Article Papier pointé, papier blanc, pliage : les propriétés des figures

Association
mathématique
du Québec
L’Association Mathématique du Québec regroupe des personnes, des sociétés, écoles, commissions scolaires, collèges, universités, instituts de recherche,
sociétés industrielles, ou commerciales qui s’intéressent à l’enseignement, à la
recherche, au développement, à la diffusion ou la vulgarisation des mathématiques.
Elle vise à aider les éducateurs, du primaire à l’Université, dans leur travail
en mettant à leur disposition divers services et ressources.
Elle favorise les échanges entre les différents ordres d’enseignement des mathématiques et collabore
aux initiatives du Ministère de l’éducation qui s’inscrivent dans ce sens.
Elle favorise une mise à jour continue de l’enseignement des mathématiques, et pour ce faire elle
collabore avec les institutions d’enseignement, les éditeurs et divers mathématiciens qui oeuvrent en
dehors des milieux académiques.
Elle suscite par ses activités et ses publications un intérêt plus grand pour les mathématiques.
www.mat.ulaval.ca/amq/
Article
Papier pointé, papier blanc, pliage :
les propriétés des figures géométriques en jeu
L’Association Mathématique du Québec publie le Bulletin AMQ 4 fois par année, soit les 15 mars,
15 mai, 15 octobre et 15 décembre.
Les numéros des années antérieures sont déposés sur le site de l’AMQ un an après leur parution en
version sur papier.
Tous les membres de l’Association Mathématique du Québec reçoivent une versionAnnette
sur papier duBraconne-Michoux,
Bulletin AMQ. Pour devenir membre, remplir et envoyer à l’adresse indiquée le formulaire d’adhésion
Université de Montréal
disponible sur le site. En consultant sur le site la Politique de rédaction du Bulletin AMQ, on trouve
la structure de contenu du bulletin ainsi que les thèmes abordés par celui-ci. On y trouve aussi la
manière dont sont gérés les droits de reproduction, d’adaptation et de traduction des textes publiés
Résumé
dans le bulletin.
Les auteurs potentiels y trouveront aussi l’adresse à laquelle envoyer leurs propositions de textes
Cet article
est un d’arbitrage.
prolongement de la réflexion que les participants au congrès de
ainsi que la description
du processus
Ils devraient
de plusont
consulter
les àNormes
de des
présentation
en vigueurde
au figures
bulletin. sur différents supports : papier
l’AMQ
menée
propos
constructions
Enfin, c’est
dans la section
Gabarits
quetriangulé,
les auteurs papier
potentiels
trouveront
deux gabaritsde
TeX,
l’un
quadrillé,
papier
pointé
blanc
et instruments
géométrie,
papier blanc
pour débutants (GabaritAMQ101) et l’autre pour les initiés (GabaritAMQpro). Ils trouveront des
et
pliages.
Nous
nous
sommes
intéressés
à
la
construction
de
deux
figures
:
deux
droites
consignes d’ordre typographique dans les Normes de présentation.
sont-elles les mêmes ?
perpendiculaires et un triangle équilatéral. Nous avons constaté que, selon les acteurs et le
support, la même figure n’était pas construite selon les mêmes démarches : les propriétés
Merci de faire connaı̂tre l’Association Mathématique du Québec et sa revue autour de
géométriques
jeu sont
à la connaissance
de l’acteur sur
ou le
à son insu.
vous et d’y
proposer ouensusciter
desdifférentes,
articles (indications
pour les soumissions
site de l’association)
Lors du dernier congrès de l’AMQ, reprenant l’idée de Jore (2007 [1]), j’ai proposé aux
participants de produire des figures de géométrie sur différents supports, de commenter leurs
démarches et, si possible, de les justifier. Cet article prend donc sa source dans les productions
et les réactions des participants à l’atelier et propose une réflexion plus globale sur la richesse
des constructions géométriques dans le cadre de la classe, qu’elle soit de niveau primaire ou
1 rapportés (présentés entre guillemets dans le texte) sont
secondaire. C’est ainsi que les propos
ceux des participants à l’atelier.
Nous avons travaillé essentiellement sur deux figures : la construction de deux droites perpendiculaires et celle d’un triangle équilatéral. Les différents supports utilisés sont le papier quadrillé
(carrés de 1 cm de côté), le papier pointé triangulé (la distance entre deux points sommets
d’un triangle équilatéral est de 1 cm), le papier blanc avec les instruments de géométrie (sauf
l’équerre !) et le papier blanc par pliages (sans référence aux bords de la feuille). Les démarches
8 –Bulletin AMQ, Vol. LIV, no 3, octobre 2014
e
Textes du 57 congrès
c Association mathématique du Québec
sont différentes selon les acteurs et les supports, mais surtout les propriétés des figures en jeu
ne sont pas les mêmes, que ce soit en pleine connaissance de l’actant ou à son insu !
1
Deux droites perpendiculaires
1.1
Sur papier quadrillé
Bien sûr on ne traitera pas du cas où la première droite suit le tracé du quadrillage, puisque
toute autre droite qui suivra l’autre direction donnée par le quadrillage lui sera perpendiculaire
et que ce sont ces deux directions qui sont privilégiées à l’école primaire pour l’apprentissage et
le dessin des droites perpendiculaires et des angles droits.
Construisons une droite δ perpendiculaire à la droite d à l’aide du quadrillage ci-dessous (Figure
1).
On peut remarquer que la droite d passe par des nœuds du quadrillage reliés entre eux par le
même déplacement : 2 carreaux vers la droite et 3 carreaux vers le bas (Figure 2).
Figure 1–La droite d
Figure 2–La droite d et
un vecteur directeur
Figure 3–Les droites d et d1
sont parallèles
Utilisons cette remarque pour construire une autre droite, on obtient une droite d1 parallèle à
d. Autrement dit le déplacement (2 vers la droite, 3 vers le bas) est « caractéristique » 1 de la
direction des droites d et d1 dans ce quadrillage (Figure 3).
1. Tel qu’annoncé dans l’introduction, les expressions entre guillemets rapportent les propos des participants
à l’atelier.
Bulletin AMQ, Vol. LIV, no 3, octobre 2014
–9
Pour obtenir une droite δ perpendiculaire à la droite d, il « faut » donc un tracé qui ait une
pente différente dans le quadrillage, une droite penchée « exactement dans l’autre sens », « à
l’envers », « dans le sens contraire » ou, pour être plus précise au plan mathématique, selon
« la direction orthogonale » à la droite d.
Figure 4 – Les droites d et δ sont perpendiculaires
Il apparaît qu’en échangeant les rôles des nombres 2 et 3 (dans les directions horizontales et
verticales) et le sens de l’un des deux, on obtient le déplacement suivant : 3 vers la droite ; 2
vers le haut (voir Figure 4).
On peut vérifier à l’équerre que ces droites sont perpendiculaires. Le quadrillage permet donc
de tracer des droites perpendiculaires sans utiliser l’équerre ! Les élèves de primaire et de début
secondaire sont tout à fait en mesure de suivre une telle démarche sans pouvoir la justifier,
sinon mettre la feuille dans une position telle que d est « horizontale » devant eux et δ est
« verticale » donc « ça marche ».
On aurait pu aussi choisir de changer le sens associé au déplacement horizontal (3 horizontal et
vers la gauche) et garder le sens associé au déplacement vertical (2 vers le bas) (voir Figure 5).
Si le quadrillage permet cette construction sans instrument, c’est parce qu’il est utilisé comme
le serait un repère cartésien du plan. Dans le langage des mathématiciens, on dira que la droite
d a pour pente − 23 . Tracer une droite perpendiculaire à la droite d, c’est tracer une droite qui
aura une pente opposée et inverse de − 32 , donc de 23 . On retrouve ici une illustration du résultat
de cours de secondaire 3 : « Deux droites perpendiculaires sont deux droites dont le produit
des pentes est égal à -1 ».
Dans une telle situation, le quadrillage est à lui seul un instrument de construction que
10 –Bulletin AMQ, Vol. LIV, no 3, octobre 2014
Figure 5 – Les droites d et δ sont perpendiculaires
l’élève utilise avec pertinence, mais sa validation est perceptive (quand il est convaincu que
« ça marche ») ou instrumentée (quand il place son équerre pour contrôler). La justification
théorique relève du programme de géométrie analytique de secondaire 5.
1.2
Sur papier pointé
Le papier sur lequel nous travaillons est un papier triangulé où tous les points sont distants de
1 cm. La figure de base est donc un triangle équilatéral.
Ici encore, on ne considérera pas le cas où la droite d est « horizontale » dans la feuille puisque
toute droite perpendiculaire sera « verticale » et pourra être tracée en repérant des points
alignés dans cette direction.
Si la droite d est oblique dans la feuille, elle passe par des points qui sont des sommets de
triangles équilatéraux.
