x) ≤ 0 et a ≤ b.
L’intérêt de cette notion d’aire algébrique est qu’elle peut se manipuler suivant les mêmes
rêgles concernant l’aire géométrique auxquelles on adjoints les conventions de signes décrites
dans la définition précédente. 0
2. Propriétés de l’intégrale
Les propriétés suivantes seront admises mais interprétées en terme de valeur moyenne pour
les rendre conformes à l’intuition.
Terminale S3
185
2008/2009
Calcul integral
Thème: L’intégrale de Riemann
Elle seront néanmoins démontrées en exercice à la section suivante, à l’aide du théorème
fondamental de l’analyse.
B Proposition 2: Rêgles de calcul
? On considère :
• deux fonctions f et g continues sur un même intervalle [a, b] (a < b)
• une constante réelle λ. Alors :
Z b
Z b
Z b
Z b
Z b
f.
λf = λ
g et
Linéarité :
f+
(f + g) =
a
a
a
a
a
Z
b
f ≥ 0.
Positivité : si f est positive sur [a, b], alors
a
La propriété analogue avec des inégalités strictes est encore vraie.
Z b
Z b
g.
f≤
Conservation de l’ordre : si f ≤ g sur [a, b], alors
a
a
La propriété analogue avec des inégalités strictes est encore vraie.
Z b
Z c
Z b
Relation de Chasles : Pour toute borne c ∈ [a, b], on a
f=
f+
f.
a
a
c
0
∗ Remarque [Formules analogues pour des sommes discrètes]
deux suites numériques réelles et λ ∈ R ; alors :
Linéarité :
n
X
k=0
(uk + vk ) =
n
X
uk +
k=0
n
X
vk et
k=0
Positivité : si (un ) est positive, alors
n
X
k=0
n
X
λ uk = λ
n
X
0 Soient (un ) et (vn )
uk .
k=0
uk ≥ 0.
k=0
La propriété analogue avec des inégalités strictes est encore vraie.
Ordre : si un ≤ vn sur N, alors
n
X
k=0
uk ≤
n
X
vk .
k=0
La propriété analogue avec des inégalités strictes est encore vraies.
186
Terminale S3
2008/2009
Calcul integral
Thème: L’intégrale de Riemann
Relation de Chasles : soit n0 ∈ {0, ..., n − 1} ; alors
n
X
uk =
k=0
n0
X
uk +
k=0
n
X
uk .
k=n0 +1
0
B Corollaire 3: Inégalité de la moyenne
On considère :
• une fonction f continue sur un intervalle [a, b] (a ≤ b)
? • deux réels m et M tels que m ≤ f ≤ M sur [a, b].
Z b
f ≤ M (b − a).
Alors : m (b − a) ≤
a
Démonstration de 3. Si m ≤ f ≤ M sur [a, b], alors on peut considérer m et M comme
des fonctions constantes sur [a, b] et la conservation de l’ordre vue précédemment donne :
Z
b
Z
m dt ≤
a
b
Z
f (t)dt ≤
a
b
M dt.
a
D’autre part, par définition de l’intégrale, on a :
Z b
Z b
m dt = m (b − a) et
M dt = M (b − a).
a
Z
a
b
Donc : m(b − a) ≤
f ≤ M (b − a) ; ce qui entraine que m ≤ Mf (a, b) ≤ M .
a
3
B Proposition 4: Presque nullité de l’intégrande d’une intégrale nulle
? Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] et de signe constant.
Z
b
f (x)dx = 0
On a l’équivalence :
⇔ f = 0.
a
0
Exercice no 1 [Fonction partie entière]
On considère la fonction E définie sur R comme suit : pour tout réel x, on note n l’unique
entier tel que n ≤ x < n + 1 ; alors E(x) = n.
1. Montrer que E est une fonction en escalier.
2. Tracer la courbe de E dans un repère orthonormal.
3. Calculer la valeur moyenne de E sur l’intervalle [3; 7]. Même question sur [−3; 2].
187
Terminale S3
2008/2009
Calcul integral
Thème: Intégrales et primitives
[Thème) Intégrales et primitives
Dans tout ce thème, on désigne par f une fonction continue sur un intervalle I.
1. Intégrales et primitives
B Définition 1: Primitive
? On appelle primitive de f toute fonction F , dérivable sur I, telle que F 0 = f .
B Proposition 2: Primitives
? Soit F une primitive de f sur I. Alors toutes les primitives de f sur I sont les fonctions de
la forme F + k, où k est une constante réelle.
Démonstration de 2.
Si F est une primitive de f sur I alors, pour tout k ∈ R, la
fonction G = F + k est encore dérivable sur I et vérifie : G0 = (F + k)0 = F 0 = f . C’est donc
bien une primitive de f sur I.
Réciproque : soit H une primitive de f sur I. On considère la fonction D = H − F , dérivable
sur l’intervalle I et vérifiant H 0 = H 0 − F 0 = f − f = 0.
La fonction D est donc constante : il existe ainsi k ∈ R tel que H − F = k, soit H = F + k.
2
B Théorème 3: Primitive donnée par une intégrale
? Soit a ∈ I. La fonction
qui s’annule en a.
F : I → R
Rx
x 7→ F (x) = a f (t)dt
est l’unique primitive de f sur I
Démonstration de 3.
∗ Montrons que F est une primitive de f . On traite seulement le cas où f est positive
et croissante sur I. Soit x0 ∈ I. On cherche à montrer que
lim+
h→0
F (x0 + h) − F (x0 )
= f (x0 ) puis que
h
lim−
h→0
F (x0 + h) − F (x0 )
= f (x0 ).
h
∗ Soit h > 0 tel que x0 + h ∈ I. Montrons que f (x0 ) ≤
par des considérations d’aires géométriques.
Z x0 +h
Z x0
Z x0 +h
• F (x0 + h) − F (x0 ) =
f−
f=
f.
a
a
F (x0 + h) − F (x0 )
≤ f (x0 + h)
h
x0
C’est l’aire du domaine E(x0 , x0 + h) = {M (x, y) : x0 ≤ x ≤ x0 + h et 0 ≤ y ≤ f (x)}.
188
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Calcul integral
Thème: Intégrales et primitives
• le nombre h f (x0 ) est l’aire de D(x0 ) = {M (x, y) : x0 ≤ x ≤ x0 + h et 0 ≤ y ≤ f (x0 )}
• h f (x0 + h) est l’aire de D(x0 + h) = {M (x, y) : x0 ≤ x ≤ x0 + h et 0 ≤ y ≤ f (x0 + h)}.
D’autre part, la croissance de f entraine les inclusions D(x0 ) ⊂ E(x0 , x0 + h) ⊂ D(x0 + h).
Comme f ≥ 0 et h > 0, on en déduit l’encadrement
d’aires suivant :
h f (x0 ) ≤ F (x0 + h) − F (x0 ) ≤ h f (x0 + h).
Donc (h > 0) :
f (x0 ) ≤
F (x0 + h) − F (x0 )
≤ f (x0 + h).
h
Or f est continue en x0 , donc lim f (x0 +h) = f (x0 ).
h→0
Le théorème des gendarmes entraine alors : lim+
h→0
F (x0 + h) − F (x0 )
= f (x0 ).
h
F (x0 ) − F (x0 + h)
≤ f (x0 ).
h
Puisque f est continue en x0 , le théorème des gendarmes s’applique encore et donne :
∗ Soit h < 0 tel que x0 + h ∈ I. De même : f (x0 + h) ≤ −
lim−
h→0
F (x0 + h) − F (x0 )
= f (x0 ).
h
F (x0 + h) − F (x0 )
F (x0 + h) − F (x0 )
= lim−
= f (x0 ).
h→0
h→0
h
h
0
Ceci montre bien que F est dérivable en x0 et que F (x0 ) = f (x0 ).
Ra
∗ Démonstration des autres propriétés. Comme F (a) = a f = 0, la fonction F est
bien une primitive de f sur I qui s’annule en a. C’est la seule qui vérifie cette condition initiale
car toute autre primitive H de f sur I est de la forme H = F + k. Si H(a) = 0 alors k = 0,
donc F = H.
6 B Conclusion. On a obtenu : lim+
3
0
B Corollaire 4: Calcul d’intégrale par primitive
Z
? Soient a, b ∈ I et F une primitive de f sur [a, b]. Alors :
b
f (t) dt = F (b) − F (a).
a
Z
Démonstration de 4.
x
On considère la fonction G : x 7→
f (t) dt, primitive de f
a
sur [a, b] s’annulant en a ainsi que F une autre primitive de f sur [a, b].
Z b
Z a
Z b
Par définition de la fonction G, on a : G(b) − G(a) =
f (t) dt −
f (t) dt =
f (t) dt.
a
a
a
189
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Calcul integral
Thème: Intégrales et primitives
D’autre part, on sait qu’il existe une constante réelle k telle que, sur [a, b], F = G + k.
Z b
f (t) dt = G(b) − G(a) = [G(b) + k] − [G(a) + k] = F (b) − F (a).
On a donc :
a
4
0
2. Intégration par parties
B Théorème 5: Intégration par partie
? Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle [a, b] telles que f 0 et g 0 sont continues
sur [a, b]. Alors :
Z b
Z b
0
b
f (t) g(t) dt = [f (t) g(t)]a −
f (t) g 0 (t) dt.
a
Démonstration de 5.
a
La fonction f g est dérivable sur [a, b] et (f g)0 = f 0 g + f g 0 .
Par hypothèse cette fonction est continue donc, d’après le corollaire 4, on a :
Z b
[f (t) g(t)]0 dt = [f (t) g(t)]ba .
a
D’autre part, la linéarité de l’intégrale permet d’écrire les égalités suivantes :
Z b
Z b
Z b
Z b
0
0
0
0
f (t) g 0 (t) dt.
f (t) g(t) dt +
[f (t) g(t) + f (t) g (t)] dt =
[f (t) g(t)] dt =
Z
On obtient donc l’égalité :
b
Z
0
f (t) g(t) dt +
a
théorème.
a
a
a
a
b
f (t) g 0 (t) dt = [f (t) g(t)]ba , qui prouve le
a
5
Exercice no 1 [Applications directes]
Calculer les intégrales suivantes en fonction du paramètre a > 0 :
Z a
Z a
Z
−t
(2t + 1)e dt ;
3t cos(2t − π/3)dt et
1
0
a
ln(t)dt.
1
Etudier leur limite lorsque a tend vers +∞.
190
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Calcul integral
Thème: Intégrales et primitives
3. Primitives : formulaire
? Fonctions usuelles. On note n un entier naturel non nul et a un réel.
integrande
x 7→ xn
x 7→
1
xn
x 7→
1
x
primitives (k ∈ R)
continuite
x 7→
R
, n 6= 1
]0, +∞[ ou ] − ∞, 0[ x 7→
xn
n+1
+k
1
(1−n)xn−1
+k
]0; +∞[ ou ] − ∞, 0[ x 7→ ln |x| + k
x 7→ ex
R
x 7→ ex + k
x 7→ cos(x)
R
x 7→ sin(x) + k
x 7→ sin(x)
R
x 7→ − cos(x) + k
x 7→ tan(x)
] − π/2; π/2[
x 7→ xa , a 6= −1
]0; +∞[
x 7→ − ln |cos(x)| + k
x 7→
xa+1
a+1
? Utilisation des fonctions composées
Soient u et v deux fonctions
continue sur des intervalles
I et J respectivement.
On suppose de plus que
u(I) ⊂ J et que u est
dérivable sur I.
integrande
continuite
u0 u n
I
u0 (v ◦ u)
I
u0
un
, n 6= 1
si ∀x ∈ I , u(x) 6= 0
u0
u
si ∀x ∈ I , u(x) 6= 0
primitives (k ∈ R)
un+1
n+1
+k
v◦u+k
1
(1−n)un−1
+k
ln |u| + k
u 0 eu
I
eu + k
u0 cos(u)
I
sin(u) + k
u0 sin(u)
I
− cos(u) + k
0
u0 tan(u)
si u(I) ⊂] − π/2; π/2[
− ln |cos(u)| + k
u0 ua , a 6= −1
si u(I) ⊂]0; +∞[
ua+1
a+1
191
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Calcul integral
TD. Calculs d’intégrales
[TD) Calculs d’intégrales
B
∗
Exercice no 1 [Valeur moyenne]
Calculer la valeur moyenne de chacune des fonctions suivantes :
1. Fonction en escalier. La fonction g définie sur [−3; 5] par :
• f (−3) = 3 ;
• si x ∈] − 3; 2[ alors g(x) = 1/3 ;
• si x ∈ [2; 3[ alors g(x) = −1 ;
• si x ∈ [3; 5] alors g(x) = −2, 5.
2. Fonctions affines par morceaux
La fonction θ définie sur [−3; 5] par : θ(t) = |5 x + 1| − 3 |x + 2|. La fonction ϕ définie sur
1
[2; 7] par : ϕ(t) = |3 x − 1| + |5 x + 1|.
3
3. La fonction u définie sur [0; 2] par :
√
• si x ∈]0; 1[ alors u(x) = 2 1 − x2 ;
• u(1) = 3 ;
• si x ∈]1; 2[ alors u(x) = 4 x − 3.
Exercice no 2 [Etudes de somme de Riemann]
1. Exprimer la limite des suites de termes généraux suivants (n ∈ N∗ ) sous forme d’intégrales :
r
n−1 3
n
n
1 X k
1
1 X
1 X
k2
un =
et wn =
; vn =
3+ .
n k=0 n
n k=1 1 + k/n
n k=0
n
2. Utiliser ces exemples pour trouver trois exemples de couples de suites adjacentes.
3. A l’aide des techniques du calcul de primitive, calculer les trois intégrales correspondantes.
Exercice no 3 [Approximation d’intégrales]
Z π
sin(x)
On pose J =
dx et on considère les fonctions
x
π/2
1
F : π2 ; π → R
G
:
0; 2 → R
R u sin(t)
Rx
et
u 7→ π/2 t dt
x 7→ 0
sin(πt)
dt
1−t
.
π
; π puis dresser son tableau de variations.
(b) Montrer que pour tout réel x ∈ 0; 21 on a G(x) = F (π) − F (π(1 − x)).
(c) En déduire les variations de G sur l’intervalle 0; 12 .
Z 1/2
sin(πt)
dt.
(d) Déduire de ces questions que : J =
1−t
0
1. (a) Etudier les variations de F sur
2
192
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Calcul integral
TD. Calculs d’intégrales
2. Approximation de J. Soit la suite u définie par :
Z
1/2
Z
1/2
sin(πt) dt et un =
u0 =
tn sin(πt) dt (n ∈ N∗ ).
0
0
(a) Montrer que, pour tout entier n ≥ 1,
Z
J = u0 + u1 + ... + un + rn avec rn =
0
x n
t sin(πt)
dt.
1−t
tn sin(πt)
(b) Etablir que, pour tout t ∈ 0; 21 ,
≤ 2tn .
1−t
En déduire une majoration de rn .
(c) Démontrer que J = limn→+∞ (u0 + u1 + ... + un + un+1 ).
3. Calcul de un .
(a) Calculer u0 et u1 .
i
1 h n
−
n(n
−
1)u
.
n−2
π 2 2n−1
(c) Indiquer une méthode de calcul d’une valeur approchée de J à 10−2 près.
(b) Démontrer que, pour tout entier n ≥ 2, un =
Exercice no 4 [intégrale de Wallis]
Le but de cet exercice est de démontrer la formule suivante, due au mathématicien anglais
Wallis (1616 - 1703) :
Z 1p
π
x(1 − x)dx = .
8
0
p
1. Soit f la fonction numérique, définie sur [0; 1] par f (x) = x(x − 1).
(a) Etudier la dérivabilité de f et calculer f 0 (x) pour x ∈ [0; 1].
(b) Etudier les variations de f .
2. On appelle C la courbe de f dans un repère orthonormé (O;~i, ~j).
(a) Soient x ∈ [0; 1], M le point d’abscisse x de C et I le point de coordonnées (0; 1/2).
Calculer IM 2 .
(b) Démontrer que la courbe C est un demi-cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Tracer ce demi-cercle.
Z 1p
3. A l’aide des questions précédentes, calculer l’intégrale
x(1 − x) dx.
0
Exercice no 5 [Intégrale généralisée]
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,~i, ~j). On considère la fonction f définie sur
R par :
f (x) = (x + 1)2 e−x .
1. Dresser le tableau de variation de f .
2. Construire la courbe représentative Cf de f .
193
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Calcul integral
TD. Calculs d’intégrales
3. Soit λ un réel supérieur à -1. Calculer, en unités d’aires, l’aire A(λ) de la surface délimitée
par Cf , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = −1 et x = λ.
4. Calculer la limite de A(λ) lorsque λ tend vers +∞. Interpréter géométriquement le résultat.
Exercice no 6 [suite d’intégrales]
On considère la suite (un ) définie, pour tout entier naturel n, par :
Z 2
2t + 3 t/n
un =
e dt.
0 t+2
1. (a) Soit g la fonction définie sur [0; 2] par :
g(t) =
2t + 3
.
t+2
Dresser le tableau de variations de g.
(b) En déduire que, pour tout t ∈ [0; 2],
3
7
≤ g(t) ≤ .
2
4
(c) Par intégration, en déduire que, pour tout entier naturel n,
3
7
n e2/n − 1 ≤ un ≤ n e2/n − 1 .
2
4
(d) Démontrer que, si (un ) possède une limite L, alors :
7
3≤L≤ .
2
2. (a) Vérifier que, pour tout réel t ∈ [0; 2], on a :
2t + 3
1
=2−
.
t+2
t+2
(b) En déduire la valeur de l’intégrale suivante :
Z 2
2t + 3
I=
dt.
0 t+2
(c) Justifier que, pour tout réel t ∈ [0; 2] et tout entier naturel n,
1 ≤ et/n ≤ e2/n .
En déduire l’encadrement :
I ≤ un ≤ e2/n I.
(d) Démontrer que la suite (un ) est convergente et calculer sa limite.
194
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Calcul integral
TD. Calculs d’intégrales
Exercice no 7 [fonctions puissances]
Soient p un entier naturel non nul et f la fonction définie sur [0; 1] par :
f (x) = xp .
On pose d’autre part :
Z
J=
1
f (x)dx ,
0
et on considère les suites numériques (un ) et (vn ) définies par :
n−1
1X
un =
f
n k=0
k
n
n
1X
et vn =
f
n k=1
k
n
; n ≥ 1.
1. Justifier que, pour tout entier naturel non nul n,
un ≤ J ≤ v n .
2. Montrer qu’il existe un réel α positif, que l’on déterminera, tel que, pour tout entier naturel
n ≥ 1,
α
v n − un = .
n
En déduire la convergence de la suite de terme général vn − un .
3. Que peut-on dire de la convergence des suites (un ) et (vn ) ?
4. Applications. Calculer de deux manières différentes les limites suivantes :
1 + 2 + 3 + ... + n
;
n→+∞
n2
lim
12 + 22 + 32 ... + n2
.
n→+∞
n3
lim
Exercice no 8 [sommes de Riemann]
1. Soit la fonction f , définie sur R, par :
f (x) = √
1
.
1 + x2
(a) Etudier les variations de f .
(b) Démontrer que la fonction
F : x 7→ ln(x +
√
1 + x2 )
est une primitive de f sur R.
(c) En déduire la valeur de l’intégrale suivante :
Z 1
dx
√
I=
.
1 + x2
0
195
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Calcul integral
TD. Calculs d’intégrales
2. On considère les suites numériques (un ) et (vn ) définies par :
n−1
n
1X
1
1
1X
√
√
un =
et vn =
; n ≥ 1.
2
2
2
n k=0 n + k
n k=1 n + k 2
(a) Justifier que, pour tout entier naturel non nul n,
v n ≤ I ≤ un .
(b) Montrer qu’il existe un réel α positif, que l’on déterminera, tel que, pour tout entier
naturel n ≥ 1,
α
un − vn = .
n
En déduire la convergence de la suite de terme général vn − un .
(c) Que peut-on dire de la convergence des suites (un ) et (vn ) ?
Exercice no 9 [intégration par parties]
A l’aide d’une ou plusieurs intégrations par parties, calculer les intégrales suites :
Z π/6 2
Z x
Z 1
x −1
−t
ln(t)dt , x > 0 ;
(2t + 3)e dt ;
cos(x)dx.
3
0
1
−1
Exercice no 10 [intégrale généralisée]
1. Vérifier que, pour tout réel x distinct de 1 et -1,
1
1
2
=
+
.
2
1−x
1+x 1−x
2. Soit a un réel appartenant à l’intervalle ]0; 1/2[. Calculer l’intégrale suivante :
1/2
Z
J(a) =
a
2
dx.
1 − x2
3. En utilisant une intégration par parties, calculer maintenant
Z 1/2
ln(1 − x2 )
I(a) =
dx.
x2
a
4. Déterminer la limite de I(a) lorsque a tend vers 0.
Exercice no 11 [suite d’intégrales]
On pose, pour tout entier naturel n,
Z
In =
e
x(ln x)n dx.
1
1. Calculer I1 puis I2 .
196
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Calcul integral
TD. Calculs d’intégrales
2. Démontrer que, pour tout entier n ≥ 2,
In =
e2 n
− In−1 .
2
2
3. Calculer I4 .
4. Démontrer que la suite (In ) est décroissante.
5. En déduire que, pour tout entier naturel n,
e2
e2
≤ In ≤
.
n+3
n+2
6. Déterminer les limites suivantes :
lim In et
n→+∞
lim nIn .
n→+∞
197
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Calcul integral
TD. Calculs d’intégrales
Z
D’après Liban 96. Soit (un ) la suite définie pour tout n ∈ N : un =
π
2
sinn x dx.
0
a) Montrer que la suite (un ) est décroissante et minorée.
On admet que la suite (un ) converge.
On pose l = lim un et on se propose de calculer l.
n→+∞

Z α


sinn x dx
 vn =
π
Z0 π
b) Soit α ∈ ]0 ; [. On définit les suites (vn ) et (wn ) par : ∀n ∈ N,
2

