DÉTERMINATION DE L'ÉQUATION SÉCULAIRE DE LA TERRE DANS LA THÉORIE D'ARRHENIUS PAR EMILE SCHWOERER Correspondant de l'Institut de France. (COLMAR) -s«se- D'après la théorie d'ARRHENius, la lumière exerce sur les surfaces situées dans son champ d'action une pression, dite pression de radiation, qui est due au choc de cet agent, considéré comme un fluide fictif frappant normalement ces surfaces. Ce fluide recevant une quantité de mouvement de la source.dont il émane, transporte cette quantité de mouvement à travers l'espace et la communique aux obstacles qu'il rencontre. Autrement dit, les corps qui reçoivent de la lumière, de la chaleur rayonnante, sont comme repoussés par elles. Il m'a semblé qu'il serait intéressant d'étudier l'action de cette pression sur le mouvement de la Terre. I. — RÉSULTATS DE L'ANALYSE. On sait que la pression qu'exercent, .en tous sens, les atomes d'un gaz est en raison inverse du volume et en raison directe de la température absolue. Si, donc, nous désignons par D la distance moyenne inconnue des atomes correspondant à un volume V a , on a, pour un autre volume V et pour la dislance atomique r, la' relation =<ï) La combinaison de cette formule avec celle des gaz parfaits donne /Ì92 É. SCHWOERER. équation qui nous montre que l'intensité de la répulsion calorifique, considérée comme une force interalomique, est inversement proportionnelle au cube de la distance des atomes, quelle qu'elle soit d'ailleurs. C'est ce que HIRN a développé dès la première édition (1862) de son Exposition analytique et expérimentale de la Théorie mécanique de la chaleur. On peut donc admettre que, si la chaleur agit aussi répulsivement sur les corps se trouvant dans l'espace, cette répulsion suit la même loi, mais que son intensité, à égalité de distance, dépend non de la masse des corps, comme dans l'attraction nevvtonienne, mais de leur température et de leur surface. La température spécifique des rayons solaires est, à toutes dislances, la même que celle de la photosphère, et, pendant un temps limité, nous pouvons considérer cette température comme invariable. Gela posé, l'action totale du Soleil sur un corps M peut être exprimée par une équation de la forme P__o(2)-(.-,£ G désignant l'intensité de l'attraction rapportée à l'unité de masse et à la distance D, r le rayon vecteur à l'instant dt, et 7) un coefficient égal à la valeur absolue du rapport de la répulsion et de l'attraction. Soit ds l'élément de la trajectoire décrit par M pendant l'instant dt. La composante tangentielle de la force accélératrice est d's /D\V D\dr et, par conséquent, fds\* 2G C ~T*( l r D \ cfr (lt)=-J »\ - >T)- = „ DV G D\ -^ Supposons que le point P où se trouve M, correspondant à la valeur D du rayon vecteur, soit précisément le périhélie et mesurons les angles décrits à partir de ce rayon vecteur. Soit V la vitesse en ce point. Il en résulte, pour la valeur de la constante, c = Vf — GD(2— r,), DÉTERMINATION DE L ' É Q U A T I O N SÉCULAIRE DE LA TERRE. ^ 3 •et l'on a, par suite, pour la vitesse à une distance quelconque, La force dont il s'agit étant centrale, nous avons, d'autre part, l'équation des aires dans laquelle G désigne le double de l'aire décrite dans l'unité de temps. Éliminons dt entre les équations (i) et (2), posons Vs=2aGD, • et remarquons que G = VD, d'où C* = 2aGD\ Il vient, en intégrant, / 7) f i / 1 + -L — arc cos I v D(2a + 7)) — r v u 1 I L'vK i+ £/-(' + i) + -J * et, par suite, •(3) w cosfö V /r^u^ a+ ^":. \ V 2a/ r(2z + n— 1) L'équation polaire des courbes du second degré, rapportées à leur foyer, est (4) a(i -h e) — r cos ô = • er et la courbe est une ellipse, une parabole ou une hyperbole, selon que l'excentricité e est <,= ou >i. 4g4 E. SCHWOERER. On voit que les seconds membres des équations (3) et (4) sont semblables etr. qu'on peut poser D(ax + 7)) = a(i +e), (2a + 