Figure 6 – La droite d
Bulletin AMQ, Vol. LIV, no 3, octobre 2014
– 11
Pour trouver une droite perpendiculaire à la droite d, on peut tourner la feuille de façon à
placer la droite « horizontalement » devant soi (Figure 7). On constate alors que l’on retrouve
des points alignés « verticalement » et toute droite passant par ces points sera une solution
(Figure 8) !
Figure 7–La droite d est
en position « horizontale »
Figure 8–La droite δ est
perpendiculaire à la droite d
Figure 9–Le triangle ABM est un triangle équilatéral
On peut aussi, sans tourner la feuille, compter le nombre d’espaces entre A et B (« mesurer »
la distance entre A et B) et chercher un point M qui sera à égales distances de A et de B en
comptant le même nombre d’espaces à partir de A et de B, pour former un triangle équilatéral
M AB (Figure 9). On applique alors la définition du triangle équilatéral pour placer le point M .
Trouver une droite perpendiculaire à cette droite, c’est trouver l’axe de symétrie du triangle
équilatéral qui passe par M . Il se peut que le milieu de AB soit un point de la feuille, auquel
12 –Bulletin AMQ, Vol. LIV, no 3, octobre 2014
perpendiculaire à la droite d
F igure 6: la droite
position " horizontale "
F igure 8: le triangle A B M est
un triangle équilatéral
d en
F igure 7: la droite G est
perpendiculaire à la droite d
F igure 8: le triangle A B M est
On peut aussi, sans tourner la feuille, FRPSWHU OH QRPEUH G¶HVSDFHV HQWUHun
$
HW %
triangle équilatéral
(« mesurer » la distance entre A et B) et chercher un point M qui sera à égales distances
GH$HWGH%HQFRPSWDQWOHPrPHQRPEUHG¶HVSDFHVjSDUWLUGHA
B, pour
formerHQWUH $ HW %
On peut aussi, sans tourner la feuille, FRPSWHU et
OH de
QRPEUH
G¶HVSDFHV
mesurer
la distancealors
entrela
A définition
et B) et chercher
un point
M qui serapour
à égales distances
un triangle équilatéral («MAB.
On» applique
du triangle
équilatéral
GH$HWGH%HQFRPSWDQWOHPrPHQRPEUHG¶HVSDFHVjSDUWLUGHA
et
de
B, pour former
SODFHUOHSRLQW07URXYHUXQHGURLWHSHUSHQGLFXODLUHjFHWWHGURLWHF¶HVWWURXYHUO¶D[HGH
un triangle qui
équilatéral par
MAB.
alors le
la définition
du triangle
équilatéral pour
symétriecas
duletriangle
équilatéral
M.On
Illaapplique
sedroite
peutqui
que
soit un
tracé de la
perpendiculaire passe
se fait en traçant
passe milieu
par M etde
parAB
le milieu
SODFHUOHSRLQW07URXYHUXQHGURLWHSHUSHQGLFXODLUHjFHWWHGURLWHF¶HVWWURXYHUO¶D[HGH
point de de
la AB.
feuille,
len’est
tracé
lapoint
perpendiculaire
fait en
traçant
0 la droite qui
Si le auquel
milieu
decas,
ABdu
pasde
unéquilatéral
de laqui
feuille,
on se
cherche
point
M que
symétrique
symétrie
triangle
passe
par
M. Ille se
peut
le milieu de AB soit un
SDVVHSDU0HWSDUOHPLOLHXGH$%6LOHPLOLHXGH$%Q¶HVWSDVXQSRLQWGHODIHXLOOHRQ
0
de M par rapport
à
la
droite
AB
et
la
perpendiculaire
à
la
droite
AB
est
la
droite
M
. On
point de la feuille, auquel cas, le tracé de la perpendiculaire se faitMen
traçant la droite qui
FKHUFKHOHSRLQW0¶V\PpWULTue
de
M
par
rapport
à
la
droite
AB
et
la
perpendiculaire
à la
vient d’appliquerSDVVHSDU0HWSDUOHPLOLHXGH$%6LOHPLOLHXGH$%Q¶HVWSDVXQSRLQWGHODIHXLOOHRQ
la propriété des diagonales du losange d’être perpendiculaires l’une à l’autre
GURLWH$%HVWODGURLWH00¶2QYLHQWG¶appliquer
la
propriété
des
diagonales
du
losange
FKHUFKHOHSRLQW0¶V\PpWULTue de M par rapport à la droite AB et la perpendiculaire à la
(Figures 10 et 11).
G¶rWUHSHUSHQGLFXODLUHVO¶XQHjO¶DXWUH
GURLWH$%HVWODGURLWH00¶2QYLHQWG¶appliquer la propriété des diagonales du losange
G¶rWUHSHUSHQGLFXODLUHVO¶XQHjO¶DXWUH
F igureA 10:
leMquadrilatère
A M B M ' est un losange
9: le triangle
M est équilatéral
(2) 10: le quadrilatère
F igure
M BBM
' 0est un losange
F igure 9: le triangle A BFigure
M estF igure
équilatéral
(2) A BABM
10–Le triangle
Figure
11–Le quadrilatère AM
est équilatéral (2)
est un losange
On peut aussi déplacer B pour que le milieu de AB soit un point de la feuille et se
On peut aussi déplacer
B pour que le milieu de AB soit un point de la feuille et se
ramener au 1er FDV«
er
ramener au 1 FDV«
On peut aussi déplacer B pour que le milieu de AB soit un point de la feuille et se ramener au
1er cas . . .
3
3
Sur un tel papier, le problème a toujours une solution. En effet, les points A et B étant deux
points du papier triangulé, dans la rotation de centre A et d’angle +60◦ , l’image de B est à la
fois le 3e sommet d’un triangle équilatéral de côté AB mais aussi un point de la feuille. Si le
milieu de AB est un point de la feuille, la droite passant par M et le milieu de AB est l’un des
axes de symétrie du triangle ABM : elle est donc perpendiculaire à AB. Si le milieu de AB
n’est pas un point de la feuille, on place M 0 symétrique de M par rapport à AB en appliquant
la rotation de centre A et d’angle −60◦ . On obtient alors le losange AM BM 0 .
Comme avec le papier quadrillé, les élèves et certains participants à l’atelier mènent leurs
recherches de façon perceptive ou empirique. On entend des remarques du genre : « Je ne sais
pas pourquoi ça marche mais je suis bien certaine que mes droites sont perpendiculaires. ».
Leur demander de justifier leurs actions est particulièrement difficile. Ces deux supports sont
autant d’instruments de construction géométrique dont les règles de fonctionnement (la théorie
Bulletin AMQ, Vol. LIV, no 3, octobre 2014
– 13
sous-jacente) échappent aux élèves, voire aux étudiants futurs maîtres.
1.3
Sur papier blanc à l’aide des instruments
Le défi est maintenant de construire une perpendiculaire à une droite d sur du papier blanc
sans utiliser l’équerre ni le rapporteur d’angle (trop facile !). Nous utiliserons donc la règle et le
compas.
Immédiatement se posent deux problèmes : tracer une perpendiculaire à une droite d mais
passant par où ? Par un point appartenant à d ? Par un point extérieur à d ? Puisque les seuls
instruments autorisés sont le compas et la règle, c’est bien le compas que l’on doit utiliser en
premier et, pour ce faire, il faut savoir où planter le compas, donc se donner un point.
Choisissons un point de d : A. À partir d’une ouverture quelconque du compas planté en A,
Figure 12 – Le point A est sur la droite d
Figure 13 – Le point A est le milieu du segment BC
on peut repérer sur la droite d deux points B et C ; BC est alors le diamètre d’un cercle de
centre A. Avec une ouverture de compas plus grande utilisée à partir de B puis de C, on trace
deux arcs de cercle de même rayon qui se coupent en M . La droite AM (figure 14) est alors
perpendiculaire à la droite d. Mais pourquoi ?
En plaçant les points B et C de part et d’autre de A, A est le milieu du segment BC. Comme
l’ouverture du compas est la même quand on pique sur B puis sur C, on construit un triangle
14 –Bulletin AMQ, Vol. LIV, no 3, octobre 2014
Figure 14–Le triangle M AB
est isocèle en M
Figure 15–La droite M A est
perpendiculaire à la droite d
isocèle de base BC et de sommet M , sans en tracer les côtés isométriques. La droite AM est
alors l’axe de symétrie du triangle isocèle M AB : elle est donc perpendiculaire au côté BC et
donc à la droite d.
Si le point A n’appartient pas à la droite d, en piquant le compas sur A, on trace un cercle de
centre A qui coupe la droite d en deux points B et C. On ne garde que la trace de deux arcs de
cercle sur la droite d pour repérer les points B et C (figure 16).
On trace ensuite deux arcs de cercles de même rayon, l’un de centre C, l’autre de centre B ; ces
deux arcs de cercles se coupent en un point D qui est à égale distance de C et de B (figure 17).