2

sinn x dx.
 wn =
α
1. Montrer que, pour tout x ∈ [0 ; α] et pour tout n ∈ N, 0 ≤ sinn x ≤ sinn α, puis, que
pour tout n ∈ N, 0 ≤ vn ≤ α sinn α.
π
2. Montrer que pour tout n ∈ N, 0 ≤ wn ≤ − α.
2
π
3. En déduire, pour tout n ∈ N, l’encadrement : 0 ≤ un ≤ − α + α sinn α.
2
π
π
4. Montrer que, pour tout α ∈ ]0 ; [, 0 ≤ l ≤ − α. En déduire que l = 0.
2
2
c) Plus généralement, on considère l’affirmation suivante :”Toute suite à termes positifs
et décroissante a pour limite 0.” Est-elle vraie ? Justifier votre réponse.
Un corrigé.
Z
π
2
π
sinn x(sin x − 1) dx. Or, pour tout x ∈ [0 ; ], 0 ≤
2
0
sin x ≤ 1, donc sinn x ≥ 0 et sin x − 1 ≤ 0, et donc sinn x(sin x − 1) ≤ 0. Il s’ensuit que
Z π
2
sinn x(sin x − 1) dx ≤ 0, et ceci pour tout n ∈ N. Donc (un ) est une suite décroissante.
a) Soit n ∈ N fixé : un+1 − un =
0
D’autre part elle est minorée, puisque, pour tout n ∈ N, un ≥ 0 (intégrale d’une fonction
positive, avec a < b).
π
b) 1. Fixons n ∈ N. La fonction sinus étant croissante sur l’intervalle [0 ; ], pour tout
2
x ∈ [0 ; α], 0 ≤ sin x ≤ sin α. D’autre part, la fonction x 7→ xn étant croissante sur R+ , il
en découle que, pour tout x ∈ [0 ; α], 0 ≤ sinn x ≤ sinn α. On peut donc intégrer sur [0 ; α], et,
l’intégration étant croissante, on obtient :
Z α
Z α
n
0≤
sin x dx ≤
sinn α dx,
0
0
i.e., puisque l’intégration est linéaire et que sinn α est une constante,
0 ≤ vn ≤ sinn α · (α − 0) .
| {z }
α
On a donc montré que 0 ≤ vn ≤ α sinn α, et ceci quel que soit l’entier n ∈ N.
π
π
π
2. Le réel α appartenant à l’intervalle ]0 ; [, on a l’inclusion : [α ; ] ⊂ [0 ; ], et donc pour
2
2
2
π
tout x ∈ [α ; ], 0 ≤ sin x ≤ 1. Pour n fixé dans N, la fonction x 7→ xn étant croissante sur
2
π
π
R+ , il vient alors : pour tout x ∈ [α ; ], 0 ≤ sinn x ≤ 1. D’où, en intégrant de α à :
2
2
198
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Calcul integral
TD. Calculs d’intégrales
π
2
Z
0≤
Z
n
sin x dx ≤
α
π
2
dx,
α
i.e. 0 ≤ wn ≤
π
− α.
2
π
− α, et ceci quel que soit l’entier n ∈ N.
2
3. Il résulte de la relation de Chasles, pour les intégrales, que : un = vn + wn . D’où, compte
tenu de 1 et 2, il vient en ajoutant membre à membre les inégalités : pour tout n ∈ N,
On a donc montré que 0 ≤ wn ≤
0 ≤ un ≤
π
− α + α sinn α.
2
π
[ fixé. On a | sin α| < 1, donc sinn α → 0, lorsque n → +∞. D’où
2
lim α sinn α = 0, et comme lim un = l, on obtient, par passage à la limite dans les
4. Soit α ∈ ]0 ;
n→+∞
n→+∞
inégalités précédentes, quand n tend vers +∞ :
0≤l≤
π
− α,
2
π
et ceci pour tout α ∈ ]0 ; [.
2
π
π
− α = 0, en faisant tendre α vers dans les inégalités ci-dessus, on
Enfin, puisque limπ
α→ 2
2
2
obtient :
0 ≤ l ≤ 0,
et donc l = 0.
c) L’affirmation est fausse. Pour le prouver, on peut prendre comme contre-exemple la suite
1
(un ) définie par un = 1 + .
n
Il s’agit clairement d’une suite à termes positifs, et décroissante (puisque quand n augmente,
1
diminue), et elle n’a pas pour limite 0, puisqu’elle a pour limite 1 !
n
Z π
2
Commentaire : Les intégrales
sinn x dx, sont appelées intégrales de Wallis. Pour arriver
0
à montrer que leur suite converge vers 0, on a été amené à couper en deux l’intervalle
d’intégration, et ceci de façon arbitraire, en considérant un nombre réel α quelconque de
π
l’intervalle ]0 ; [. Cette façon de procéder est courante en Analyse.
2
Signalons aussi que les intégrales de Wallis se calculent en effectuant une intégration par
parties : il suffit de remarquer que sinn x = sin x · sinn−1 x, et on obtient que, pour tout
n−1
n ≥ 2, un =
un−2 . D’où l’on déduit les expressions de u2n et u2n+1 (mais, bonjour les
n
factorielles ! ! !).
199
Terminale S3
2008/2009
Calcul integral
TD. Calculs d’intégrales
Z
1
Exercice. On considère la suite (In ) de terme général In =
√
xn x + 1 dx.
0
a) Calculer I0 , puis, à l’aide d’une intégration par parties, calculer I1 .
b) Montrer que ∀n ∈ N, In ≥ 0 et In − In+1 ≥ 0. Quelles propriétés en déduit-on pour
la suite (In ) ?
√
c) En utilisant √
la monotonie de la fonction x 7→ x + 1, montrer que pour tout n ∈ N,
1
2
≤ In ≤
. Qu’en déduit-on pour la suite (In ) ?
n+1
n+1
√
√
1−x
d) 1. Montrer que, pour tout x ∈ [0 ; 1],
2− x+1≤
.
2
a
b
2. En déduire une minoration de In sous la forme In ≥
+ 2 , a et b étant des réels
n+1 n
que l’on déterminera.
3. Montrer alors que la suite (nIn ) converge et donner sa limite.
Un corrigé.
Z 1
Z
√
a) I0 =
x + 1 dx =
√
1
2 √
(x + 1)3/2
4 2−2
(x + 1) dx =
= ( 8 − 1) =
.
3/2
3
3
0
0
0
√
1
1
Z 1
Z
√
2 1
4 2 2 (x + 1)5/2
(x + 1)3/2
3/2
x · x + 1 dx = x ·
I1 =
−
(x + 1) dx =
=
−
3/2
3 0
3
3
5/2
0
0
0
√
√
4 2
4 √
4( 2 + 1)
− (4 2 − 1) =
.
3
15
15
√
b) Soit n ∈ N, on a pour tout x ∈ [0 ; 1] xn x + 1 ≥ 0, donc In ≥ 0, et In − In+1 =
Z 1
√
n
x
x + 1} (1 − x) dx, donc In − In+1 ≥ 0.
| {z
| {z }
0
≥0
1
1/2
≥0
On en déduit que la suite (In ) est une suite décroissante et minorée (par 0).
c) Commençons par
√
√ nous donner un entier n (n est donc fixé dans N). √
La fonction x 7→ x + 1 est croissante, donc pour tout x ∈ [0 ; 1], 1 ≤ x + 1 ≤ 2. D’où,
√
√
en multipliant par xn qui est ≥ 0 sur [0 ; 1], on a ∀x ∈ [0 ; 1],
xn ≤ x n x + 1 ≤ 2 x n .
On peut donc intégrer sur [0 ; 1], et, l’intégration étant croissante, on obtient :
Z 1
Z 1
Z 1√
√
n
n
x dx ≤
x x + 1 dx ≤
2 xn dx,
0
0
0
1
Z
xn dx ≤ In ≤
i.e.
0
Puis, l’intégration étant linéaire,
Z 1
Enfin, puisque
0
1
√ Z
x dx ≤ In ≤ 2
xn+1
x dx =
n+1
n
√
2 xn dx.
0
n
1
xn dx.
0
0
Z
1
Z
1
=
0
1
, on obtient finalement le résultat demandé.
n+1
200
Terminale S3
2008/2009
Calcul integral
TD. Calculs d’intégrales
1
→ 0, donc la suite minorante et la suite majorante convergent
n+1
vers la même limite ; et donc, d’après le théorème des Gendarmes, la suite (In ) converge
vers leur limite commune, et on a : lim In = 0.
Lorsque n → +∞,
n→+∞
√
√
1−x
x+1−
.
2
1
1
1
1
0
Elle est dérivable et ∀x ∈ [0 ; 1], f (x) = − √
+ = 1− √
.
2
2 x+1 2
x+1
√
1
Or, sur [0 ; 1], x + 1 ≥ 1, donc √
≤ 1, et donc f 0 (x) ≥ 0. D’où f est croissante, donc
x+1
d) 1. Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par : f (x) =
elle conserve l’ordre, et donc ∀x ∈ [0 ; 1],
2−
f (0) ≤ f (x) ≤ f (1). Comme f (1) = 0, on a en
particulier : ∀x ∈ [0 ; 1], f (x) ≤ 0, ce qui fournit le résultat demandé.
≥0
z }| {
√
√
1−x
1−x
NB : Le résultat peut s’obtenir par majoration : 2 − x + 1 = √
≤
.
√
2
2
x
+
1
+
|{z} | {z }
≥1
≥1
2. Pour n fixé dans N, il vient, en multipliant par xn qui est ≥ 0 sur [0 ; 1] :
∀x ∈ [0 ; 1],
√
√
xn − xn+1
xn 2 − x n x + 1 ≤
.
2
On peut donc intégrer sur [0 ; 1], et, l’intégration étant croissante et linéaire, on obtient :
√
1
1
2
1
− In ≤
−
.
n+1
2 n+1 n+2
En outre,
1
1
1
1
−
=
, quotient qu’on peut majorer par 2 . Donc,
n+1 n+2
(n + 1)(n + 2)
n
√
√
2
1
2
1
− In ≤ 2 ,
et par suite,
In ≥
− 2.
n+1
2n
n + 1 2n
3. En associant la minoration précédente de In avec la majoration obtenue au c, on obtient
l’encadrement :
√
√
2
1
2
− 2 ≤ In ≤
.
n + 1 2n
n+1
D’où,
√
√
n 2
1
n 2
−
≤ nIn ≤
.
n + 1 2n
n+1
√
√
n 2
1
Enfin, puisque, lorsque n → +∞,
→ 2 et
→ 0, on en déduit que la suite minon+1
2n
rante et la suite majorante convergent vers la même limite ; et donc, d’après le théorème
√
des Gendarmes, la suite (nIn ) converge vers leur limite commune, et on a : lim nIn = 2.
n→+∞
201
Terminale S3
2008/2009
Calcul integral
TD. Calculs d’intégrales
D’après des solutions rédigées par Patrick SOUBEYRAND et Rémi DE GAVOTY.
202
Terminale S3
2008/2009
Troisième partie
ALGEBRE ET GEOMETRIE PLANE
203
Chapitre 7
Les nombres complexes
204
Les nombres complexes
TD d’introduction. Racines complexes d’un polynôme
[TD d’introduction) Racines complexes d’un polynôme
B
∗
Polycopié no 22
lundi 2/2/9
On considère la fonction polynôme p : x 7→ x3 − 1.
On cherche à construire les trois racines complexes de p.
A) Racine évidente
1. Trouver une première racine de p.
2. Déterminer trois réels a, b et c tels que : p(x) = (x − 1)(a x2 + b x + c).
3. Calculer le discrimant du trinôme x2 + x + 1.
Que peut-on en déduire concernant sa factorisation ?
B) Factorisation de x2 + x + 1
On considère une quantité imaginaire i telle que i2 = −1.
1. Parenthèse : Familiarisation avec le nombre i.
(a) Montrer que x2 + 1 = (x + i)(x − i).
(b) Factorieser les expressions : x2 + 9 ; x2 − 2 i x − 1.
(c) Développer : (x − 3 i) (x + 3 i) ; (2 x − 3 i) (i x + 5).
2. Ecrire x2 + x + 1 sous forme canonique.
3. En déduire que x2 + x + 1 =
√ !
1
3
x+ +i
2
2
√ !
1
3
x+ −i
2
2
4. Quelles sont les racines de p ?
C) Interprétation géométrique
Le plan est muni d’un repère orthonormal (O, ~u, ~v ).
√ √ 3
1
1
1. Placer les points I(1; 0), J − 2 ; 2 et K − 2 ; − 23 dans (O, ~u, ~v ).
2. Déterminer les coordonnées polaires de I, J et K.
3. En déduire la nature du triangle IJK.
0
205
Terminale S3
2008/2009
Les nombres complexes
Thème: Aspect algébrique
[Thème) Aspect algébrique
1. L’ensemble des nombres complexes
B Théorème 1: Le corps des complexes (admis)
? Il existe un ensemble de nombres, noté C, satisfaisant aux propriétés suivantes :
• l’ensemble C possède les mêmes opérations algébriques que R : + , − , × , :
• ses opérations satisfont aux mêmes propriétés de calcul que sur R :
associativité, distributivité, commutativité, relations avec 1 ou 0
• C possède un nombre i vérifiant i2 = −1
• tout nombre complexe z peut sécrire de manière unique sa forme algébrique :
z = a + i b où a, b ∈ R.
B Définition 2: Le plan complexe
? On note P le plan muni d’un repère orthonormé direct (O; ~u; ~v ).
A tout complexe z = a + i b, où a et b
sont des réels, on associe le point M de
coordonnées (a, b).
On définit ainsi une bijection :
Θ:
C → P
z = a + i b 7→ M (a, b)
où on appelle :
• z l’affixe du point M
• Le plan P, munit de Θ, est appelé
plan complexe.
~ dépend lui aussi de
• Le vecteur w
~ = OM
z et on note encore w(z).
~
• M le point image de z.
∗ On notera M (z) = M (a + i b)
plutôt que M (a, b).
Exercice no 1 [Calculs d’application]
1. Soient les nombres complexes z = −2 + 3 i et z 0 = 1 − i
√
2.
z0
1
z
;
; 0 ; z2.
3
z
z
3
et (1 + 3 i) .
Ecrire sous forme algébrique les nombres suivants : 3 z − 2 z 0 ; z
2. Mettre sous forme algébrique : i3 ; i4 ; (3 − 2 i)2 ; (1 − i)4
3. Déterminer les ensembles E, F , G des points M (z) vérifiant les conditions suivantes :
(E) : Re(z) + Im(z) = 3 ; (F ) : Re(3 z) = 4 Im(−z) et (G) : Re(−2 z) > −5 Im(z).
206
Terminale S3
2008/2009
Les nombres complexes
Thème: Aspect algébrique
4. Résoudre les systèmes d’équations suivants, d’inconnue (Z1 ; Z2 ) ∈ C2 :
(1 + i) Z1 − i Z2 = 2 + i
−2 (2 + i) Z1 + 7 Z2 = 1 + 2 i
0
(S) :
(S ) :
.
(2 + i) Z1 + (2 − i) Z2 = 7 − 4 i
(1 + i) Z1 − Z2 = 4 + i
∗ Unicité de l’écriture algébrique. Cela entraı̂ne les équivalences suivantes :
a = a0
0
0
.
(a + i b = 0 ⇔ a = b = 0) et
a + ib = a + ib ⇔
b = b0
∗ Types particuliers de complexes
• Nombres réels : tout nombre réel x peut être considéré comme un nombre complexe
grâce à l’écriture : x = x + 0 i.
B Caratérisation : un complexe z est réel si et seulement si Im(z) = 0.
• Nombres imaginaires purs : nombres complexes de la forme z = i α, α ∈ R.
B Caratérisation : un complexe z est imaginaire pur si et seulement si Re(z) = 0.
Exercice no 2 [Application directe]
Déterminer les ensembles E 0 , F 0 , G0 des points M (z) vérifiant les conditions suivantes :
(E 0 ) : (z − 1)2 ∈ R ; (F 0 ) : (3 z + 2 i)2 imaginaire pur et (G0 ) : (z + i)3 ∈ R.
2. Calcul complexe et interprétation géométrique
? Somme et différence
Soient z = a+i b et z 0 = a0 +i b0 deux nombres complexes
écrits sous forme algébrique, leurs points images M (z) et
M 0 (z 0 ) ainsi que w
~ et w
~ 0 les vecteurs d’affixes respectives
0
z et z . Alors :
Alors :
• Somme : z + z 0 = (a + a0 ) + i (b + b0 ).
C’est l’affixe du vecteur w
~ +w
~ 0.
• Différence : z 0 − z = (a0 − a) + i (b0 − b).
C’est l’affixe du vecteur M~M 0 .
Démonstration.
• z + z 0 = a + i b + a0 + i b0 = (a + a0 ) + i (b + b0 ). C’est bien l’affixe du vecteur w
~ +w
~ 0 puisque
son couple de coordonnées cartésiennes est (a + a0 ; b + b0 ).
• z 0 − z = (a0 + i b0 ) − (a + i b) = (a0 − a) + i (b0 − b). C’est cette fois l’affixe du vecteur M~M 0
puisque son couple de coordonnées cartésiennes est (a0 − a ; b0 − b).
207
Terminale S3
2008/2009
Les nombres complexes
Thème: Aspect algébrique
Exercice no 3 [Transformation géométrique]
0
0
On
√ considère la transformation du plan complexe donnée par : M (z) 7→ M d’affixe z =
3 + z − 2 i.
√
√
1. Déterminer les images des points suivants : A(− 3 + 5 i) ; B(−2 3 − i).
2. Prouver que ABA0 B 0 est un parallélogramme
3. Expliciter la transformation F . Justifier la réponse.
B Proposition 3: Somme et translation
? Soit Ω un point d’affixe z0 .
L’application T du plan complexe définie par
~
M (z) 7→ M 0 (z + z0 ) est la translation de vecteur OΩ.
? Produit et quotient
Avec les mêmes notations que précédemment :
• Produit : z z 0 = (a a0 − b b0 ) + i (a b0 + a0 b).
• Inverse :
a − ib
1
= 2
, si z 6= 0.
z
a + b2
Démonstration.
• z z 0 = (a + i b) (a0 + i b0 ) = a a0 + i a0 b + i a b0 − b b0 = (a a0 − b b0 ) + i (a b0 + a0 b).
•
1
a − ib
a − ib
1
=
=
= 2
.
z
a + ib
(a + i b) (a − i b)
a + b2
∗ Remarque. z = 0 équivaut a = b = 0, soit a2 + b2 = 0 (justifie le calcul pour z 6= 0).
B Proposition 4: Multiplication par un réel
?
Soient : λ un nombre réel
Ω un point d’affixe z0 .
• Pour tout vecteur w
~ d’affixe z ∈ C,
le vecteur λ w
~ a pour affixe λ z.
• L’application du plan complexe
M (z) 7→ M 0 (z 0 ) tel que z 0 − z0 = λ (z − z0 )
est l’homothétie de centre Ω(z0 ) et de rapport λ.
Démonstration de 4.
208
Terminale S3
2008/2009
Les nombres complexes
Thème: Aspect algébrique
• λ z = λ (a+i b) = λ a+i λ b. C’est l’affixe du vecteur λ w
~ puisque son couple de coordonnées
cartésiennes est (λ a ; λ b).
~ 0 (z 0 − z0 ) et λ ΩM
~ (λ (z − z0 )), on a l’équivalence
• Comme ΩM
z 0 − z0 = λ (z − z0 )
~ 0 = λ ΩM
~ .
ΩM
⇔
Le point M 0 (z 0 ) est donc l’image de M (z) par l’homothétie de centre Ω et de rapport λ.
4
Exercice no 4 [Transformations géométriques]
Dans chaque cas, déterminer la transformation
du plan complexe qui, à tout point M d’affixe
√
0
z
=
5
+
z
+ 3i
z 0 = 7 (z +
i − 13)√− 3
√
√
z, associe le point M 0 d’affixe z 0 : 0
3
3
0
z = − 5 (z − 2 i + 3) + 2 i z − 5 = 5 z − i 23 .
3. Conjugué
B Définition 5: Conjugué
? Soit z = a + i b un nombre complexe écrit sous forme
algébrique.
Son conjugué est par définition le nombre
z = a − i b.
∗ Interprétation géométrique.
Soit M le point
0
image de z. Le point image M de z est alors le
symétrique de M par la reflexion d’axe (O, ~u).
B Proposition 6: Formulaire
Pour tous nombres complexes z et z 0 , on a :
z=z
? si z 6= 0 :
De plus :
z + z0 = z + z0
1
1
=
z
z
Re(z) =
z+z
2
z z0 = z z0
0
z
z0
= .
z
z
Im(z) =
∗ Caractérisations :
• z ∈ R si, et seulement si, z = z
• z est un imaginaire pur si,
et seulement si z = −z.
z−z
2i
En particulier : i = −i.
Exercice no 5 [Lignes de niveau]
Déterminer les ensembles E, F , G des points M (z) vérifiant les conditions suivantes :
(E) : Re(z)+Im(z) = 3 ; (F ) : Re(z)−Im(z) = −5 ; (G) : (2+3i)z+(2−3i)z = −2.
209
Terminale S3
2008/2009
Les nombres complexes
Thème: Aspect algébrique
4. Exercices
Exercice no 6 [Ensembles de points]
1. Déterminer et construire les ensembles suivants :
L’ensemble E1 des points d’affixe z tels que : Im(z 2 ) = 2.
L’ensemble E2 des points d’affixe z tels que : Re(z 2 ) = 0.
L’ensemble E3 des points d’affixe z tels que : 3 Re(z 2 ) = 4 Im(z 2 ).
Pour ce dernier on pourra utiliser l’identité : (a − 3b)(b + 3a) = 3a2 − 8ab − 3b2 .
8
2. En déduire la résolution dans C des équations : z 2 = 2i et z 2 = + 2i.
3
0
210
Terminale S3
2008/2009
Les nombres complexes
Thème: Equations du second degré
[Thème) Equations du second degré
Soient a, b et c trois nombres réels, avec a non nul.
On cherche les nombres complexes z qui vérifient : (E)
az 2 + bz + c = 0.
1. Forme canonique
On procède comme d’habitude en suivant la méthode abordée en première.
Comme a 6= 0, on peut écrire, pour tout z ∈ C,
"
#
2 2
c
b
b
b
c
b
= a z2 + 2
z+
−
+
az 2 + bz + c = a z 2 + z +
a
a
2a
2a
2a
a
soit
az 2 + bz + c = a
"
b
z+
2a
2
#
"
#
2
b2 − 4ac
b
∆
=a z+
−
− 2
4a2
2a
4a
où l’on a posé ∆ = b2 − 4ac.
Le nombre ∆ est appelé discriminant de l’équation (E). C’est un nombre réel puisque
a, b et c le sont.
Le lemme suivant permettra de factoriser cette expression :
B Lemme 1: Racines carrées dans C
? Soit λ un nombre réel non nul. Alors l’équation Z 2 = λ admet exactement deux solutions
dans C, opposées l’une de l’autre.
Démonstration de 1.
On a premièrement Z 2 = λ
⇔
Z 2 − λ.
Deuxièmement, on distingue deux cas :
√
√
2
si λ > 0, Z√
− λ =√
(Z − λ)(Z + λ).
Les réels λ et − λ sont les solutions de l’équation.
p
p
si λ < 0, Z 2 −pλ = (Z − ip |λ|)(Z + i |λ|).
Les réels −i |λ| et −i |λ| sont les solutions de l’équation.
Troisièmement, on remarque que, dans les deux cas, les deux racines sont bien différentes
puisque λ 6= 0.
1
211
Terminale S3
2008/2009
Les nombres complexes
Thème: Equations du second degré
2. Résolution de (E)
D’après le lemme, on sait qu’il existe δ ∈ C tel que δ 2 = ∆ (même si ∆ = 0). Alors :
"
2 2 #
b
δ
b
δ
b
δ
2
az + bz + c = a z +
−
=a z+
−
z+
+
.
2a
2a
2a 2a
2a 2a
On en déduit que (E) admet deux solutions complexes :
z1 =
−b + δ
−b − δ
et z2 =
.
2a
2a
Compte tenu de la forme de δ en fonction du signe de ∆ (Cf. lemme 1), on a obtenu le théorème
suivant :
B Théorème 2: Résolution dans C d’une équation du second degré
? Soient a, b et c trois nombres réels, avec a non nul.
L’équation (E) az 2 +bz +c = 0 se résout dans C, en fonction du signe de son discriminant
∆ = b2 − 4ac, comme suit :
Si ∆ > 0 : l’équation (E) admet deux solutions réelles distinctes :
√
√
−b + ∆
−b − ∆
et z2 =
.
z1 =
2a
2a
Si ∆ = 0 : l’équation (E) admet une solution réelle double : z0 =
−b
.
2a
Si ∆ < 0 : l’équation (E) admet deux solutions complexes conjuguées :
√
√
−b + i −∆
−b − i −∆
et z2 =
.
z1 =
2a
2a
3. Exercices
Exercice no 1 [résolutions d’équations]
Résoudre dans C les équations suivantes :
z 2 − 2z + 4 ; z +
1 √
z−3
= 2 ; z 4 = 1 et
= z.
z
z−2
Exercice no 2 [Racines cubiques de l’unité]
Résoudre dans C l’équation x3 = 1.
Montrer que ses solutions sont les affixes des sommets d’un triangle équilatéral du plan complexe.
212
Terminale S3
2008/2009
Les nombres complexes
Thème: Equations du second degré
Exercice no 3 [Equation et système dans C]
1. Résoudre dans C l’équation suivante :
(E)
√
9z 2 + 3 3z + 1 = 0.
:
2. Dans le plan complexe, on note A et B les points images respectifs des solutions z1 et z2
de (E).
3. Déterminer le module et un argument de z1 et de z2 .
4. Résoudre dans C le système suivant :
(S)
:
Z1 Z2 = 13 √
.
Z1 + 3Z2 = − 3
Exercice no 4 [Bordeaux, 1976]
Rechercher tous les couples (z1 , z2 ) de nombres complexes satisfaisant aux conditions :
1
z1 z2 = √
2
.
3
z1 + 2z2 =
Donner le module et un argument de chacun des nombres ainsi obtenus.
213
Terminale S3
2008/2009
Les nombres complexes
Thème: Aspect trigonométrique
[Thème) Aspect trigonométrique
1. Module et arguments
Dans cette partie, le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (O, ~u, ~v ).
1.1. Définitions
? Introduction géométrique
√
Dans le plan complexe, soit A(1 − i 3).
1. Calculer la distance OA.
\
~
2. Soit θ une mesure de l’angle (~u; OA).
(a) Calculer cos θ et sin θ.
(b) En déduire θ modulo 2π.
0
B Définition 1: Module et argument
? Soit z un complexe et M son point image.
Le module de z, noté |z|, est par définition la distance OM .
Lorsque z 6= 0 :
\
~ ).
• un argument de z est une mesure (en radian) de l’angle orienté (~u; OM
\
~ ).
• l’argument principal de z est la mesure principale de (~u; OM
∗ Notations
Si α est un argument de z, tous les autres sont les réels de la forme α + 2kπ avec k ∈ Z.
B On note alors : arg(z) = α [2π] ou arg(z) = α + 2 k π (k ∈g z).
B Si −π < α ≤ π : Arg(z) = α.
∗ Cas particuliers :
∗ Exemples
• Lorsque z est réel :
π
2
∗ le module de√
z coı̈ncide avec sa valeur absolue puisque :
|a + 0 i| = a2 = |a|
• Arg(i) =
∗ Arg(z) = 0, si z est un réel strictement positif
• |i| = |−i| = 1
∗ Arg(z) = π, si z est un réel strictement négatif
• si z = iα est un imaginaire pur (α ∈ R) :
• Arg(−i) = − π2
• Arg(1) = 0
• Arg(−1) = π
∗ |iα| = |α| (valeur absolue)
• |1| = |−1| = 1.
∗ Arg(z) = π/2, si α > 0 et Arg(z) = − π/2, si α < 0.
214
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Les nombres complexes
Thème: Aspect trigonométrique
1.2. Liens avec les opérations
On considère deux nombres complexes z et z 0 ainsi que leurs points images M et M 0 .
∗ Conjugué et opposé
• Les points M (z) et N (z) sont symétriques
par rapport à l’axe des réels.
• Les points M (z) et P (−z) sont symétriques
par rapport à O.
Par suite :
arg(−z) = arg(z) + π [2π]
|z| = |−z| = |z|
argz = −argz [2π]
B Formule usuelle : z z = |z|2 = Re(z)2 + Im(z)2
∗ Produit et quotient
|z z 0 | = |z| |z 0 |
0
z |z 0 |
=
z
|z|
1
= 1
z |z|
argz z 0 = argz + argz 0 [2π]
arg
z0
= argz 0 − argz [2π]
z
1
arg = −argz [2π]
z
∗ Inégalités triangulaires :
||z| − |z 0 || ≤ |z + z 0 | ≤ |z| + |z 0 | .
En effet, si S(z + z 0 ) alors :
|OM − OM 0 | ≤ OS ≤ OM + OM 0 .
Exercice no 1 [Applications directes]
On considère les nombres complexes Z = 2 − 2 i et Z 0 =
√
3 + i.
1. Déterminer le module et l’argument principal de Z puis de Z 0 .
2. En déduire le module et l’argument principal de Z/Z 0 et de Z Z 0 .
π
π
5π
5π
3. En déduire les valeurs de cos , sin , cos
et sin
.
12
12
12
12
215
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Les nombres complexes
Thème: Aspect trigonométrique
