03. Trigo 3èD
publicité
CH III Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle 1. Activité : Découverte des trois nombres B3 Trois triangles rectangles. AB1C1 / AB2C2 / AB3C3 Ils ont en commun le même angle A . B2 Dans ces triangles, le côté le plus long est l'hypoténuse. Le côté adjacent et le côté opposé sont plus petits tout en étant proportionnels à l'hypoténuse. A B1 30° C3 C2 C1 Hypoténuse Côté adjacent à A AB1 = 3,05 AC1 = 2,65 AC1/AB1 ≈ 0,869 Le cosinus de A est le multiplicateur qui AB2 = 5,15 AC2 = 4,45 AC2/AB2 ≈ 0,864 permet de passer de l'hypoténuse au côté adjacent à l'angle . AB3 = 9,1 AC3 = 7,9 AC3/AB3 ≈ 0,868 x cos 30° Hypoténuse ≈ Dans un triangle rectangle, 0,866 Côté opposé à A côté adjacent à A = hypoténuse x cos A 0 < cos A < 1 Dans un triangle rectangle, AB1 = 3,05 B1C1 = 1,5 B1C1/AB1 ≈ 0,491 Le sinus de A est le multiplicateur qui AB2 = 5,15 B2C2 = 2,55 B2C2/AB2 ≈ 0,495 permet de passer de l'hypoténuse au côté opposé à l'angle. AB3 = 9,1 B3C3 = 4,55 B3C3/AB3 = 0,5 côté opposé à A = hypoténuse x sin A x sin 30° C. adjacent à A = 0,5 0 < sin A < 1 C. opposé à A Dans un triangle rectangle, AC1 = 2,65 B1C1 = 1,5 B1C1/AC1 ≈ 0,566 La tangente de A est le multiplicateur AC2 = 4,45 B2C2 = 2,55 B2C2/AC2 ≈ 0,573 AC3 = 7,9 B3C3 = 4,55 B3C3/AB3 ≈ 0,576 qui permet de passer du côté adjacent au côté opposé à l'angle. côté opposé à A = côté adjacent à A x tan A x tan 30° ≈ 0,577 2. Ce que je dois retenir. A) Connaître les côtés B B hypoténuse côté opposé à A C ■ hypoténuse côté adjacent B̂ A côté adjacent à A C ■ A côté opposé à B̂ B) Connaître les formules trigonométriques B côté adjacent à A = hypoténuse x cos A côté opposé à A C ■ hypoténuse côté opposé à A = hypoténuse x sin A côté adjacent à A A côté opposé à A = côté adjacent à A x tan A C) Remarques 1. Cosinus, sinus et tangente sont des nombres sans unité. 2. Le cosinus et le sinus sont des nombres inférieurs à 1. 3. La tangente est un nombre qui peut être plus grand que 1. D) Calculatrice Vérifier d'abord que la calculatrice est en mode " degré " cos 20° ≈ 0,94 cos 60° = 0,5 sin 45° ≈ 0,71 tan 62° ≈ 1,89 3. Savoir calculer un côté. A) On connaît 2 côtés du triangle Exemple Le triangle EFG est rectangle en E. Appliquons le théorème de Pythagore ! ! GF2 = EG2 + EF2 5 cm E 5,42 = EG2 + 52 29,16 = EG2 + 25 ? EG2 = 29,16 – 25 EG = 4,16 (cm) EG ≈ 2,0 (cm) 5,4 cm valeur exacte arrondi au dixième F G B) On connaît un côté et un angle Exemple 1 Le triangle RST est rectangle en S. Utilisons la trigonométrie. • Je cherche [RS] : c'est le côté adjacent à l'angle R . Je connais l'hypoténuse. RS = RT x cos R RS = 5,2 x cos 28° RS ≈ 4,6 (cm) 5,2 cm 28° R T ? S ? • Je cherche [TS] : c'est le côté opposé à l'angle R . Je connais l'hypoténuse. TS = RT x sin R TS = 5,2 x sin 28° TS ≈ 2,4 (cm) Exemple 2 Le triangle ABC est rectangle en B. Utilisons la trigonométrie. • Je cherche [AC] : c'est l'hypoténuse. Je connais le côté adjacent. AC = AC = AB cos A ? ? 5 cos32° AC ≈ 5,9 (cm) 32° A • Je cherche [BC] : c'est le côté opposé. Je connais le côté adjacent. BC = AB x tan A BC = 5 x tan 32° BC ≈ 3,1 (cm) C 5 cm B 3. Savoir calculer un angle dans un triangle rectangle. A) On connaît l’autre angle aigu Le triangle RTS rectangle en R donc les angles aigus R̂ et T̂ sont complémentaires. R̂ + T̂ = 90° T ? T̂ = 90 – R̂ T̂ = 90° – 28° T̂ = 62° B) On connaît deux côtés 28° R Exemple 1 Le triangle EGF est rectangle en E. Utilisons la trigonométrie. Je connais [EF] : c'est le côté opposé. Je connais [EG] : c'est le côté adjacent. EF tan G = EG G 3 5 3 F ? 5 Ĝ = tan–1 ( 5 cm E 3 cm EF = EG x tan G tan Ĝ = S on utilise la touche tan–1 pour trouver l'angle. ) Ĝ ≈ 59° Exemple 2 Le triangle EGF est rectangle en E. Utilisons la trigonométrie. Je connais [EF] : c'est le côté opposé. Je connais [FG] : c'est l'hypoténuse. E EF = EG x sin G ? EF sin G = EG Ĝ ≈ 68° 5,4 cm G 5 sin G = 5, 4 Ĝ = sin–1 ( 5 cm 5 5, 4 on utilise la touche sin–1 ) pour trouver l'angle. F 4. Trouver une démarche pour aboutir à un résultat Un propriétaire a un chien attaché au piquet planté en C. La longueur initiale CI de la laisse permet au chien d'atteindre le début du portail, au point I lorsque la laisse est tendue. Pour une meilleure surveillance de l'entrée, le propriétaire aimerait que son chien puisse atteindre le portail à l'autre bout soit au point E. De quelle longueur minimale le propriétaire doit-il rallonger la laisse de son chien ? Démarche L'augmentation est égale à EC – IC • On calcule IC (dans le triangle rectangle IHC où on connaît 2 mesures) • On calcule EC (dans le triangle rectangle EHC) — On calcule d'abord HC pour avoir une 2ème mesure dans le triangle EHC — On calcule EC • On calcule de combien on rallonge la laisse. Conclusion : 4 étapes Rédaction Etape 1 : Je calcule IC Le triangle IHC est rectangle en H. On cherche IC, l'hypoténuse et on connaît IH, le côté opposé à l'angle de 40°. IC = IH sin C IC = 6 sin 40° IC ≈ 9,3 (m) Etape 2 : Je calcule HC Je cherche HC qui est le côté adjacent à l'angle de 40°. Je connais le côté opposé IH. HC = HC = IH tan C 6 tan 40° HC ≈ 7,2 (m) Etape 3 : Je calcule IC. Le triangle CEH est rectangle en H. Je cherche EC qui est l'hypoténuse. Je connais les deux autres côtés EH et CH. Selon le théorème de Pythagore : EC2 = EH2 + HC2 EC2 = (3 + 6)2 + ( 6 tan 40° )2 EC2 = 81 + ( EC ≈ 6 tan 40° )2 132,13 EC ≈ 11,5 (m) Etape 4 : Je termine EC – EI ≈ 11,5 – 9,3 ≈ 2,2 (m) Conclusion : Le propriétaire doit rallonger la laisse de 2,2 m environ.