Figure 16–Un cercle de centre A
coupe la droite d en B et C
Figure 17–Les cercles de centres C et B
sont de même rayon et se coupent en D
Bulletin AMQ, Vol. LIV, no 3, octobre 2014
– 15
La droite AD est perpendiculaire à la droite d (figure 19).
Figure 18–La figure ACDB
est un cerf-volant
Figure 19–La droite AD est
est perpendiculaire à la droite d
Une telle construction s’appuie sur les propriétés de symétrie du triangle isocèle et du cerf-volant.
Quand on trace les points B et C, on place deux points d’un même cercle de centre A. Donc
par définition du cercle, les longueurs AC et AB sont égales et le triangle ABC est alors un
triangle isocèle en A, même si ses côtés isométriques ne sont pas dessinés. Le point D est à
l’intersection de deux cercles de même rayon, l’un de centre B et l’autre de centre C. Donc le
triangle DCB est aussi un triangle isocèle en D. La figure ABDC est un cerf-volant dont la
diagonale AD est aussi l’axe de symétrie : la droite AD est donc perpendiculaire à la droite
d (figure 19). Une autre justification utilise le fait que les points équidistants des extrémités
d’un segment sont des points de la médiatrice du segment. A et D sont donc deux points de la
médiatrice du segment BC. En traçant la droite AD, on trace la médiatrice du segment BC,
donc la perpendiculaire à la droite d passant par A.
Par économie gestuelle (Offre B., 2006 [2]), on peut garder le même écartement de compas
à partir de C et à partir de B. On trace alors deux arcs de cercle de même rayon, qui se
coupent en un autre point que A : le point D. Les longueurs des segments AB, AC, CD et
BD sont alors égales. Par définition, le quadrilatère ABDC est un losange et ses diagonales
sont perpendiculaires. Donc les droites AD et d sont perpendiculaires. Une telle construction et
16 –Bulletin AMQ, Vol. LIV, no 3, octobre 2014
Figure 20 – La figure ACDB est un losange
ses justifications ne relèvent sans doute pas du primaire. En revanche elle permet aux élèves
du secondaire d’utiliser des propriétés géométriques qu’ils connaissent dans un contexte de
sériation au sens de Tanguay et Geeraerts (Tanguay D., 2012 [3]) puisque chaque action est
associée à une propriété particulière.
1.4
Sur papier blanc par pliage
Cette fois, le défi est de faire apparaître deux droites perpendiculaires en pliant une feuille de
papier sans référence aux bords.
Le premier geste est donc de plier la feuille « en deux », sans se référer aux bords de la feuille.
On a donc « tracé » une droite sur la feuille.
S’offrent alors deux possibilités :
– soit on déplie la feuille et on fait apparaître le 1er pli. Pour obtenir une droite perpendiculaire
à cette première droite, il va falloir plier la feuille de telle sorte que le 1er pli soit recouvert
partiellement ou totalement par lui-même.
Quand on ouvre la feuille, les deux plis « en creux » représentent des droites perpendiculaires.
Bulletin AMQ, Vol. LIV, no 3, octobre 2014
– 17
(Tanguay D., 2012) puisque chaque action est associée à une propriété particulière.
Surpar
papier
blanc par pliage.
d. Sur papierd.blanc
pliage.
fois,delefaire
défi apparaître
est de faire
apparaître
droites perpendiculaires
Cette fois, leCette
défi est
deux
droites deux
perpendiculaires
en pliant uneen pliant une
feuille
de
papier
sans
référence
aux
bords.
feuille de papier sans référence aux bords.
Le premier
est donc
de plier
feuille
« en se
deux
», sans
référer
Le premier geste
est doncgeste
de plier
la feuille
« enladeux
», sans
référer
auxsebords
de aux
la bords de la
feuille.
On a»donc
« tracésur
» une
droite sur la feuille.
feuille. On a donc
« tracé
une droite
la feuille.
F igure
20: laenfeuille
pliée
en deux
F igure 20: la feuille
est pliée
deux estest
Figure
21–La
feuille
pliée
en deux
F igure 21: le tracé d'une droite
F igure 21:
le tracé
d'une
droite
Figure
22–Le
tracé
d’une
droite
6¶RIIUHQWDORUVGHX[SRVVLELOLWpV
:
6¶RIIUHQWDORUVGHX[SRVVLELOLWpV
:
er
- soit
on déplie
la feuille
et on fait
le 1obtenir
pli. Pour
obtenir une droite
- soit on déplie
la feuille
et on
fait apparaître
le apparaître
1er pli. Pour
une droite
perpendiculaire
à
cette
première
droite,
il
va
falloir
plier
la
feuille
perpendiculaire à cette
première droite, il va falloir plier la feuille de telle sorte de telle sorte
er
er
que recouvert
le 1 pli soit
recouvert partiellement
que le 1 pli soit
partiellement
ou totalementou
partotalement
lui-même.par lui-même.
F igure 22: le pli est replié sur lui-même
F igure 22: le pli est replié sur lui-même
7
Figure 23–Le pli est replié sur lui-même
7
F igure
23: les deux
deux droites
sont
perpendiculaires
Figure
24–Les
droites
sont
perpendiculaires
F igure 23:
les deux
droites
sont
perpendiculaires
Quand
on ouvre
la feuille,
les les
deuxdeux
plis plis
« en « creux
» représentent
des des
droites
Quand
on ouvre
la feuille,
en creux
» représentent
droites
perpendiculaires.
perpendiculaires.
– Soit on garde la feuille pliée (figure 21) et on replie le pli sur lui-même avec soin. On obtient
- alors
Soit
garde
la de
feuille
pliée
(figure
20)
onest
le plidroit
lui-même
soin.soin.
- Soit
on garde
la
feuille
pliée
(figure
20)
etreplie
on
lesur
pli(figure
sur lui-même
4onépaisseurs
papier.
L’angle
entre
les et
plis
un replie
angle
26). avecavec
2QREWLHQW
DORUV
pSDLVVHXUVGHSDSLHU
/¶DQJOHHQWUHOHVSOLVHVW
XQDQJOHGURLW
2QREWLHQW
DORUV
pSDLVVHXUVGHSDSLHU
XQDQJOHGURLW
Quand on
ouvre la feuille
(figure
26), on obtient aussi /¶DQJOHHQWUHOHVSOLVHVW
deux plis donc deux droites perpendicu(figure
24)
(figure
laires. Mais
les 24)
deux plis ne sont pas « en creux » ; le 2e est pour une part « en relief » par
rapport aux autres.
Cette dernière technique peut se révéler fort utile en classe dans la mesure où, à l’issue du 2e
pliage, on obtient un angle droit en quatre épaisseurs de papier. Les élèves ont là une équerre
dont ils ne doutent pas des angles ou des côtés à utiliser : le seul service que cet instrument
puisse rendre c’est précisément sa raison d’être, à savoir vérifier ou construire des angles droits.
C’est un instrument qui ne peut servir à rien d’autre que vérifier ou construire des angles droits
ou des droites perpendiculaires, surtout pas à tracer des segments perpendiculaires de longueurs
données
lessur
graduations
n’estdroites
pas au
sommet
de l’angle
F igurel’origine
25: les deux
sont
perpendiculaires.
F igure 24:en
onutilisant
replie le pli
lui-même de l’équerre dont
F igure 24: on replie le pli sur lui-même
18 –Bulletin AMQ, Vol. LIV, no 3, octobre 2014
F igure 25: les deux droites sont perpendiculaires.
Quand
on ouvre
la feuille
(figure
25), 25),
on obtient
aussiaussi
deuxdeux
plis plis
doncdonc
deuxdeux
droites
Quand
on ouvre
la feuille
(figure
on obtient
droites
e
epour une part « en
perpendiculaires.
Mais
les
deux
plis
ne
sont
pas
«
en
creux
»
;
le
2
est
perpendiculaires. Mais les deux plis ne sont pas « en creux » ; le 2 est pour une part « en
reliefrelief
» par»rapport
aux autres.
par rapport
aux autres.
&HWWHGHUQLqUHWHFKQLTXHSHXWVHUpYpOpHIRUWXWLOHHQFODVVHGDQVODPHVXUHRjO¶LVVXH
&HWWHGHUQLqUHWHFKQLTXHSHXWVHUpYpOpHIRUWXWLOHHQFODVVHGDQVODPHVXUHRjO¶LVVXH
e
du 2du
pliage,
on obtient
un angle
droitdroit
en quatre
épaisseurs
de papier.
Les Les
élèves
ont là
2e pliage,
on obtient
un angle
en quatre
épaisseurs
de papier.