1.3. Applications géométriques
∗ Caractérisations
Soit z un nombre complexe.
•
•
•
z réel positif ⇔ z = |z|
•
|z + z 0 | = |z| + |z 0 | ⇔ argz = argz 0 [2π]
•
z imaginaire pur ⇔ argz = π/2 [π]
z réel strictement positif ⇔ argz = 0 [2π]
z réel strictement négatif ⇔ argz = π [2π]
∗ Angle et vecteur
• Soient A(ZA ) et B(ZB ) deux points ; alors : AB = |ZB − ZA | =
p
(XB − XA )2 + (YB − YA )2 .
• Soient M (z), M 0 (z 0 ) et Ω(z0 ) trois points deux à deux distincts ; alors :
0
z − z0
~ ; ΩM
~ 0 [2π].
arg
= mes ΩM
z − z0
Démonstration de 1.
C’est une simple
vérification, où l’on applique les formules précédentes :
0
z − z0
arg
= arg(z 0 − z0 ) − arg(z − z0 ) [2π]
z − z0
~ 0 − mes ~u; ΩM
~
= mes ~u; ΩM
[2π]
~ ; ΩM
~ 0 [2π].
= mes ΩM
1
Exercice no 2 [Ensembles de points]
•
Déterminer les ensembles de points M (z) tels que :
•
|2 i −
z| = |3− z|
2i − z
π
arg
[2π].
=
3−z
2
2. Forme trigonométrique
Exercice no 3 [Introduction]
Soient les nombres complexes z1 = 1 + i et z2 = 1 + i
√
3.
1. Déterminer le module et l’argument principal de z1 puis de z2 .
2. Ecrire chacun de ces deux nombres sous la forme zk = rk (cos θk + i sin θk ) , k ∈ {1; 2}.
3. Faire de même pour le complexe z2 /z1 .
216
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Les nombres complexes
4. En déduire les valeurs de cos
Thème: Aspect trigonométrique
π
et
12
sin
π
.
12
B Théorème 2: Forme trigonométrique
? Tout nombre complexe non nul z peut
s’écrire de manière unique sous la forme :
z = r(cos θ + i sin θ).
r = |z| ≥ 0
On a alors :
θ = Arg(z).
Notations.
On pourra écrire z = [ r ; θ ] (écriture polaire).
∗ Formulaire : Si on écrit z = a + i b sous forme algébrique, alors :
(
√
cos θ = √a2a+b2 =
~ || =
|z| = OM = ||OM
a2 + b2 et
sin θ = √a2b+b2 =
Re(z)
|z|
Im(z)
|z|
Démonstration
Si z = a + i b est non nul alors
de 2. a
b
|z| =
6 0 et z = |z|
+i
.
|z|
|z|
b
a
, β=
et w = α + i β. On a :
|z|
|z|
• z = |z| w avec |z| > 0 donc Arg(z) = Arg(w).
On pose α =
∗ Exemples
• z = |z| w donc |z| = |z| |w| , d’où : |w| = 1.
Le point Ω d’affixe α + i β appartient donc au cercle C de
centre O et de rayon 1.
Soit θ = Argz. Comme θ est la mesure principale de l’angle
~
orienté (~u, OΩ),
la définition du cosinus et du sinus donne :
α = cos θ et β = sin θ.
Ecrire sous forme trigonométrique :
√
z = 3 + 1, i z,
zi, 1 + i et −1 − i.
Finalement : w = cos θ + i sin θ avec θ = Arg(w)
Donc : z = |z| (cos θ + i sin θ) et θ = Arg(z).
2
Exercice no 4 [Application]
On considère les points A, B, C d’affixes respectives a = −1 + 2i, b = 1 + 3i, c = 4i.
1. Montrer que le triangle ABC est isocèle en A. Soit I le milieu de [BC] et zI son affixe.
z − zI
2. (a) Quel est l’ensemble des points M (z) tels que
soit un réel ?
z−a
217
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Les nombres complexes
Thème: Aspect trigonométrique
(b) Déterminer l’unique réel x tel que
x − zI
soit un réel.
x−a
−−→
(c) Soit z−−−→ l’affixe du vecteur AI . Donner une forme trigonométrique de z−−−→ .
AI
AI
3. Exercices
Exercice no 5 [QCM type bac]
Pour chaque question, une seule des 4 propositions est exacte.
1. Soit z ∈ C vérifiant z + |z| = 6 + 2i. L’écriture algébrique de z est :
8
8
8
8
− 2i − − 2i + 2i − + 2i
3
3
3
3
2. Dans le plan complexe, l’ensemble des points M d’affixe z = x+iy vérifiant |z − 1| = |z + i|
est la droite d’équation :
y = x − 1 y = −x y = −x + 1 y = x
√
3. Soit n un entier naturel. Le nombre (1 + i 3)n est réel si, et seulement si, n s’écrit sous la
forme :
3k + 1 3k + 2 3k 6k
(avec k entier naturel).
4. Soit l’équation (E) :
z=
6−z
, (z ∈ C).
3−z
Une solution de (E) est :
−2−
√
2i 2 +
√
2i 1 − i − 1 − i
√
5. Soit deux points A et B d’affixes respectives zA = i et zB = 3 dans un repère orthonormal
(O; ~u; ~v ). L’affixe zC du point C tel que ABC soit un triangle équilatéral avec
~ AC
~ =π
AB;
3
est :
− i 2i
√
3 + i
√
3 + 2i
6. Dans le plan complexe, l’ensemble des points M d’affixe z = x + iy vérifiant la relation
z+2
π
arg
=
z − 2i
2
est inclus dans :
– La droite d’équation y = x − 1.
√
– Le cercle de centre I(1 + i) et de rayon R = 2.
218
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Les nombres complexes
Thème: Aspect trigonométrique
– La droite d’équation y = x.
– Le cercle de diamètre [AB], A et B étant les points d’affixes respectives
zA = −2 et zB = 2i.
0
Exercice no 6 [Calculs de cosinus et sinus]
On considère le nombre complexe z = 4(−1 + i).
1. Calculer le module et un argument de z.
√
19π
19π
+ i sin
.
2. Déterminer le nombre complexe Z tel que : zZ = 20 2 cos
12
12
19π
19π
3. En déduire les valeurs exactes de cos
et de sin
.
12
12
0
Exercice no 7 [Equation et système dans C]
1. Résoudre dans C l’équation suivante :
(E)
:
√
2
2 3
Z + = 0.
Z −
3
3
2
2. Dans le plan complexe, on note M1 et M2 les points images respectifs des solutions Z1 et
Z2 de (E).
Pourquoi le triangle OM1 M2 est-il isocèle ?
3. Déterminer le module et un argument de Z1 et de Z2 .
4. Résoudre dans C le système suivant :
(S)
:
1
z1
2z1 z2 = 3√
.
+ z12 = 2 3 3
Exercice no 8 [Bordeaux, 1991]
Soient les nombres complexes
√
z1 =
√
6−i 2
et z2 = 1 − i.
2
1. Mettre sous forme trigonométrique z1 , z2 et Z =
z1
.
z2
2. En déduire que
√
√
√
√
π
6+ 2
π
6− 2
cos
=
et sin
=
.
12
4
12
4
3. On considère l’équation d’inconnue réelle x :
√
√
√
√
( 6 + 2) cos x + ( 6 − 2) sin x = 2.
Résoudre cette équation dans R.
219
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Les nombres complexes
Thème: Aspect trigonométrique
4. Placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique.
Exercice no 9 [Equation et système dans C]
1. Résoudre dans C l’équation suivante :
(E)
√
9z 2 + 3 3z + 1 = 0.
:
2. Dans le plan complexe, on note A et B les points images respectifs des solutions z1 et z2
de (E).
3. Déterminer le module et un argument de z1 et de z2 .
4. Résoudre dans C le système suivant :
(S)
:
Z1 Z2 = 13 √
.
Z1 + 3Z2 = − 3
220
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Les nombres complexes
Thème: Forme exponentielle
[Thème) Forme exponentielle
1. La notation et ses applications
F : R → C
.
θ 7→ cos θ + i sin θ
1. (a) Soient a un nombre réel. Calculer le module et un argument de F (a).
Soit la fonction complexe de la variable réelle
(b) Soit b un deuxième réel. Montrer que F (a) × F (b) = F (a + b) (considérer module et
argument).
y0 = i y
2. (a) Montrer que la fonction F est solution du problème de Cauchy suivant :
y(0) = 1.
(b) En déduire une expression de F liée à l’exponentielle.
B Définition 1: Exponentielle complexe
? Pour tout nombre réel θ, on note :
ei x = cos x + i sin x.
Ce nombre complexe vérifie
i x
e = 1 et arg(ei x ) = x + 2 k π (k ∈ Z).
∗ Interprétation géométrique
Dans le plan complexe, le point image de ei x est le point du cercle trigonométrique d’abscisse
curviligne x.
∗ Réciproquement : Les points du cercle trigonométrique sont ceux d’affixe ei x , (x ∈ R).
♦ Exemples usuels. Forme exponentielle de : 0, 1, i, −1, −i. 0
B Conséquence. L’équation d’Euler liant 1, i et π : ei π + 1 = 0.
Exercice no 1 [Applications directes]
1. Soit θ un nombre réel. Exprimer les quantités suivantes en fonction de eiθ :
ei(θ+2π) ; e−iθ ; ei(θ+π) et ei(θ+π/2)
2. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe w + reiθ dans chacun des cas suivants :
• θ décrit [−π; π]
• θ décrit [0; π]
• θ décrit [−π/2; π/2].
3. Résoudre l’équation suivante, d’inconnue x ∈ R : e2ix = i
221
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Les nombres complexes
Thème: Forme exponentielle
Comme conséquence de ce qui précède et de la forme trigonométrique, on peut poser :
B Définition 2: Notation exponentielle complexe
? Tout nombre complexe z peut s’écrire z = r ei x ,
avec :
• r = |z|
• si z 6= 0 alors x = arg(z) + 2kπ (k ∈ Z).
B Proposition 3: Formulaire
? Soient a, b deux réels et n ∈ Z.
Egalité : ei a = ei b si, et seulement si a = b + 2 k π (k ∈ Z).
Non nullité :
ei a 6= 0 car |ei a | = 1
i (a+b)
ia ib
Produit :
e
=e e
Puissance :
ei n a = ei a
n
Inverse :
ei a = e−i a =
i (a−b)
1
ei a
ei a
= ib
e
Quotient :
e
Moivre :
(cos a + i sin a)n = cos(n a) + i sin(n a).
Exercice no 2 [Démonstration]
On rappelle que la relation ei (a+b) = ei a ei b a déjà été prouvée en introduction.
−1
1. Calculer ei a e−i a . En déduire une expression de (ei a ) .
2. En déduire la relation ei (a−b) =
ei a
.
ei b
n
3. (a) Montrer par récurrence que, pour tout n ∈ N, ei n a = ei a .
(b) A l’aide du résultat de 1, prouver que la relation ei n a = ei a
lorsque n ∈ Z.
n
est encore valable
(c) En déduire la formule de Moivre.
Exercice no 3 [Application]
On considère le nombre complexe z tel que z = 1 + eiθ , où θ désigne un réel appartenant à
l’intervalle ] − π; π[.
Ecrire z sous forme exponentielle.
Exercice no 4 [Suites géométriques et arithmétiques]
222
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Les nombres complexes
Thème: Forme exponentielle
√
1. Calculer le module et un argument du nombre complexe : Z = 4(1 + i 3).
√
2. Trois nombres complexes z1 , z2 et z3 ont pour produit 4(1 + i 3), pour modules respectifs
les trois premiers termes d’une suite géométrique de raison 1/2, et pour arguments respectifs
les trois premiers termes d’une suite arithmétique de raison 2π/3.
π
De plus, l’argument de z1 appartient à l’intervalle ]0, [.
2
Déterminer ces trois nombres z1 , z2 et z3 .
0
2. Rotations
♦ Exemple d’introduction
Soit R la transformation du plan complexe qui, à tout point M (z), associe le point M 0 (z 0 ) tel
que z 0 = ei π/3 .
1. Montrer que OM = OM 0 .
~\
~ 0 ).
2. Calculer une mesure en radians de (OM
; OM
3. En déduire la nature de R.
B Proposition 4: Expression complexe d’une rotation
? Soient Ω(w) un point du plan complexe et α un réel.
L’application qui, à tout point M (z) associe le point
M 0 (z 0 ) tel que
z 0 − w = ei α (z − w)
est la rotation de centre Ω(w) et d’angle α.
Démonstration de 4.
La relation z 0 − w = eiα (z − w) équivaut en effet à :
|z 0 − w| = |z − w| et arg(z 0 − w) = arg(z − w) + α + 2 k π (k ∈ Z) ,
~ ; ΩM
~ 0 ) = α + 2 k π.
soit : ΩM 0 = ΩM et mes(ΩM
Le point M 0 est donc bien l’image de M par la rotation de centre Ω(w) et d’angle α.
4
Exercice no 5 [Application]
223
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Les nombres complexes
Thème: Forme exponentielle
Soit T l’application de P dans P qui à tout point M d’affixe z = x + iy associe le point M 0
π
d’affixe z 0 = x0 + iy 0 , où : z 0 = ei 4 · z.
1. Caractériser géométriquement l’application T .
√
2. Soit A le point d’affixe 2(1 − i). Calculer les coordonnées des points A0 et A00 tels
que A0 = T (A) et A00 = T ◦ T (A).
Montrer que le triangle OAA00 est rectangle isocèle.
3. Calculer z en fonction de z 0 . En déduire les coordonnées de M en fonction de celles de M 0 .
4. Déterminer
l’ensemble D 0 , image par l’application T de la droite D d’équation : x − y −
√
2 2 = 0.
0
Exercice no 6 [Reconnaissance de transformation]
Dans chaque cas, déterminer la transformation qui, à tout point M (z), associe le point M 0 (z 0 )
tel que :
• z 0 = ei π/6 (z − 3 i) + 3 i
• z 0 = ei π/6 (z − 3 i) + 3 i + 5
• z 0 = 2 ei π/6 (z − 3 i) + 3 i
Exercice no 7 [Triangle équilatéral]
2iπ
? Première partie. On note j le nombre complexe e 3 .
1. Montrer les propriétés
suivantes de j :
√
3
1
• j = −2 + i 2
• j3 = 1
• 1 + j + j2 = 0
π
• −j 2 = ei 2 .
2. Dans un repère orthonormal direct du plan, on considère les points M , N , P d’affixes
respectives m, n, p.
(a) Montrer que, si le triangle est équilatéral direct, alors m − n = −j 2 (p − n).
(b) Etablir la propriété suivante :
Le triangle M N P est équilatéral direct si, et seulement si, m + n j + p j 2 = 0.
? Deuxième partie. On considère un cercle du plan de centre O et des points A, B, C, D,
E, F de ce cercle tels que les angles
~ OB)
~ , (OC,
~ OD)
~
~ OF
~ )
(OA,
et (OE,
aient la même mesure π3 . Soient M , N , P les milieux respectifs des cordes [BC], [DE], [F A].
Montrer que le triangle M N P est équilatéral direct.
224
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Les nombres complexes
Thème: Forme exponentielle
3. Remarques et compléments
3.1. Forme exponentielle d’une somme
Soient α et β deux réels.
Voici une astuce de calcul pour écrire sous forme exponentielle la somme suivante :
α+β
α+β
iα
iβ
i α+β
e +e
= e 2 exp iα − i
+ exp iβ − i
2
2
α+β
α−β
β−α
+ exp i
= ei 2 exp i
2
2
α+β
α−β
= ei 2 2 cos
2
α − β i α+β
= 2 cos
e 2
2
∗ Mise en garde. Cette écriture est la forme exponentielle si et seulement si
α−β
2 cos
≥ 0.
2
α−β
α − β iπ Dans le cas contraire, on a 2 cos
= 2e cos
,
2
2
α − β i α+β+2π
2
.
et la forme exponentielle est eiα + eiβ = 2 cos
e
2
A titre d’exercice d’entraı̂nement, on fera le calcul analogue pour une différence.
3.2. Triangle rectangle
Soient M (m), N0 (n0 ) et P0 (p0 ) trois points deux à deux distincts du plan complexe.
π
Le triangle M N0 P0 est rectangle en M si et seulement si mes(M~N0 , M~P0 ) =
[π],
2
? ce qui équivaut à : M appartient au cercle de diamètre [N0 P0 ], avec M 6= N0 et M 6= P0 .
Ce cercle admet :
N0 P0 n0 − p0 • pour rayon
=
2
2 n0 + p0
.
2
B Finalement : Le triangle M N0 P0 est rectangle en M si et seulement si :
n0 − p0 n
+
p
0
0
m −
=
.
2 2 • pour centre le milieu de [N0 P0 ], d’affixe
225
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Les nombres complexes
Thème: Forme exponentielle
3.3. Triangle équilatéral
Soient M (m), N (n) et P (p) trois points deux à deux distincts du plan complexe.
Mes(M~N , M~P ) = ± π3
Le triangle M N P est équilatéral si, et seulement si
M N = M P.
Mes(M~N , M~P ) = π3
Il est équivatéral direct si, et seulement si
M N = M P,
π
p−m
=
et |p − m| = |n − m| ,
ce qui équivaut à : Arg
n−m
3
p − m
p−m
π
= 1.
ou encore : Arg
=
et n−m
3
n − m
B Finalement : D’après la caractérisation des exponentielles complexes, le triangle M N P
π
p−m
= ei 3 .
est équilatéral direct si, et seulement si
n−m
2iπ
Cette relation peut aussi s’écrire à l’aide de la racine de l’unité j = e 3
iπ
(qui vérifie notamment : j 3 = 1 , j 2 = j , 1 + j + j = 0 et − j = e 3 ).
On a en effet :
π
p−m
= ei 3
n−m
⇔
m(−j − 1) + nj + p = 0
⇔
jm + jn + p = 0,
ou encore (en multipliant par j 2 = j) : m + jn + jp = 0.
♦ Commentaire
Soient M (m), N (n), P (p), M 0 (m0 ), N 0 (n0 ) et P 0 (p0 ) six points du pan complexe.
On peut montrer que les triangles M N P et M 0 N 0 P 0 sont semblables et de même orientation
si, et seulement si mm0 + nn0 + pp0 = 0.
La relation m + jn + jp = 0 est ainsi équivalente au fait que M N P soit équilatéral direct
comme le triangle IJJ 0 , où I(1), J(j) et J 0 (j) sont les points images des trois racines complexes
de l’unité.
4. Exercices
Exercice no 8 [Racines de l’unité]
1. Factoriser z 3 − 1 et z 3 + 1 . En déduire les solutions dans C de l’équation z 6 = 1 et
représenter leurs images dans le plan complexe.
u+1
2. A tout nombre complexe u différent de 1, on associe z =
. Calculer u en fonction de
u−1
z.
3. En utilisant ce qui précède, résoudre dans C l’équation (u + 1)6 = (u − 1)6 , et représenter
les images des solutions.
226
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Les nombres complexes
Thème: Forme exponentielle
4. Expliquer le résultat obtenu en déterminant l’ensemble E des points d’affixes u tels que
u + 1
u − 1 = 1.
0
Exercice no 9 [Le cours sur les rotations]
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O, ~u, ~v ). On prend comme prérequis
le résultat suivant :
Pour tout vecteur w
~ non nul, d’affixe z, on a : |z| = ||w||
~
et arg(~u, w)
~ = mes(~u, w)
~ [2π].
1. Soient M , N , P trois points du plan, d’affixe m, n, p tels que m 6= n et m 6= p.
p−m
(a) Démontrer que : arg
= mes(M~N , M~P ) [2π].
n−m
p − m
.
(b) Interpréter géométriquement la quantité : n − m
2. En déduire la traduction complexe d’une rotation de centre Ω d’affixe w et d’angle de
mesure θ, θ désignant un nombre réel.
Exercice no 10 [Etude d’une configuration]
On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct d’origine O.
Soient A, B, C, D E, cinq points tels que les triangles ABC et ADE soient équilatéraux
directs. Soit d’autre part le point F tel que le quadrilatère ACF D soit un parallélogramme.
On note enfin a, b et d les affixes respectives des points A, B et D.
On se propose de démontrer que le triangle BF E est un triangle équilatéral direct par deux
méthodes différentes.
1. Par calculs directs.
(a) Déterminer les affixes des points C et E en fonction de a, b et d.
(b) En déduire celle de F en fonction de a, b et d.
(c) Conclure.
2. A l’aide des transformations. Soient r la rotation de centre A et d’angle
~
translation de vecteur AD.
π
3
et t la
(a) Déterminer l’écriture complexe de r puis de t.
(b) Soit k = t ◦ r. Déterminer l’écriture complexe de k.
(c) Montrer que k admet un point fixe Ω dont on déterminera l’affixe w.
(d) Soit M un point d’affixe z. On note z 0 l’affixe du point M 0 , image de M par k. Calculer
z 0 − w en fonction de z − w. En déduire la nature de la transformation k.
(e) Quelle est l’image de B par k ?
(f) Conclure.
227
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2008/2009
DM no 12. Racines de l’unité
Les nombres complexes
[DM no 12) Racines de l’unité
B
∗
Polycopié no 27
A rendre le vendredi 20/3/9
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O, ~u, ~v )
(unité graphique : 4 cm).
On considère un entier n ≥ 1 et le polynôme P donné par P (z) = 1 − z n , pour tout z ∈ C.
On rappelle que P admet au plus n racines complexes.
1. Montrer que, pour tout z ∈ C, P (z) = (1 − z)(1 + z + ... + z n−1 ).
2. (a) Trouver une racine évidente de P .
(b) Soit w un racine de P et A son point image dans le plan complexe.
On note A0 l’image de A par la rotation de centre O et d’angle 2nπ et w0 l’affixe de A0 .
Montrer que w0 est encore une racine de P .
(c) Déduire de a) et b) toutes les racines de P .
(d) Montrer que ces racines sont les affixes des sommets d’un polygone régulier P que l’on
explicitera.
On suppose désormais que n = 6.
3. Construire le polygone P dans (O, ~u, ~v ) à la règle et au compas.
On expliquera la construction.
4. On considère la transformation du plan T qui, à tout point M d’affixe z, associe le point
1 iπ
M 0 d’affixe z 0 = e 3 .
2
(a) Montrer que T est la composée de deux transformations que l’on précisera.
(b) Soit M0 le point d’affixe 1. Pour tout k ∈ N on pose : Mk+1 = T (Mk ).
(c) Placer les points M0 , M1 , M2 et M3 sur la figure en justifiant les constructions.
(d) Calculer, pour tout entier naturel k, l’affixe zk de Mk .
(e) Calculer, pour tout entier naturel k, la distance Mk Mk+1 .
(f) On pose, pour tout entier naturel k, Lk =
k
X
Mi Mi+1 .
i=0
Calculer Lk en fonction de k puis déterminer sa limite lorsque k tend vers +∞.
228
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2008/2009
Les nombres complexes
DS. Un devoir annulé
[DS) Un devoir annulé
Exercice no 1 [Applications des méthodes]
Les questions 1 à 5 sont indépendantes.
1. (a) Déterminer la forme exponentielle du nombre Z = 1 − i
√
3.
(b) En déduire la forme algébrique de Z n en fonction de l’entier relatif n.
2. Résoudre dans C l’équation z 3 − z 2 + 2 z + 4 = 0.
3. Linéariser l’expression sin(x) cos2 (x), où x est un nombre réel.
4. Soit Ω le point d’affixe 1 − i.
(a) Déterminer une équation cartésienne de l’ensemble (E ) des points M d’affixe z = x+i y
vérifiant |z − 1 + i| = |3 − 4 i|.
(b) Décrire géométriquement l’ensemble (E ).
5. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que
z−2+i
z+3
soit un imaginaire pur.
Exercice no 2 [Etude d’une application]
Le plan complexe est rapporté au repere orthonormal direct (O; ~u; ~v ).
On réalisera une figure en prenant 2 cm comme unité graphique sur chaque axe.
On considere les points A, B et I d’affixes respectives zA = 1, zB = 5 et zI = 3 + i.
On note (C ) le cercle de centre O et de rayon 1, (∆) la mediatrice de [AB] et (T ) la tangente
au cercle (C ) en A.
A tout point M d’affixe z, différent de A, on associe le point M 0 d’affixe z 0 telle que :
z0 =
z−5
.
z−1
Le point M 0 est appelé l’image de M .
? Partie A
1. Déterminer sous forme algebrique l’affixe du point I 0 image de I.
Vérifier que I 0 appartient à (C ).
2. (a) Justifier que pour tout point M distinct de A et B, on a : OM 0 =
MB
.
MA
~ OM
~ ) = (M~A; M~B).
(b) Justifier que pour tout point M distinct de A et B, on a : (OA;
229
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2008/2009
Les nombres complexes
DS. Un devoir annulé
? Partie B
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans
l’évaluation.
Dans la suite de l’exercice, M désigne un point quelconque de (∆). On cherche à construire
géométriquement son image M 0 .
1. Démontrer que M 0 appartient à (C ).
2. On note (d) la droite symétrique de la droite (AM ) par rapport à la tangente (T ).
La droite (d) recoupe (C ) en N .
(a) Justifier que les triangles AM B et AON sont isocèles.
~ AN
~ ) = (AM
~ ; AB),
~ démontrer que (OA;
~ ON
~ ) = (M~A; M~B).
(b) Apres avoir justifié que (AO;
(c) En déduire une construction de M 0 .
? Correction de l’exercice 1
1. Equation (E) z 3 − z 2 + 2 z + 4 = 0.
On cherche d’abord une racine évidente et on constate de −1 est racine de (E) car :
(−1)3 − (−1)2 + 2 × (−1) + 4 = −1 − 1 − 2 + 4 = 0.
∗ Factorisation. Le membre de gauche de (E) peut donc se factoriser par (z +1), c’est-à-dire
qu’il existe des réels a, b et c tels que, pour tout z ∈ C,
z 3 − z 2 + 2 z + 4 = (z + 1) (a z 2 + b z + c)
z 3 − z 2 + 2 z + 4 = a z 3 + (b + a) z 2 + (c + b) z + c.
⇔
En appliquant le théorème d’identification, on obtient :


