TD: Transformée de Fourier

TD: Transformée de Fourier
1 Définition
fonction complexe f de la variable réelle x. Si elle est de carré sommable, c’est-à-dire si l’intégrale
R +∞Soit une
2
|f
(x)|
dx
converge (on se reportera au cours de mathématiques pour discuter le critère de convergence),
−∞
on définit sa transformée de Fourier F (u), fonction de la variable u par:
r
T.F.(f ) = F (u) =
1
.
2π
Z
+∞
f (x).e−iux .dx.
−∞
Inversement, f (x) se déduit de F (u) par la transformée de Fourier inverse, qui a pour expression:
r
−1
T.F.
(F ) = f (x) =
1
.
2π
Z
+∞
F (u).eiux .du
−∞
• La transformée de Fourier est une extension des séries de Fourier: f (x) est alors une somme continue (et non
plus discrète) de sinusoı̈des.
P+∞
Si f (x) est périodique, de période a, alors: f (x) = −∞ ap . exp i. 2π
.p.x
a
R +∞
Si f (x) n’est pas périodique, alors: f (x) = u=−∞ F (u).eiux .du
Dans ce dernier cas, u est une pulsation, et à l’intervalle du correspond une composante harmonique complexe
élémentaire: df = F (u).du.eiux .
F (u), transformée de Fourier de f , représente
donc la distribution desq
pulsations spatiales de f .
q
R +∞
R +∞
1
1
• Si f (x) est à valeurs réelles: F (u) = 2π . −∞ f (x). cos(ux).dx − i. 2π
. −∞ f (x). sin(ux).dx
2 Exemples
2.1 Impulsion en créneau
∆x
Soit f (x) = A pour |x| < ∆x
2 et f (x) = 0 pour |x| > 2 . Vérifier que la transformée de Fourier s’écrit:
A.∆x
2π.u
sin
α
F (u) = √2π . sinc( ∆u ) où sinc α = α et ∆u.∆x = 4π. Tracer F (u).
2.2 Sinus cardinal
Réciproquement, la transformée de Fourier d’un sinus cardinal est une impulsion en créneau.
2.3 Gaussienne
2x 2
) . Vérifier que la transformée de Fourier est également une gaussienne qui
Soit f (x) = A. exp −( ∆x
√ . exp −( 2.u )2 avec ∆u.∆x = 8. Tracer F (u).
s’écrit: F (u) = A.∆x
∆u
2 2
2.4 Lorentzienne
Soit f (x) =
A
2x 2 .
1+( ∆x
)
Vérifier que la transformée de Fourier s’écrit: F (u) =
pπ
8 .A.∆x. exp
− 2.|u|
∆u
avec
∆u.∆x = 4. Tracer F (u).
R +∞
Il existe plusieurs définitions possibles. On peut, par exemple, poser: F (u) = 1. −∞ f (x).e−j.u.x .dx et
q
R +∞
1
1
f (x) = 2π
. −∞ F (u).e+j.u.x .du. On peut aussi décider de symétriser les formules en introduisant
2π dans
les deux expressions.
1
ISEN-Brest. Kany.
TD: Transformée de Fourier
2.5 Exponentielle de la forme exp(−|x|)
Réciproquement, la transformée de Fourier de f (x) =
2.|x|
.A.∆u.
exp
−
est une Lorentzienne.
8
∆x
pπ
2.6 Dirac
1
∆x
Soit f (x) = ∆x
pour |x| < ∆x
2 et f (x) = 0 pour |x| > 2 . Cette “fonction”, notée souvent δ0 (x), est en
réalité une distribution (voir cours de mathématiques). Montrer que la transformée de Fourier est constante et
s’écrit: F (u) = √12π .
2.7 Constante
Réciproquement, la transformée de Fourier de la fonction constante f (x) =
√1
2π
est la “fonction” de Dirac.
Solution
2.1 Impulsion en créneau
Si A =
1
∆x ,
la fonction est normée (i.e.
R +∞
f (x).dx = 1).
−∞
R +∞
√1 .