élèves
ont là
une équerre
dontdont
ils neilsdoutent
pas des
ou des
à utiliser
: le seul
service
que que
une équerre
ne doutent
pas angles
des angles
ou côtés
des côtés
à utiliser
: le seul
service
FHW LQVWUXPHQW
SXLVVH
UHQGUH
F¶HVWF¶HVW
SUpFLVpPHQW
VD UDLVRQ
G¶rWUH
j VDYRLU
YpULILHU
RX RX
FHW LQVWUXPHQW
SXLVVH
UHQGUH
SUpFLVpPHQW
VD UDLVRQ
G¶rWUH
j VDYRLU
YpULILHU
construire
des angles
sont sont
droits.
&¶HVWXQLQVWUXPHQWTXLQHSHXWVHUYLUjULHQG¶DXWUHTXH
construire
des angles
droits.
&¶HVWXQLQVWUXPHQWTXLQHSHXWVHUYLUjULHQG¶DXWUHTXH
vérifier
ou
construire
des
angles
droits
ou des
droites
perpendiculaires,
surtout
pas pas
à à
vérifier ou construire des angles
droits
ou des
droites
perpendiculaires,
surtout
Quand
on ouvre
la feuille,
les deux
plis plis
« en «creux
» représentent
des des
droites
Quand
on ouvre
la feuille,
les deux
en creux
» représentent
droites
perpendiculaires.
perpendiculaires.
-
Soit
la feuille
pliée pliée
(figure
20) et20)
onetreplie
le plilesur
avec avec
soin. soin.
- on
Soitgarde
on garde
la feuille
(figure
on replie
plilui-même
sur lui-même
2QREWLHQW
DORUV
pSDLVVHXUVGHSDSLHU
/¶DQJOHHQWUHOHVSOLVHVW
XQDQJOHGURLW
2QREWLHQW
DORUV
pSDLVVHXUVGHSDSLHU
/¶DQJOHHQWUHOHVSOLVHVW
XQDQJOHGURLW
(figure
24) 24)
(figure
F igureF25:
les25:
deux
sont perpendiculaires.
igure
lesdroites
deux
droites
perpendiculaires.
Figure 26–Les
deux
droites
sontsont
perpendiculaires
F igure
on
replie
le pli sur
lui-même
F24:
igure
24:
on replie
replie
lelepli
lui-même
Figure
25–On
plisursur
lui-même
Quand
on (Offre,
ouvre
la feuille
(figure
25), 25),
on obtient
aussiaussi
deux deux
plis donc
deux deux
droites
Quand
on ouvre
la feuille
(figure
on obtient
plis donc
droites
droit
2006
[2]).
e
e
perpendiculaires.
MaisMais
les deux
plis ne
sont
en creux
» ; le»2; le
est2pour
une part
en « en
perpendiculaires.
les deux
plis
ne pas
sont«pas
« en creux
est pour
une «part
Si
les »droites
perpendiculaires
reliefrelief
» par
rapport
aux autres.
par rapport
aux autres.apparaissent différemment à l’issue de ces pliages, c’est parce
que les propriétés géométriques de la symétrie par rapport à une droite mises en œuvre sont
&HWWHGHUQLqUHWHFKQLTXHSHXWVHUpYpOpHIRUWXWLOHHQFODVVHGDQVODPHVXUHRjO¶LVVXH
&HWWHGHUQLqUHWHFKQLTXHSHXWVHUpYpOpHIRUWXWLOHHQFODVVHGDQVODPHVXUHRjO¶LVVXH
er
du 2edu
pliage,
on: leobtient
un angle
droit
en quatre
épaisseurs
de Dans
papier.
élèves
ont làont
2e pliage,
onest
obtient
un angle
droit
enunquatre
de papier.
Les
élèves
différentes
pli
dans
toutes
les situations
axe
deépaisseurs
symétrie.
le 1Les
cas,
en repliant
la là
e : le seul
une équerre
dont
ils
ne
doutent
pas
des
angles
ou
des
côtés
à
utiliser
service
que
une
équerre
dont
ils
ne
doutent
pas
des
angles
ou
des
côtés
à
utiliser
:
le
seul
service
droite sur elle-même, on cherche l’axe d’une symétrie dans laquelle la 1 droite sera globalement que
FHW LQVWUXPHQW
SXLVVHdroite
UHQGUH
F¶HVWF¶HVW
SUpFLVpPHQW
VD UDLVRQ
G¶rWUH
j
VDYRLU
YpULILHU
RX
FHW
LQVWUXPHQW
UHQGUH
SUpFLVpPHQW
UDLVRQ
G¶rWUH
YpULILHU
invariante
: touteSXLVVH
perpendiculaire
à la 1e devientVD
une
solution.
Dansjle VDYRLU
2e cas, on
peut RX
construire
des angles
sont droits.
&¶HVWXQLQVWUXPHQWTXLQHSHXWVHUYLUjULHQG¶DXWUHTXH
construire
des angles
sont droits.
&¶HVWXQLQVWUXPHQWTXLQHSHXWVHUYLUjULHQG¶DXWUHTXH
considérer que l’on cherche la bissectrice c’est-à-dire l’axe de symétrie d’un angle plat dont les
vérifier
ou construire
des
angles
droits
ou des
perpendiculaires,
surtout
pas àpas à
vérifier
ou construire
des
angles
droits
ou droites
des droites
perpendiculaires,
surtout
côtés sont le 1er pli. Le 2e pli devient alors la bissectrice des deux angles plats formés par le
tracertracer
des segments
perpendiculaires
de
longueurs
données
en
utilisant
les
graduations
de de
des segments
perpendiculaires de longueurs
données en utilisant les graduations
er
e
er
1
pli
:
ce
2
pli
est
donc
perpendiculaire
au
1
mais
il
présente
deux
aspects
selon
les
angles
O¶pTXHUUHGRQWO¶RULJLQHQ¶HVWSDVDXVRPPHWGHO¶DQJOHGURLW(Offre
B., 2006)
O¶pTXHUUHGRQWO¶RULJLQHQ¶HVWSDVDXVRPPHWGHO¶DQJOHGURLW(Offre
B., 2006)
plats dont il est la bissectrice. Dans le 1er cas, le 2e pli apparaît complètement « en bosse » ou
« droites
en
» ; dans
le 2e cas, apparaissent
le 2e apparaissent
pli apparaît
« en
bosse » j
dans
unO¶LVVXH
demi-plan
de laSOLDJHV
feuille
etF¶HVW
Si lesSi
perpendiculaires
difIpUHPPHQW
O¶LVVXH
GH FHV
F¶HVW
lescreux
droites
perpendiculaires
difIpUHPPHQW
j
GHSOLDJHV
FHV
parceparce
que
les
propriétés
géométriques
de
la
symétrie
par
rapport
à
une
droite,
mises
en
que »lesdans
propriétés
géométriques de la symétrie par rapport à une droite, mises en
« en creux
l’autre demi-plan.
°XYUHVRQWGLIIpUHQWHV
: le pli
toutestoutes
les situations
un axe
symétrie.
DansDans
le 1erle 1er
°XYUHVRQWGLIIpUHQWHV
: leestplidans
est dans
les situations
unde
axe
de symétrie.
cas, en
la droite
sur elle-PrPHRQFKHUFKHO¶D[HG¶XQHV\PpWULHGDQVODTXHOOHOD
cas,repliant
en repliant
la droite
sur elle-PrPHRQFKHUFKHO¶D[HG¶XQHV\PpWULHGDQVODTXHOOHOD
re
re
1 droite
sera
globalement
invariante
: toute
droitedroite
perpendiculaire
à la 1àreladevient
une une
12 droite
sera
globalement
invariante
: toute
perpendiculaire
1re devient
Le triangle
équilatéral
e
e
solution.
DansDans
le 2 le
FDVRQSHXWFRQVLGpUHUTXHO¶RQFKHUFKHODELVVHFWULFHGRQFO¶D[HGH
solution.
2 FDVRQSHXWFRQVLGpUHUTXHO¶RQFKHUFKHODELVVHFWULFHGRQFO¶D[HGH
2.1
Sur papier quadrillé
8
8
Construire un triangle équilatéral ABC sur du papier quadrillé est un vrai défi puisque le
support se révèle être une source de difficulté. En effet, si le côté AB est dessiné en suivant
le quadrillage, pour terminer la construction, il faut par exemple, repérer si l’axe de symétrie
perpendiculaire au côté AB est sur l’un des traits du quadrillage ou non. Dans le 1er cas (figure
28), le sommet C se trouve sur cet axe et tel que les longueurs AC et AB sont égales. Il faut
donc utiliser le compas pour reporter la longueur AB à partir de A jusqu’à ce que l’arc de
Bulletin AMQ, Vol. LIV, no 3, octobre 2014
– 19
V\PpWULHG¶XQangle plat dont les côtés sont le 1er erpli. Le 2e pli
devient alors la bissectrice
V\PpWULHG¶XQangle plat dont les côtés sont le 1 pli. Le 2e pli devient alors la bissectrice
des deux angles plats formés par le 1er erpli : ce 2e pli
est donc perpendiculaire au 1er ermais
e
des deux angles plats formés par le 1 pli : ce 2 pli est donc perpendiculaire au 1 mais
il présente deux aspects selon les angles plats dont il est la bissectrice.
il présente deux aspects selon les angles plats dont il est la bissectrice.
