Algèbre. Fiche n 5 Polynômes et fractions rationnelles Exercice 1

Université de Rouen
L2 Math / L2 Info
Année 2016-2017
Algèbre. Fiche n◦ 5
Polynômes et fractions rationnelles
Exercice 1.
Déterminer le quotient et
• P = 3X 2 + 2X − 1 et
• P = X 2 − 5X + 6 et
• P = X 3 + 2X + 20 et
le reste de la division euclidienne du polynôme P par le polynôme Q :
Q = 3X 2 − 2X + 1,
Q = X 2 − 4,
Q = 3X 2 + 2.
Exercice 2.
Déterminer le PGCD des couples (P, Q) de polynômes suivants et trouver pour chacun d’eux deux
polynômes U et V satisfaisant l’identité de Bezout P U + QV = PGCD(P, Q).
• P = X 3 − 3X 2 + 3X − 1 et Q = X 2 − 2X + 1,
• P = X 2 − 5X + 6
et Q = X 2 − 4,
3
2
• P = X − 3X + 3X − 1 et Q = X 2 − 2X + 1,
• P = X 3 + 2X 2 + 2X + 1 et Q = X 2 − X + 1.
Exercice 3. [•]
Décomposer en facteurs irréductibles dans C[X] et R[X] les polynômes suivants :
X 7 − X, X 4 + X 2 + 1 et X 4 + X 3 + 3X 2 − 5X .
Exercice 4. [•]
Effectuer la division suivant les puissances croissantes à l’ordre 3 du polynôme P = X 2 + X + 1
par le polynôme Q = X + 1.
Exercice 5. [•]
Déterminer les réels a et b pour que le polynôme P = aX n+1 + bX n + 1 soit divisible par
Q = (X − 1)2 . Quel est alors le quotient ?
Exercice 6. [•]
(1) Déterminer les nombres réels m et p pour que le polynôme P = X 3 + mX 2 − 8X + p soit
divisible par le polynôme Q = (X + 1)(X − 3).
(2) Déterminer les conditions sur les coefficients p, q et m pour que P = X 3 + pX + q soit
divisible par Q = X 2 + mX − 1.
Exercice 7. [•] Examen janvier 2016.
Déterminer le réel λ pour que le polynôme P = X 3 − 3X + λ ait un zéro double. Quel est alors
l’autre zéro de P ?
Exercice 8. [•] Examen juin 2016.
Soit deux réels λ et µ. Réaliser la division euclidienne du polynôme P = X 4 +X 3 +λX 2 +µX +1 par
le polynôme Q = X 2 + 2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme
Q divise le polynôme P .
Exercice 9.
On considère la suite de polynômes (Pn )n≥0 ⊂ R[X] définie par la relation de récurrence
Pn = XPn−1 − Pn−2 , ∀ n ≥ 2
avec P0 = 1 et P1 = X.
(1) Calculer P2 , P3 , P4 et vérifier que P3 est premier avec P4 .
(2) Montrer que, pour tout n ≥ 1, Pn2 − Pn−1 Pn+1 = 1.
(3) En déduire que, pour tout n ≥ 0, Pn et Pn+1 sont premiers entre eux.
2
Exercice 10.
(1) Déterminer l’ensemble des polynômes P ∈ R[X] tels que P (X) = P (X − 1).
Comparer leurs racines dans C.
(2) Déterminer l’ensemble des polynômes P ∈ R[X] tels que P (X) − P (X − 1) = X 2 .
Exercice 11. [•]
Soient ω1 , . . . , ωn ∈ C les n racines nième de l’unité et P ∈ C[X] un polynôme de degré strictement
inférieur à n.
Montrer que
n
X
P (ωj ) = nP (0).
j=1
Exercice 12.
(1) Factoriser le polynôme P = X 3 − (6 + 3i)X 2 + 3(3 + 4i)X − 2 − 11i sachant qu’il admet
une racine triple.
(2) Factoriser le polynôme Q = 4X 4 − 4X 3 − 3X 2 + 2X + 1 sachant qu’il admet deux racines
doubles.
Exercice 13. [•]
(1) Montrer que (X − 1)3 divise P = nX n+2 − (n + 2)X n+1 + (n + 2)X − n.
(2) Montrer que Q = (X + 1)6n+1 − X 6n+1 − 1 est divisible par (X 2 + X + 1)2 .
Exercice 14. [•]
Décomposer en éléments simples dans R[X] les fractions rationnelles suivantes
1
,
+ X + 1)2
X 3 + 2X 2 + 2X + 1
,
• R6 =
X(X 2 + 1)
3X 3 − X 2 − X + 1
• R7 =
.
X4 − 1
1
,
(X + 1)(X + 2)
X 3 + 3X 2 + 2X + 1
• R2 =
,
(X + 1)(X + 2)
13X − 1
• R3 =
,
(2X + 1)(X − 2)
X
• R4 =
,
(X − a)(X − b)
• R5 =
• R1 =
X(X 2
Exercice 15.
Décomposer, dans C[X], les fractions rationnelles
1
1
R1 = 3
R2 = 4
.
X −1
X +1
En déduire leurs décompositions dans R[X].
Exercice 16. Examen janvier 2016.
Soit P = X 4 − 2X 3 + 2X 2 − 2X + 1.
(1) Décomposer P en produit de facteurs irréductibles sachant que P et P 0 ont une racine
réelle commune.
(2) Décomposer la fraction suivante en éléments simples dans R[X] :
F =
X4 − X3 + X + 1
.
X 4 − 2X 3 + 2X 2 − 2X + 1
Exercice 17. Examen juin 2016.
Décomposer, dans C[X], F = (XX+4
2 +1)2 .