−∞
2.π
R +∆x/2
f (x).e−i.u.x .dx = √A
. −∆x/2 .e−i.u.x .dx
La transformée de Fourier s’écrit: F (u) =
2.π
h −i.u.x i+∆x/2
−i.u.∆x/2
e
−e+i.u.∆x/2
√A .∆x. sinc( u.∆x )
F (u) = √A
.
= √A
.e
= √A
. 2 . sin( u.∆x
−i.u
−i.u
2 ) =
2
2.π
2.π
2.π u
2.π
−∆x/2
où sinc(x) =
sin x
x .
La transformée de Fourier d’un créneau est un sinus cardinal.
F (u) s’annule une première fois pour u = ±2.π/∆x ce qui permet de définir la “largeur” caractéristique
d’un sinus cardinal . D’où: ∆u = 4.π
∆x ⇒ ∆x.∆u = 4.π.
2.2 Sinus cardinal
0 .x)
Soit f (x) = A. sin(u
avec u0 = 2.π
u0 .x
∆x .
• f (x) s’annule lorsque x = ± uπ0 = ± ∆x
2 . ∆x représente donc la “largeur” caractéristique du sinus cardinal.
R +∞
R +∞ sin(u0 .x)
R +∞ sin(u0 .x)
2.A π
• −∞ f (x).dx = A. −∞ u0 .x .dx = 2.A
u0 . 0
u0 .x .u0 .dx = u0 . 2 (voir Annexe).
u0
2
A.π
La fonction est normée si u0 = 1 ⇒ A = π = ∆x .
p
• On admet que la transformée de Fourier s’écrit: F (u) = A2 . π2 .(signe(u + u0 ) − signe(u − u0 ))
où signe(x) = +1 si x > 0 et signe(x) = −1 si x < 0.
F (u) représente donc une impulsion en créneau de largeur ∆u = 2.u0 . D’où: ∆u.∆x = 4.π.
La transformée de Fourier d’un sinus cardinal est un créneau.
2.3 Gaussienne
2.x 2
Soit une gaussienne définie par: f (x) = A. exp −( ∆x
) .
f (0)
• Lorsque x = ± ∆x
la “largeur” caractéristique de la gaussienne.
2 , on Ra: f (x) = e . ∆x représente donc
R +∞
R +∞
R +∞
+∞
2.x 2
∆x
2.x 2 2.dx
2
• −∞ f (x).dx = A. −∞ exp(−( ∆x ) ).dx = A. 2 . −∞ exp(−( ∆x
) ). ∆x = A. ∆x
2 . −∞ exp(−τ ).dτ
2.x
avec τ = ∆x .
R +∞
On ne peut pas définir l’écart-type d’un sinus cardinal car −∞ x2 .f (x).dx ne converge pas.
x
On peut également définir une gaussienne par: f (x) = A. exp(−( √2.∆x
)2 ). Elle est alors normée pour
R +∞
1
A = √2.π.∆x
et ∆x correspond à l’écart-type de la distribution (i.e. σ 2 = −∞ x2 .f (x).dx = (∆x)2 ). La
u
transformée de Fourier, dans ce cas, s’écrit: F (u) = A.∆x. exp(−( √2.∆u
)2 ) avec ∆u.∆x = 1.
2
ISEN-Brest. Kany.
TD: Transformée de Fourier
√
√ 2
.
π. La fonction est normée si A. ∆x
2 . π =1 ⇒ A=
π.∆x
R
R
+∞
+∞ −(( 2.x )2 +i.u.x)
1
A
−i.u.x
• La transformée de Fourier s’écrit: F (u) = √2.π . −∞ f (x).e
.dx = √2.π . −∞ e ∆x
.dx.
i
h
h
i2
2
2
2
4
i.u.(∆x) 2
u .(∆x)
i.u.(∆x)
2
4
2.x 2
=
) + i.u.x = 4.x +i.u.x.(∆x)
=
.
(x
+
)
+
.(x
+
)
Soit X 2 = ( ∆x
+
2
2
(∆x)
(∆x)
8
64
∆x
8
Or : I =
R +∞
−∞
exp(−x2 ).dx =
√
u2 .(∆x)2
.