2. L e triangle équilatéral
2. L e triangleplat
équilatéral
V\PpWULHG¶XQangle
les côtés sont le 1er pli. Le 2e pli devient alors la bissectrice
a. sur papierdont
quadrillé
e
a. plats
sur papier
quadrillé
des
deux angles
formés
par leABC
1er plisur
: ce
pli estquadrillé
donc perpendiculaire
aupuisque
1er maisle
Construire
un triangle
équilatéral
du2papier
est un vrai défi
Construire
unaspects
triangleselon
équilatéral
ABC
sur dont
du papier
quadrillé
est un vrai défi puisque le
ilsupport
présente
les angles
plats
il estsila
sedeux
révèle
est une source
de difficulté.
En effet
lebissectrice.
côté AB est dessiné en suivant
support se révèle est une source de difficulté. En effet si le côté AB est dessiné en suivant
le quadrillage, pour terminer la construction, LO IDXW SDU H[HPSOH UHSpUHU VL O¶D[H GH
le2.quadrillage,
terminer la construction, LO IDXW SDU H[HPSOH UHSpUHU VL O¶D[H GH
L e trianglepour
équilatéral
V\PpWULHSHUSHQGLFXODLUHDXF{Wp$%HVWVXUO¶XQGHVWUDLWVGXTXDGULOODJHRXQRQ'DQVOH
V\PpWULHSHUSHQGLFXODLUHDXF{Wp$%HVWVXUO¶XQGHVWUDLWVGXTXDGULOODJHRXQRQ'DQVOH
er
a.
sur
papier
quadrillé
1 ercas (figure 27), le sommet
C se trouve sur cet axe et tel que les longueurs AC et AB
1 cas (figure
27), leéquilatéral
sommet CABC
se trouve
cet axe
et tel est
queun
lesvrai
longueurs
AC et AB
Construire
un
triangle
sur dusur
papier
quadrillé
défi
sont égales. Il faut donc utiliser le compas
pour
reporter
la longueur
AB
à puisque
partir deleA
sontl’axe
égales.
Ilsymétrie.
fautune
donc
utiliser
le compas
pour
reporter
la AB
longueur
ABdeux
àenpartir
de A
support
se
révèle
est
source
de
difficulté.
En
effet
si
le
côté
est
dessiné
suivant
cercle coupe
de
Par
symétrie,
la
longueur
BC
est
égale
aux
autres.
MXVTX¶jFHTXHO¶DUFGHFHUFOHFRXSHO¶D[HGHV\PpWULH3DUV\PpWULHODORQJXHXU%&HVW
MXVTX¶jFHTXHO¶DUFGHFHUFOHFRXSHO¶D[HGHV\PpWULH3DUV\PpWULHODORQJXHXU%&HVW
leégale
quadrillage,
terminer la construction, LO IDXW SDU H[HPSOH UHSpUHU VL O¶D[H GH
aux deuxpour
autres.
égale aux deux autres.
V\PpWULHSHUSHQGLFXODLUHDXF{Wp$%HVWVXUO¶XQGHVWUDLWVGXTXDGULOODJHRXQRQ'DQVOH
1er cas (figure 27), le sommet C se trouve sur cet axe et tel que les longueurs AC et AB
sont égales. Il faut donc utiliser le compas pour reporter la longueur AB à partir de A
MXVTX¶jFHTXHO¶DUFGHFHUFOHFRXSHO¶D[HGHV\PpWULH3DUV\PpWULHODORQJXHXU%&HVW
égale aux deux autres.
F igure 26: le côté A B suit le quadrillage
F igure 26: le côté A B suit le quadrillage
Figure 27–Le côté AB suit le quadrillage
F igure 27OHVRPPHW&Q
HVWSDVXQQ°XGGX
F igure 27OHVRPPHW&Q
HVWSDVXQQ°XGGX
Figure
28–Lequadrillage
sommet C n’est pas
quadrillage
un nœud du quadrillage
6LO¶D[HGHV\PpWULHQ¶HVWSDVVXUO¶XQGHVWUDFpVGXTXDGULOODJHOHVRPPHW&GXWULDQJOH
6LO¶D[HGHV\PpWULHQ¶HVWSDVVXUO¶XQGHVWUDFpVGXTXDGULOODJHOHVRPPHW&GXWULDQJOH
F igure 26:se
le côté
A B suit
équilatéral
trouve
aule «quadrillage
milieu ª G¶XQH FDVH HWigure
OH TXDGULOODJH
Q¶HVW SOXV XQ VXpport
équilatéral se trouve au « milieu ª G¶XQH FDVHFHW
OH27OHVRPPHW&Q
HVWSDVXQQ°XGGX
TXDGULOODJH Q¶HVW SOXV XQ VXpport
efficace au sens où il guide vers une solution. Il faut appliquerquadrillage
la définition du triangle
efficace
au sens
où il guide
une
Il faut
appliquer laledéfinition
Si l’axe équilatéral
de
symétrie
n’est
sur vers
l’un
dessolution.
tracés
du
quadrillage,
sommetondu
Cletriangle
du
triangle
(trois
côtéspas
de même
longueur)
et donc
utiliser
le compas comme
ferait
équilatéral (trois côtés de même longueur) et donc utiliser le compas comme on le ferait
sur se
papier
blanc
le côté» AB
étaitcase
dessiné
travers du quadrillage
28). efficace au
équilatéral
trouve
auou«ousi
milieu
d’une
et leenen
quadrillage
plus(figure
un
support
sur papier
blanc
si le côté
AB était
dessiné
travers du n’est
quadrillage
(figure
28).
6LO¶D[HGHV\PpWULHQ¶HVWSDVVXUO¶XQGHVWUDFpVGXTXDGULOODJHOHVRPPHW&GXWULDQJOH
sens oùéquilatéral
il guide vers
une
solution.
Il
faut
appliquer
la
définition
du
triangle
équilatéral
se trouve au « milieu ª G¶XQH FDVH HW OH TXDGULOODJH Q¶HVW SOXV XQ VXpport (trois
efficace
au
sens où il
une le
solution.
faut appliquer
la définition
du triangle
côtés de même longueur)
etguide
donc vers
utiliser
compasIl comme
on le ferait
sur papier
blanc ou si le
équilatéral (trois côtés de même longueur) et donc utiliser le compas comme on le ferait
côté AB
dessiné
ensitravers
du quadrillage
(figure
29).
surétait
papier
blanc ou
le côté AB
était dessiné en
travers
du quadrillage (figure 28).
F igure 28: le triangle A B C est équilatéral
F igure 28: le triangle A B C est équilatéral
F igure 28: le triangle 9A 9
B C est équilatéral
Figure 29 – Le triangle ABC est équilatéral
On utilise une ouverture de compas égale à la9longueur AB. En traçant les arcs de cercle de
centre A et de centre B qui se coupent en C, on construit trois points à égales distances les uns
des autres donc, un triangle équilatéral.
On voit que dans certains cas on utilise non seulement la définition du triangle équilatéral mais
20 –Bulletin AMQ, Vol. LIV, no 3, octobre 2014
Onaussi
utilise
une ouverture
de compas
égale
à laqu’il
longueur
AB. En
les arcs de cercle
certaines
de ses propriétés
comme
le fait
ait au moins
un traçant
axe de symétrie.
de centre A et de centre B qui se coupent en C, on construit trois points à égales distances
remarque
la plus
importante
est sans
doute le(figure
fait que,
si deux des sommets du triangle sont
lesLauns
des autres
donc
un triangle
équilatéral
28).
e
Onsurvoit
dansducertains
cas on
nonneseulement
la définition du triangle équilatéral
desque
nœuds
quadrillage,
le 3utilise
sommet
le sera jamais.
mais DXVVLFHUWDLQHVGHVHVSURSULpWpVFRPPHOHIDLWTX¶LODLWDXPRLQVXQD[HGHV\Pétrie.
√
En effet, la relation entre la hauteur du triangle équilatéral et son côté est telle que h =
3
2 c
:
le 3 sommet
sera jamaisest
sursans
l’un doute
des nœuds
quadrillage
que soit la
Ladonc
remarque
la plusneimportante
le faitduque,
si deuxquelle
des sommets
dulongueur
triangle
√e
VRQWVXUGHVQ°XGVGXTXDGULOODJHle
3
sommet
ne
le
sera
jamais.
du côté que l’on prenne, puisque h = 3 est incommensurable !
