Université Chouaïb Doukkali Faculté des sciences Département de Physique El Jadida - Année Universitaire 2015/2016 TD – SMP5 - Série 1 MECANIQUE ANALYTIQUE Paramétrage et Puissances virtuelles - Exercice 1 : R = (O, x, y, z ) : Repère fixe/sol (T) est une tige homogène de longueur L et de masse m. L’extrémité A de (T) est reliée à un ressort (r) (sans masse, de raideur k et de longueur naturelle l0) et elle se déplace sur l’axe O z . A l’autre extrémité de (T), on fixe un point matériel (P) de masse m. ∑ = (T ) ∪ (P ) 1) Paramétrer le système matériel Σ. 2) Ecrire les équations de liaison imposées à Σ sous la forme 𝑓 𝑞, 𝑡 = 0 ou 𝑓 𝑞, 𝑞, 𝑡 = 0 . Indiquer la nature de ces liaisons. 3) Donner, si possible, un paramétrage complet du système. 4) Déterminer le nombre de degré de liberté de Σ. 5) Déterminer les énergies cinétique et potentielle de Σ. 𝑧⃗ !!!!⃗ 𝑧! 𝜃 (T) A 𝑧! 𝐺⬚ (P) 𝑦! !⃗ 𝑢 𝑥⃗ 𝑥! 𝑦⃗ 𝛼 𝑣⃗ Exercice 2 On se propose de déterminer le couple Γ nécessaire à appliquer à un rouleau cylindrique qui remonte une pente en roulant sans glisser : Γ⃗ 𝑦⃗ 𝑁 𝐺 −𝑚𝑔 𝑥⃗ 𝑇 𝐼 𝑂 𝛼 Le rayon de la base du rouleau et le moment d’inertie du rouleau par rapport à (𝐺, 𝑧) sont notés respectivement 𝑟 et 𝐽. D’autre part, seuls 𝑚, 𝛼, 𝑟, 𝐽, et 𝑥 sont connus. 1. Ecrire le principe des travaux virtuelles en choisissant une rotation virtuelle – 𝛿𝜃 dans un premier temps puis un déplacement virtuel 𝛿𝑥 dans un deuxième temps. 2. En tenant compte de la condition de roulement sans glissement de la roue sur la pente, déduire l’expression du couple Γ en fonction des données. 3. De même, appliquez le principe des puissances virtuelles en choisissant une vitesse de rotation virtuelle −𝜃 ∗ 𝑧 et une vitesse virtuelle 𝑥 ∗ 𝑥 Exercice 3 Soit un double pendule représenté sur la figure ci-dessous. On se propose d’appliquer le principe des puissances virtuelles : • pour calculer la valeur des couples moteur 𝐶! et 𝐶! à installer sur chaque axe d’articulation pour obtenir des trajectoires imposées, • pour déterminer la tension dans le premier pendule, 𝑥⃗! 𝑂 𝑂! 𝑎! 𝑘! 𝑥⃗! 𝑥⃗! 𝜃! 𝐸! 𝑂! 𝑎! 𝑘! 𝜃! 𝑧⃗! 𝐸! 𝑧⃗! 𝑧⃗! 1. Calculs préalables 1.1. calculer l’expression vectorielle de la vitesse réelle, en projection dans ℛ! , du centre d’inertie 𝐺! et la vitesse virtuelle compatible avec les liaisons. 𝐺! est défini par : 𝑂𝐺! = 𝑏! 𝑧! avec 𝑧! vecteur colinéaire à 𝑂! 𝑂! tel que 𝑂! 𝑂! = 𝑎! 1.2. Calculer l’accélération 𝑎!! de 𝐺! en projection dans ℛ! . 1.3. Calculer l’expression vectorielle des vitesses réelles et vectorielles de 𝐺! tel que : : 𝑂! 𝐺! = 𝑏! 𝑧! avec 𝑧! vecteur colinéaire à 𝑂! 𝐸! tel que 𝑂! 𝐸! = 𝑎! 1.4. Calculer l’accélération 𝑎!! de 𝐺! en projection dans ℛ! . 1.5. Déterminer la puissance virtuelle dissipée par les forces d’inertie en 𝐺! et en 𝐺! . Dans la suite du problème on supposera que la force d’inertie en 𝐺! est négligeable par rapport à la force d’inertie en 𝐺! . 1.6. Déterminer la puissance virtuelle dissipées par les raideurs en rotation 𝑘! et 𝑘! des paliers en 𝑂! et 𝑂! , sachant que ces ressorts sont respectivement au repos pour 𝜃! = 0 et 𝜃! = 0 . 1.7. Déterminer la puissance virtuelle dissipée par les moteurs installés sur les axes (𝑂! , 𝑦! ) et (𝑂! , 𝑦! ) délivrant les couples 𝐶! et 𝐶! . 2. Calcul des couples moteur 2.1. Calculer les couples 𝐶! et 𝐶! à installer en 𝑂! et 𝑂! pour obtenir les trajectoires imposées en 𝐸! et 𝐸! , et vaincre les pesanteur en 𝐺! et 𝐺! , les inerties (en 𝐺! uniquement), les raideurs 𝑘! et 𝑘! . 3. Calcul de la tension dans le pendule 𝑺𝟏 3.1. 𝑆! représente la barre 𝑂! 𝑂! du double pendule. Pour le calcul de la tension 𝑇 , on crée une vitesse virtuelle d’élongation 𝑎∗ 𝑧! . Que deviennent les vitesse virtuelles de 𝐺! et de 𝐺! ? Ecrire le principe des puissances virtuelles. Montrer qu’on retrouve 𝐶! et 𝐶! et qu’on peut calculer T.