16
i.u.(∆x)
2
).
∆x .(x +
8
R
R +∞ −τ 2
u2 .(∆x)2
u2 .(∆x)2
2
+∞
−(τ +
) 2.dx ∆x
−
√A .
16
16
On a: F (u) = √A
.
e
.
.
=
e
.dτ.e
. ∆x
∆x
2
2
−∞
−∞
2.π
2.π
u.(∆x) 2
2
2.u
A.∆x
A.∆x
8
)
)
−(
−(
4
F (u) = 2.√2 .e
= 2.√2 .e ∆u avec ∆u = ∆x ⇒ ∆u.∆x = 8.
On pose: τ =
=
u
√
√A . π. ∆x .e−
2
2.π
2 .(∆x)2
16
La transformée de Fourier d’une gaussienne est également une gaussienne.
2.4 Lorentzienne
Soit une Lorentzienne définie par: f (x) =
A
2.
1+( 2.x
∆x )
a: f (x) = f (0)
donc la “largeur” caractéristique de la Lorentzienne .
• Lorsque x = ± ∆x
2 , on
2 . ∆x représente
R +∞
R +∞
R +∞ dτ
1
∆x
2.x
2 ∆x
• −∞ f (x).dx = 2.A. 0
.dx. ∆x . 2 = 2.A. 0
1+τ 2 .dτ. 2 en posant τ = ∆x .
1+( 2.x )2
∆x
2
.
La fonction est normée si A.∆x.[Arctan τ ]+∞
= 1 ⇒ A = π.∆x
0
p
|u|.∆x
A.∆x
π − 2
• On admet que: F (u) = 2 . 2 .e
.
2.|u|
0
On a: F (u) = A . exp − ∆u (voir paragraphe suivant) avec A0 =
A.∆x
2 .
pπ
2
et
2
∆u
=
∆x
2
⇒ ∆u.∆x = 4.
La transformée de Fourier d’une Lorentzienne est une exponentielle.
2.5 Exponentielle
Soit une distribution exponentielle définie par: f (x) = A. exp − 2.|x|
∆x .
f (0)
• Lorsque x = ± ∆x
“largeur” caractéristique de l’exponentielle.
2 , on a: f (x) = e . ∆x
représente donc la
R +∞
R +∞
R +∞
R +∞
2.|x|
2.x dx
). ∆x = A.∆x. 0 exp(−τ ).dτ
• −∞ f (x).dx = A. −∞ exp − ∆x .dx = A.∆x.2. 0 exp(− ∆x
2.x
.
avec τ = ∆x
La fonction est normée si A.∆x = 1 ⇒ A =
1
∆x .
R +∞
√1 .
−∞
2.π
R +∞
2.|x|
• La transformée de Fourier s’écrit: F (u) =
. −∞ e−( ∆x +i.u.x) .dx
f (x).e−i.u.x .dx = √A
2.π
(
2.x
0
+∞ )
nR
2.x −i.u.x
R +∞ −( 2.x +i.u.x) o
−(
+i.u.x)
2.x
0
∆x
∆x
A
A
e
e
−i.u.x
F (u) = √2.π . −∞ e ∆x
.dx + 0 e ∆x
.dx = √2.π .
−
2
2
∆x −i.u
∆x +i.u
−∞
0
n
o
2
2
+i.u+ ∆x
−i.u
A
1
1
A
A
4
1
A
4
1
∆x
F (u) = √2.π . 2 −i.u + 2 +i.u = √2.π . ( 2 )2 +u2
= √2.π . ∆x . ( 2 )2 +u2 = √2.π . ∆x . ( 2 )2 .(1+( u.∆x )2 )
∆x
F (u) =
∆x
A.∆x
1
√
.
2u 2
)
2.π 1+( ∆u
avec
∆x
∆x
2
=
2
∆u
∆x
∆x
2
⇒ ∆x.∆u = 4.
La transformée de Fourier d’une exponentielle est une Lorentzienne.
2.6 Dirac
Soit f (x) une impulsion en créneau très courte (∆x → 0) et normé A =
La transformée de Fourier peut s’obtenir de deux façons:
1
∆x
→ +∞.