En effet, la relation entre la hauteur du triangle équilatéral et son côté est telle que
e
ξଷ
݄ 2.2
ൌ ଶ ܿSur
doncpapier
le 3e VRPPHWQHVHUDMDPDLVVXUO¶XQGHVQ°XGVGXTXDGULOODJHTXHOOHTXH
pointé
soit la lRQJXHXUGXF{WpTXHO¶RQSUHQQHSXLVTXH ξ͵ est incommensurable !
Dans ce cas, le papier est à lui seul l’instrument qui permet de construire un triangle dans
b. surdepapier
pointé
toutes positions
A et de
B sur des points du papier. Nous ne nous attarderons pas sur le
Dans
ce
cas,
OHSDSLHUHVWjOXLVHXOO¶LQVWUXPHQWTXLSHUPHWGHFRQstruire
un triangle
dans
cas où le côté AB suit un alignement de points du papier. Le triangle est dessiné
en position
toutes positions
de A et de B sur des points du papier. Nous ne nous attarderons pas sur le
prototypique 2 et la validation est perceptive. Comme nous l’avons vu à propos de la construction
cas où le côté AB suit un alignement de points du papier. Le triangle est dessiné en
des droites perpendiculaires,
les points du papier sont images les uns des autres par rotations
position
prototypique1 et la validation
est perceptive. &RPPHQRXVO¶DYRQVYXà propos de
◦
d’angle
60
.
Il
suffit
donc
de
repérer
le
point du
la définition
la construction des droites perpendiculaires,
lespapier
pointsquidurépond
papierà sont
images du
lestriangle
uns des
équilatéral
en comptant, par 60°,
exemple,
les espaces
entre
A et le
B point
et en cherchant
d’espaces
autres
SDUURWDWLRQVG¶DQJOH
il suffit
donc de
repérer
du papierautant
qui répond
à la
définition
triangle
équilatéral
exemple,
espaces
entre
A et B et en
de même du
nature
à partir
de A et deenB.comptant,
Le trianglepar
équilatéral
estles
alors
construit
perceptivement.
FKHUFKDQWDXWDQWG¶HVSDFHVGHPrPHQDWXUHjSDUWLUGH$HWGH%/HWULDQJOHpTXLODWpUDO
On peut vérifier à la règle que les trois côtés sont de même longueur ; elle valide la démarche
estperceptive.
alors construit perceptivement. On peut vérifier à la règle que les trois côtés sont de
même longueur ; elle valide la démarche perceptive.
F igure 29: les trois côtés du triangle A B C ont la même longueur
Figure 30 – Les trois côtés du triangle ABC ont la même longueur
/¶pOqYH TXL FRQQDvW OHV SURSULpWpV WKpRULTXHV GH OD URWDWLRQ Q¶DXUD SDV EHVRLQ G¶XQH
2. On appelle
figure en position
prototypique
dessinéeTX¶LO
selon les
canonsHVW
habituels
: les côtés d’un
YpULILFDWLRQ
LQVWUXPHQWpH
SXLVTX¶LO
VDLWtoute
TXH figure
OH SDSLHU
XWLOLVH
XQ LQVWUXPHQW
GH
rectangle sont parallèles aux bords de la feuille ; les diagonales du losange sont parallèles aux bords de la feuille ;
FRQVWUXFWLRQG¶LPDJHVG¶REMHWVSDUURWDWLRQVGHƒ
un côté du triangle équilatéral est parallèle au bord inférieur de la feuille et le 3e sommet se trouve « au-dessus »
côté ; etc.
Il deestce intéressant
de noter que, de même que le papier quadrillé est un obstacle à une
construction perceptive du triangle équilatéral, le papier pointé triangulé ne permet pas la
o
FRQVWUXFWLRQ G¶XQ FDUUp : les distances entre Bulletin
deux points
situés
des directions
AMQ, Vol.
LIV, nsur
3, octobre
2014 – 21
1
On appelle figure en position prototypique, toute figure dessinée selon les canons habituels : les côtés
G¶XQUHFWDQJOHsont parallèles aux bords de la feuille ; les diagonales du losange sont parallèles aux bords
de la feuille ; un côté du triangle équilatéral est parallèle au bord inférieur de la feuille et le 3 e sommet se
trouve « au dessus » de ce côté ; etc.
10
L’élève qui connaît les propriétés théoriques de la rotation n’aura pas besoin d’une vérification
instrumentée puisqu’il sait que le papier qu’il utilise est un instrument de construction d’images
d’objets par rotations de 60◦ .
Il est intéressant de noter que, de même que le papier quadrillé est un obstacle à une construction
perceptive du triangle équilatéral, le papier pointé triangulé ne permet pas la construction d’un
carré : les distances entre deux points situés sur des directions perpendiculaires sont dans des
√
rapports valant n 3 (avec n rationnel), donc incommensurables.
2.3
Sur papier blanc à l’aide des instruments
La démarche utilisée sur le papier quadrillé (figure 28) est aussi applicable sur papier blanc.
Une autre méthode utilisant le compas consiste à tracer un cercle de centre C, marquer un
point A sur ce cercle et tracer un arc de cercle de centre A et de même rayon (figure 32).
L’intersection de cet arc de cercle avec le cercle de centre C est le point B.
Figure 31–Le cercle de
centre C passant par A
Figure 32–L’arc de cercle de
centre A et de rayon AC
Figure 33–Le triangle
ABC est équilatéral
On obtient un triangle équilatéral en joignant les points A, B et C .
En effet, les longueurs AC et AB sont égales (ce sont deux rayons du cercle de centre A) et
les longueurs CA et CB sont aussi égales (ce sont deux rayons du cercle de centre C). Dans
cette construction, on utilise à la fois la définition du cercle (ensemble des points situés à égale
distance du centre) et la définition du triangle équilatéral (trois côtés de même longueur).
22 –Bulletin AMQ, Vol. LIV, no 3, octobre 2014
F igure
30: 30:
le cercle
de centre
C C
F igure
le cercle
de centre
passant
par par
A A
passant
2.4
F igure
31: 31:
l'arcl'arc
de cercle
de de
F igure
de cercle
centre
A etAde
ACAC
centre
et rayon
de rayon
F igure
32: 32:
le triangle
A B CA Best
F igure
le triangle
C est
équilatéral
équilatéral
Quand
on on
joint
lesles
points
A, A,
B et
obtient
un un
triangle
équilatéral.
Quand
joint
points
BC
et on
C on
obtient
triangle
équilatéral.
EnEn
effet,
lesles
longueurs
ACAC
et AB
sont
égales
(ce(ce
sont
deux
rayons
du du
cercle
de de
centre
A) A)
effet,
longueurs
et AB
sont
égales
sont
deux
rayons
cercle
centre
et les
longueurs
CA
et
CB
sont
aussi
égales
(ce
sont
deux
rayons
du
cercle
de
centre
C).
et les longueurs CA et CB sont aussi égales (ce sont deux rayons du cercle de centre C).
Dans
cette
construction,
on on
utilise
à laà fois
la définition
du du
cercle
(ensemble
desdes
points
Dans
cette
construction,
utilise
la fois
la définition
cercle
(ensemble
points
situés
à égale
distance
du du
centre)
et la
du du
triangle
équilatéral
(trois
côtés
de de
situés
à égale
distance
centre)
et définition
la définition
triangle
équilatéral
(trois
côtés
même
longueur).
même
longueur).
Par
pliage
d. d.parpar
pliage
pliage
Pour 3RXUGHVUDLVRQVGHORQJXHXUGHWH[WHQRXVQHSUpVHQWHURQVLFLTXHO¶XQHGHVSURFpGXUHV
des
raisons de longueur de texte, nous ne présenterons ici que l’une des procédures
3RXUGHVUDLVRQVGHORQJXHXUGHWH[WHQRXVQHSUpVHQWHURQVLFLTXHO¶XQHGHVSURFpGXUHV
SHUWLQHQWHV
OD OD
SURGXFWLRQ
WULDQJOH
pTXilatéral
pliages
G¶XQH
IHXLOOH
GHGH Nous
SHUWLQHQWHV
SURGXFWLRQ
G¶XQ
WULDQJOH
pTXilatéral
par
pliages
G¶XQH
IHXLOOH
pertinentes
pourSRXU
la SRXU
production
d’unG¶XQ
triangle
équilatéral
par par
pliages
d’une
feuille
de papier.
papier.
Nous
laissons
au
lecteur
ou
jODOHFWULFHOHSODLVLUG¶HQGpFRXYULUG¶DXWUHV«
papier. Nous laissons au lecteur ou jODOHFWULFHOHSODLVLUG¶HQGpFRXYULUG¶DXWUHV«
laissons
ausûr,
lecteur
ou à la lectrice
le
plaisiren
d’en
découvrir
d’autres. .des
. bords de celleBien
on on
commence
parpar
plier
la feuille
deux,
sans
se préoccuper
Bien
sûr,
commence
plier
la feuille en
deux,
sans
se préoccuper
des bords de celleci. ci.on commence par plier la feuille en deux, sans se préoccuper des bords de celle-ci.
