Activité 1

Activité 1 : Nombres premiers
Problème 1 : Crible d’Eratosthène
On cherche tous les nombres premiers inférieurs à 100 en utilisant la méthode historique
d’Eratosthène :
• On construit un tableau de tous les nombres entiers de 1 à 100.
• On barre le nombre 1 car il n'est pas premier ;
• On entoure le nombre 2 puis on barre tous les multiples de 2 autres que 2 ;
• On passe au nombre qui suit 2 et qui n'est pas barré, c’est-à-dire 3, on l'entoure et on barre
tous les multiples de 3 autres que 3 lui-même ;
• On continue ainsi avec les nombres suivants.
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1. Montrer que les nombres entourés sont des nombres premiers.
2
2. Montrer que lorsqu’on barre k, le suivant non barré est supérieur à k .
3. Montrer qu’après avoir entouré 11, les nombres non barrés restants sont tous premiers.
4. Pour lister les nombres premiers inférieurs à 250, pourquoi suffit-il de barrer dans la liste les
multiples des nombres premiers inférieurs à 15 ?
5. Si l’on souhaite lister les nombres premiers inférieurs à l 000, jusqu’à quel nombre premier p faut-il
barrer les multiples ?
Problème 2 : Les nombres de Carmichael
Propriété
Un entier n ≥ 3 est un nombre de Carmichael si, et seulement si :
• il est le produit d’au moins trois nombres premiers impairs ;
• il est tel que, pour chaque diviseur premier p de n, l’entier p − 1 divise n − 1 .
Exemples
•
•
30 = 2 × 3 × 5 ; 2 − 1 = 1 et 1 divise 29 ; 3 − 1 = 2 mais 2 ne divise pas 29, donc 30 n’est pas un
nombre de Carmichael.
561 = 3 × 11× 17 ; 3 − 1 = 2 et 2 divise 560 ; 11− 1 = 10 et 10 divise 560 ; 17 − 1 = 16 et 16
divise 560 ; donc 561 est un nombre de Carmichael.
1. Les nombres premiers sont-ils des nombres de Carmichael ?
2. Décomposer 1729 puis 2695 en produit de facteurs premiers.
3. Les nombres 1729 et 2695 sont-ils des nombres de Carmichael ?