Modules sur le chapitre des nombres Module 1
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Modules sur le chapitre des nombres Module 1 : 1. Reconnaître la nature d’un nombre Méthode : pour trouver la nature d’un nombre, on recherche, en le simplifiant, le plus petit ensemble de nombres auquel il appartient. ( 5 + 3)( 5 – 3) - 144 π exemples : déterminer la nature des nombres suivants : A = ; B= et C = 3 400 314 2 • A ∈ !, or 144 = 12 = 12 -12 - 3 × 4 = = - 4 ∈ " . Ainsi A est un nombre relatif. donc A = 3 3 π π ne peut se simplifier et π est un réel. Donc est un réel. • 314 314 • C ∈ !. On reconnaît une identité remarquable au numérateur. 2 ( 5 + 3)( 5 – 3) = ( 5) – 32 = 5 – 9 = -4. -4 -1 Donc C = = ∈ #. Ainsi C est un nombre décimal. 400 100 π 3 exercice : Déterminer la nature des nombres : D = 0,3333 et E = π 2 2. Construction de réels Sur la droite des réels, on peut construire les nombres rationnels et certains nombres irrationnels. 4 Ici, - est construit en utilisant la propriété de Thalès et 5 est construit 3 en utilisant le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle. – 4 3 5 exercice : 1) Soit ABC un triangle équilatéral de côté 2. a) déterminer la hauteur de ce triangle. b) sur une droite réelle, d’unité graphique 5 cm, construire le point d’abscisse 3. 2) a) en remarquant que 39 = 3 × 13, trouver deux entiers a et b tels que 39 = (a + b)(a – b). b) en déduire une méthode pour construire un segment de longueur 39 cm. 3. Distinguer un nombre d’une de ses valeurs approchées 2000 valeur exacte 7 -3 valeurs approchées à 10 près : - par défaut 285,714 - par excès 285,715 valeurs arrondies à 10-3 près 285,714 π 60 cos(80°) 3 7–9 2 0,052 0,053 0,052 0,173 0,174 0,174 -0,532 -0,531 -0,531 4. calculs avec les écritures scientifiques Exercice 1 : Ecrire en notation scientifique les nombres suivants : B = 35 × 106 + 3 × 106 + 2,9 × 106 C = -0,8 × 107 + 0,05 × 107 – 2,32 × 107 Exercice 2 : Ecrire en notation scientifique le nombre A = 9 × 10-3 + 0,4 × 10-2 – 9 × 10-4 en mettant d’abord 10-4 en facteur et sans utiliser de calculatrice. Exercice 3 : La vitesse de la lumière est estimée à 3 × 108 m.s-1 et la distance moyenne Terre-Soleil à 149 millions de kilomètres. Calculer le temps nécessaire à un signal lumineux issu de la Terre pour parvenir au Soleil. Module 2 : 1. Démontrer une égalité A = B première méthode : on part d’un seul des deux membres et on transforme son écriture pour obtenir l’autre membre deuxième méthode : on transforme séparément les membres A et B pour obtenir le même résultat C. troisième méthode : on démontre une égalité équivalente A – B = 0. Pour cela, on transforme l’écriture de la différence A – B jusqu’à obtenir la valeur 0. Montrer les égalités suivantes : 1000 + 0,000032 – 103 a) = 0,15 6 × 10-9 b) 16 – ( 3 – 5)2 = (9 – 3)( 3 – 1) c) 5– 2 1 = 23 5+ 2 1+ 5 . Vérifier les égalités suivantes : 2 1 b) Φ = + 1 c) Φ3 = 2Φ + 1 Φ Exercice: Le nombre d’or est le nombre Φ = a) Φ2 = Φ + 1 2. Irrationalité de 2 Pythagore et ses disciples ont découvert ce nombre au VIe siècle avant J.-C., en cherchant le rapport entre la diagonale d’un carré et son côté. Or, son étude sur la musique avait conduit Pythagore à penser que « l’harmonie divine consiste en rapports numériques de nombres entiers ». Hélas, 2 ne rentrait pas dans ce monde rationnel ; c’est pourquoi Pythagore a nommé ces nombres des « irrationnels ». La démonstration par l’absurde de l’irrationalité de 2 repose sur l’écriture des entiers. p On suppose que 2 est rationnel, c’est à dire qu’il s’écrit sous forme irréductible, , p et q étant des entiers q naturels non nuls. 1. Justifier que p² = 2 × q². En déduire que p² est pair. 2. a) Démontrer que si p est pair, alors p² est pair et si p est impair, alors p² est impair. b) En déduire que p est pair. 3. Puisque p est pair, posons p = 2p’. Démontrer alors que q² = 2p’². En déduire, à l’aide des questions précédentes, que q est pair. 4. Pourquoi les réponses des questions 2 et 3 sont-elles contradictoires avec l’hypothèse ? En déduire que 2 est irrationnel. 3. Multiples – diviseurs Exercice 1 : Un nombre parfait est un entier naturel égal à la somme de ses diviseurs, autres que lui-même. Ainsi, 6 est un nombre parfait, car 6 = 1 + 2 + 3. Trouver le seul nombre parfait compris entre 25 et 30. Exercice 2 : Deux entiers positifs m et n sont dits amicaux, si la somme des diviseurs de m (autres que m) est égale à n et simultanément la somme des diviseurs de n (autres que n) est égale à m. Les plus petits nombres amicaux sont 220 et 284. a) Décomposer en produit de nombres premiers 220 et 284. b) Vérifier que 220 et 284 sont amicaux. Exercice 3 : Deux voitures font des tours sur un circuit fermé ; elles partent toutes deux à midi de la ligne de départ. L’une parcourt le circuit en 30 minutes, l’autre en 36 minutes. A quelle heure les deux voitures repasseront-elles en même temps la ligne de départ ? Combien auront-elles fait de tours ? Exercice 4 : 1) a) Développer et réduire l’expression : (n + 1)² – n². b) En déduire que tout nombre impair peut s’écrire comme la différence de deux carrés. 2) application à faire aux entiers 13 et 45.