Bien sûr,
F igure
33 :33
on: plie
la feuille
en deux
F igure
on plie
la feuille
en deux
F igure 34 : la feuille est repliée en deux pour
34 : lafeuille
feuille est
repliée
en deux pour
FigureF igure
35–La
est
repliée
former
un angle
droit
en Oen O en deux
former
un angle
droit
pour
former un
angle droit
droit dont
en Oon
OnOn
replie
ensuite
le le
pli pli
sursur
lui-même
de de
façon
à reproduire
un un
angle
replie
ensuite
lui-même
façon
à reproduire
angle droit
dont on
appellera
le
sommet
O
(figure
33
±
34).
appellera le sommet O (figure 33 ± 34).
Figure 34–On plie la feuille en deux
On replie ensuite le pli sur lui-même de façon
11à11reproduire un angle droit dont on appellera le
sommet O (figures 34 – 35).
On replie ensuite parallèlement au dernier SOLVXUO¶DXWUHF{WpGHO¶DQJOHGURLWSRXUUHSpUHU
replie ensuite
parallèlement
au pli
dernier
SOLVXUO¶DXWUHF{WpGHO¶DQJOHGURLWSRXUUHSpUHU
On On
replie
parallèlement
au dernier
sur l’autre
côté de l’angle droit pour repérer deux
deux points
A etensuite
B V\PpWULTXHVO¶XQGHO¶DXWUHSDUUDSSRUWDXSOLTXLDSHUPLVGHIRUPHU
deux
points
A et B V\PpWULTXHVO¶XQGHO¶DXWUHSDUUDSSRUWDXSOLTXLDSHUPLVGHIRUPHU
points
A
et
B
symétriques
l’un
de
l’autre
par
rapport
au pli quiODa IHXLOOH
permis TXH
de former
l’angle
O¶DQJOH GURLW de sommet O (figures 35 et 36). &¶HVW HQ GpSOLDQW
O¶RQ SHXW
O¶DQJOH
GURLW
de
sommet
O
(figures
35
et
36).
&¶HVW
HQ
GpSOLDQW
OD
IHXLOOH
TXH O¶RQ SHXW
de sommet
repérer droit
les points
A et OB.(figures 36 et 37). C’est en dépliant la feuille que l’on peut repérer les points
repérer les points A et B.
A et B.
F igure 35: O n plie pour obtenir A et B symétriques
F igure
O36–On
n plieà pour
A et B symétriques
les points
A et B
sont symétriques
par35:
rapport
Oplieobtenir
Figure
pour obtenir
A et B F igure 36:
Figure
37–Les
points
A et B O¶XQ
F igure GHO¶DXWUH
36: les points A et B sont symétriques O¶XQ
par rapport à O
symétriques par rapport à O
symétriques
l’un de l’autre
GHO¶DXWUH
On constate aussi TXHO¶on a trois plis parallèles et équidistants, les points A et B étant
On constate aussi TXHO¶on a trois plis parallèles et équidistants, les points A et B étant
symétriques O¶XQGHO¶DXWUHpar rapport au pli identifié par le point O.
O¶XQGHO¶DXWUHpar
rapport
au plietidentifié
par leles
point
O. A et B étant
On symétriques
constate aussi
que l’on a trois plis
parallèles
équidistants,
points
symétriques
au sur
pli identifié
par le point
En pliant
autour del’un
A de
del’autre
façon par
querapport
B arrive
le pli identifié
parO.
O, la position du pli
En pliant autour de A de façon que B arrive sur le pli identifié par O, la position du pli
AB donne la trace du futur côté AC (figure 37). On obtient le pli associé au côté AC en
AB donne la trace du futur côté AC (figure 37). On obtient le pli
associé au côté AC en
o
Bulletin AMQ,
LIV, nsur
3, octobre
2014 – 23
repliant selon le pli AB, ODSDUWLHTXLQ¶DSDVpWpXWLOLVpH(celle
deVol.
gauche
nos figures)
repliant selon le pli AB, ODSDUWLHTXLQ¶DSDVpWpXWLOLVpH(celle de gauche sur nos figures)
et qui ne comprend que 2 épaisseurs de papier (figure 38).
et qui ne comprend que 2 épaisseurs de papier (figure 38).
F igure 35: OFnigure
plie pour
A etobtenir
B symétriques
35: Oobtenir
n plie pour
A et B symétriques
F igure 36: les
points36:
A les
et Bpoints
sont symétriques
O¶XQ
par rapport par
à O rapport à O
F igure
A et B sont symétriques
O¶XQ
GHO¶DXWUH
F igure F35:
O
n
plie
pour
obtenir
A
et
B
symétriques
GHO¶DXWUH
igure 35: O n plie pour obtenir A et B symétriques
F igure F36:
les 36:
points
A et B sont
symétriques
O¶XQ O¶XQ
par
rapport
àa Otrois
igure
les points
points
Ales
et B
On constate
TXHO¶on
parallèles
et équidistants,
les
A
etsont
B symétriques
étant
par rapport
à Oplis
On aussi
constate
aussi
TXHO¶on
a trois
plis parallèles
et
équidistants,
points
A et B étant
GHO¶DXWUH
GHO¶DXWUH
symétriques
O¶XQGHO¶DXWUHpar
rapport aurapport
pli identifié
le point
symétriques
O¶XQGHO¶DXWUHpar
au plipar
identifié
parO.le point O.
On En
constate
aussi
TXHO¶on
a trois
parallèles
leslapoints
A du
et pli
B
pliant
autouraussi
de ATXHO¶on
de façon
que
B arrive
sur leetpliéquidistants,
identifié
par O,
position
ABB étant
On
constate
a plis
trois
plis parallèles
et équidistants,
les points
A étant
et
symétriques
O¶XQGHO¶DXWUHpar
rapport
au
pli
identifié
par
le
point
O.
En pliant
autour
deautour
Adu
defutur
façon
B(figure
arrive
sur
lepli
pliidentifié
identifié
par
la côté
position
pli du pli
donne
la trace
On
obtient
le
associé
au
AC la
endu
repliant
symétriques
O¶XQGHO¶DXWUHpar
rapport
leO,
point
O. O,
En
pliant
de côté
A que
deAC
façon
que38).
B au
arrive
sur
le pli
plipar
identifié
par
position
AB donne
la
trace
du
futur
côté
AC
(figure
37).
On
obtient
le
pli
associé
au
côté
AC
en
selon
pli ABla latrace
partie
n’acôté
pas été
ne AC en
ABledonne
duqui
futur
ACutilisée
(figure(celle
37). de
Ongauche
obtientsurlenos
pli figures)
associé etauqui
côté
En
pliant
autour
de
A
de
façon
que
B
arrive
sur
le
pli
identifié
par
O,
la
position
du plidu pli
repliantcomprend
selon
le
pli
AB,
ODSDUWLHTXLQ¶DSDVpWpXWLOLVpH(celle
de
gauche
sur
nos
figures)
En
pliant
autour
de
A
de
façon
que
B
arrive
sur
le
pli
identifié
par
O,
la
position
2 épaisseurs
papier (figure 39).
repliantque
selon
le pli AB,deODSDUWLHTXLQ¶DSDVpWpXWLOLVpH(celle
de gauche sur nos figures)
ABnedonne
la trace
du
futur
côté de
AC
(figure
37). On
obtient
le pli associé au côté AC en
et qui
comprend
que
2 épaisseurs
papier
(figure
38).
AB
donne
la trace
du
côté
AC de
37).
On obtient
et qui
ne comprend
quefutur
2 épaisseurs
papier
(figure
38). le pli associé au côté AC en
repliant
selon selon
le pli le
AB,
de gauche
sur nos
repliant
pli ODSDUWLHTXLQ¶DSDVpWpXWLOLVpH(celle
AB, ODSDUWLHTXLQ¶DSDVpWpXWLOLVpH(celle
de gauche
surfigures)
nos figures)
et quietnequi
comprend
que
2
épaisseurs
de
papier
(figure
38).
ne comprend que 2 épaisseurs de papier (figure 38).
F igure39–On
38: on
rabat
les
deux
épaisseurs.
F igure 37: laF igure
position
A C est
donnée
par
le
Figure
38–La
position
ACpar le Figure
rabat38:
leson
deux
épaisseurs
F igure
rabat
les deux épaisseurs.
37:du
la côté
position
du
côté A Cdu
estcôté
donnée
côté
A
B
est donnéecôté
parA Ble côté AB
F igure F38:
on 38:
rabat
deuxlesépaisseurs.
F igure F37:
la position
du côtédu
A Ccôté
est Adonnée
par le par le
igure
onles
rabat
deux épaisseurs.
igure
37: la position
C est donnée
côté A Bcôtéde
On obtient alors 6 épaisseurs
papier
et
le
pli
suit
le
côté
AC.
AB
On obtient alors 6 épaisseurs de papier et le pli suit le côté AC.