a = 1



 a = 1
b+a = -1
b = -2
soit
c+b = 2



c = 4.

c = 4
Donc, pour tout z ∈ C, z 3 − z 2 + 2 z + 4 = (z + 1) (z 2 − 2 z + 4) et il reste à chercher les
racine du deuxième facteur.
∗ Equation du second degré z 2 − 2 z + 4 = 0. Son discriminant est
∆ = (−2)2 − 4 × 1 × 4 = −12 < 0.
Cette équation admet donc deux racines complexes conjuguées :
−(−2) + i
z1 =
2×1
√
12
2 + 2i
=
2
√
3
=1+i
√
3 et z2 = z1 = 1 − i
√
3.
230
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Les nombres complexes
DS. Un devoir annulé
6 B Conclusion. Les solutions de (E) sont −1, 1 + i
√
3 et 1 − i
√
3.
2. Linéarisation de sin(x) cos2 (x), (x ∈ R). On utilise les formules d’Euler :
ix
2
e + e−ix
eix − e−ix
2i
2
1
eix − e−ix e2ix + 2 eix e−ix + e−2ix
8i
1
eix − e−ix e2ix + 2 + e−2ix
8i
1
e3ix + 2 eix + e−ix − eix − 2 e−ix − e−3ix
8i
1
e3ix − e−3ix + eix − eix
8 i
1 e3ix − e−3ix eix − eix
1
+
=
(sin(3x) + sin(x)) .
4
2i
2i
4
2
sin(x) cos (x) =
=
=
=
=
=
3. Lignes de niveau.
On considère l’application du plan complexe qui à tout point M
iz
.
d’affixe z ∈ C associe le point M 0 d’affixe z 0 =
z−i
a) Points fixes M tels que M 0 = M . Ce sont les points d’affixe z tels que z = z 0 , soit :

 z = 0
iz
2
ou
z=
⇔ z − i z = i z ⇔ z (z − 2 i) = 0 ⇔

z−i
z = 2 i.
6 B Conclusion. Les points fixes sont O(0) et A(2 i).
231
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Les nombres complexes
Formulaire. Formules de trigonométrie
[Formulaire) Formules de trigonométrie
On fixe deux réels a et b.
? Définitions
Les fonctions cos et sin sont définies de R sur [−1; 1].
B En particulier : −1 ≤ cos ≤ 1 et − 1 ≤ sin ≤ 1.
B Conséquence du théorème de Pythagore :
cos2 (a) + sin2 (a) = 1.
? Valeurs remarquables
x
cos x
sin x
0
1
0
π
√6
3
2
1
2
π
√4
2
√2
2
2
π
3
1
√2
3
2
π
2
0
1
? Formules d’addition
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a)
sin(a − b) = sin(a) cos(b) − sin(b) cos(a)
tan(a) − tan(b)
1 + tan(a) tan(b)
(a, b et a − b non congrus à π/2 [π]).
tan(a) + tan(b)
1 − tan(a) tan(b)
(a, b et a + b non congrus à π/2 [π])
tan(a − b) =
tan(a + b) =
0
? Formules de duplication
cos(2a) = cos2 (a) − sin2 (a)
cos2 (a) =
1 + cos(2a)
2
sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)
sin2 (a) =
1 − cos(2a)
2
tan(2a) =
2 tan(a)
1 − tan2 (a)
1 − cos(2a)
1 + cos(2a)
[π])
tan2 (a) =
(a 6≡
π
2
Les formules suivantes servent essentiellement au calcul de primitives : si a 6≡ π [2π], alors :
cos(a) =
1 − tan2 (a/2)
et
1 + tan2 (a/2)
sin(a) =
2 tan(a/2)
.
1 + tan2 (a/2)
? Formules de linéarisation
cos(a) cos(b) =
sin(a) sin(b) =
1
[cos(a + b) + cos(a − b)]
2
1
[cos(a − b) − cos(a + b)]
2
sin(a) cos(b) = 12 [sin(a + b) + sin(a − b)]
si a 6≡
π
2
[π]
232
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Les nombres complexes
Formulaire. Formules de trigonométrie
? Formules de factorisation
p−q
p+q
cos
cos(p) + cos(q) = 2 cos
2
2
p−q
p+q
sin
cos(p) − cos(q) = −2 sin
2
2
p+q
p−q
sin(p) + sin(q) = 2 sin
cos
2
2
p+q
p−q
sin(p) − sin(q) = 2 cos
sin
2
2
? Equations trigonométriques

≡
b [2π]
 a
ou
cos(a) = cos(b) ⇔

a
≡ −b [2π]
sin(a) = sin(b) ⇔



≡
a
ou
a
b [2π]
≡ π − b [2π].
? Nombres dérivés en 0. Les fonctions cos, sin et tan sont dérivables en 0 et
sin0 (0) = lim
6=
x→0
sin(x)
=1 ;
x
cos0 (0) = lim
6=
x→0
cos(x) − 1
=0 ;
x
tan0 (0) = lim
6=
x→0
tan(x)
= 1.
x
sin(x) = x + x ϕ1 (x)
et tan(x) = x + x ϕ3 (x),
cos(x) = 1 + x ϕ2 (x)
où ϕ1 , ϕ2 et ϕ3 sont des fonctions définies sur R ayant pour limite 0 en 0.
sin(x) < x
? Inégalités. Si x ∈]0; π/2[ alors
et tan(x) > x.
2
cos(x) > 1 − x2
? Développements limités d’ordre 1.
? Développements limités d’ordre quelconque.
sin(x) = x−
x3
x2k+1
+...+(−1)k
+o(x2k+1 ) et
6
(2k + 1)!
cos(x) = 1−
x2
x2k
+...+(−1)k
+o(x2k ).
2
(2k)!
? Fonctions dérivées. Les fonctions cos, sin et tan sont dérivables sur R et
cos0 = − sin , sin0 = cos , tan0 = 1 + tan2 =
1
.
cos2
? Primitives. Les fonctions cos, sin sont continues sur R et :
Z
Z
cos = sin +k et
sin = − cos +k 0 (k, k 0 ∈ R).
La fonction tan est continue sur son ensemble de définition et sur tout intervalle contenu dans
celui-ci :
Z
tan = − ln |cos| + k (k ∈ R).
eia + e−ia
cos(a) =
2
? Formules d’Euler
tan(a) = i
sin(a) =
eia − e−ia
2i
e−ia − eia
eia + e−ia
(si a non congru à π/2 [π]).
233
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2008/2009
Les nombres complexes
Approfondissement. Exercices supplémentaires
[Approfondissement) Exercices supplémentaires
Exercice no 1 [Racines de l’unité]
1. Factoriser z 3 − 1 et z 3 + 1 . En déduire les solutions dans C de l’équation z 6 = 1 et
représenter leurs images dans le plan complexe.
u+1
2. A tout nombre complexe u différent de 1, on associe z =
. Calculer u en fonction de
u−1
z.
3. En utilisant ce qui précède, résoudre dans C l’équation (u + 1)6 = (u − 1)6 , et représenter
les images des solutions.
4. Expliquer le résultat obtenu en déterminant l’ensemble E des points d’affixes u tels que
u + 1
u − 1 = 1.
0
Exercice no 2 [Le cours sur les rotations]
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O, ~u, ~v ). On prend comme prérequis
le résultat suivant :
Pour tout vecteur w
~ non nul, d’affixe z, on a : |z| = ||w||
~
et arg(~u, w)
~ = mes(~u, w)
~ [2π].
1. Soient M , N , P trois points du plan, d’affixe m, n, p tels que m 6= n et m 6= p.
p−m
= mes(M~N , M~P ) [2π].
(a) Démontrer que : arg
n−m
p − m
.
(b) Interpréter géométriquement la quantité : n − m
2. En déduire la traduction complexe d’une rotation de centre Ω d’affixe w et d’angle de
mesure θ, θ désignant un nombre réel.
Exercice no 3 [Etude d’une configuration]
On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct d’origine O.
Soient A, B, C, D E, cinq points tels que les triangles ABC et ADE soient équilatéraux
directs. Soit d’autre part le point F tel que le quadrilatère ACF D soit un parallélogramme.
On note enfin a, b et d les affixes respectives des points A, B et D.
On se propose de démontrer que le triangle BF E est un triangle équilatéral direct par deux
méthodes différentes.
1. Par calculs directs.
(a) Déterminer les affixes des points C et E en fonction de a, b et d.
(b) En déduire celle de F en fonction de a, b et d.
(c) Conclure.
234
Terminale S3
2008/2009
Les nombres complexes
Approfondissement. Exercices supplémentaires
2. A l’aide des transformations. Soient r la rotation de centre A et d’angle π3 et t la
~
translation de vecteur AD.
(a) Déterminer l’écriture complexe de r puis de t.
(b) Soit k = t ◦ r. Déterminer l’écriture complexe de k.
(c) Montrer que k admet un point fixe Ω dont on déterminera l’affixe w.
(d) Soit M un point d’affixe z. On note z 0 l’affixe du point M 0 , image de M par k. Calculer
z 0 − w en fonction de z − w. En déduire la nature de la transformation k.
(e) Quelle est l’image de B par k ?
(f) Conclure.
? Exercices de synthèse (par P. Soubeyrand)
→ −
−
→
Dans tout ce qui suit, le plan P est rapporté à un repère orthonormé (O ; u , v ).
1. Soit l’application f : C \ {i} → C définie par : f (z) =
−iz + 3 − 4i
.
z−i
a) Calculer f (2 − i), puis résoudre dans C l’équation f (z) = z.
b) Déterminer l’ensemble E des points Mx du plan, d’affixe f [x + i(x + 1)], définis pour les
réels x non nuls.
2. On considère le nombre complexe z tel que : z = 1 + eiθ , où θ désigne un réel appartenant
à l’intervalle ] − π, π[.
a) Déterminer le module r et un argument ϕ de z.
b) Calculer z 4 de deux façons différentes.
θ
1
1
3
c) En déduire la relation : cos4 ( ) = cos(2θ) + cos(θ) + .
2
8
2
8
2z
3. Soit ϕ : C \ {−1; 1} → C l’application définie par : ϕ(z) = 2
.
z −1
a) Démontrer que pour tout nombre réel θ de l’intervalle ]0, π[, le nombre complexe ϕ(eiθ ) est
imaginaire pur ; déterminer son module et un argument.
2z(z 2 − 1)
.
b) Montrer que ϕ(z) =
|z 2 − 1|2
c) Déterminer l’ensemble E des points M du plan, d’affixe z, tels que ϕ(z) soit imaginaire
pur.
i
d) Résoudre dans C l’équation : ϕ(z) = .
2
√
4.a) Calculer le module et un argument du nombre complexe : Z√= 4(1 + i 3).
b) Trois nombres complexes z1 , z2 et z3 ont pour produit : 4(1 + i 3), pour modules respectifs
les trois premiers termes d’une suite géométrique de raison 1/2, et pour arguments respectifs
les trois premiers termes d’une suite arithmétique de raison 2π/3. De plus, l’argument de z1
π
appartient à l’intervalle ]0, [. Déterminer ces trois nombres z1 , z2 et z3 .
2
z+1
5. On considère l’application f : C \ {1} → C définie par : f (z) = Z =
, et I désignant
z−1
le point d’affixe 1, l’application F de P \ {I} dans P qui au point m d’affixe z associe le
235
Terminale S3
2008/2009
Les nombres complexes
Approfondissement. Exercices supplémentaires
point M d’affixe Z.
→
−
a) Déterminer l’image par F de la droite (O, u ) privée de I, puis l’ensemble des points
invariants par F .
z+1
est équivalente à la relation (Z − 1)(z − 1) = 2.
b) Montrer que la relation Z =
z−1
c) En déduire que m et M sont alignés avec I et vérifient Im · IM = 2.
d) Retrouver alors les résultats du a.
z + 1 − 2i
.
7. On considère l’application f : C \ {−2 − i} → C définie par : f (z) =
z+2+i
0
a) Représenter le point A d’affixe −3 + i, ainsi que son image A .
b) Déterminer l’ensemble E1 des points M d’affixe z tels que |f (z)| = 1.
π
c) Déterminer l’ensemble E2 des points M d’affixe z tels qu’un argument de f (z) soit .
2
8. On considère deux points M et N de P, d’affixes respectives m + ai et n + ai, où m, n et
a sont réels avec m 6= n et a 6= 0. On désigne par M 0 l’image de M par la rotation de centre
π
π
O et d’angle − , et par N 0 l’image de N par la rotation de centre O et d’angle .
2
2
a) Exprimer les affixes de M 0 et N 0 en fonction de m, n et a.
b) Montrer que la hauteur issue de O du triangle OM N est la médiane issue de O du triangle
OM 0 N 0 .
2z
.
−1
a) Démontrer que pour tout nombre réel θ de l’intervalle ]0, π[, le nombre complexe
ϕ(eiθ ) est imaginaire pur ; déterminer son module et un argument.
2z(z 2 − 1)
.
b) Montrer que ϕ(z) =
|z 2 − 1|2
c) Déterminer l’ensemble E des points M , d’affixe z, tels que ϕ(z) soit imaginaire pur.
i
d) Résoudre dans C l’équation : ϕ(z) = .
2
3. Soit ϕ : C \ {−1; 1} → C l’application définie par : ϕ(z) =
z2
2eiθ
2eiθ
2
i
=
=
=−
∈ Ri, donc ϕ(eiθ ) est bien un
i2θ
iθ
iθ
−iθ
e −1
e (e − e )
2i sin(θ)
sin(θ)
imaginaire pur.
π
1
1
θ appartenant à l’intervalle ]0, π[, sin(θ) est ¿0, donc ϕ(eiθ ) =
(−i) =
e−i 2 .
sin(θ)
sin(θ)
1
π
iθ
On en déduit que le module de ϕ(e ) est
et un argument est − .
sin(θ)
2
a) ϕ(eiθ ) =
b) On sait que z 2 − 1 = z 2 − 1 = z 2 − 1 et que Z · Z = |Z|2 . Donc :
2z
2z(z 2 − 1)
2z(z 2 − 1)
=
=
.
ϕ(z) = 2
z −1
|z 2 − 1|2
|z 2 − 1|2
c) Pour tout z dans C \ {−1; 1}, |z 2 − 1|2 étant réel, on en déduit que :
ϕ(z) ∈ Ri ⇔ z(z 2 − 1) ∈ Ri.
Or z(z 2 − 1) = (x + iy)[(x − iy)2 − 1] = (x + iy)[(x2 − y 2 − 1) − 2ixy],
donc Ree[z(z 2 − 1)] = x(x2 − y 2 − 1) + 2xy 2 = x(x2 + y 2 − 1),
236
Terminale S3
2008/2009
Les nombres complexes
Approfondissement. Exercices supplémentaires
et donc z(z 2 − 1) ∈ Ri ⇔ x = 0 ou x2 + y 2 = 1.
→
−
D’où : E = (O, v ) ∪ [C (O, 1) \ {A(1) , B(−1) }] (on retrouve au passage le résultat du a).
i
⇔ iz 2 − 4z − i = 0 (équation qu’on ne sait pas résoudre
2
à notre niveau, puisqu’à coefficients complexes).
i
Mais ∈ Ri ! ! ! On peut donc utiliser c, i.e. on se limite aux affixes des points de E .
2
• On cherche d’abord sur l’axe imaginaire : on pose z = yi,
√ avec y ∈ R, et on obtient
l’équation : y 2 + 4y + 1 = 0, laquelle
nous
donne
:
y
=
−2
±
3.
√
√
D’où deux solutions : z1 = (−2 + 3)i et z1 = (−2 − 3)i
• On cherche ensuite sur le cercle : on pose z = eiθ , avec θ réel différent de kπ, et compte tenu
i
i
du calcul fait au a, on otient l’équation −
= , laquelle donne sin(θ) = −2. Ceci étant
sin(θ)
2
impossible, on n’obtient pas de nouvelles solutions.
En résumé, l’équation proposée possède deux solutions : z1 et z2 .
d) Pour z ∈
/ {−1; 1}, on a : ϕ(z) =
237
Terminale S3
2008/2009
Quatrième partie
GEOMETRIE DANS L’ESPACE
238
Chapitre 8
Calcul vectoriel
239
Calcul vectoriel
Thème: Fonction de Leibniz
[Thème) Fonction de Leibniz
0
1. Problématique, vocabulaire
On considère n points (n ≥ 1) du plan ou de l’espace A1 ,...,An et n réels α1 ,...,αn .
On s’intéresse à la somme de vecteurs suivante, qu’on souhaiterait réduire :
f~(M ) =
n
X
−−−→
−−−→
−−−→
αi M Ai = α1 M A1 + ... + αn M An .
i=1
♦ Vocabulaire
• Un couple (Ai , αi ) est appelé point pondéré.
• La collection {(A1 , α1 ); ...; (An , αn )} est un système de points pondérés.
• L’application, qui à tout point M du plan ou de l’espace, associe le vecteur f~(M )
est appelée fonction de Leibniz associée au système {(A1 , α1 ); ...; (An , αn )}.
• Un barycentre du système {(A1 , α1 ); ...; (An , αn )} est un point G tel que f~(G) = ~0,
c’est-à-dire un antécédant du vecteur nul par f~(M ).
0
2. Barycentre d’un système de points pondéré
B Théorème 1: Existence et unicité
−−−→
−−−→
? Si α1 + ... + αn 6= 0 alors il existe un unique point G tel que α1 GA1 + ... + αn GAn = ~0.
Le système {(A1 , α1 ); ...; (An , αn )} admet donc dans ce cas un et un seul barycentre.
B Corollaire 2: Relation caractéristique
? On suppose que α1 + ... + αn 6= 0.
Le point G est barycentre du système {(A1!
, α1 ); ...; (An , αn )} si et seulement si,
n
n
X
X
−−−→
−−−→
pour tout point M ,
αi M Ai =
αi M G .
i=1
i=1
0
B Proposition 3: Cas d’une somme de coefficients nulle
240
Terminale S3
2008/2009
Calcul vectoriel
Thème: Fonction de Leibniz
? Si α1 + ... + αn = 0 alors la fonction f~ est constante :
Il existe un vercteur ~v tel que, pour tout point M , f~(M ) =
n
X
−−−→
αi M Ai = ~v .
i=1
B Si ~v = ~0 alors tout point est un barycentre du système {(A1 , α1 ); ...; (An , αn )}.
B Si ~v 6= ~0 alors le système n’admet pas de barycentre.
0
241
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Calcul vectoriel
Thème: Fonction de Leibniz
3. Démonstrations
Démonstration du théorème. Elle repose principalement sur la relation de Chasles.
A
Pour tout point M , on a :
f~(M ) =
n
X
−−−−→
La condition f (M ) = ~0 équivaut donc à :
!
n
n
X
−−−→ X −−−→
αi A1 M =
αi A1 Ai ,
B
−−−→
αi M Ai
i=1
=
=
n
X
i=1
n
X
soit
n
−−−→ X −−−→
αi M A1 +
αi A1 Ai
i=1
=
i=1
−−−→ −−−→
αi (M A1 + A1 Ai )
puisque
!
αi
αi 6= 0 ,
−−−→
1
A1 M = Pn
n
−−−→ X −−−→
M A1 +
αi A1 Ai
i=1
n
X
i=1
i=1
n
X
i=1
!
i=1
n
X
αi
−−−→
αi A1 Ai .
i=1
i=1
6 B Conclusion. Le problème admet donc une solution unique.
C’est le translaté G de A1 par le vecteur
1
n
X
n
X
αi
−−−→
αi A1 Ai .
i=1
i=1
Démonstration du corollaire. Soient M et G deux points. On a :
A
f~(M ) =
=
n
X
i=1
n
X
−−−→
αi M Ai
B
=
−−−→ −−−→
αi (M G + GAi )
n
−−−→ X −−−→
αi M G +
αi GAi
i=1
=
!
αi
−−−→ −−−→
M G + f (G) .
i=1
i=1
n
X
D’où f~(M ) =
n
X
i=1
n
X
!
αi
Le point G est barycentre du système si, et
−−−→
seulement si f (G) = ~0, soit
!
n
n
X
X
−−−→ ~
−−−→
αi M Ai = f (M ) =
αi M G ,
i=1
n
−−−→ X −−−→
MG +
αi GAi .
i=1
i=1
pour tout point M l’espace.
i=1
Démonstration de la proposition. Soient M et N deux points quelconques. On a :
A
f~(M ) =
=
n
X
i=1
n
X
−−−→
αi M Ai
B
−−−→ −−−→
αi (M N + N Ai )
ou encore : f~(M ) = f~(N ).
i=1
=
n
X
i=1
n
−−−→ X −−−→
αi M N +
αi N Ai
soit : f~(M ) =
n
X
!
−−−→
αi M N + f~(N )
i=1
La fonction de Leibniz est donc constante
lorsque α1 + ... + αn = 0.
i=1
0
242
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Calcul vectoriel
Thème: Propriétés du barycentre
[Thème) Propriétés du barycentre
Dans toute ce thème, on considère système de points pondérés {(A1 , α1 ); ...; (An , αn )}
tel que α1 + ... + αn 6= 0. On note bar{(A1 , α1 ); ...; (An , αn )} le barycentre de ce système.
0
B Proposition 1: Homogénéı̈té
? Pour tout réel non nul k, on a : bar{(A1 , k α1 ); ...; (An , k αn )} = bar{(A1 , α1 ); ...; (An , αn )}.
B Application : En posant k =
α10 =
1
, on obtient des coefficients
α1 + ... + αn
α1
αn
, ..., αn0 =
vérifiant α10 + ... + αn0 = 1.
α1 + ... + αn
α1 + ... + αn
B Corollaire 2: Affixe et coordonnées du barycentre
A) Si A(xi , yi , zi ) (1 ≤ i ≤ n), dans un
repère cartésien (O ; ~ı , ~ , ~k ), alors :

n
X
1


xG =
αi xi



α1 + ... + αn i=1


?