R +∞
R +∞
Se démontre en considérant I = −∞ exp(−x2 ).dx et J = −∞ exp(−y 2 ).dy. On a I = J et
R +∞
I.J = −∞ exp(−(x2 + y 2 )).dx.dy. En passant en coordonnées polaires (x2 + y 2 = r2 et dS = r.dr.dθ),
√
on montre que: I.J = π; d’où I = J = π.
R +∞
pas.
On ne peut pas définir l’écart-type de cette distribution car −∞ x2 .f (x).dx ne converge
√
2.|x|
On peut également définir une distribution exponentielle par: f (x) = A. exp − ∆x
. Elle est alors
R +∞ 2
1
2
normée pour A = √2.∆x et ∆x correspond à l’écart-type de la distribution (i.e. σ = −∞ x .f (x).dx = (∆x)2 ).
La transformée de Fourier, dans ce cas, s’écrit: F (u) =
A.∆x
1
√ .
.
√
π 1+( u.∆x
)2
2
3
ISEN-Brest. Kany.
TD: Transformée de Fourier
1
Soit à partir du calcul de l’impulsion en créneau: F (u) = √A
.∆x. sinc( u.∆x
−−−→ √2.π
.
2 )−
2.π
∆x→0
R
+∞
1
1
1
−i.u.x
−i.u.0
Soit à partir de la définition: F (u) = √2.π . −∞ δ0 (x).e
.dx = √2.π .e
= √2.π
La transformée de Fourier d’un Dirac est constante: F (u) =
√1 .
2π
2.7 Constante
Soit f (x) la fonction constante f (x) = √12π .
• Cette fonctionR n’est pas normée et possède
une largeur caractéristique infinie.
R +∞
+∞
1
1
. −∞ e−i.u.x .dx n’est pas définie.
• F (u) = √2.π
. −∞ f (x).e−i.u.x .dx = 2.π
On admet que F (u) est une distribution nulle quel que soit u à l’exception de la valeur u = 0 où elle est infinie.
La transformée de Fourier de la fonction constante f (x) = √12π est un Dirac.
3 Code avec Mathematica
Transformée de Fourier
In[1]:= Needs["Calculus‘FourierTransform‘"]
Créneau
In[2]:= A=.;DeltaX=.; f1[x ]=A*UnitStep[x+DeltaX/2]*UnitStep[-x+DeltaX/2];
TF=ComplexExpand[Sqrt[1/(2 Pi)] FourierTransform[f1[x], x, u]];
TF=TF/.{Im[UnitStep[DeltaX]]->0, Re[UnitStep[DeltaX]]->1}
Out[5]=
2
DeltaX u
A Sqrt[--] Sin[--------]
Pi
2
-----------------------u
In[6]:= TF=TF/.
DeltaX->4 Pi/DeltaU
Out[6]=
2
2 Pi u
A Sqrt[--] Sin[------]
Pi
DeltaU
---------------------u
In[7]:= f[x ]=f1[x]/.{A->1,DeltaX->1}; F[u ]=TF/.{A->1,DeltaU->4 Pi};
Plot[f[x],{x,-10,10},PlotRange->{0,1.1}]; Plot[F[u],{u,-20,20},PlotRange->{-.2,.5}]
4
ISEN-Brest. Kany.
TD: Transformée de Fourier
Out[10]= -Graphicsf
TF [f]
x
u
Sinus Cardinal
In[11]:= f2[x ]=Sin[x]/x; F[u ]=Integrate[f2[x] Cos[u x],{x,-Infinity,+Infinity}];
Plot[f2[x],{x,-3 Pi,3 Pi},PlotRange->{-1,1}]; Plot[F[u],{u,-10,10},PlotRange->Automatic]
Out[14]= -GraphicsAutre méthode
In[15]:= F[u ]=Sqrt[1/(2 Pi)] FourierTransform[f2[x], x, u];
Plot[F[u],{u,-10,10},PlotRange->Automatic]
Out[16]= -GraphicsTF [f]
f
x
u
Gaussienne
In[17]:= A=.;DeltaX=.; f3[x ]=A Exp[-(2 x/DeltaX)^2];
TF=Sqrt[1/(2 Pi)] Integrate[f3[x] Cos[u x],{x,-Infinity,+Infinity}];
TF=TF/. Sqrt[DeltaX^(-2)]->1/DeltaX
5
ISEN-Brest. Kany.
