Champ magnétique
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I1 Champ magnétique Corrigé des exercices Exercice A Champ créé par un moment magnétique (1) On commence par tracer un schéma des différents vecteurs. L’exercice est en suite une simple analyse dimensionnelle. − → m • O −−−→ B (M) • M − → u • D’une part dim B = dim µ0 dim m × L p Or, dim m = dim I × L 2 , donc dim B = dim µ0 dim I × L p+2 • D’autre part dim B = dim µ0 × L −1 dim I On combinant les deux résultats, on obtient L p+2 = L −1 , d’ou p = −3 . − → − → (2) On trouve que B est toujours colinéaire et de même sens que u . Ceci concorde avec le fait que le champ magnétique entre par le pôle sud et sorte par le pôle nord du moment magnétique: il est toujours dirigé vers la droite sur le schéma (si l’on reste sur l’axe bien entendu). On a trouvé p < 0 ce qui est cohérent avec le fait que la norme que la norme du champ magnétique décroit lorsque l’on s’éloigne de la source du champ. Exercice B Rapport gyromagnétique d’un atome (1) En utilisant le schéma ci-contre (l’électron est en M) et en se souvenant que les électrons vont dans le sens opposé du courant électrique positif, on obtient: − → eθ − → ez − → −→ − → − → − → → L = OM ∧ m− v = mr e r ∧ rω eθ = mr 2 ω ez − → er M sens de parcours de l’électron θ O i (2) Le courant est donné par la charge qui traverse une section pendant une durée donnée. Ici le courant sera positif, puisqu’on l’a orienté dans le sens contraire des électrons. 2π Il faut ∆t = pour que l’électron fasse un tour. Pendant ce temps, la charge qui traverse la boucle est e en valeur absolue. ω Donc, i = eω 2π Par définition eωr 2 − − → −→ − → → M = i S = −iπr 2 ez = − ez 2 − → en orientant S correctement − → (3) Les deux vecteurs sont colinéaires puisque tous deux selon ez . On peut donc trouver α en faisant le rapport des projections: −→ − → M · ez e α= − =− = −8,8 · 1010 C · kg−1 → − → 2m L · ez 1 I1 Champ magnétique Corrigé des exercices Exercice C Balance de Cotton − → − → (1) La masse est soumise à son poids P et à la réaction de la balance R balance/masse . Comme la balance est à l’équilibre et que le − → − → référentiel terrestre, dans lequel se fait l’étude, est galiléen, on en déduit que P = − R balance/masse . Par le principe des actions réciproques − → − → − → R masse/balance = − R balance/masse = P Pour calculer le moment de la force de la masse sur la balance, il suffit de calculer le moment du poids de la masse puisque les forces sont égales et qu’elles s’appliquent au même point (G). −→ −→ → −→ −−→ − − → − → − → M O P = OG ∧ −mg e y = OA + AG ∧ −mg e y = −lmg ez D’où − → −−→ − → − → Mz P = M O P · ez = −lmg − → car O ∈ O, ez − → (2) La force de Laplace s’applique en P, milieu du segment. Comme O appartient à l’axe O, ez , on a: −→ −→ − → − → − → − → − → − → Mz F La = OP ∧ −il 0 e x ∧ B ez · ez = −OP e x ∧ il 0 B e y · ez = −OPil 0 B (3) On est toujours dans le référentiel terrestre, galiléen, mais cette fois on étudie la balance, à l’équilibre. La balance est soumise à: − → • son poids qui s’exerce en O, il n’exerce donc pas de moment sur O, ez • l’action du pivot qui, puisqu’il est parfait, n’exerce pas non plus de moment sur cet axe • l’action de la masse, dont on a calculé le moment • l’action des forces de Laplace, dont on a aussi calculé le moment. − → Puisque l’axe O, ez est fixe dans le référentiel, qui est galiléen, on peut appliquer le théorème du moment cinétique sur cet axe. De plus comme la balance est à l’équilibre, la dérivée de son moment cinétique est nulle. 0 = −ml g − OPil 0 B − → Pour que cette équation soit possible, il faut que soit i soit B soit négatif. Donc si B est dans le sens indiqué sur le schéma, cela signifie que B > 0 et donc qu’il faut i < 0 pour équilibrer la balance. (4) On a d’après la question précédente B=− lmg = −0,1 T OPil 0 2/2
