Espaces vectoriels Définition : un ensemble E muni de – Une loi

Espaces vectoriels
Définition : un ensemble E muni de
– Une loi interne notée + pour laquelle (E, +) est un groupe commutatif.
– Une loi externe R × E → E notée . vérifiant :
∀(λ, µ) ∈ R2 , ∀(~x, ~y) ∈ E 2

λ.(~x + ~y) = λ.~x + λ.~y



(λ + µ).~x = λ.~x + µ.~x
λ.(µ.~x) =
(λµ).~x



1.~x
=
~x
est appelé un R−espace vectoriel.
Exemple :
- Rn est un R-ev pour les lois :
def
(x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
def
λ.(x1 , . . . , xn ) = (λx1 , . . . , λxn )
- L’ensemble des fonctions d’un ensemble A dans R (F(A, R) ou RA ) est un R-ev pour :
f + g : x → f (x) + g(x) et λ.f : x → λf (x)
Remarques :
– Pour A = {1, . . . , n}, on retrouve Rn .
– Pour A = N, on a RN , c’est à dire l’ensemble des suites réelles.
Sous-espace vectoriel
Définition : Un ensemble non vide F de (E, +, .) espace vectoriel est un sous-espace vectoriel ssi
les lois + et . induisent sur F une structure d’espaces vectoriels. On a la caractérisation suivante :
∀λ ∈ R
, λ.~u + ~v ∈ F
F 6= ∅ est un sous-ev de E ⇐⇒
∀(~u, ~v ) ∈ F 2
Définition : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de (E, +, .). On définit la somme de F et
G par :
F + G = {~u + ~v | ~u ∈ F, ~v ∈ G}
Il s’agit du plus petit sous-espace contenant F et G
Définition : Somme directe. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. On note H = F +G.
Les deux propositions sont équivalentes :
– ∀~h ∈ H, ∃!(~hF , ~hG ) ∈ F × G, ~h = ~hF + ~hG
– F ∩ G = {~0E }
La somme est dite directe et on note dans ce cas H = F ⊕ G.
Définition : Notion de supplémentaire. Soient F et G deux sev de E. On dit que G est un
supplémentaire de F ssi
F ⊕G =E
Systèmes de vecteurs
Génération
Définition : On appelle combinaison linéaire de ~u1 , ~u2 , . . . , ~un tout vecteur ~u s’écrivant
~u = λ1 .~u1 + . . . λn .~un avec (λ1 , . . . , λn ) ∈ Rn
On note V ect({u1 , . . . , un }) = {λ1 .~u1 +. . . λn .~un , (λ1 , . . . , λn ) ∈ Rn )} l’ensemble de toutes les combinaisons de ces vecteurs. C’est aussi le plus petit sous-espace vectoriel contenant ~u1 , ~u2 , . . . , ~un ,
appelé sous-espace engendré par ~u1 , ~u2 , . . . , ~un .
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Remarque : On peut généraliser la notion de sous-espace vectoriel engendré à une partie quelconque non vide A ⊂ E.
Définition : Soit F un sev de (E, +, .). A est dite partie génératrice de F ssi F = V ect(A).
Ceci signifie que F est exactement l’ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de A.
Indépendance
Définition : {~u1 , . . . , ~un } est dite liée ssi un des vecteurs de cette famille est combinaison linéaire
des autres.
∃i0 ∈ {1, . . . , n} | ui0 ∈ V ect({u1 , . . . , ui0 −1 , ui0 +1 , . . . , un })
Dans le cas contraire, la famille est dite libre.
On a la caractérisation : {~u1 , . . . , ~un } libre ssi
∀(λ1 , . . . , λn ) ∈ Rn , λ1 .~u1 + . . . + λn .~un = ~0E ⇒ λ1 = . . . = λn = 0
Remarque : Le caractère libre ou générateur d’un système de vecteurs est stable par les combinaisons linéaires du type Gauss ei ← λei + βej , avec λ 6= 0 et i 6= j.
Base
Définition : Soit B = (e1 , e2 , . . . , en ) ∈ E n un système de vecteurs (l’ordre compte).
déf
B est une base de E ⇔ B est à la fois libre et génératrice de E.
B est une base de E ⇔ ∀~v ∈ E, ∃ ! (λ1 , . . . , λn ) ∈ Rn | ~v =
i=n
X
λi .~ui
i=1
(λ1 , . . . , λn ) sont alors appelés coordonnées de ~v dans la base B et on note


λ1


[~v ]B =  ... 
λn
Exemple : Dans Rn , B = (~e1 , ~e2 , . . . , ~en ), où ~ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) est une base de Rn . On
l’appelle la base canonique.
– ∀~u = (u1 , . . . , un ) ∈ Rn , ~u = u1 .~e1 + . . . + un .~en
– λ1 .~e1 + . . . λ.~en = ~0Rn ⇔ (λ1 , . . . , λn ) = (0, . . . , 0) ⇔ λ1 = . . . = λn = 0
Dimension finie
déf
Définition : (E, +, .) est de dimension finie ⇔ E admet une partie génératrice finie.
Dans ce cas, (E, +, .) possède une base finie, et toutes les bases ont le même cardinal, que l’on
appelle la dimension de E. On la note dim E.
Exemple : dim Rn = n.
Soit E un ev de dimension finie, avec dim E = n. Soit (x1 , . . . , xp ) un système de E.
– Si (x1 , . . . , xp ) est libre, alors p ≤ n.
– Si (x1 , . . . , xp ) est générateur alors p ≥ n.
Rang d’un système de vecteurs
Définition : Soit E un espace vectoriel et (x1 , . . . , xp ) un système de vecteurs de E. Alors :
V ect(x1 , . . . , xp ) est de dimension finie. Par définition, sa dimension r est le rang des vecteurs
(x1 , . . . , xp ) et r ≤ p.
On a les équivalences :
(x1 , . . . , xp ) est
générateur
libre
base
Sous-espaces et dimension
Soit E un ev de dimension finie n, et F un sev de E.
– F est de dimension finie et dim F ≤ n.
– F = E ⇔ dim F = n = dim E.
2
⇔ r = dim E
⇔ r=p
⇔ r = p = dim E