7) — i) = e, d'où (5) cos (•\A^)=^ + e) — r er Les premiers membres des équations (3) et (4) diffèrent, par contre, entre eux, et d'autant plus que le radical de l'équation (3) est plus grand; en d'autres termes, d'autant plus que la valeur de TJ est plus grande. Si, comme il en est dans le cas particulier de nos planètes, la somme (aa + 7]--i) est très petite, le premier excentrique; si, en même représenter la courbe lieu lentement autour du foyer membre de l'équation (3) correspond à une ellipse peu temps, le terme TJ est aussi très petit, nous pouvons de M par une ellipse (fig. 1) dont le grand axe tourneO. FlG. I. On voit, en effet, que les valeurs minima et maxima de r correspondent à. c o s [ 0 i / i + —] = + i, cos (VI+ä)=- DÉTERMINATION DE L ' É Q U A T I O N SÉCULAIRE DE LA TERRE. l^QO c'est-à-dire aux valeurs N* y/ 2a N représentant les demi révolutions de M autour du point de départ initial P. Après une première et une deuxième demi révolution, on a : y aa / 2a après une troisième et une quatrième demi révolution, on a 3* y aa la 4* \A+-' II. — APPLICATION AU MOUVEMENT DE LA TERRE. Pour rendre ces résultats de l'analyse plus frappants, faisons-en une application au mouvement de la Terre, en posant d'abord, arbitrairement, vj r= o,oooo5, c'est-à-dire en supposant la répulsion solaire égale au vingt-millième de l'attraction. Nous avons ici e = 0,01675 = (2a + vj — 1), !IQ6 É. SCHWOERER. d'où 2a = 1,01670. Notre equation générale (5) devient ainsi , rn N c o s (6 • 1 ,oooo2458o) = a ' I ? Ol675 rr-z r , o,oi675r ce qui nous apprend qu'à chaque révolution sidérale complète, le périhélie avancerait de X = 1296000" (1,000024589 — 1) = 3i",8678, et que, par sui le, en »S*™ 31,8678 =4o6 68f soit 4- io4 ans, il décrirait une circonférence complète. Quelque faible que soit la valeur que nous avons arbitrairement adjugée à 7j, elle dépasse cependant énormément celle qui résulterait de la répulsion solaire, si celle-ci naissait d'une impulsion, comme il en serait dans l'hypothèse d'ARRHENius.. Examinons la question de ce point de vue. La quantité moyenne de chaleur solaire reçue par la Terre s'élève, par seconde, à. Q = (o,5S) calories, S étant la section equatoriale de notre Terre en m*. Le travail mécanique que représente cette quantité de chaleur est EQ = (216S) kilogram m et re s. Le rayonnement solaire se propageant avec une vitesse de Y = 3 • io8 m. par sec, DÉTERMINATION DE L ' É Q U A T I O N SÉCULAIRE DE LA TERRE. £97 la pression totale exercée sur la Terre est, en kg, p i = ^ = o,72io-flS, si la surface est absorbante, et pa = ^=i,44io- ß S, 'si la surface est parfaitement réfléchissante. En prenant la moyenne de ces nombres, on a pm = 1 , 0 8 - 1 0 - 2 pour la valeur de la pression de radiation ou de la force motrice répulsive exercée par le Soleil sur le globe terrestre. En divisant cette valeur par la masse de la Terre, ou par 7' et en remarquant que S _ %W _ 3 o __3/ — 271 \ 4V4~^ô7 5000* il vient 8 , i - io~7 1 6366198-55oo* pour la valeur de la force accélératrice répulsive, de la force motrice rapportée à l'unité de masse. D'autre part, la masse du Soleil étant 333432 fois celle de la Terre et la distance moyenne de la Terre au Soleil étant 23439,2 rayons terrestres, on a 333432 Ti0 (23439,2)2 pour la valeur de l'attraction solaire rapportée aussi à l'unité de masse. 63 498 É. SCHWOERER. Le rapport de ces deux nombres, ou la valeur de TJ, est 7J = 3,8i • io" 14 . Introduisant cette valeur dans notre équation générale et effectuant les calculs, on trouve pour l'accroissement annuel de la vitesse de la Terre : X = 2",4-io- 8 . Il en résulte pour l'augmentation de la longitude, le siècle étant pris pour unité, A = -(2",4- io" 8 )(TOO«) 3 , ou A = 1", 2 • i o - 4 > i a , n étant le nombre de siècles écoulés. Telle est donc l'équation séculaire de la Terre dans la théorie d'ARRHENius.