1 Intervalle de confiance (5 points) 2 Couple discret (8 points) 3

Université Paris 1
LICENCE MASS, 2ème année
Cours de Mr Rynkiewicz
Interrogation 1A
1 Intervalle de conance (5 points)
Dans une classe, on observe la taille des garçons :
Taille (cm) 178 157 169 182 179 187 181 172 171 184
En supposant les observations gaussiennes, donner un intervalle de conance à 95% pour la taille
∼ T (n − 1)
moyenne des garçons. On rappelle que si Y ∼ N (0, 1) et Z ∼ χ (n − 1) alors
(loi de Student
à
n − 1 degrés de liberté). De plus, si (X , · · · , X ) i.i.d. X ∼∼ N m, σ alors
P
P
X −
∼ σ χ (n − 1). On utilisera aussi une des probabilités suivantes :
X
Si X ∼ N (0, 1), P (X > 1.96) = 0.025
Si X ∼ T (9)(loi de Student à 9 degrés de liberté), P (X > 2.26) = 0.025
Si X ∼ T (10)(loi de Student à 10 degrés de liberté), P (X > 2.23) = 0.025
qY
2
Z
n−1
1
n
i=1
2
n
j=1
1
n
i
j
n
2
i
2
2 Couple discret (8 points)
Soit un dé équilibré a 6 faces numérotées de 1 à 6. On lance 2 fois le dé. On note dans un vecteur
aléatoire le résultat du premier lancer L dans la première composante et la somme du premier et
du deuxième lancer L + L dans la deuxième composante. Posons X = L et Y = L + L , après
deux lancers indépendant on obtient donc le couple aléatoire (X, Y ).
1. Calculer l'espérance de ce couple.
2. Calculer la loi de la deuxième composante conditionnellement à X = x, où x ∈ {1, · · · , 6}, en
déduire l'espérance de la deuxième composante conditionnellement à la première : E (Y |X ).
3. Calculer la loi conditionnelle de la première composante conditionnellement à Y = y, où
y ∈ {2, · · · , 12}.
1
1
2
1
1
2
3 Chaîne de Markov (7 points)
Soit la chaîne de Markov de matrice de transition sur E =
M=
e1 =
1
0
, e2 =
0
1
avec
0.8 0.1
0.2 0.9
1. Calculer la mesure invariante µ de la chaîne de Markov.
2. Si X = e , calculer la probabilité du chemin : X = X = X = X .
3. Calculer la loi de X conditionnellement à X = e .
4. Calculer la loi de X conditionnellement à X ∼ U , la loi uniforme sur E (i.e. chaque état
a pour probabilité ).
1
1
1
3
1
3
1
2
1
1
2
1
E
3
4