n

X
1
αi yi .
yG =
α1 + ... + αn i=1




n

X

1


z
=
αi zi
 G α + ... + α
1
B) Si Ai (zi ) (zi ∈ C, 1 ≤ i ≤ n), dans le plan
complexe, alors :
n
X
1
wG =
αi wi .
α1 + ... + αn i=1
B Ce sont les moyennes des coordonnées (ou
affixes) des Ai , pondérées par les αi .
n i=1
Exercice no 1 [Application directe]
1. Dans un repère (O ; ~ı , ~ , ~k ), on considère I(1; 0; 0), J 0 (0; −1; 0) et K(0; 0; 1) ;
Déterminer les coordonnées de G = bar{(I, −2); (J 0 , 1); (K, 3)}.
2. Dans le plan complexe, on considère M (−2 + 3i), N (2 + i) et P (−4i) ;
Déterminer les coordonnées de Ω = bar{(M, 3); (N, 1); (P, −2)}.
Démonstration de la proposition. Puisque k 6= 0, on a l’équivalence
n
X
−−−→
αi GAi = ~0
⇔
i=1
Démonstration du corollaire.
repère O donne
−−→
OG =
n
X
−−−→
(kαi ) GAi = ~0
i=1
La relation caractéristique appliquées à l’origine du
n
n
X
X
−−−→
1
1
αi OAi soit wG =
αi wi ,
α1 + ... + αn i=1
α1 + ... + αn i=1
dans le plan complexe par exemple.
243
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Calcul vectoriel
Thème: Propriétés du barycentre
B Proposition 3: Associativité
? On considère un sous-système {(A1 , α1 ); ...; (Ap , αp )} de {(A1 , α1 ); ...; (An , αn )}
tel que α1 + ... + αp 6= 0. On note : K = bar{(A1 , α1 ); ...; (Ap , αp )} et β = α1 + ... + αp .
Alors : G = bar{(K, β); (Ap+1 , αp+1 ); ...; (An , αn )}.
Le point K est appelé barycentre partiel associé au sous-système {(A1 , α1 ); ...; (Ap , αp )}.
n
X
−−→
−−−→
Démonstration. Il suffit de montrer que β GK +
αi GAi = ~0.
i=p+1
Or, comme K = bar{(A1 , α1 ); ...; (Ap , αp )} avec β = α1 + ... + αp , la
! relation caractéristique
p
p
X
−−→ X −−−→
−−→
αj GAj .
αj GK =
du barycentre appliquée à M = G entraine que : β GK =
j=1
j=1
p
n
n
X
X
−−−→
−−→
−−−→ X −−−→
αj GAj +
αi GAi = ~0. 0
Donc : β GK +
αi GAi =
i=p+1
j=1
i=p+1
Exercice no 2 [Centre de gravité d’un tétraèdre]
On considère ABCD, un tétraèdre de l’espace, ainsi que A0 , B 0 , C 0 et D0 les centres de gravité
respectifs des triangles BCD, CDA, DAB et ABC. Soit G l’isobarycentre de A, B, C et D.
1. Montrer que G = bar{(A, 1); (A0 , 3)}.
Que peut-on en déduire quant à la position de G sur le segment [AA0 ].
2. Montrer de même que G appartient aux segments [BB 0 ], [CC 0 ] et [DD0 ] et situer sa position
sur ces segments.
3. En déduire que les droites (AA0 ), (BB 0 ), (CC 0 ) et (DD0 ) sont concourantes.
4. Quel résultat concernant G, A0 , B 0 , C 0 , D0 peut-on en déduire ?
0
Exercice no 3 [Dans un tétraèdre]
Soient ABCD un tétraèdre, F le milieu de [AD], G le centre de gravité du triangle ABC
et E le point du plan (BCD) tel que BDCE soit un parallélogramme.
1. Montrer que D est le barycentre du système {(B, 1); (C, 1); (E, −1)}.
2. En déduire que les points E, F et G sont alignés.
Exercice no 4 [Dans un cube]
Soient ABCDEF GH un cube, I le milieu de [AB] et P , Q les points tels que
−−→ 1 −−→
BQ = GB ,
3
−−→
−−→
AP = 3 AP .
Montrer que les points I, P et Q sont alignés.
244
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Calcul vectoriel
Thème: Rappels : repérage cartésien
[Thème) Rappels : repérage cartésien
1. Alignement et coplanarité
De même que deux points sont toujours alignés (ils appartiennent à une même droite), trois
points sont toujours coplainaires : On peut trouver un plan qui les contient tous les trois.
Par suite, un repère formé de trois points (O, I, J) ne peut pas suffire pour repérer l’espace.
Il en faut quatre qui soit de plus non coplanaires : aucun plan ne les contient tous les quatre
ensembles.
Quatre points ABCD non coplanaires sont, par définition, les sommets d’un tétraèdre. On
~ ~v = BC,
~ w
~ sont non coplanaires.
dira aussi que les vecteurs ~u = BA,
~ = BD
2. Bases des vecteurs de l’espace
B Définition 1: Base cartésienne
? On appelle base de l’espace tout triplet (~i, ~j, ~k) où ~i, ~j et ~k sont trois vecteurs non coplanaires.
Propriété fondamentale. Comme l’espace E est de dimension 3, les trois vecteurs ~i, ~j, ~k
engendrent tous ceux de E par combinaison linéaire. Ceci signifie que :
Pout tout vecteur ~u, il existe un triplet de réels (x, y, z) tel que :
~u = x~i + y~j + z~k.
Unicité du triplet [démonstration]. Les trois ~i, ~j et ~k ne sont pas coplanaires. La
négation de la définition de coplanarité permet donc d’affirmer que :
245
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Calcul vectoriel
Thème: Rappels : repérage cartésien
Pout tout triplet (x, y, z) de réels, si x~i + y~j + z~k = ~0 alors x = y = z = 0.
Supposons maintenant qu’un vecteur ~u puisse s’écrire de deux manières
~u = x~i + y~j + z~k = x0~i + y 0~j + z 0~k.
Alors :
(x − x0 )~i + (y − y 0 )~j + (z − z 0 )~k = ~0,
ce qui équivaut donc à :
x = x0 , x = y 0 et z = z 0 .
Le triplet associé à tout vecteur ~u est donc unique.
B Définition 2: Coordonnées d’un vecteur
? Le triplet (x, y, z) est appelé le triplet des coordonnées de ~u dans la base (~i, ~j, ~k) et, plus
particulièrement, x est l’abscisse de ~u, y l’ordonnée et z la cote. On peut noter cela :
 
x
x


~u(x, y, z) , ~u y
ou ~u y .
z
z
Le triplet de coordonnées (x, y, z) de est ~u unique dans la base (~i, ~j, ~k).
B Proposition 3: Identitfication des coordonnées
? Soient ~u(x, y, z), ~v (x0 , y 0 , z 0 ) deux vecteurs. On a l’équivalence :
~u = ~v ⇔ (x = x0 , y = y 0 et z = z 0 ).
En particulier :
~u = ~0 ⇔ x = y = z = 0.
Démonstration de 3.
Cette propriété découle du principe d’unicité des coordonnées :
~u = ~v ⇔
⇔
⇔
⇔
x~i + y~j + z~k = x0~i + y 0~j + z 0~k
(x − x0 )~i + (y − y 0 )~j + (z − z 0 )~k = 0
(x − x0 = 0 , y − y 0 = 0 et z − z 0 = 0)
(x = x0 , y = y 0 et z = z 0 )
La troisième équivalence provient encore du fait que les vecteurs ~i, ~j et ~k ne sont pas coplanaires.
3
B Proposition 4: Formulaire
246
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Calcul vectoriel
Thème: Rappels : repérage cartésien
? Soient ~u(x, y, z), ~v (x0 , y 0 , z 0 ) deux vecteurs.
Pour tout réel λ, on a :


λx
(λ~u)  λy 
λz
Démonstration de 4.

x + x0
et (~u + ~v )  y + y 0  .
z + z0

On calcule :
~u + ~v = x~i + y~j + z~k + x0~i + y 0~j + z 0~k
= (x + x0 )~i + (y + y 0 )~j + (z + z 0 )~k
et :
λ~u = λ(x~i + y~j + z~k)
= λx~i + λy~j + λz~k.
4
3. Repères des points de l’espace
B Définition 5: Repère cartésien
? On appelle repère cartésien de l’espace tout quadruplet (O,~i, ~j, ~k) où :
B O est un point ;
B (~i, ~j, ~k) une base de l’espace.
Conséquences : Coordonnées cartésiennes d’un point. A tout point M , on associe
~ que l’on appelle aussi les coordonnées de M dans le repère
les coordonnées du vecteur OM
(O,~i, ~j, ~k). On note encore :
 
x

y .
M (x, y, z) ou M
z
L’unicité des coordonnées de tout vecteur assure celle des coordonnées de M .
Exercice no 1 [Tétraèdre]
Soit ABCD un tétraèdre, c’est à dire ici, la donnée de quatre points non-coplanaires.
1. Combien ces quatres points définissent-ils de plans, de droites ?
247
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Calcul vectoriel
Thème: Rappels : repérage cartésien
2. Vérifier que la formule suivante est satifaite par le solide ABCD :
F +S =A+2
où F est le nombre de faces, A le nombre d’arêtes et S le nombre de sommets.
Cette formule est valable pour les cinq solides platoniciens (tétraèdre, cube, octaèdre,dodécaèdre
et isocaèdre).
~ AC,
~ AD)
~ est-il un repère de l’espace.
3. Pourquoi le quadruplet (A, AB,
4. Soit I le milieu du segment [BC] et G le centre de gravité de la face ABD.
Calculer les coordonnées des points I et G.
B Proposition 6: Formulaire
? Soient A(xA , yA , zA ) et B(xB , yB , zB ) deux points. Alors :
1.
~
AB(x
B − xA , yB − yA , zB − zA ).
2. Le milieu du segment [AB] est le point :
xA + xB yA + yB zA + zB
I
,
,
.
2
2
2
Démonstration de 6.
et B :
~ en fonction de ceux de A
1. On exprime les coordonnées de AB
~ = AO
~ + OB
~
AB
~ − AO
~
= OB
= xB~i + yB~j + zB~k − (xA~i + yA~j + zA~k)
= (xB − xA )~i + (yB − yA )~j + (zB − zA )~k
2. On calcule les coordonnées du milieu I de [AB] à l’aide de la carctérisation vectorielle
suivante :

 xI − xA = 12 (xB − xA )
1
~ ⇔
~ = AB
yI − yA = 12 (yB − yA )
AI

2
zI − zA = 12 (zB − zA )

B
 xI = xA +x
2
B
yI = yA +y
.
⇔
2

zA +zB
zI =
2
6
248
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Calcul vectoriel
Thème: Rappels : repérage cartésien
4. Changement de l’origine du repère
Notations. Soient O et O0 deux points et (~i, ~j, ~k) une base de l’espace.
On note :
B R = (O,~i, ~j, ~k) et R 0 = (O0 ,~i, ~j, ~k) ;
~ 0 = α~i + β~j + γ~k ;
B (α, β, γ) les coordonnées de O0 dans le repère (O,~i, ~j, ~k) : OO
B (x, y, z) et (x0 , y 0 , z 0 ) les coordonnées de M dans le repère R et R 0 respectivement :
~ = x~i + y~j + z~k et O~0 M = x0~i + y 0~j + z 0~k ;
OM
B Proposition 7: Formule de changement de repère.
? Sous les hypothèses précédentes,
x0 = x − α , y 0 = y − β et z 0 = z − γ.
Ces formules sont appelées formules de passage des coordonnées du repère (O,~i, ~j, ~k) à celles
du repère (O0 ,~i, ~j, ~k).
Démonstration de 7.
On utilise la relation de Chasles :
~
O~0 M = O~0 O + OM
~ − OO
~ 0
= OM
= x~i + y~j + z~k − (α~i + β~j + γ~k)
= (x − α)~i + (y − β)~j + (z − γ)~k.
Soit :
x0~i + y 0~j + z 0~k = (x − α)~i + (y − β)~j + (z − γ)~k.
Par unicité des coordonnées dans la base (~i, ~j, ~k), on déduit les égalités suivantes :
x0 = x − α , y 0 = y − β et z 0 = z − γ.
7
249
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Calcul vectoriel
Thème: Droites et plans
[Thème) Droites et plans
On considère trois points A, B, C non alignés.
A. LA DROITE
? Systèmes d’équations paramétriques
~ = t AB
~
• La droite (AB) est l’ensemble des points M pour lesquels il existe t ∈ R tel que AM
B Dans un repère cartésien (O ; ~ı , ~ , ~k ), en posant A(xA , yA , zA ), B(xB , yB , zB ) et M (x, y, z),

(système d’équations
 x = (xB − xA ) t + xA
y = (yB − yA ) t + yA
paramétriques
on obtient :

z = (zB − zA ) t + zA
de la droite (AB)).
? Caractérisations barycentriques
• La droite (AB) est l’ensemble des barycentres des systèmes {(A, x); (B, y)}, avec x + y 6= 0.
• Le segment [AB] est l’ensemble des bar{(A, x); (B, y)}, avec x + y 6= 0 et x, y ≥ 0 (ou de
même signe).
• La demi-droite [AB)−[AB] est l’ensemble des bar{(A, x); (B, y)}, avec x+y 6= 0 et |y| > |x|.
0
• A = bar{(A, k); (B, 0)} et B = bar{(A, 0); (B, k)} pour tout k 6= 0.
0
? En résumé : Trois points sont alignés si, et seulement s’il l’un (respectivement chacun)
d’entre eux peut s’exprimer comme barycentre des deux autres.
B. LE PLAN
? Caractérisations barycentriques
~ =
• Le plan (ABC) est l’ensemble des points M pour lesquels il existe s, t ∈ R tels que AM
~ + t AC.
~
s AB
B Dans un repère cartésien (O ; ~ı , ~ , ~k ), en posant A(xA , yA , zA ), B(xB , yB , zB ) et M (x, y, z),

(système d’équations
 x = (xB − xA ) s + (xC − xA ) t + xA
y = (yB − yA ) s + (yC − yA ) t + yA
paramétriques
on obtient :

z = (zB − zA ) s + (zC − zA ) t + zA
du plan (ABC)).
? Caractérisations barycentriques
• Le plan (ABC) est l’ensemble des bar{(A, a); (B, b); (C, c)}, avec a + b + c 6= 0.
• L’intéreur du triangle ABC est l’ensemble des bar{(A, a); (B, b); (C, c)}, avec a, b, c de même
signe tels que a + b + c 6= 0.
0
250
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Calcul vectoriel
Thème: Droites et plans
Démonstration des caractérisations barycentriques
? La droite (AB)
−−→
x −−→
∗ Si G = bar{(A, x); (B; y)}, pour x + y 6= 0, alors on sait que AG =
AB .
x+y
−−→ −−→
Les vecteurs AG et AB sont donc colinéaires et ainsi G ∈ (AB).
B Si de plus x et y sont de même signe alors x et x + y aussi et |x| ≤ |x + y| donc
−−→
x
x −−→
∈ [0; 1]. La relation AG =
AB entraine ainsi que G ∈ [AB].
x+y
x+y
−−−→
−−−→
∗ Réciproquement, pour tout point M ∈ (AB) alors les vecteurs M B M A et M A M B
sont de même direction et de même norme M A × M B. De plus :
−−−→ −−−→
−−−→
−−−→
• Si M ∈ [AB] alors M A et M B sont de sens contraire donc M B M A + M A M B = ~0.
−−−→ −−−→
• Si M ∈ [AB) − [AB] alors M A et M B sont de même sens,
−−−→
−−−→
donc : M B M A −M A M B = ~0. De plus |M B| > |M A|, donc on a aussi M A+(−M B) 6= 0.
−−−→ −−−→
• Si M ∈ [BA) − [AB] alors M A et M B sont de même sens,
−−−→
−−−→
donc : M B M A − M A M B = ~0. De plus |M B| < |M A| donc M A + (−M B) 6= 0.
6 B Conclusion. Dans tous les cas, on peut écrire M = bar{(A, x), (B; y)} avec x + y 6= 0. 0
? Le plan (ABC)
∗ Si G = bar{(A, a); (B, c); (C, c)}, pour a + b + c 6= 0, alors on sait que
−−→
AG =
−−→
−−→
b
c
AB +
AC .
a+b+c
a+b+c
−−→ −−→ −−→
Les vecteurs AG , AB et AC sont donc coplanaires et ainsi G ∈ (ABC).
B Si de plus a, b et c sont de même signe alors
c
b+c
b
∈ [0; 1],
∈ [0; 1] et
∈ [0; 1].
a+b+c
a+b+c
a+b+c
−−→
−−→
−−→
b
c
La relation AG = a+b+c
AB + a+b+c
AC entraine que G appartient à l’intérieur de ABC.
−−−→
−−→
−−→
∗ Réciproquement, si M ∈ (ABC) alors il existe λ, µ ∈ R tels que AM = λ AB + µ AC .
−−−→
−−−→
−−−→ −−−→
−−→
−−→
Par suite : (1 − λ − µ) M A + λ M B + µ M C = M A + λ AB + µ AC = ~0..
En posant a = 1 − λ − µ, b = λ et c = µ on obtient bien :
M = bar{(A, a); (B, b); (C, c)} avec a + b + c = 1 6= 0.
B L’intérieur du triangle ABC
est l’ensemble des points M pour lesquels
−−−→
−−→
−−→
il existe λ, µ ∈ [0; 1/2] tels que λ + µ ∈ [0, 1] et AM = λ AB + µ AC .
Or λ, µ ∈ [0; 1/2] ⇒ c = (1 − λ − µ) ≥ 0.
6 B Conclusion. M = bar{(A, a); (B, b); (C, c)} avec a, b, c ≥ 0 et a + b + c 6= 0.
251
Terminale S3
2008/2009
Calcul vectoriel
Exercices. Manipulation de barycentres
[Exercices) Manipulation de barycentres
B
∗
Polycopié no 29
Lundi 1/9/8
1. Questions ROC
Exercice no 1 [Barycentre, droite et segment (ROC)]
A, B, C désignent trois points non alignés de l’espace. Déterminer :
1. (a) L’ensemble (E) de tous les barycentres de A et B.
(b) L’ensemble (E1 ) des barycentres de A et B à coefficients ≥ 0.
(c) L’ensemble (E2 ) des barycentres de A et B à coefficients > 0.
2. (a) L’ensemble (F ) de tous les barycentres de A, B et C.
(b) L’ensemble (F1 ) des barycentres de A, B et C à coefficients > 0.
Exercice no 2 [Propriété réciproque (ROC)]
On considère deux points distincts A et B.
−−−→
−−−→
1. Soit M un point du segment [AB]. Que peut-on dire des vecteurs M B. M A et M A. M B ?
2. Montrer que tout point M du segment [AB] est barycentre du système {(A, M A) ; (B, M B)}.
2. Concours et alignement
Exercice no 3 [Dans le plan]
Soient ABCD un quadrilatère quelconque, I le milieu de [AC] et J celui de [BD]. On note
d’autre part :
~ = −2KB
~ et DL
~ = 1 DC
~
• K et L les points tels que KA
3
• M le milieu de [KL].
1. Montrer que K est le barycentre du système {(A, 1); (B, 2)}.
2. Montrer que L est le barycentre du système {(D, 2); (C, 1)}.
3. En déduire que M est le barycentre du système {(A, 1); (B, 2); (D, 2); (C, 1)} puis du
système {(I, 2); (J, 4)}.
4. Que peut-on dire des points I, J et M ?
Exercice no 4 [Dans un parallélogramme]
Soient ABCD un parallélogramme, I le milieu de [AD], E le centre de gravité du triangle
~ = 1 BC.
~
ADC et K le milieu de [EB]. On note d’autre part F le point tel que BF
4
252
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2008/2009
Calcul vectoriel
Exercices. Manipulation de barycentres
1. Montrer que K est le barycentre du système {(A, 1); (B, 3); (C, 1); (D, 1)}.
2. En déduire que les points I, K et F sont alignés.
~ = 3 AB
~ et M le milieu de [CD]. Montrer que les points L,
3. On note L le point tel que AL
4
K et M sont alignés.
0
3. Exercices de synthèse
Exercice no 5 [Proportionnalité d’aires d’un triangle]
On considère trois points non alignés A, B, C et un point M intérieur au triangle ABC.
1. On désigne par A 0 le point d’intersection de la droite (AM ) avec le côté [BC].
aire(M BA 0 )
aire(M CA 0 )
a) Montrer l’égalité
=
.
BA 0
CA 0
aire(M BA 0 )
aire(ABA 0 )
BA 0
=
=
.
b)En déduire que :
CA 0
aire(M CA 0 )
aire(ACA 0 )
B Indication. On pourra remarquer qu’en fixant A 0 sur [BC], l’égalité précédente reste
vraie si M est en A.
x
z
c) Montrer que si x, y, z et t sont des réels tels que = , alors, pour tous réels α et β,
y
t
αx + βz
z
x
= =
.
y
t
αy + βt
Prouver que A 0 est barycentre du système {(B, aire(AM C)) ; (C, aire(AM B))}.
d) Montrer que le point M est barycentre du système
S = {(A, aire(M BC)) ; (B, aire(M CA)) ; (C, aire(M AB))}.
B Indication. On pourra vérifier que le barycentre de S est confondu avec M .
2. Application au centre du cercle inscrit. Soit I le centre du cercle inscrit dans le
triangle ABC. Montrer que le point I est barycentre du système {(A, a) ; (B, b) ; (C, c)}.
Exercice no 6 [D’après Concours GEIPI 2003]
Partie A - Préliminaires
On considère deux points distincts M et N du plan.
→
−
→
−
1 −−−→
1. Déterminer la norme k u k, du vecteur u =
MN .
MN
−
→
2. Soit Q un point intérieur au segment [M N ] et le vecteur w =
−
→
Justifier que le vecteur w est nul.
1
QM
−−−→
QM +
1
QN
−−→
QN .
253
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Calcul vectoriel
Exercices. Manipulation de barycentres
Partie B
On considère un triangle ABC du plan dont les trois angles sont aigus. On note de la façon
suivante les mesures des angles géométriques de ce triangle :
[ = α,
BAC
[ = β,
ABC
[ = γ.
ACB
1. On désigne par A1 le pied de la hauteur du triangle ABC, issue de A.
a) Exprimer tan β et tan γ, en fonction des longueurs de de la figure donnée.
b) Montrer que A1 est barycentre du système {(B, tan β) ; (C, tan γ)}.
c) Justifier que le barycentre H du système {(A, tan α) ; (B, tan β) ; (C, tan γ)} est l’orthocentre du triangle ABC.
2. Soit A 0 , B 0 et C 0 les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].
a) Montrer que les médiatrices du triangle ABC sont les hauteurs du triangle A 0 B 0 C 0 .
b) En déduire que le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC est barycentre des points
A 0 , B 0 et C 0 affectés de coefficients a 0 , b 0 et c 0 que l’on précisera.
c) En déduire que le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC est barycentre des points
A, B et C affectés de coefficients a, b et c que l’on précisera.
d) En déduire que le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC est barycentre du système
{(A, sin 2α) ; (B, sin 2β) ; (C, sin 2γ)}.
254
Terminale S3
2008/2009
Chapitre 9
Produit scalaire et orthogonalité
255
Produit scalaire et orthogonalité
Thème: Produit scalaire dans le plan
[Thème) Produit scalaire dans le plan
On considère ~u et ~v deux vecteurs du Plan.
d
? Expression métrique : Si ~u et ~v sont non nuls alors ~u · ~v = ||~u|| × ||~v || × cos(~u
, ~v ).
~
u
·
~
v
||~v ||
d
? Projeté orthogonal de ~v sur ~u : Si ~u 6= ~0 P~~u (~v ) =
~u =
cos(~u
, ~v ) ~u.
2
||~u||
||~u||
||~u|| × ||P~~u (~v )|| si P~~u (~v ) et ~u sont de même sens
~
~u · ~v = ~u · P~u (~v ) =
−||~u|| × ||P~~u (~v )|| si P~~u (~v ) et ~u sont de sens contraires.
? Propriétés algébriques. Soient ~u, u~0 et ~v trois vecteurs ainsi que λ un réel.
B Symétrie :
Alors :
~u · ~v = ~v · ~u
B
B Bilinéarité : (~u + u~0 ) · ~v = ~u · ~v + u~0 · ~v
donc
~v · (~u + u~0 ) = ~v · ~u + ~v · u~0
Nullité :
~u · ~0 = ~0 · ~v = 0
et (λ · ~u) · ~v = λ · (~u · ~v )
et ~u · (λ · ~v ) = λ · (~u · ~v )
? Propriétés métriques
B Identités du parallélogramme :
~u · ~v =
~u · ~v =
B Carré de ~u : ~u · ~u = ||~u||2 noté ~u2
B Identités remarquables :
Dans un triangle ABC
1
2
1
2
(||~u||2 + ||~v ||2 − ||~u − ~v ||2 )
(||~u + ~v ||2 − ||~u||2 − ||~v ||2 )
||~u + ~v ||2 = ||~u||2 + 2 ~u · ~v + ||~v ||2
||~u − ~v ||2 = ||~u||2 − 2 ~u · ~v + ||~v ||2
(~u + ~v ) · (~u − ~v ) = ||~u||2 − ||~v ||2
−−→ −−→
AB 2 + AC 2 − BC 2 = 2 AB · AC .
? Orthogonalité : ~u et ~v sont orthogonaux si, et seulement si, ~u · ~v = 0.
B En particulier : le vecteur nul est orthogonal à tous les autres.
? Dans un repère orthonormal (O,~i, ~j) : si ~u(x, y) et v(x~0 , y 0 ) alors ~u · ~v = xx0 + yy 0 . 0
? Dans le plan complexe : On considère les vecteurs ~a(z) et ~b(z 0 ), z, z 0 ∈ C. Alors :

0
0

~b = Re(z z 0 ) = z z + z z = |z| |z 0 | cos arg(z/z 0 )