TD: Transformée de Fourier
Out[20]=
A DeltaX
-------------------------(DeltaX2 u2 )/16
2 Sqrt[2] E
In[21]:= TF=TF/.
DeltaX->8/DeltaU
Out[21]=
2 Sqrt[2] A
---------------------(4 u2 )/DeltaU2
DeltaU E
In[22]:= f[x ]:=f3[x]/.{A->1,DeltaX->1} F[u ]:=TF/.{A->1,DeltaU->8}
Plot[f[x],{x,-2,2}]; Plot[F[u],{u,-10,10},PlotRange->{0,.5}]
Out[25]= -GraphicsTF [f]
f
x
u
Lorentzienne
In[26]:= A=.;DeltaX=.; f4[x ]=A / (1+(2 x/DeltaX)^2);
TF=Sqrt[1/(2 Pi)] Integrate[f4[x] Cos[u x],{x,-Infinity,+Infinity}];
TF=TF/. {Sqrt[DeltaX^(-2)]->1/DeltaX,Sqrt[DeltaX^2]->DeltaX,(u^2)^(1/4)->Sqrt[Abs[u]],
Sqrt[u^2]->Abs[u]}/.{Abs[u]/u^2->1/Abs[u]}/.Sqrt[Pi/Abs[u]]->Sqrt[Pi]/Sqrt[Abs[u]]
Out[29]=
Pi
A DeltaX Sqrt[--]
2
-------------------(DeltaX Abs[u])/2
2 E
In[30]:= TF=TF/.
DeltaX->4/DeltaU
Out[30]=
A Sqrt[2 Pi]
------------------------(2 Abs[u])/DeltaU
DeltaU E
In[31]:= f[x ]:=f4[x]/.{A->1,DeltaX->1} F[u ]:=TF/.{A->1,DeltaU->4}
Plot[f[x],{x,-2,2}]; Plot[F[u],{u,-5,5},PlotRange->{0,1}]
6
ISEN-Brest. Kany.
TD: Transformée de Fourier
Out[34]= -Graphicsf
TF [f]
x
u
Dirac
In[35]:= f5[x ]=DiracDelta[x]; TF=Sqrt[1/(2 Pi)] FourierTransform[f5[x], x, u]
Out[36]=
1
---------Sqrt[2 Pi]
In[37]:= Plot[f5[x],{x,-1,1},PlotRange->{0,1}]; Plot[TF,{u,-5,5},PlotRange->{0,1}]
Out[38]= -GraphicsTF [f]
f
x
u
4 Code avec Python
# -*- coding: utf-8 -*from sympy import *
print("Impulsion en créneau")
print("====================")
7
ISEN-Brest. Kany.
TD: Transformée de Fourier
1.0
0.4
0.8
0.3
0.6
0.2
0.4
0.1
0.2
0.00
5
10
5
0.00
5
10
5
10
0.1
10
print("Sinus cardinal")
print("==============")
2.0
3.0
2.5
1.5
6
2.0
5
1.0
4
1.5
3
2
0.5
1.0
1
5
10
0.00
5
10
5
00
5
10
10
0.5
0.5
0.00
5
10
print("Gaussienne")
print("==========")
0.40
1.2
0.35
1.0
0.30
0.8
0.25
0.6
0.20
0.15
0.4
0.10
0.2
2.0
1.5
0.5 0.00.0
1.0
0.05
0.5
1.5
1.0
2.0
2.0
1.5
0.5 0.000.0
1.0
0.5
1.5
1.0
2.0
print("Lorentzienne")
print("============")
0.7
0.40
0.6
0.35
0.30
0.5
0.25
0.4
0.20
0.3
0.15
0.2
6
4
2
0.10
0.1
0.05
0.00
0.000
2
4
6
6
4
8
2
2
4
6
5
10
ISEN-Brest. Kany.