En dépliant,
obtienton
le obtient
côté ACledu
triangle
(figure 39).
En on
dépliant,
côté
AC duéquilatéral
triangle équilatéral
(figure 39).
On obtient
alors
6 épaisseurs
dedepapier
et
suit
côtéleAC.
AC.
On
obtient
alors
6 épaisseurs
papier
et le
le pli
pli
suit
côté
On
obtient
alors
6 épaisseurs
de papier
et le
plilelesuit
côté AC.
En dépliant,
on on
obtient
le lecôté
triangle
équilatéral
(figure
39). 39).
dépliant,
on
obtient
leAC
côté
AC
du triangle
équilatéral
(figure
EnEn
dépliant,
obtient
côté
ACdu
du
triangle
équilatéral
(figure
40).
F igure 39: leF côté
C du
igureA39:
le triangle
côté A C équilatéral
du triangle équilatéral
F igure F39:
le côté
A Ccôté
du Atriangle
équilatéral
igure
39: le
C du triangle
équilatéral
Figure 40–Le côté AC du triangle équilatéral
12
F igure 40: leF triangle
est équilatéral
igure 40:AleB Ctriangle
A B C est équilatéral
F igure41–Le
le triangle
AABC
B C est
Figure
triangle
F40:
igure
40: le triangle
Aest
Béquilatéral
C équilatéral
est équilatéral
12
12
12 équilatéral, il suffit de faire un pli qui
Pour obtenir le pli qui donnera le côté CB du triangle
passe par les points B et C et de déplier (figure 41).
Le triangle équilatéral ABC est composé du premier pli (AB) et des deux derniers (AC et
BC). On le « voit » complètement si on déplie entièrement la feuille.
24 –Bulletin AMQ, Vol. LIV, no 3, octobre 2014
Pour obtenir le pli qui donnera le côté CB du triangle équilatéral, il suffit de faire un pli
qui passe par les points B et C et de déplier (figure 40).
Le triangle équilatéral ABC est composé du premier pli (AB) et des deux derniers (AC et
BC). On le « voit » complètement si on déplie entièrement la feuille.
Si on ouvre complètement la feuille, les plis indiquent aussi les côtés d’un losange, ses axes de
Si on ouvre complètement la feuille, les pliVLQGLTXHQW DXVVLOHVF{WpVG¶XQORVDQJHVHV
symétrie ainsi que deux des trois axes de symétrie de chacun des triangles équilatéraux.
axes
de symétrie ainsi que deux des trois axes de symétrie de chacun des triangles
équilatéraux.
F igure 41: le triangle A B C et les autres figures
Figure 42 – Le triangle ABC et les autres figures
Les propriétés géométriques en jeu lors de ces pliages sont celles de la symétrie par
rapport à une droite et en particulier le fait que le triangle équilatéral a au moins deux
Lesdepropriétés
axes
symétrie.géométriques en jeu lors de ces pliages sont celles de la symétrie par rapport à
une XQ
droite
et en particulier
le fait
que le triangle
équilatéral
a au moins
deux axes de symétrie.
'DQV
SUHPLHU
WHPSV OHV
VRPPHWV
$ HW %
VRQW FRQVWUXLWV
V\PpWULTXHPHQW
O¶XQ GH
O¶DXWUHSDr rapport à la droite CO (figure 32). À ce stade du pliage, tout triangle dont le 3e
Dans un premier temps, les sommets A et B sont construits symétriquement l’un de l’autre par
sommet
sera sur le pli CO sera un triangle isocèle de base AB. Quand on plie les deux
e
rapport àde
la façon
droite CO
(figureB37).
stade CO
du pliage,
triangle
sommet37),
seraon
épaisseurs
à placer
surÀlacedroite
et quetout
le pli
passedont
parleA3 (figure
sur leleplifait
COque
serales
uncôtés
triangle
de base
AB. Quand
les deux
épaisseurs
façon à le
utilise
duisocèle
triangle
équilatéral
sonton
deplie
même
longueur
: ondecherche
placer
la droite
CO et queWHO
le pli
passe
par A$%.
(figure
utilise leun
faitdeuxième
que les côtés
SRLQW
&BGHsurO¶D[H
GH V\PpWULH
TXH
&$
Ce37),
pliondevient
axedude
symétrie
trianglesont
équilatéral.
pliage: on
décrit
dans
la figure
permet
de marquer
triangledu
équilatéral
de même Le
longueur
cherche
le point
C de38
l’axe
de symétrie
tel que le
F{Wp$&HWHQSDUWLFXOLHUOHSRLQW&jO¶LQWHUVHFWLRQGHFHSOLHWGXSOL&2Le
dernier
CA = AB. Ce pli devient un deuxième axe de symétrie du triangle équilatéral. Le pliage décritpli
passant
B et38Cpermet
permet
terminer
le AC
triangle
Quand
on dépliedeen
dans lapar
figure
de de
marquer
le côté
et en équilatéral
particulier leABC.
point C
à l’intersection
gardant la feuille pliée en deux, on voit non seulement le triangle équilatéral ABC mais
ce pli et du pli CO. Le dernier pli passant par B et C permet de terminer le triangle équilatéral
aussi deux de ses trois axes de symétrie (figure 40).On a appliqué la propriété suivante :
ABC. Quand on déplie en gardant la feuille pliée en deux, on voit non seulement le triangle
VLXQWULDQJOHDGHX[D[HVGHV\PpWULHDORUVF¶HVWXQWULDQJOHpTXLODWpUDO
En effet, si les
équilatéral ABC mais aussi deux de ses trois axes de symétrie (figure
41).On
a appliqué
la
SRLQWV$HW%G¶XQHSDUW%HW&G¶DXWUHSDUWVRQWV\métriques
les uns
des autres,
ils sont
propriété
un triangleisocèles
a deux axes
alors
c’estisométriques
un triangle équilatéral.
autant
de « suivante
bases » :desi triangles
doncdedesymétrie,
paires de
côtés
: AC = CB
les points
A et B d’une
B et C d’autre
sontdemander
symétriques
desde
et En
ABeffet,
= ACsi donc
le triangle
ABC part,
est équilatéral.
Ici part
encore,
à les
un uns
élève
secondaire
les« bases
différentes
étapes isocèles,
du pliage
qui
la construction
autres, ils d¶expliciter
sont autant de
» de triangles
donc
de conduit
paires deàcôtés
isométriques :du
triangle
équilatéral
c¶est
lui
permettre
de
sérier
les
propriétés
géométriques
qu¶il connaît.
AC = CB et AB = AC ; donc le triangle ABC est équilatéral. Ici encore, demander
à un
élève de secondaire d’expliciter les différentes étapes du pliage qui conduit à la construction du
triangle équilatéral, c’est lui permettre de sérier les propriétés géométriques qu’il connaît.
Conclusion
Nous avons étudié les constructions de deux figures élémentaires sur différents supports :
Bulletin AMQ, Vol. LIV, no 3, octobre 2014 – 25
deux droites perpendiculaires ; un triangle équilatéral.
13
3
Conclusion
Nous avons étudié les constructions de deux figures élémentaires sur différents supports : deux
droites perpendiculaires et un triangle équilatéral.
Nous avons pu constater que selon les supports, les démarches changent ainsi que les propriétés
géométriques sous-jacentes.
Dans un premier temps, nous avons constaté que les papiers quadrillé ou pointé sont en euxmêmes des instruments de géométrie qui favorisent des démarches empiriques, et les validations
peuvent être perceptives ou instrumentées. Nous avons pu souligner aussi les limites de ces
supports : toutes les constructions ne gagnent pas à être faites sur n’importe quel papier,
quadrillé ou pointé. Certaines figures peuvent être réalisées dès le primaire sur papier blanc à
l’aide du compas : le triangle équilatéral en est un exemple. D’autres s’y prêtent moins et c’est
le cas des droites perpendiculaires. Il en est de même pour les pliages où, dès le primaire, la
construction de droites perpendiculaires peut devenir l’opportunité d’une fabrication d’« équerremaison », alors que la construction du triangle équilatéral relève du secondaire. Il nous semble
important de rappeler que les justifications théoriques associées à chaque construction, quel
que soit le support, sont autant d’occasions pour les élèves du secondaire d’entrer dans la
démonstration.
Références
[1] Jore F. (2007). Pliages et constructions à la règle et au compas. Actes de la XXXIVe
COPIRELEM, atelier A4. Troyes, France.
[2] Offre B., Perrin.-Glorian. M. J., Verbaere O. (2006). Usage des instruments et des propriétés
géométriques en fin de CM2. Grand N, 77, 7 - 34.
[3] Tanguay D., Geeraerts. L. (2012). D’une géométrie du perceptible à une géométrie déductive : à la recherche du paradigme manquant. Petit x, 88, 5 - 24.
26 –Bulletin AMQ, Vol. LIV, no 3, octobre 2014