~
a
·


2
0
~
~
z z = (~a·b)+i det(~a, b), soit

0
0


 det(~a, ~b) = Im(z z 0 ) = z z − z z = |z| |z 0 | sin arg(z/z 0 ).
2i
256
Terminale S3
2008/2009
Produit scalaire et orthogonalité
Thème: Produit scalaire dans l’Espace
[Thème) Produit scalaire dans l’Espace
On considère ~u et ~v deux vecteurs de l’Espace.
Rappelons qu’il existe une infinité de plans qui ont la même direction que ~u et que ~v . Les
notions développées ci-dessous sont donc valables dans le Plan et dans l’Espace.
1. Définition et propriétés métriques
B Définition 1: Produit scalaire de deux vecteurs
? Le produit scalaire de ~u et ~v est le réel défini par : ~u · ~v = 12 (||~u + ~v ||2 − ||~u||2 − ||~v ||2 ).
B Proposition 2: Propriétés métriques
? Soient ~u et ~v deux vecteurs. Alors :
B Identité du parallélogramme (2) : ~u · ~v = 12 (||~u||2 + ||~v ||2 − ||~u − ~v ||2 )
B Carré de ~u : ~u · ~u = ||~u||2 noté ~u2
B Identités remarquables :
||~u + ~v ||2 = ||~u||2 + 2 ~u · ~v + ||~v ||2
||~u − ~v ||2 = ||~u||2 − 2 ~u · ~v + ||~v ||2
(~u + ~v ) · (~u − ~v ) = ||~u||2 − ||~v ||2
0
B Définition 3: Vecteurs orthogonaux
? Le deux vecteurs ~u et ~v sont orthogonaux si et seulement si ~u · ~v = 0.
B En particulier : le vecteur nul est orthogonal à tous les autres.
∗ Application dans un triangle. Soit ABC un triangle. Montrer que :
−−→ −−→
AB 2 + AC 2 − BC 2 = 2 AB · AC .
−−→ −−→
Que peut-on dire lorsque AB et AC sont orthogonaux ?
B Proposition 4: Propriétés algébriques
? Soient ~u, u~0 et ~v trois vecteurs ainsi que λ un réel. Alors :
B Symétrie
~u · ~v = ~v · ~u
B Bilinéarité
donc
(~u + u~0 ) · ~v = ~u · ~v + u~0 · ~v et (λ · ~u) · ~v = λ · (~u · ~v )
~v · (~u + u~0 ) = ~v · ~u + ~v · u~0 et ~u · (λ · ~v ) = λ · (~u · ~v )
257
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Produit scalaire et orthogonalité
Thème: Produit scalaire dans l’Espace
♦ Exemples de calculs algébriques. Soient ~u et ~v deux vecteurs. Calculer les expressions
suivantes en fonction de ||~u||, ||~v || et ~u · ~v : (2~u + ~v ).(~u − ~v ) ; (−~u + 3~v ).(−~u − ~v ) ;
(~u − ||~u||~v ) .(~u + 4~v ) ;
(2~u + ||−~v ||~v ) . (||~u||~u − ~v ) .
0
2. Projeté orthogonal
Dans cette section, on suppose que ~u 6= ~0.
Le projeté orthogonal de ~v dans la direction de ~u, noté P~~u (~v ) est alors défini comme suit :
• Soit (∆) une droite de même direction que ~u
−−−→
• soit M et N deux points tels que ~v = M N .
B On note M 0 et N 0 les projetés orthogonaux respectifs de M et N sur (∆),
−−−−→
B On pose P~~u (~v ) = M 0 N 0 .
On admet que :
∗ Le vecteur P~~u (~v ) obtenu ne dépend ni de (∆), ni de M ou de N .
∗ Il existe un vecteur ~n orthogonal à ~u (dépendant de ~v ) tel que ~u = P~~u (~v ) + ~n.
Exercice no 1 [Produit scalaire dans un carré]
Soient ABCD un carré de centre O, I le milieu du segment [AB] et J le point tel que
−−→
−−→
BI = 1/3BC . Calculer les produits scalaires suivants en fonction de a = AB.
−−→ −−→
−−→ −→
−−→ −−→
−−→ −→
AB · AO ; AB · IJ ; AO · JO et AC · IJ .
B Proposition 5: Produit scalaire et projeté orthogonal
? Si ~u 6= ~0 est non nul alors on a :
~
u
·
~
v
∗ ~u · ~v = ~u · P~~u et P~~u =
· ~u
||~u||2
∗ si ~v est aussi non nul, alors ~u · ~v = ||~u|| × ||~v || × cos(~u, ~v )
♦ Commentaire : Dans un plan P de même direction que ~u et ~v , on peut définir le cosinus
d
de l’angle (~u
, ~v ) (orienté ou non). On admet que ce nombre est le même dans tout plan de
même direction que ~u et ~v .
Calculs dans un triangle. Soient ABC un triangle isocèle en A et H le pied de la
hauteur issue de A. Calculer les produits scalaires suivants en fonction de a = AB et b = BC.
~ · AC
~ ; CA
~ · CB
~ ; BA
~ · BC
~ et AC
~ · AH.
~
AB
258
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Produit scalaire et orthogonalité
Thème: Produit scalaire dans l’Espace
Calculs dans un carré. Soient ABCD un carré de centre O et I le milieu du segment
[AB]. Calculer les produits scalaires suivants en fonction de a = AB.
−−→ −−→
−−→ −−→
−−→ −−→
AB · BC ; AB · CD et AB · DO .
−−→
−−→
Démonstration de 5. ∗ Soient A, B et C trois points tels que ~u = AB , ~v = AC
et H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). On a :
−−→
AH = ~v 0 et
~u · ~v =
=
=
=
−−→ −−→
AB · AC
−−→ −−→ −−→
AB · (AH + HC )
−−→ ~
−−→ −−→
AB · AH + AB · HC
−−→ −−→ −
→
AB · AH + 0
= ~u · ~v 0 .
∗ Les vecteurs ~u et v~0 étant colinéaires, il existe un réel λ tel que
v~0 = λ~u.
Tout revient donc à exprimer convenablement λ. Or on a ~u · ~v = ~u · ~v 0 = ~u · (λ~u) = λ||~u||2 .
~u · ~v
.
D’où l’on déduit que λ =
||~u||2
~u · ~v
0
6 B Conclusion. ~v =
· ~u.
||~u||2
On reprend les notations ponctuelles en se plaçant dans un plan de même direction que ~u et
~v . Soient A, B et C trois points tels que
~ , ~v = AC
~
~u = AB
et H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). On note ~q un vecteur unitaire de même
direction que la droite (AB). Alors :
~ = AB~q et AH
~ = cos(AB,
~ AC)AC~
~
AB
q ;
d’autre part,
~ AC
~
~u · ~v = AB.
~ AH
~
= AB.
~ AC)AC~
~
= (AB~q).(cos(AB,
q)
~ AC)(~
~ q .~q)
= (AB.AC. cos(AB,
= ||~u||.||~v ||. cos(~u, ~v ).
5
259
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Produit scalaire et orthogonalité
Thème: Géométrie cartésienne
[Thème) Géométrie cartésienne
1. Repère orthonormal
B Définition 1: Repères orthogonaux
? Un repère cartésien (O,~i, ~j, ~k) de l’espace est dit orthogonal si, et seulement si, les
vecteurs ~i, ~j et ~k sont deux à deux orthogonaux.
Si de plus ||~i|| = ||~j|| = ||~k|| = 1 alors on dit que (O,~i, ~j, ~k) est orthonormal.
On suppose désormais que l’espace est rapporté à un repère orthonormal (O,~i, ~j, ~k).
B Proposition 2: Expression analytique du produit scalaire
? Soient ~u(x, y, z) et ~v (x0 , y 0 , z 0 ) deux vecteurs de l’Espace. Alors :
p
• ||~u|| = x2 + y 2 + z 2
• ~u · ~v = xx0 + yy 0 + zz 0 .
• ~u et ~v sont orthogonaux si et seulement si xx0 + yy 0 + zz 0 = 0.
2. Applications de l’orthonormalité
B Proposition 3: Equaction cartésienne d’un plan
? Soient ~n(a, b, c) un vecteur non nul et Ω(x0 , y0 , z0 ) un point.
Le plan P passant par Ω et orthogonal à ~n admet pour équation cartésienne
ax + by + cz = d avec d = ax0 + by0 + cz0 .
0
B Corollaire 4: Système d’équations cartésiennes d’une droite
? Toute droite D admet comme système d’équations cartésiennes le système :
ax + by + cz = d
0
a x + b0 y + c0 z = d0 ,
où ~n(a, b, c) et ~n0 (a0 , b0 , c0 ) sont deux vecteurs non colinéaires et orthogonaux à D.
B Corollaire 5: Expression analytique de d(A, P)
260
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Produit scalaire et orthogonalité
Thème: Géométrie cartésienne
? Soient A(xA , yA , zA ) un point et P le plan dont une équation est ax + by + cz = d.
|ax0 + by0 + cz0 − d|
√
Alors d(A, P) =
.
a2 + b 2 + c 2
0
B Proposition 6: Cercles et sphères
? Soient A(xA , yA , zA ) et B(xB , yB , zB ) deux points. La sphère de diamètre [AB] admet pour
équation cartésienne (x − xA )(x − xB ) + (y − yA )(y − yB ) + (z − zA )(z − zB ) = 0.
3. Equations cartésiennes de droite et plans
Les résultats suivants sont encore valables dans un repère cartésien quelconque. On ne donne
ici que des méthodes concernant les repères orthogonaux.
B Proposition 7: Equations cartésiennes d’un plan
? Tout plan P admet des équations cartésiennes de la forme :
ax + by + cz = d ,
où a, b, c et d sont des réels avec a, b, c non tous nuls ((a, b, c) 6= (0, 0, 0)).
On verra à la section suivante une démarche rapide pour obtenir une équation cartésienne
d’un plan à l’aide de l’orthogonalité.
Une droite étant l’intersection de deux plans (d’une infinité de manières différentes), on peut
maintenant décrire la droite au moyen de deux équations cartésiennes de droites :
B Proposition 8: Système d’équations cartésiennes d’une droite
? Toute droite D admet des systèmes d’équations cartésiennes de la forme :
ax + by + cz = d
,
a0 x + b0 y + c0 z = d0
où a, b, c, d, a0 , b0 , c0 et d0 sont des réels tels que triplets (a, b, c) et (a0 , b0 , c0 ) sont nonproportionnels et différents de (0, 0, 0).
Notons que, les triplets (a, b, c) et (a0 , b0 , c0 ) sont non-proportionnels et différents de (0, 0, 0)
si, et seulement si, les vecteurs ~u(a, b, c) et ~u0 (a0 , b0 , c0 ) ne sont pas colinéaires.
261
Terminale S3
2008/2009
Cinquième partie
PROBABILITE
262
Chapitre 10
Conditionnement
263
Conditionnement
Thème: Expérience aléatoire
[Thème) Expérience aléatoire
1. Espace probabilisé
? Expérience aléatoire E :
Processus dont on ne sait pas prévoir l’issue de manière déterministe.
? Univers Ω de E :
C’est l’ensemble de toutes les issues possibles (ou résultats) de l’expérience aléatoire E .
Pour ce chapitre, on supposera que Ω est fini.
? Probabilité sur Ω : C’est une application p : Ω → [0; 1] vérifiant
X
p(ω) = 1.
ω∈Ω
? Espace probabilisé relatif à E : C’est le couple (Ω, p).
Lorsque Ω est fini, on parle d’espace probabilisé fini.
2. Evénements
Soit (Ω, p) un espace probabilisé fini.
Cas extrêmes
Evénement certain : p(Ω) = 1
Evénement impossible : p(∅) = 0.
? Evénement : C’estX
une partie A de Ω.
Par définition p(A) =
p(ω).
ω∈A
? Evénement contraire de A :
C’est par définition l’ensemble de toutes les issues de E qui ne sont pas dans A.
B On le note : A = Ω − A. Probabilité : p(A) = 1 − p(A).
? Intersection de deux événements A et B : C’est par définition l’ensemble de toutes
les issues de E qui sont à la fois dans A et à la fois dans B.
B On la note : A ∩ B.
? Evénements incompatibles : On dit que A et B sont incompatibles si A ∩ B = ∅.
? Réunion de deux événements A et B : C’est par définition l’ensemble de toutes les
issues de E qui sont ou bien dans A, ou bien dans B.
B On la note : A ∪ B. Probabilité : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B).
? Equiprobabilité : Les issues sont dites équiprobables lorsqu’elles ont toutes la même
probabilité, c’est-à-dire si la probabilité p est constante.
Dans ce cas, pour tout événement A ⊂ Ω, p(A) =
card(A)
.
card(Ω)
264
Terminale S3
2008/2009
Conditionnement
Thème: Probabilités conditionnelles
[Thème) Probabilités conditionnelles
On fixe un espace probabilisé (Ω, p) ainsi qu’un événement A0 de probabilité non nulle.
1. Conditionnement d’un événement
B Définition 1: probabilité conditionnelle
? Soit A un événement. la probabilité de A sachant A0 est par définition :
pA0 (A) =
p(A ∩ A0 )
.
p(A0 )
C’est la probabilité que A se réalise dans le contexte restreint où A0 est déjà réalisé.
Celui-ci ne doit donc pas être improbable, d’où la condition p(A0 ) 6= 0 imposée.
B Conséquence : Cette définition permet de définir une nouvelle probabilité pA0 sur Ω :
pA0 : Ω → [0; 1]
p(w)
si w ∈ A0 ; 0 sinon.
w 7→ p(A
0)
Cas particuliers : pA0 (A) = 1 − pA0 (A) et pA0 (A0 ) = 1.
B Conséquence : A0 et A sont incompatibles si, et seulement si pA0 (A) = 0. 0
B Application à la construction d’un arbre pondéré : P (A0 ∩ A) = P (A0 ) × PA0 (A).
Exercice no 1 [Démarche classique]
On a relevé que :
• pour tous les jours de septembre, la probabilité qu’il pleuve est 1/3.
• s’il pleut, la probabilité que Monsieur X arrive à l’heure à son travail est 1/4
• s’il ne pleut pas, la probabilité que Monsieur X arrive à l’heure à son travail est 5/6.
1. Représenter la situation par un schéma, un tableau puis un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité qu’il pleuve et que Monsieur X arrive en retard.
3. Calculer la probabilité que Monsieur X arrive à l’heure.
4. Un jour donné, Monsieur X est en retard. Calculer la probabilité qu’il pleuve.
265
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2008/2009
Conditionnement
Thème: Probabilités conditionnelles
2. La formule des probabilités totales
B Définition 2: Partition de l’univers
? Soit n ≥ 2 un entier et A1 , ..., An des événements.
On dit que la collection {A1 , ..., An } réalise une partition de l’univers Ω si, et seulement si :
• aucun des Ai n’est vide : pour tout i, Ai 6= ∅
• les Ai sont deux à deux disjoints : i 6= j ⇒ Ai ∩ Aj = ∅
• l’univers Ω est réunion des Ai : Ω = A1 ∪ ... ∪ An =
n
[
Ai .
i=1
B En particulier :
p(A1 ) + ... + p(An ) =
n
X
p(Ai ) = 1.
i=1
B Proposition 3: Formule des probabilités totales
? Soit n ≥ 2 un entier et {A1 , ..., An } une partition de l’univers Ω.
Alors, pour tout événement B ⊂ Ω : p(B) = pA1 (B) × p(A1 ) + ... + pAn (B) × p(An ).
3. Expériences et évenements indépendants
B Définition 4: Indépendance
? On dit que deux événements A et B sont indépendants si, et seulement si,
p(A ∩ B) = p(A) × p(B).
On notera que les événements impossible ∅ et certain Ω sont indépendants de tout événement :
∀A ⊂ Ω, p(A ∩ ∅) = p(A) × p(∅) = 0 et p(A ∩ Ω) = p(A) × p(Ω) = p(A).
Lorsque A et B sont de probabilités non nulles, leur indépendance signifie que la réalisation
de l’un n’a pas d’influence sur la réalisation de l’autre.
C’est ce qu’exprime la proposition suivante.
B Proposition 5: Caractérisation
? Soient A et B deux événements de probabilités non nulles. On a les équivalences :
A et B sont indépendants
⇔
pA (B) = p(B)
⇔
pB (A) = p(A).
0
266
Terminale S3
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Conditionnement
Thème: Probabilités conditionnelles
B Définition 6: Expériences indépendantes
? Lors de la répétition d’expériences aléatoires, on dira qu’elles sont 2 à 2 indépendantes si le
résultat de l’une n’a aucune influence sur le déroulement de chacune des autres.
B Proposition 7: Résultats indépendants (principe multiplicatif )
? Lors de la répétition d’expériences aléatoires 2 à 2 indépendantes, la probabilité d’une suite
(ou liste) de résultats est égale au produit des probabilités de chacun de ces résultats.
Exercice no 2 [Trois cas usuels]
Une urne contient 5 boules blanches et 3 boules noires, indiscernables au touché.
Dans chacun des trois types de tirage suivants, calculer :
• la probabilité d’obtenir 2 blanches ; d’obtenir 2 noires
• la probabilité d’obtenir une boule de chaque couleur.
1. Indépendance : Tirages successifs avec remise.
On tire une première boule dans l’urne, on la replace, puis on entire une seconde.
2. Dépendance : Tirages simultanés. On tire en même temps 2 boules dans l’urne.
3. Conditionnement : Tirages successifs avec remise conditionnelle. On tire une première
boule en la remettant si, et seulement si, elle est une blanche ; on en tire ensuite une seconde.
4. Exercices
Exercice no 3 [D’après Centres étrangers I 1997]
On dispose de deux urnes U1 et U2 contenant des boules indiscernables au toucher.
U1 contient n boules blanches et 3 boules noires (n ∈ N∗ ).
U2 contient 2 boules blanches et 1 boule noire.
On tire au hasard une boule de U1 et on la met dans U2 , puis on tire au hasard une boule de
U2 et on la met dans U1 ; l’ensemble de ces opérations constitue une épreuve.
1. On considère l’événement A : « après l’épreuve, les urnes se retrouvent chacune dans leur
configuration de départ ».
3 n+2
(a) Montrer que la probabilité p(A) peut s’écrire : p(A) =
.
4 n+3
(b) Déterminer la limite de p(A) lorsque n tend vers +∞.
2. On considère l’événement B : « après l’épreuve, l’urne U2 contient une seule boule blanche ».
6
Vérifier que la probabilité p(B) peut s’écrire : p(B) =
.
4(n + 3)
3. Un joueur mise 20 A
Cet effectue une épreuve. A l’issue de cette épreuve, on compte les boules
blanches contenues dans U2 :
267
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Conditionnement
Thème: Probabilités conditionnelles
• si U2 contient 1 seule boule blanche, le joueur reçoit 2n euros
• si U2 contient 2 boules blanches, le joueur reçoit n euros
• si U2 contient 3 boules blanches, le joueur ne reçoit rien.
Expliquer pourquoi le joueur n’a aucun intérêt à jouer tant que n ne dépasse pas 10.
0
Exercice no 4 [Etude de fiabilité]
Un quincaillier achète des ampoules à trois fournisseurs dans les proportions suivantes : 20% au
premier, 50% au second et 30% au troisième. Le premier fournisseur fabrique 97% d’ampoules
sans défaut, le deuxième fabrique 98% d’ampoules sans défaut et le troisième 95%.
1. On choisit une ampoule au hasard dans le stock. On note D l’événement « l’ampoule est
défectueuse », F1 l’événement « l’ampoule provient du premier fournisseur », F2 l’événement
« l’ampoule provient du second fournisseur »et F3 l’événement « l’ampoule provient du
troisième fournisseur ».
(a) Calculer la probabilité de l’événement D, notée P (D).
(b) Sachant que l’ampoule choisie est défectueuse, quelle est la probabilité PD (F1 ) qu’elle
provienne du premier fournisseur ?
Donner la valeur exacte et une valeur approchée à 10−3 près de PD (F1 ).
2. On suppose que la probabilité qu’une ampoule soit sans défaut est de 0,969. On monte 12
ampoules sur un lustre. Calculer la probabilité R qu’une ampoule au plus soit défectueuse.
On donnera une valeur approchée à 10−3 près de R.
Exercice no 5 [D’après Centres étrangers II 1997]
Une usine est dotée d’un système d’alarme qui se déclenche, en principe, lorsqu’un accident
se produit sur une chaı̂ne de production. Il peut arriver toutefois que le système soit mis en
défaut. En effet, des études statistiques ont montré que, sur une journée :
• la probabilité que l’alarme se déclenche par erreur, c’est-à-dire sans qu’il y ait eu incident,
1
est égale à
50
1
• la probabilité qu’un incident survienne sans que l’alarme se déclenche est égale à
500
1
• la probabilité qu’un incident se produise est égale à
.
100
On pourra noter :
• A l’événement « l’alarme se déclenche »
• I l’événement « un incident se produit »
• A et I leurs événements contraires respectifs.
∗ Partie A
1. Calculer la probabilité que, dans une journée, un incident survienne et que l’alarme se
déclenche. En déduire la probabilité que l’alarme se déclenche.
2. Quelle est la probabilité que, sur une journée, le système d’alarme soit mis en défaut ?
268
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Conditionnement
Thème: Probabilités conditionnelles
3. L’alarme vient de se déclencher. Quelle est la probabilité qu’il y ait réellement un incident ?
∗ Partie B
Les assureurs estiment qu’en moyenne, pour l’entreprise, le coût des anomalies est le suivant :
• 1 000 A
Cpour un incident lorsque l’alarme fonctionne
• 3 000 A
Cpour un incident lorsque l’alarme ne se déclenche pas
• 200 A
Clorsque l’alarme se déclenche par erreur.
On considère qu’il se produit au plus une anomalie par jour.
Soit X la variable aléatoire représentant le coût journalier des anomalies pour l’entreprise.
1. Donner la loi de probabilité de X.
2. Quel est le coût journalier moyen des anomalies ?
0
Exercice no 6 [D’après Amérique du Sud novembre 1999]
Un appareil électronique envoie à une imprimante un code qui est un nombre de quatre chiffres,
chaque chiffre ne pouvant prendre que les valeurs 0 ou 1 (par exemple : 1011).
1.a) Combien l’appareil peut-il fabriquer de codes distincts ?
On supposera dans tout ce qui suit que tous ces codes ont la même probabilité d’être produits.
b) Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de 1 figurant dans le code. Donner la
loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique.
2. L’imprimante a été choisie au hasard dans une série. À la suite d’études antérieures, on
a observé cinq cas possibles. Dans le cas E0 , l’imprimante n’écrit que des 0, quel que soit
le code émis par l’appareil. Pour chaque élément n de l’ensemble {1, 2, 3}, dans le cas En ,
l’imprimante écrit correctement les n premiers caractères du code et n’écrit ensuite que des
0. Par exemple, lorsque E2 survient, tous les codes commençant par 01 sont imprimés 0100.
Dans le cas E4 , l’imprimante fonctionne correctement.
L’état de l’imprimante sera donc considéré comme le résultat d’une épreuve aléatoire ayant
cinq issues possibles E0 , E1 , E2 , E3 , E4 . On admet que, pour chaque élément n de l’ensemble
{0, 1, 2, 3}, p(En ) = 32 · 10−3 .
Le code émis par l’appareil est indépendant de l’état de l’imprimante.
a) Calculer la probabilité p(E4 ). Pour la suite, C désigne l’événement : ¡¡ le code imprimé est
identique à celui émis par l’appareil ¿¿.
b) On suppose que E0 se produit. Quelle est la probabilité pE0 (C) que le code imprimé soit
quand même celui que l’appareil a envoyé ?
En déduire la probabilité p(C ∩ E0 ).
c) Déterminer de même pEn (C), puis p(C ∩ En ), pour tout élément n de l’ensemble {1, 2, 3, 4}.
En déduire p(C).
d) Si le code imprimé est exactement celui émis par l’appareil, quelle est la probabilité que
E2 se soit produit ?
0
Exercice no 7 [Loi binômiale : introduction]
Un automobiliste doit franchir successivement deux feux indépendants pour parcourir un
certain trajet. Chaque feu est vert pendant 60% du temps et rouge (ou orange) le restant du
temps.
269
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Conditionnement
Thème: Probabilités conditionnelles
1. Définir l’univers Ω de cette expérience puis la probabilité associée.
2. Calculer la probabilité des énénements suivants :
(a) aucun des deux n’est rouge ;
(b) au moins un des feux est rouge ;
(c) un seul feu est rouge ;
(d) les deux feux sont de la même couleur.
3. On suppose maintenant que l’automobiliste doit franchir n feux. Soit l un entier vérifiant
0 ≤ l ≤ n ; calculer la probabilité de rencontrer l feux rouges.
Exercice no 8 [Loi binômiale]
Une urne contient cinq boules noires et trois blanches.
1. On tire une boule au hasard quatre fois de suite, avec remise. On appelle S le nombre de
fois où l’on obtient une blanche. Quelle est la loi de probabilité de S ?
La représenter graphiquement. Donner l’espérance et l’écart-type de S.
2. Mêmes questions lorsque qu’il n’y a pas de remise.
Exercice no 9 [efficacité d’un vaccin]
On veut tester l’efficacité d’un vaccin sur une population donnée. Un quart de la population
a été vacciné.
Au cours d’une épidémie, on constate d’une part qu’il y a un malade sur dix personnes
vaccinées.
On choisit au hasard une personne dans la population.
On note M l’événement ”la personne est malade” et V l’événement ”la personne est vaccinée”.
1. Traduire en termes probabilistes les données de l’énoncé.
2. Caluler p(M ∩ V ) puis p(M ).
3. Calculer p(M ∩ V ) et en déduire pV (M ).
4. Comparer la probabilité d’être malade en étant vacciné et celle d’être malade sans être
vacciné.
270
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Chapitre 11
Lois de probabilités
271
Lois de probabilités
Thème: Variables aléatoires
[Thème) Variables aléatoires
Soit (Ω, p) un espace probabilisé fini.
B Définition 1: Variable aléatoire
? Une variable aléatoire est une application X : Ω → R.
0
B Définition 2: Loi de probabilité deX
? On note {x1 , ..., xn } les différentes valeurs que prend X.