TD: Transformée de Fourier
5 Annexe: calcul de
Soit I(x) =
R∞
On a:
dI(x)
dx
D’où:
d2 I(x)
dx2
0
=
R +∞
0
sinc x.dx
e−t.x
1+t2 .dt.
R∞
0
−t.e−t.x
1+t2 .dt
+ I(x) =
R∞
0
et
d2 I(x)
dx2
=
(1+t2 ).e−t.x
.dt
1+t2
R∞
0
=
t2 .e−t.x
1+t2 .dt.
R∞
0
e−t.x .dt =
h
e−t.x
−x
it→∞
t=0
= x1 .
2
I(x)
On cherche les solutions de l’équation différentielle: d dx
+ I(x) = x1 .
2
• Solution homogène: I(x) = A. cos x + B. sin x.
0
0
• Solution particulière (par variation de la constante): dI(x)
dx = A . cos x + B . sin x − A. sin x + B. cos x.
On impose: A0 . cos x + B 0 . sin x = 0, d’où:
2
d2 I(x)
dx2
= −A0 . sin x + B 0 . cos x − A. cos x − B. sin x et l’on a:
d I(x)
dx2
+ I(x) = −A0 . sin x + B 0 . cos x = x1 .
R∞
R∞
D’où: A0 = − sinx x et B 0 = cosx x . On en déduit: A = x sint t .dt et B = − x cost t .dt.
R∞
R∞
• Solution totale: I(x) = A. cos x + B. sin x + x sint t .dt . cos x + − x cost t .dt . sin x.
R ∞ sin u
R ∞ sin(t−x)
.dt = A. cos x + B. sin x + 0 u+x .du en posant u = t − x.
D’où: I = A. cos x + B. sin x + x
t
R ∞ sin u
On pose: J(x) = 0 u+x .du.
0
h
i∞ R
f = sin u f = − cos u
∞ cos u
cos u
En intégrant par parties:
, on a: J(x) = −u+x
− 0 (u+x)
1
1
2 .du. L’intégrale:
0
g = u+x g = − (u+x)2
0
R ∞ cos u
R∞ 1
.du est majorée par: 0 (u+x)2 .du qui est elle-même majorée par x1 . J(x) est donc majorée par x2 .
0 (u+x)2
R∞ u
• Conditions limites: I(x) −−
−−→ 0 ⇒ A = B = 0 ⇒ I(x) = 0 sin
u+x .du = J(x) (par unicité).
x→∞
Z
I(x) =
0
∞
e−t.x
.dt =
1 + t2
Z
0
∞
sin u
.du = J(x)
u+x
R∞
On a: lim J(x) = 0 sinu u .du qui est l’intégrale que l’on cherche à calculer.
x→0
R∞ 1
∞
π
Or: lim I(x) = 0 1+t
2 .dt = [Arctan(t)]0 = 2 .
x→0
Comme lim J(x) = lim I(x), on en déduit:
x→0
x→0
R +∞
0
sinc x.dx =
π
2
Ou bien, tout simplement, avec Python:
from sympy import *; x=symbols("x"); print(integrate(sin(x)/x,(x,0,oo))) #pi/2
6 Applications en physique
En optique ondulatoire, on définit l’amplitude complexe f (t) d’un train d’ondes qui est la T.F.−1 (temporelle)
de son profil spectral F (ω). Plus la durée du train d’onde est courte, moins l’onde est monochromatique. (Cette
propriété est liée à l’inégalité d’Heisenberg: ∆E.∆T > ~).
La T.F. de l’interférogramme I(δ) d’une lumière polychromatique contient son profil spectral.
L’intensité de la figure de diffraction de Fraunhofer (à l’infini) est proportionnelle au carré de la T.F.−1 (spatiale)
de la transparence de la pupille de diffraction.
En électricité, la réponse d’un quadripôle à un signal quelconque s’obtient en exprimant le signal d’entrée à
l’aide de sa transformée de Fourier (temporelle) et en cherchant la réponse de chaque fréquence à partir du
diagramme de Bode du circuit.
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