Triangles

Triangles
I. Inégalité triangulaire
Propriété (l’inégalité triangulaire)
Soient
A
,
B
et
C
trois points quelconques.
On a alors
AC AB BC
≤ +
.
Conséquence Dans tout triangle la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux
autres côtés.
NI NE EI
≤ +
NE NI IN
≤ +
EI EN NI
≤ +
Propriété Trois nombres étant donnés, si le plus grand est inférieur à la somme des deux autres, alors on
peut construire un triangle dont les longueurs des côtés sont ces trois nombres.
Exemples On peut tracer un triangle de côtés 3cm, 4cm et 6cm.
En effet
6 4 3
≤ +
.
On ne peut pas tracer un triangle de côtés 2cm ,3cm et 6cm.
En effet
6 2 3
> +
.
Cas particulier
Si trois points
A
,
B
et
C
sont tels que
AC AB BC
= +
alors
B
est un point du
segment
[
]
AC
(le triangle
ABC
est plat).

II. Somme des angles d’un triangle
Propriété Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.
0
8
1 CAB
+ + = °
Remarque A l’aide de cette propriété, on peut, en connaissant les mesures de deux angles d’un triangle,
calculer la mesure du troisième angle.
Exercice Dans un triangle
ABC
, si
111
A
= °
et
33
C
= °
calculer alors la mesure de l’angle
B
.
La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°.
Donc, dans le triangle
ABC
,
(
)
( )
180
180 111 33
180 144
36
B A C
B
B
B
= °− +
= °− °+ °
= °− °
= °
Cas particuliers - Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent 60° (
180
60
3
=
).
60
E Q U
= = = °
- Dans un triangle rectangle, la somme des deux angles aigus est égale à 90°.
0
9
CR
+ = °

III. Construction de triangles
On peut construire un triangle avec les instruments de géométrie dans l’une ou l’autre des situations suivantes.
On connaît les longueurs des trois côtés.
Triangle ABC tel que AB = 5 cm
AC = 7 cm
BC = 3 cm
On connaît les longueurs de deux côtés et la mesure d’un angle.
Triangle DEF tel que DF = 5 cm
EF = 7 cm
F
=
25°
Triangle GHI tel que GH = 6 cm
HI = 4 cm
I
=
115°
Triangle JKL tel que JL = 6 cm
KL = 4 cm
J
=
35° Deux triangles sont possibles.
On connaît la longueur d’un côté et les mesures des deux angles qui lui sont adjacents.
Triangle MNO tel que MO = 5 cm
M
=
120°
O
=
20°
Remarque Si on connaît la longueur d’un côté et les mesures de deux angles dont l’un ne lui est pas
adjacent, on peut toutefois calculer le troisième angle (la somme des angles …) ; on se retrouve ainsi dans la
dernière situation.

Exercice Construire un triangle PQR tel que QR = 5 cm,
P
=
120° et
R
=
20°.
La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°.
Donc, dans le triangle
PQR
,
(
)
( )
180
180 120 20
180 140
40
= °− +
= °− °+ °
= °− °
= °
Q P R
Q
Q
Q