La loi de X est la donnée des probabilités pi = p(X = xi ) , (1 ≤ i ≤ n).
B Définition 3: Espérance de X
? L’espérance de X est la moyenne pondérée E(X) =
n
X
xi p(X = xi ).
i=1
B Définition 4: Variance et écart-type de X
? La variance de X est le réel V (X) =
n
X
(xi − E(X))2 p(X = xi ).
i=1
L’écart-type de X est alors σ(X) =
p
V (X).
L’écart-type est la moyenne quadratique des écarts des valeurs de X par rapport à son
espérance.
B Proposition 5: Autre expression de la variance
"
? Sous les hypothèses précédentes, V (X) =
n
X
#
x2i
p(X = xi ) − E(X)2 .
i=1
B Définition 6: Variables aléatoires indépendantes
? Soient x et Z deux variables aléatoires sur Ω.
On dit que x et y sont indépendantes si, et seulement si, pour tous x, y ∈ R,
p(X = x et Y = y) = p(X = x) × p(Y = y).
Ceci signifie que la loi de probabilité de l’une n’a pas d’influence sur celle de l’autre.
Exercice no 1 [D’après Amérique du Nord 1995]
272
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Lois de probabilités
Thème: Variables aléatoires
Un jeu consiste à extraire, au hasard et simultanément, 3 boules d’une urne contenant 5 boules
rouges et 5 boules vertes.
Si le joueur obtient 3 boules rouges, événement que l’on note R3 , il gagne 100 A
C.
S’il obtient 2 boules rouges et 1 boule verte, événement que l’on note R2 , il gagne 60 A
C.
Enfin, s’il obtient strictement moins de 2 boules rouges, il ne gagne rien et on note cet
événement E.
5
1
1. Montrer que les probabilités des événements R2 et R3 sont : p(R2 ) =
et p(R3 ) =
12
12
2. On note X la variable aléatoire donnant le gain du joueur.
Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique.
3. Dans cette question, on modifie les règles du jeu de la façon suivante :
• Si le joueur réalise les événements R3 ou R2 , il ne gagne plus d’argent immédiatement,
mais il est qualifié pour la suite du jeu que l’on appelle « Banco ».
• Si l’événement E est réalisé, le joueur ne gagne rien et n’est pas qualifié pour le « Banco ».
Le « Banco »consiste à extraire une boule parmi les sept restées dans l’urne ; si celle-ci est
verte, le joueur empoche les 200 A
Cdu « Banco », et si elle est rouge, le joueur a perdu mais
repart avec une prime de consolation de 40 A
C.
Quelle est la probabilité d’empocher les 200 A
Cdu « Banco »sachant que R3 est réalisé ?
Quelle est la probabilité d’empocher les 200 A
Cdu « Banco »sachant que R2 est réalisé ?
En déduire la probabilité d’empocher les 200 A
Cdu « Banco ».
On note Y la variable aléatoire donnant le gain du joueur dans ce nouveau jeu : Y peut
donc prendre les valeurs 0, 40 ou 200.
Etablir la loi de probabilité de Y .
(e) Calculer l’espérance mathématique de Y et comparer avec celle de X.
(a)
(b)
(c)
(d)
0
Exercice no 2 [Un classique (d’après Antilles Guyane 2001)]
Un joueur achète 10 euros un billet permettant de participer à un jeu constitué d’un grattage
suivi d’une loterie.
Il gratte une case sur le billet. Il peut alors gagner 100 euros avec une probabilité de 1 ou
50
bien ne rien gagner.
G désigne l’événement : « le joueur gagne au grattage ».
Il participe ensuite à une loterie avec le même billet. A cette loterie, il peut gagner 100 euros
ou 200 euros ou bien ne rien gagner.
L1 désigne l’événement : « Le joueur gagne 100 euros à la loterie ».
L2 désigne l’événement : « Le joueur gagne 200 euros à la loterie ».
P désigne l’événement : « Le joueur ne gagne rien à la loterie ».
Si le joueur n’a rien gagné au grattage, la probabilité qu’il gagne 100 euros à la loterie est 1 ,
70
et la probabilité qu’il gagne 200 euros à la loterie est
1
490
.
1.a) Faire un arbre sur lequel on indiquera les renseignements qui précèdent.
b) Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu’il n’a rien gagné
273
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Lois de probabilités
Thème: Variables aléatoires
au grattage. Compléter l’arbre obtenu avec cette valeur.
c) Au bout de chaque branche, indiquer le gain algébrique total du joueur, après grattage et
loterie, déduction faite du prix du billet.
2. On note X la variable aléatoire qui représente le gain algébrique total du joueur, après
grattage et loterie, déduction faite du prix du billet.
2
.
La probabilité de l’événement « X=90 »est
125
1
La probabilité de l’événement « X=190 »est
.
250
a) Montrer que la probabilité que le joueur gagne 100 euros à la loterie, sachant qu’il a gagné
1
.
100 euros au grattage, est égale à
10
b) Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu’il a gagné 100
euros au grattage.
c) Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer l’espérance de X.
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Lois de probabilités
Thème. Dénombrement
[Thème) Dénombrement
Pour les exercices, on considerera une urne U contenant 10 jetons numérotés de 1 à 10.
On notera U = {x1 , ..., x10 }.
On va effectuer plusieurs types de tirages dans U .
1. Tirages successifs avec remise et p−listes
? Première situation : On tire un premier jeton dans U , on note son numéro puis on le
replace. On tire ensuite un second jeton.
On dit qu’on tire successivement, avec remise, deux éléments parmi x1 , ..., x10 .
Questions :
1. A l’aide d’un arbre, ressencer toutes les issues possibles qu’on notera sous forme de couple
(xi , xj ). On parlera aussi de 2−liste.
2. Quel est le cardinal de l’univers de cette expérience ?
? Cas général : Soient n et p deux entiers naturels avec n ≥ 1.
On considère n objets deux à deux distints x1 , ..., xn et on pose U = {x1 , ..., xn }.
B Définition 1: p-liste de U
? Choisir une p−liste de U c’est choisir successivement p éléments, avec répétition possible
et en tenant compte de l’ordre.
B Une p−liste est donc un p−uplet de la forme (xi1 , ..., xip ) où xij ∈ U .
Notations.
L’ensemble des p−listes de U : U × ... × U
ou U p (produit cartésien).
B Proposition 2: Nombre de p-listes de U
? L’ensemble U p des p−listes de U a pour cardinal np .
Questions : situations similaires
1. Combien y a-t-il de codes possibles pour une carte bleue ?
2. Combien y a-t-il de mots (ayant un sens ou non) de 5 lettres de l’alphabet occidental ?
3. Combien y a-t-il de numéros de téléphone commençant par 06 94 ?
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Lois de probabilités
Thème. Dénombrement
2. Tirages successifs sans remise et arrangements
? Première situation : On tire un premier jeton dans U , on note son numéro puis on tire
un second jeton sans avoir replacé de premier.
B On dit qu’on tire successivement et sans remise deux éléments parmi x1 , ..., x10 .
Question :
A l’aide d’un arbre, ressencer toutes les issues possibles. Quel est le cardinal de l’univers ?
? Cas général : U = {x1 , ..., xn } et p ∈ N.
B Définition 3: Arrangement de U
? Un arrangement de U à p éléments est une p-liste de U dont les coordonnées sont deux
à deux distinctes.
B Proposition 4: Nombre d’arrangements de U
? Le nombre
de {x1 , ..., xn } à p éléments se note Apn .
d’arrangement
p
An = n(n − 1)...(n − p + 1) si p ≤ n
On a :
si p > n.
Apn = 0
Questions : situations similaires
1. Un code comporte trois lettres 2 à 2 distinctes distinctes suivies d’un chiffre non nul.
Combien peut-on former de codes distincts ?
2. Pour une course de 10 partants, combien y-a-t-il de podiums possibles ?
3. Pour la même course, combien y-a-t-il de classements possibles ?
La dernière question demande en fait de dénombrer le nombre de manières différentes de
ranger (ou de classer) les 10 partants : on parle de permutation de ces 10 partants.
B Définition 5: Permutations de U
? Une permutation de U = {x1 , ..., xn } est un rangement de ses n éléments qui tient compte
de l’ordre. C’est donc un arrangement de n objets parmis n.
B Proposition 6: Nombre de permutation de U
? Le nombre de permutation de U est Ann = n × (n − 1) × ... × 2 × 1.
Notation. n! = 1 × 2 × ... × (n − 1) × n et se lit « factoriel n ».
B Par convension : 0! = 1.
Questions :
1. Combien y-a-t-il de façon pour ranger six objets ?
2. Calculer 2!, 3!, factoriel 4.
276
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Lois de probabilités
Thème. Dénombrement
3. Etudier la monotonie de la suite (n!) puis calculer sa limite.
4. Mêmes questions pour la suite
n!
.
(n+1)!
5. On suppose que 0 ≤ p ≤ n.
En utilisant les formules de ce paragraphe, montrer que Apn =
n!
.
(n − p)!
3. Tirages simultanés et combinaisons
? Première situation : On tire en même temps trois jetons dans U et on note leurs
numéros (sans tenir compte de l’ordre).
B On dit qu’on tire simultanément trois éléments parmi x1 , ..., x10 .
Question :
1. Combien existe-t-il d’arrangements U à 3 éléments ?
2. Combien y-a-t-il de d’arrangements qui correspondent aux tirages des jetons no 1, no 2 et
no 3 ?
3. En s’inspirant de cet exemple, montrer qu’il y a en tout
A310
3!
issues possibles.
4. Simplifier ce résultat.
? Cas général : U = {x1 , ..., xn } et p ∈ N.
B Définition 7: Combinaison
? Une combinaison de {x1 , ..., xn } à p éléments est une partie (ou un sous-ensemble) de
{x1 , ..., xn } qui possède p éléments (donc nécéssairement : p ≤ n).
B Proposition 8: Nombre de combinaisons
? Le nombre de combinaison de U à p éléments ce note
n
p
n
p
(ou parfois Cnp ). On a :
Ap
n(n − 1)...(n − p + 1)
n!
= n =
=
si p ≤ n et
p!
p!
p!(n − p)!
n
p
= 0 si p > n.
Questions : situations similaires
1. Quel est le nombre de résultats possibles au loto (50 numéros, 8 boules).
2. Calculer le nombre de diagonales d’un polygone à n côtés ? Quel polygone a autant de
diagonales que de côtés ?
3. Soient n points deux à deux distincts sur un cercle. Combien de cordes définissent-ils ?
On suppose que ces cordes se coupent en des points deux à deux distincts à l’intérieur du
cercle. Combien y a-t-il de points d’intersection ?
277
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Lois de probabilités
Thème. Dénombrement
0
? Synthèse : critères d’utilisation des p-listes, arrangements et combinaisons
B On tient compte de l’ordre :
• si les éléments peuvent être répétés, utiliser les p-listes
• si les éléments sont distincts, utiliser les arrangements.
B On ne tient pas compte de l’ordre :
• si les éléments peuvent être répétés : hors programme
• si les éléments sont distincts, utiliser les combinaisons.
Exercice de synthèse
Une urne contient trois boules noires et une boule blanche. On considère l’expérience suivante :
On lance un jeton parfaitement équilibré, présentant une face noire et une face blanche. Si le
jeton tombe sur la face blanche, on ajoute une boule blanche dans l’urne ; si le jeton tombe
sur la face noire, on ajoute une boule noire dans l’urne.
Puis on tire simultanément, et au hasard, trois boules de l’urne.
1. Décrire l’expérience par un arbre pondéré qu’on completera au fur et à mesure.
2. On appelle E0 l’événement : « aucune boule blanche ne figure parmi les trois boules tirées »et
B l’événement : « le jeton est tombé sur la face blanche ».
(a) Calculer p(E0 ∩ B), p(E0 ∩ B), puis p(E0 ).
(b) On tire trois boules de l’urne : aucune blanche ne figure dans ce tirage.
Quelle est la probabilité que le jeton soit tombé sur la face noire ?
3. On appelle E1 l’événement : « une boule blanche et une seule figure parmi les trois boules
tirées »et B l’événement : « le jeton est tombé sur la face blanche ».
(a) Calculer la probabilité de l’événement E1 .
(b) On effectue successivement quatre fois l’expérience décrite au début, qui consiste à
lancer le jeton, puis à tirer les trois boules de l’urne.
Quelle est la probabilité d’obtenir, au moins une fois, une et une seule boule blanche ?
0
4. Propriétés des combinaisons
On fixe deux entiers n et k tels que 0 ≤ k ≤ n.
B Proposition 9: Propriétés immédiates
?
n
0
=
n
n
=1,
n
1
=
n
n−1
= n et
n
k
=
n
n−k
.
278
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Lois de probabilités
Thème. Dénombrement
n!
n!
n
n
Démonstration : En effet,
=
=
=
.
k
n−k
k!(n − k)!
(n − (n − k))!(n − k)!
Indépendamment,
onnotera
que, choisir k éléments
parmi
nrevient àchoisir les n−k restants.
n!
n!
n
n
n
n
= 1 et
= n. 0
Par suite :
=
=
=
=
0
n
1
n−1
0! × n!
1! × (n − 1)!
B Proposition 10: Formule de Pascal
? Soient n et k deux entiers tels que 0 ≤ k ≤ n − 1. Alors :
n
k
+
n
k+1
=
n+1
k+1
.
Démonstration : C’est un calcul de réduction au même dénominateur.
n!
n!
n
n
+
=
+
k
k+1
k!(n − k)! (k + 1)!(n − k − 1)!
(k + 1)n!
(n − k)n!
=
+
(k + 1)!(n − k)! (k + 1)!(n − k)!
[(k + 1) + (n − k)]n!
=
(k + 1)!(n − k)!
(n + 1)n!
=
(k + 1)![(n + 1) − (k + 1)]!
(n + 1)!
n+1
=
=
.
k+1
(k + 1)![(n + 1) − (k + 1)]!
B Application : le triangle de Pascal. Dans le tableau suivant, la somme de deux
nombres consécutifs d’une même ligne est égale au nombre situé sous le second.
n \ k
0
1
2
3
4
5
6
0
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
1
4
10
20
1
5
15
1
6
n
k
n
+
k+1 n+1
=
k+1
4
2
soit :
4
+
3 5
=
3
6 + 4 = 10.
1
B Corollaire 11: Formule du Binôme
n X
n
? Si a et b sont deux complexes et n un entier naturel alors (a + b) =
ak b(n−k) .
k
n
k=0
0
B Termes extrèmes :
(a + b)n = an + n an−1 b +
n(n − 1) n−2 2
n(n − 1) 2 n−2
a
b + ... +
a b
+ n a bn−1 + bn .
2
2
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Lois de probabilités
Thème. Dénombrement
n n X
X
n
n
k (n−k)
B Symétrie et commutativité : (a + b) =
a b
=
bl a(n−l) .
k
l
n
k=0
l=0
Exercice no 1 [Tirages de boules]
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 5. On considère n boules numérotées de 1 à n.
L’expérience consiste à en tirer simultanément 5.
1. Soit k un entier vérifiant 5 ≤ k ≤ n. Combien y a-t-il de tirages de 5 boules dont le plus
grand numéro est k ?
n X
k−1
2. En déduire une expression de
sous forme d’un unique coefficient bino4
k=5
mial.
Exercice no 2 [Tirages simultanés]
On dispose de 12 boules numérotées de 1 à 12.
L’expérience consiste à en tirer simultanément 5.
1. Une première formule.
(a) Soit k un entier vérifiant 5 ≤ k ≤ 12. Combien y-a-t’il de tirages de 5 boules dont le
plus grand numéro est k ?
12 X
k−1
(b) En déduire une expression de la somme suivante
sous forme d’un unique
4
k=5
coefficient binomial.
2. Une deuxième formule. Les boules numérotées de 1 à 4 sont bleues et celles numérotées
de 5 à 12 sont rouges.
(a) Soit i un entier vérifiant 0 ≤ i ≤ 5. Combien y-a-t’il de tirages de 5 boules avec i boules
bleues ?
5 X
4
8
12
(b) En déduire la formule suivante :
×
=
.
i
5−i
5
i=0
Exercice no 3 [Propriétés combinatoires]
2n + 2
2n
2n
1. Montrer que pour tout entier naturel n,
(n + 1) − 4
=2
.
n+1
n
n
n n−1
n
2. Soient n, p ∈ N tels que p ≤ n. Montrer que :
=
.
p
p−1
p
3. Dans le triangle de Pascal, trouver les triplets de coefficients binomiaux successifs d’une
même ligne qui sont en progression arithmétique.
280
Terminale S3
2008/2009
Lois de probabilités
Thème: Exemples de lois discrètes
[Thème) Exemples de lois discrètes
? Introduction
On lance 10 fois un pièce de monnaie déséquilibrée telle que la probabilité d’obtenir Pile est
1/3. On note X la variable aléatoire qui, à chaque issue possible de cette expérience, associe
le nombre de fois où Pile apparait.
Etablir la loi de probabilité de X.
1. Le schéma de Bernoulli
On considère une expérience aléatoire à deux issues :
• l’une appellée succès, de probabilité p
• l’autre appellée échec, de probabilité q = 1 − p.
Cette expérience est appelée épreuve de Bernoulli.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès. Alors X a pour loi de probabilité :
xi
pi
0
q
1
p
Cette loi de probabilité est appelée loi de Bernoulli de paramètre p.
•
•
Espérance : E(X) = 0 × q + 1 × p = p
Variance :
V (X) = p − p2 = p (1 − p) = p q
soit E(X) = p.
soit V (X) = p q.
2. La loi binomiale
L’expérience qui consiste à répéter n fois, et dans les mêmes conditions, une épreuve de
Bernoulli, s’appelle un schéma de Bernoulli.
On montre que, dans un schéma de Bernoulli, la variable
aléatoire égale au nombre de succès
n
suit une loi de probabilité définie par : p(X = k) =
pk q n−k .
k
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p, qu’on note B(n, p).
•
•
Espérance : E(X) = n p.
Variance :
V (X) = n p q.
∗ Remarque. Dans ce cas, l’espérance représente le nombre moyen de succès.
Exercice no 1 [D’après Antilles-Guyane 1999]
Lors d’un examen, un questionnaire à choix multiple (Q.C.M.) est utilisé.
On s’intéresse à cinq questions de ce Q.C.M., supposées indépendantes. A chaque question
sont associées quatre affirmations, numérotées 1, 2, 3 et 4, dont une seule est exacte.
281
Terminale S3
2008/2009
Lois de probabilités
Thème: Exemples de lois discrètes
Un candidat doit répondre à chaque question en donnant seulement le numéro de l’affirmation
qu’il juge exacte ; sa réponse est correcte si l’affirmation qu’il a retenue est vraie, sinon sa
réponse est incorrecte.
Dans cet exercice, les probabilités demandées seront données sous forme fractionnaire.
1. Un candidat répond à chaque question au hasard, c’est-à-dire qu’il considère que les quatre
affirmations correspondantes sont équiprobables.
(a) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « le candidat répond correctement à la première des cinq questions ».
B : « le candidat répond correctement à deux questions au moins sur les cinq ».
(b) On attibue la note 4 à toute réponse correcte et la note -1 à toute réponse incorrecte.
Calculer la probabilité de l’événement C : « le candidat obtient une note au moins
égale à 10 pour l’ensemble des cinq questions ».
2. On suppose maintenant qu’un candidat connaı̂t la réponse correcte à deux questions et
qu’il répond au hasard aux trois autres questions.
Quelle est alors la probabilité de l’événement C décrit au 1.b) ?
0
282
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TD no 23. Probabilités discrètes
Lois de probabilités
[TD no 23) Probabilités discrètes
1. Combinatoire
Exercice no 1 [Tirages simultanés]
On considère 7 boules numérotées de 1 à 7. L’expérience consiste à en tirer simultanément 3.
1. Soit k un entier vérifiant 3 ≤ k ≤ 7. Combien y a-t-il de tirages de 3 boules dont le plus
grand numéro est k ?
7 X
k−1
2. En déduire une expression de
sous forme d’un unique coefficient binomial.
2
k=3
0
Exercice no 2 [Formule de Vandermonde]
k X
n1
n2
n1 + n2
Soit k un entier naturel non nul. Démontrer que :
=
.
i
k−i
k
i=0
B Indication : Dans un ensemble E de cardinal n1 + n2 , considérer deux sous-ensembles
A1 et A2 disjoints de cardinal respectifs n1 et n2 puis dénombrer de deux façons différentes le
nombre de parties à k éléments de A1 ∪ A2 .
2. Variables aléatoires
Exercice no 3 [Tirages simultanés puis successifs]
Une urne contient 6 boules bleues, 3 boules rouges, et 2 boules vertes, indiscernables au
toucher.
1. On tire simultanément et au hasard 3 boules de l’urne.
(a) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
E1 : « Les boules sont toutes de couleurs différentes ».
E2 : « Les boules sont toutes de la même couleur ».
(b) On appelle X la variable aléatoire qui, à tout tirage de trois boules, associe le nombre
de boules bleues tirées.
Etablir la loi de probabilité de X. Calculer l’espérance mathématique de X.
2. Soit k un entier supérieur ou égal à 2.
On procède cette fois de la façon suivante : on tire au hasard une boule de l’urne, on note
sa couleur, puis on la replace dans l’urne avant de procéder au tirage suivant.
On effectue ainsi k tirages successifs.
Quelle est la valeur minimale de k pour que la probabilité de ne tirer que des boules bleues
soit au moins mille fois plus grande que la probabilité de ne tirer que des boules rouges ?
283
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TD no 23. Probabilités discrètes
Lois de probabilités
0
Exercice no 4 [Synthèse]
Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher :
• quatre jetons blancs marqués no 0
• trois jetons rouges marqués no 7
• deux jetons blancs marqués no 2
• un jeton rouge marqué no 5
1. On tire simultanément quatre jetons du sac. Quel est le nombre de tirages possibles ?
2. On suppose que tous les tirages sont équiprobables, et on considère les événements suivants :
A : « Les quatre numéros sont identiques ».
B : « Avec les jetons tirés, on peut former le nombre 2 000 ».
C : « Tous les jetons sont blancs ».
D : « Tous les jetons sont de la même couleur ».
E : « Au moins un jeton porte un numéro différent des autres ».
4
.
(a) Montrer que la probabilité de l’événement B est
105
(b) Calculer la probabilité des événements A, C, D, E.
(c) On suppose que l’événement C est réalisé. Calculer alors la probabilité de l’événement
B.
3. On établit la règle du jeu suivante :
• Si le joueur peut former le nombre 5 000, il gagne 75A
C.
• Si le joueur peut former le nombre 7 000, il gagne 50A
C.
• Si le joueur peut former le nombre 2 000, il gagne 20A
C.
• Si le joueur peut former le nombre 0 000, il perd 25A
C.
• Pour tous les autres tirages, il perd 5A
C.
Soit G la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
Etablir la loi de probabilité de G et calculer l’espérance mathématique de G.
0
3. Situations diverses
Exercice no 5.
Dans un camp de vacances hébergeant 80 personnes, 55 personnes pratiquent la natation, 33
le tennis et 16 ne pratiquent aucun de ces deux sports. Combien de personnes pratiquent à la
fois le tennis et la natation ?
Exercice no 6.
Au loto, calculer la probabilité d’obtenir exactement 3 numéros gagnants.
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284
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TD no 23. Probabilités discrètes
Lois de probabilités
Exercice no 7.
Dans un jeu de 32 cartes, on en choisit au hasard 5.
1. Combien de mains contiennent exactement 2 dames et 1 roi ?
2. Combien de mains contiennent au moins 3 rois ?
Exercice no 8.
On admet qu’il naı̂t en moyenne 106 garçons pour 100 filles. Dans une famille il y a 5 enfants.
Quelle est la probabilité qu’il y ait 2 filles et 3 garçons ?
Exercice no 9.
Cinq oisillons sont dans un nid, et parmi eux, il y a Titi. Chaque fois qu’elle leur apporte un
asticot, leur mère le met dans un bec au hasard. Sachant qu’elle a apporté 10 asticots, et ceci
un à la fois, quelle est la probabilité que Titi en ait reçu au moins 2 ?
Exercice no 10.
Le pourcentage de réussite à un examen est de 40%. On considère un groupe de 5 candidats.
Calculer la probabilité des événements suivants :
A : « Ils sont tous admis »B : « Au moins 4 sont admis ».
Exercice no 11.
Quelle est la probabilité que pile apparaisse au moins 4 fois après 5 lancers successifs d’une
pièce de monnaie ?
Exercice no 12.
Pour un test d’aptitude un Q.C.M. est utilisé : en face de chaque question, on propose 3
réponses dont une seule est correcte. Le test comporte 5 questions. Un candidat répond au
hasard à toutes les questions. Quelle est la probabilité qu’il réponde correctement à 3 questions
au moins ?
Exercice no 13.
Le laboratoire d’une association de consommateurs découvre que chez un producteur de coquillages, 6% d’entre eux sont impropres à la consommation. Une ménagère en a acheté une
douzaine. Quelle est la probabilité qu’ils soient tous sains ?
Exercice no 14.
Une urne contient 7 boules rouges et 1 boule blanche. On tire une boule, on note sa couleur
puis on la remet dans l’urne. On répète n fois l’opération. Déterminer n pour que la probabilité
d’obtenir au moins une boule blanche soit supérieure ou égale à 1/2.
Exercice no 15.
Un texte comporte une erreur. A chaque lecture, la probabilité que l’erreur soit corrigée est
1/3. Combien doit-on prendre de correcteurs, si on veut que la probabilité que l’erreur soit
corrigée soit supérieure à 0, 99 ?
285
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2008/2009
TD no 23. Probabilités discrètes
Lois de probabilités
Exercice no 16.
On considère l’appareil suivant (appareil de Galton) :
Chaque fois qu’on lâche une bille à l’entrée, elle va heurter successivement trois clous, avant de tomber dans
l’une des cases A, B, C ou D.
On admet que chaque fois qu’elle butte sur un clou, elle
a autant de chances d’aller d’un cotê comme de l’autre.
On lâche une bille à l’entrée. Calculer la probabilité des événements suivants :
A : « La bille tombe dans la case A »
B : « La bille tombe dans la case B »
C : « La bille tombe dans la case C »
D : « La bille tombe dans la case D ».
Exercice no 17.
Une urne contient 3 boules rouges et 5 boules blanches. On tire au hasard une boule de l’urne :
- Si elle est rouge on marque 1 point.
- Si elle est blanche on ne marque rien.
Puis on replace la boule tirée dans l’urne. Quel est le nombre moyen de points marqués après
10 tirages ?
Exercice no 18.
Deux joueurs A et B lancent l’un après l’autre et une seule fois un dé ordinaire non pipé.
- A gagne si l’écart entre les deux résultats est 0, 1 ou 2.
- B gagne sinon.
Quelle est la probabilité que A gagne ?
Exercice no 19.
Après une saison de chasse on a établi les résultats suivants : 30% des renards étaient enragés
et parmi les renards abattus, 40% étaient enragés.
On désigne par a la probabilité qu’un renard ait été abattu. Calculer en fonction de a la
P qu’un renard ait été abattu sachant qu’il était enragé.
Exercice no 20.
On appelle ”main” tout ensemble de 5 cartes extraites d’un jeu de 32 cartes. Calculer le
nombre de mains contenant exactement 2 cœurs et 1 valet noir.
Exercice no 21.
On considère deux urnes U1 et U2 .
L’urne U1 contient 4 boules rouges et 6 boules blanches.
L’urne U2 contient 4 boules rouges et 5 boules blanches.
On tire au hasard une boule dans U1 et on la met dans U2 . On tire ensuite une boule dans
U2 . Quelle est la probabilité que cette dernière soit rouge ?
Exercice no 22.
Une urne contient 2 boules blanches, 3 boules noires, 4 boules vertes et 4 boules rouges. On
tire et simultanément 2 boules. Quelle est la P qu’elles soient de la même couleur ?
286
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TD no 23. Probabilités discrètes
Lois de probabilités
Exercice no 23.
On tire une boule dans une urne contenant N boules numérotées de 1 à N , avec N ≥ 2.
On note X la variable aléatoire prenant pour valeur le numéro de la boule tirée. Calculer
l’espérance mathématique de X.
Exercice no 24.
xi 1 a b
pi 12 14 14
Déterminer les réels a et b tels que E(X) = 1 et V (X) = 2.
Soit X la variable aléatoire de loi de P :
avec a ≤ b.
Exercice no 25.
On considère un échantillon de 500 personnes, composé de 200 hommes et de 300 femmes.
Parmi les hommes, 150 ont plus de 30 ans, et parmi les femmes, 200 ont plus de 30 ans. On
choisit une personne dans cet échantillon. Sachant que cette personne est un homme quelle
est la P qu’il ait plus de 30 ans ?
Exercice no 26.
A partir des chiffres 1,2,3,4,5,6, combien peut-on former de nombres de trois chiffres dont deux
chiffres au moins sont identiques ?
Exercice no 27.
Une urne contient une boule portant le numéro 1, deux boules portant le numéro 2, etc., n
boules portant le numéro n (avec n = 2p, p étant un entier pair ¿ à 1). On tire une boule
dans l’urne. Quelle est la P de tirer une boule portant un numéro pair ?
Exercice no 28.
On considère cinq boules numérotées de 1 à 5 et deux urnes U1 et U2 . Combien y a-t-il de
façons de répartir les cinq boules dans les deux urnes ?
Exercice no 29.
Une personne joue au 421. Quel nombre minimum de coups doit-elle jouer , si elle veut que
la P d’obtenir au moins une fois un 421 soit ≥ à 12 ?
Exercice no 30.
On dispose d’un dé et de deux urnes :
- une urne U1 contenant 8 boules blanches et 2 boules noires.
- une urne U2 contenant 3 boules noires et 7 boules rouges.
On lance le dé une fois. Si le numéro obtenu est 6, on tire alors une boule dans U1 , sinon on
tire une boule dans U2 . Quelle est la P de tirer une boule noire ?
Exercice no 31.
On dispose de deux urnes :
- une urne U1 contenant 3 boules blanches et 2 boules noires.
- une urne U2 contenant 2 boules blanches et 3 boules noires.
On tire deux boules dans chaque urne. Quelle est la P d’obtenir exactement deux boules
blanches parmi les quatre boules tirées ?
Exercice no 32.
Soit A et B tels que : p(A) = 0, 6 pA (B) = 0, 7 p (B) = 0, 2. Calculer p (A).
A
B
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TD no 23. Probabilités discrètes
Lois de probabilités
Exercice no 33.
Un sac contient un jeton portant le numéro 1, deux jetons portant le numéro 2, etc., n jetons
portant le numéro n. On tire un jeton dans ce sac. Soit X la variable
aléatoire qui prend pour
Pk=n
valeur le numéro du jeton tiré. Calculer E(X). (On rappelle que k=1 k 2 = n(n+1)(2n+1)
.)
6
Exercice no 34.
Une urne contient 4 boules blanches et 3 boules noires. On tire successivement les 7 boules
sans remise. Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur k si la 1ère boule blanche tirée
apparaı̂t au k ième tirage. Calculer E(X).
Exercice no 35.
Une urne contient 2 boules blanches et n boules noires. On tire simultanément 2 boules. Soit
X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de boules blanches obtenues. Donner
la loi de P de X. Calculer E(X).
Exercice no 36.
Une urne contient 2 boules blanches et 2 boules noires. On tire successivement et sans remise
les quatre boules. Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le rang d’apparition de
la 2ème boule noire. Calculer E(X).
Exercice no 37.
Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires. On tire successivement et avec remise
trois boules. Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de tirages où apparaı̂t
une boule blanche. Donner la loi de P de X. Calculer E(X).
Exercice no 38.
Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules noires. Un jeu consiste à tirer simultanément
3 boules.
Si on a obtenu 3 boules blanches on gagne 100 euro.
Si on a obtenu 2 boules blanches on gagne 10 euro.
Sinon on perd x euro.
Soit X la variable aléatoire associée au gain. Quelle valeur faut-il donner à x pour que ce jeu
soit équitable ?
Exercice no 39.
Une personne met entre 35 et 45 minutes pour se rendre à son lieu de travail. Quelle et la
P qu’elle mette moins de 38 minutes ?
Exercice no 40.
Une personne se présente à un arrêt de bus. Sachant qu’il passe un bus toutes les 15 minutes,
quelle est la P qu’elle attende moins de 5 minutes ?
288
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2008/2009
Lois de probabilités
Thème: Exemples de lois continues
[Thème) Exemples de lois continues
1. Introduction
Il existe des variables aléatoires qui prennent toutes les valeurs d’un intervalle de R.
Par exemple :
• la longueur d’un lancer au javelot
• la durée de vie d’une ampoule électrique
• l’attente à une caisse de supermarché (...)
Dans ce cas on ne peut pas définir la loi de probabilité par un tableau de valeurs.
La loi va être déterminée par une fonction (obtenue à partir d’une étude statistique) appelée
densité de probabilité.
Soit Ω l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire et X une variable aléatoire qui mesure
des résultats associés à ces issues.
On suppose que X prend toutes les valeurs d’un intervalle I de R et qu’une étude statistique
sur les valeurs prises par X a permis d’obtenir une fonction f sur I telle que :
pour tout intervalle J contenu dans I,
Z
p(X ∈ J) = f (x) dx.
J
On dit alors que la variable aléatoire X suit la
loi de probabilité de densité f .
Exemples :
• Si I = {a} (avec a ∈ I) alors : p(X = a) =
Ra
a
f (x) dx = 0.
• Si I = [a; b] (avec a < b et a, b ∈ I) alors :
Z
p(a < X < b) = p(a ≤ X < b) = p(a < X ≤ b) = p(a ≤ X ≤ b) =
b
f.
a
Exercice no 1 [Illustration]
289
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Lois de probabilités
Thème: Exemples de lois continues
Lors d’un concours de javelot, on suppose que chaque candidat peut effectuer un lancé qui va
de 30m à 90m, sachant que toutes les distances sont équiprobable.
Calculer la probabilité de lancer le javelot :
• à 45m.
• à une distance comprise entre 40 et 65m.
2. Définitions
B Définition 1: Densité de probabilité
? Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur I.
On dit que f est une densité de probabilité sur I si, et seulement si :
? f est continue sur I
? f est positive sur I
R
? I f (x) dx = 1.
L’intervalle I est appelé le support de la densité f .
Exemple : Fonction affine par morceaux.
Soit f la fonction définie sur R par :
B f (x) = x + 1, si x ∈ [−1; 0]
B f (x) = −x + 1, si x ∈ [0 ; 1]
B f (x) = 0 ailleurs.
0
B Définition 2: Variable à densité
? Soient X une variable aléatoire à valeurs dans un intervalle I de R et f une densité de
probabilité sur I.
On dit que X suit la loi de probabilité deZ densité f si, et seulement si,
pour tout intervalle J ⊂ I, p(X ∈ J) = f .
J
Exercice no 2 [Densité à paramètre]
Déterminer un réel m tel que la fonction f définie sur I = [0; 1] par f (x) = mx(1 − x) soit
une densité de probabilité sur I. Tracer alors l’allure de sa courbe.
290
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Lois de probabilités
Thème: Exemples de lois continues
3. La loi uniforme
On considère un intervalle I = [a; b], avec a < b, et une variable aléatoire X de densité de
probabilité f sur [a; b].
B Définition 3: Loi uniforme
? On dit que la loi de X est uniforme sur I si, et seulement si, la densité de probabilité f
est constante sur I.
B Conséquence : Il existe C ∈ R tel que, pour tout réel x ∈ [a; b], f (x) = C.
Or on veut
Rb
a
1
.
b−a
= C × (b − a) = 1, donc : C =
La loi de probabilité est donc nécessairement donnée,
pour tout intervalle J ⊂ I, par :
Z
Z
Z
1
p(X ∈ J) = C dx = C dx =
dx.
b−a J
J
J
En particulier, si J = [α; β] est inclus dans I alors :
1
p(α ≤ X ≤ β) =
b−a
6 B Conclusion. p(X ∈ J) =
Z
β
dx =
α
β−α
,
b−a
longueur de J
.
longueur de I
Exemples : Lorsqu’on choisit un nombre au hasard dans un intervalle I, on peut étudier
la loi est uniforme sur I.
Par exemple, si I = [−1; 2], alors :
2
1
−1
1
2
1
p( ≤ X ≤ ) = 3 3 = 3 = .
3
3
2 − (−1)
3
9
? Cas particulier : Si on admet que la touche « random »d’une calculatrice affiche un
nombre au hasard1 entre 0 et 1, quelle est la probabilité qu’il soit compris entre 13 et 23 ? 0
1
En fait, on parle de pseudo-hasard.
291
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Lois de probabilités
Thème: Exemples de lois continues
4. La loi Exponentielle
Dans ce numéro, on considère l’intervalle I = [0; +∞[.
B Proposition 4: Densité exponentielle
? Soit λ un réel strictement positif et f la fonction définie sur [0; +∞[ par f (x) = λe−λx .
Alors f est une densité de probabililé sur [0; +∞[.
Démonstration de 4.
On sait déjà que :
• f est continue sur [0; +∞[.
• f est positive sur [0; +∞[.
R +∞
• A-t-on 0 f (x) dx = 1 ?
4
+∞
Z
Par définition :
Z
A→+∞
0
Z
Or
A
f (x) dx = lim
A
A
Z
f (x) dx =
0
0
Z
On en déduit que :
f (x) dx.
0
A
λe−λx dx = −e−λx 0 = 1 − e−λA et lim A → +∞e−λA = 0 (car λ > 0).
+∞
Z
f (x) dx = lim
0
A→+∞
A
f (x) dx = lim
A→+∞
0
1 − e−λA = 1.
Ceci achève de prouver que f est une densité de probabilité sur I = [0; +∞[.
B Définition 5: Loi Exponentielle
? La loi de probabilité qui a pour densité la fonction f : x 7→ λ e− λ x définie ci-dessus (avec
λ > 0) s’appelle loi exponentielle de paramètre λ .
0
Exercice no 3 [Durée de vie d’un appareil]
La durée de vie X, en années, d’un appareil, suit la loi exponentielle de paramètre 12 .
1. Quelle est la probabilité qu’il fonctionne au moins 5 ans ?
2. Sachant qu’il fonctionne depuis 5 ans, quelle est la probabilité qu’il fonctionne encore au
moins 1 an ? Comparer le résultat avec p(X ≥ 1).
3. On a mis en marche 10 appareils neufs le même jour. Quel est le nombre moyen d’appareils
qui fonctionneront encore au bout d’un an ?
0
B Proposition 6: Propriétés de la loi Exponentielle
292
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2008/2009
Lois de probabilités
Thème: Exemples de lois continues
? Soit X une variable aléatoire suivant une loi Exponentielle. Pour tous a et b positifs :
p(X ≥ a) (X ≥ a + b) = p(X ≥ b) et p(X ≥ a) (X ≤ a + b) = p(X ≤ b).
? Remarque : Si s et t désignent des instants, p(X ≥ t) (X ≥ t + s) ne dépend pas de t.
C’est pour cela que la loi exponentielle de paramètre λ est aussi appelée loi de durée de vie
sans vieillissement.
Démonstration de 6.
• D’une part :
p(X ≥ a) (X ≥ a+b) =
p[(X ≥ a + b) ∩ (X ≥ a)]
p(X ≥ a + b)
e−λ(a+b)
=
=
= e−λb = p(X ≥ b).
−λa
p(X ≥ a)
p(X ≥ a)
e
• D’autre part :
p(X ≥ a) (X ≤ a + b) = 1 − p(X ≥ a) (X > a + b) = 1 − p(X > b) = p(X ≤ b).
6
293
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TD no 24. Applications des lois continues
Lois de probabilités
[TD no 24) Applications des lois continues
B
∗
Polycopié no 41
jeudi 27/5/9
1. Généralités
Exercice no 1 [Fonction affine par morceaux]
Soit f la fonction définie sur R par :
B f (x) = x + 1, si x ∈ [−1; 0]
B f (x) = −x + 1, si x ∈ [0 ; 1]
B f (x) = 0 ailleurs.
1. Montrer que c’est une densité de probabilité.
2. Calculer p(0 < X) et p(− 21 ≤ X < 21 ).
Exercice no 2 [Densité constante]
Soit f la fonction définie sur [0; 1] par f (x) = 1.
1. Montrer que f est une densité de probabilité.
2. Calculer :
• p(X < 12 )
• p( 31 ≤ X < 23 ).
Exercice no 3 [Loi uniforme et calculatrice]
On admet que la touche « random »d’une calculatrice affiche un nombre au hasard2 entre 0 et
1.
Quelle est la probabilité qu’il soit compris entre
1
3
et
2
3
?0
Exercice no 4 [Densité à paramètre]
Déterminer un réel m tel que la fonction f définie sur I = [0; 1] par f (x) = mx(1 − x) soit
une densité de probabilité sur I. Tracer alors l’allure de sa courbe.
2. Loi exponentielle
2
En fait, on parle de pseudo-hasard.
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Terminale S3
2008/2009
TD no 24. Applications des lois continues
Lois de probabilités
Exercice no 5 [Etude d’un exemple]
Soit f la fonction définie sur I = [0 ; +∞[ par f (x) = e−x
et soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité
a pour densité f .
1. Calculer p(X < 1), p(2 < X < 5) et p(X ≥ 10).
1
2. Déterminer a pour que p(X ≥ a) = .
2
0
Exercice no 6.
Un magasin met à la vente un produit dont la demande, en unités, est une variable aléatoire
D qui suit une loi exponentielle de paramètre 1/2000.
1. Quelle est la densité de probabilité de D ?
2. Le magasin dispose d’un stock de 3000 unités. Quelle est la probabilité qu’il se trouve en
rupture de stock ?
3. Quel doit être le niveau du stock pour que le risque d’une rupture de stock soit ≤ à 0, 15 ?
Exercice no 7.
Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ. Calculer λ dans chacun
des cas suivants : (a) p(X ≥ 525) = 0, 343
(b) p(1 ≤ X ≤ 2) = 2/9.
Exercice no 8 [Loi de désintégration radioactive]
La durée de vie X, exprimée en unité de temps, d’un noyau radioactif, est une variable
aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ (λ > 0). On appelle demi-vie, ou
période, de l’élément radioactif, la durée τ telle que p(X < τ ) = 1/2.
1. Exprimer τ en foction de λ.
2. On considère plusieurs noyaux d’une même substance radioactive.
On désigne par N0 leur nombre à l’instant t = 0.
Montrer que le nombre moyen de noyaux non désintégrés à l’instant t est égal à N0 e−λt .
3. Déterminer t pour que le nombre moyen de noyaux non désintégrés à l’instant t soit égal à
la moitié du nombre de noyaux à l’instant t = 0. Que retrouve-t-on ?
4. Exemple : pour U238 , λ = 1, 54.10−10 , l’unité de temps étant l’année. Vérifier que,
pour qu’une population de noyaux d’U238 diminue de moitié, il faut environ 4, 5 milliards
d’années.
Exercice no 9.
Un terminal est relié à un ordinateur. Le temps de réponse X, en secondes, est une variable
aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre 0, 2.
1. Quelle est la densité de probabilité de X ? Donner l’allure de sa courbe.
2. Quelle est la probabilité que le temps de réponse soit :
(a) d’au moins 3 secondes ? (b) d’au plus 5 secondes ? (c) compris entre 4 et 8
secondes ?
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Terminale S3
2008/2009
TD no 24. Applications des lois continues
Lois de probabilités
3. Quel temps minimum faut-il attendre pour que la probabilité d’avoir une réponse soit égale
à 0, 9 ?
Exercice no 10.
La durée d’attente X, en secondes, à une caisse de supermarché, suit une loi exponentielle de
paramètre 1/200.
1. Calculer la probabilité que l’attente :
(a) n’excède pas 1 minute. (b) dépasse 3 minutes.
2. Un client a déja attendu 2 minutes. Quelle est la probabilité qu’il attende encore au moins
une minute ?
Exercice no 11.
Un automate est animé grâce à une pile électrique dont la durée de vie X, en heures, est une
variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ = 0, 4.
1. Quelle est la probabilité que l’automate fonctionne :
(a) au moins 2 heures ? (b) entre 3 et 4 heures ?
2. Sachant que l’automate a déja fonctionné 2 heures, quelle est la probabilité qu’il fonctionne
encore au moins 1 heure ?
3. On met en marche simultanément 11 automates identiques au précédent, tous équipés de
piles neuves. On admet que les durées de vie de chacune des 11 piles sont des variables
aléatoires deux à deux indépendantes et de même loi exponentielle de paramètre λ = 0, 4.
Quel est le nombre moyen d’automates, arrondi à l’unité près, encore animés après 2 heures
de fonctionnement ?
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Terminale S3
2008/2009
Lois de probabilités
Lexique. Le langage des probabilités
[Lexique) Le langage des probabilités
Certain (événement) : univers Ω ; p(Ω) = 1.
Contraire (événement) : l’événement contraire (ou complémentaire) d’un événement A est
l’événement A = Ω − A : c’est l’ensemble de tous les résultats qui ne sont pas dans A. En
particulier :
card(A) = card(Ω) − card(A) et p(A) = 1 − p(A).
p
Ecart-type d’une variable aléatoire X : racine carrée de la variance : σ(X) = V (X).
Equiprobabilité : lorsque, pour un espace probabilisé (Ω, p), la probabilité p est une fonction constante.
Espace probabilisé : couple (Ω, p) où Ω est l’univers d’une expérience aléatoire et p une
probabilité sur Ω.
Espérance d’une variable aléatoire X : si X prend les valeurs x1 , ..., xn , son espérance
est la moyenne pondérée :
n
X
E(X) =
xi .p(X = xi ).
i=1
Evénement : partie de l’univers Ω. C’est un ensemble de résultats. Par définition :
X
p(ω).
p(A) =
ω∈A
Et s’il y a équiprobabilité, alors :
p(A) =
card(A)
.
card(Ω)
Expérience aléatoire : processus dont on ne peut pas prévoir l’issue de manière certaine.
Impossible (événement) : ensemble vide ∅. on notera que c’est une partie de tout événement
et que p(∅) = 0.
Improbable (événement) : événement A tel que p(A) = 0.
Incompatibles (événements) : événements A et B disjoints : A ∩ B = ∅. Ceci signifie que
A et B ne peuvent pas se produire simultanément ; donc p(A ∩ B) = 0.
Indépendants (événements) : événements A et B tels que : p(A ∩ B) = p(A)p(B).
Lorsque A et B sont de probabilités non nulles, leur indépendance signifie que la réalisation
de l’un n’influence pas la réalisation de l’autre :
pB (A) = p(A) et pA (B) = p(B).
Intersection : Soient A et B deux événements ; l’intersection A ∩ B est l’événement formé
des résultats appartenant à A et à B à la fois. Si A et B sont indépendants, alors :
p(A ∩ B) = p(A) × p(B).
Loi d’une variable aléatoire X : si X prend les valeurs x1 , ..., xn , la loi de X est la donnée
des probabilités : pi = p(X = xi ) , (1 ≤ i ≤ n).
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Terminale S3
2008/2009
Lois de probabilités
Lexique. Le langage des probabilités
Partition de l’univers : Collection d’événements A1 , ..., An (n ≥ 2) tels que :
– aucun des Ai n’est vide : pour tout i, Ai 6= ∅ ;
– les Ai sont deux à deux disjoints : i 6= j ⇒ Ai ∩ Aj = ∅.
– l’univers Ω est réunion des Ai : Ω = A1 ∪ ... ∪ An .
On a donc en particulier :
card(A1 ) + ... + card(An ) = card(Ω) et p(A1 ) + ... + p(An ) = 1.
Probabilité conditionnelle : Soient A0 et A deux événements, avec p(A0 ) 6= 0. La probabilité de A sachant A0 est par définition :
pA0 (A) =
p(A ∩ A0 )
.
p(A0 )
Ceci correspond à la probabilité de A dans le contexte restreint où A0 est déjà réalisé.
Celui-ci ne doit donc pas être improbable, d’où la condition imposée : p(A0 ) 6= 0.
P
Probabilité (discrète) : application p : Ω → [0; 1] vérifiant : ω∈Ω p(ω) = 1.
Réunion : Soient A et B deux événements ; la réunion A ∪ B est l’événement formé des
résultats appartenant à A ou à B. On a :
card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B) et p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B).
Lorsque A et B sont disjoints (ou incompatibles), on a donc :
card(A ∪ B) = card(A) + card(B) et p(A ∪ B) = p(A) + p(B).
Univers : ensemble Ω de tous les résultats (ou issues) possibles lors d’une expérience aléatoire.
Variable aléatoire : application X : Ω → R.
Variance d’une variable aléatoire X : si X prend les valeurs x1 , ..., xn , sa variance est
la moyenne quadratique des écarts des valeurs de X par rapport à son espérance :
V (X) =
n
X
2
(xi − E(X)) .p(X = xi ) =
i=1
n
X
x2i .p(X = xi ) − E(X)2 .
i=1
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Terminale S3
2008/2009
Lois de probabilités
Lexique. Le langage des probabilités
Sylvain Saillet
[email protected]
Professeur de mathématiques
Terminale S3— 2008/2009
Lycée L.-G. Damas ; Cayenne
Remire–Montjoly, le 1er juin 2009.
. Table des matières
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2008/2009