Název: Pravděpodobnost Autor: Mgr. Jiří Bureš, Ph.D. Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 6. (4. ročník vyššího gymnázia, bilingvní sekce) Tématický celek: pravděpodobnost Stručná anotace: Výukový materiál je zaměřen na počítání pravděpodobnosti v situacích, kdy dochází k různým typům losování. Obsahuje základní přehled potřebné teorie a řešené příklady. Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky a v souvislostech ‒ inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana Nerudy (číslo projektu CZ.2.17/3.1.00/36047) financovaného z Operačního programu Praha – Adaptabilita. Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti A. Vocabulaire de base de la probabilité Les exemples cités ci-dessous sont basés sur les situations suivantes : Situation A: On lance un dé. Situation B: On effectue un tirage d'un sac qui contient 3 jetons - un rouge et deux blancs. Situation C: Dans un jeu de 32 cartes, on distribue 5 cartes à chaque joueur. 1) Épreuve ou expérience aléatoire C'est une expérience qui peut être répétée dans des conditions identiques et dont l'issue n'est pas prévisible à priori. Tout résultat possible de cette expérience s'appelle une éventualité. A: On lance un dé et on note le nombre sur la face supérieure. B: On tire un jeton d'un sac. C: On obtient une main de 5 cartes. 2) Univers (U) L'ensemble de tous les cas possibles d'une expérience aléatoire. A: U={1,2,3,4,5,6 } B: U={R , B } C: U contient 3) Événement L'événement est tout sous-ensemble de l'univers. A : E={2,4,6 } - le résultat est pair B : U={B } () 32 =201 376 éléments. 5 C: E = {4 valets, roi de piques} Si une éventualité appartient à un événement, on dit qu'elle réalise cet événement. L'événement U est un événement particulier puisqu'il contient toute les éventualités d'une même expérience aléatoire , il est donc toujours réalisé on l'appelle événement certain. L'événement ∅ n'est jamais réalisé et appelé événement impossible. A: U - On obtient un nombre naturel entre 1 et 6 compris. ∅ - On obtient 7. B: U - On tire un jeton rouge ou blanc. ∅ : On tire un jeton bleu. 4) Opérations sur les événements Si E et F sont deux événements d'un univers U : Le complémentaire de E est appelé événement contraire de E (noté aussi ̄E ). A: E - On obtient un nombre pair. E ' - On n'obtient pas de nombre pair. Donc E={2,4 ,6} et E ' ={1,3,5}. La réunion des événements E∪F E - On obtient un nombre pair. F - On obtient un nombre supérieur à 4. A: E={2,4,6} , F ={4,5,6} , E∪F - On obtient un nombre pair ou supérieur à 4. E∪F ={2,4 ,5 ,6} L'intersection des événements E∩F E - On obtient un nombre pair. F - On obtient un nombre supérieur à 4. Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti E∩F - On obtient un nombre A: E={2,4,6} , F ={4,5 ,6} pair et supérieur à 4. E∪F = {4,6} Note: Les événements E et F sont incompatibles ss'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps, c'est-à dire ssi E∩F =∅ . B. Probabilité sur en ensemble fini 1) Définition d'une loi de probabilité Soit U un univers qui comporte n éventualités U={e1, e 2, ... , en }. Définir une loi de probabilité p sur U consiste à associer à chaque éventualité ei de U un nombre pi , compris entre 0 et 1, tel que p1 +p2 +...+pn =1. 1 Ex: On lance un dé. On définit p(1)=p( 2)=p (3)=p(4)=p(5)=p (6)= . 6 Note: C'est une situation d'équiprobabilité car toutes les éventualités ont la même probabilité. Ex: On lance une pièce de monnaie. On définit p(pile)=0,45, , p( face)=0,55. 2) Propriétés d'une probabilité Soit U un univers et E et F deux événements de U : • La probabilité d'un événement E est égale à la somme des probabilités des éventualités qui constituent E . • Si E et F sont les événements incompatibles de U alors p(E∪F)=p (E )+ p (F) . • p(U )=1 La probabilité d'un événement certain égale 1. • p(∅)=0 La probabilité d'un événement impossible égale 0. • p(E ')=1−p(E ) La probabilité de l'événement contraire de E. • p(E∪F)=p (E)+ p (F )−p (E∩F ) La probabilité de la réunion des événements . 3) L'équiprobabilité Soit U un univers de n éventualités et une loi p d'équiprobabilité : 1 • La probabilité de chaque événement égale . n • Si un événement E contient k éventualités alors k nombre de cas favorables p(E )= = . n nombre de cas possibles Exemples de situations d'équiprobabilité : On lance un dé parfaitement équilibré. Le sac contient 10 jetons indiscernables au toucher. Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti Activité 1. Fiche de travail Dans une urne, il y a 15 boules identiques numérotées de 1 à 15. On tire une boule au hasard. Déterminer les probabilités des événements suivants : A : Le numéro est divisible par 3. P ( A)= ........ B : Le numéro est divisible par 5. P (B) = ........ C : Le numéro est divisible par 7. P (C )= ........ D : Le numéro est divisible par 17. D est un événement impossible : P (D) = ........ E : Le numéro est divisible par 1. E est un événement certain : P (E )= ....... F : Le numéro n’est pas divisible par 3. F est l’événement contraire de A : P (F )= ........ G : Le numéro tiré est divisible par 3 ou par 7. A et C sont deux événements incompatibles : P (G )= ................. H : Le numéro tiré est divisible par 3 ou par 5. A et B sont deux événements compatibles : P (H )≠ ................. Activité 2. Un sac contient 20 jetons indiscernables au toucher. Les 20 jetons sont de différentes couleurs : 8 jaunes, 6 rouges, 4 verts et 2 bleus. 1. On tire simultanément deux jetons du sac. Déterminer la probabilité des événements suivants : A : « Les deux jetons sont rouges. » B : « L’un des deux jetons est jaune et l’autre vert. » C : « Les deux jetons sont de même couleur. » D : « Les deux jetons sont de couleurs différentes. » 2. On tire successivement sans remise deux jetons du sac. Déterminer la probabilité des événements suivants : E : « Les deux jetons sont rouges. » F : « Le premier jeton est vert et l’autre n’est pas rouge. » G : « Les deux jetons sont de même couleur. » H : « Les deux jetons sont de couleurs différentes. » 3. On tire successivement avec remise deux jetons du sac. Déterminer la probabilité des événements suivants : I : « Les deux jetons sont rouges. » J : « Le premier jeton est vert et l’autre n’est pas rouge. » K : « Les deux jetons sont de même couleur. » L: « Les deux jetons sont de couleurs différentes. » Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti Elements de solutions : Activité 1. Fiche de travail Dans une urne, il y a 15 boules identiques numérotées de 1 à 15. On tire une boule au hasard. Déterminer les probabilités des événements suivants : D : Le numéro est divisible par 17. 5 1 = 15 3 3 1 P (B)= = 5, 10, 15 15 5 2 P (C )= 7, 14 15 D est un événement impossible : P(D)=0 E : Le numéro est divisible par 1. E est un événement certain : P (E )=1 A : Le numéro est divisible par 3. B : Le numéro est divisible par 5. C : Le numéro est divisible par 7. 3, 6, 9, 12, 15 : P (A)= F : Le numéro n’est pas divisible par 3. 1 2 F est l’événement contraire de A : P (F )=1−p (A)=1− = 3 3 G : Le numéro tiré est divisible par 3 ou par 7. 5 2 7 A et C sont deux événements incompatibles : P (G )=p( A)+p (C )= + = 15 15 15 H : Le numéro tiré est divisible par 3 ou par 5. A et B sont deux événements compatibles : P (H )≠ p (A)+p(B) Activité 2. Un sac contient 20 jetons indiscernables au toucher. Les 20 jetons sont de différentes couleurs : 8 jaunes, 6 rouges, 4 verts et 2 bleus. 1. On tire simultanément deux jetons du sac. Déterminer la probabilité des événements suivants : A : « Les deux jetons sont rouges. » p( A)= () ( ) 6 2 20 2 = 15 3 = 190 38 B : « L’un des deux jetons est jaune et l’autre vert. » p(B)= C : « Les deux jetons sont de même couleur. » 8 + 6 + 4 + 2 2 2 2 2 28+15+12+1 56 28 p(C )= = = = 190 190 95 20 2 ()()()() () Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti 8.4 32 16 = = 20 190 95 2 () D : « Les deux jetons sont de couleurs différentes. » 28 67 p(D)=1−p(C )=1− = 95 95 2. On tire successivement sans remise deux jetons du sac. Déterminer la probabilité des événements suivants : 6.5 3 = E : « Les deux jetons sont rouges. » p(E )= 20.19 38 4.13 13 = F : « Le premier jeton est vert et l’autre n’est pas rouge. » p(F )= 20.19 95 8.7+6.5+4.3+2.1 100 5 G : « Les deux jetons sont de même couleur. » p(G )= = = 20.19 20.19 19 5 14 H : « Les deux jetons sont de couleurs différentes. » p(H )=1−p (G)=1− = 19 19 3. On tire successivement avec remise deux jetons du sac. Déterminer la probabilité des événements suivants : 2 2 6 3 9 = I : « Les deux jetons sont rouges. » p(I )= 2 = 10 100 20 4.14 7 J : « Le premier jeton est vert et l’autre n’est pas rouge. » p( J)= 2 = 50 20 2.2 120 3 K : « Les deux jetons sont de même couleur. » p(K )=8.8+6.6 +4.4+ 2 = = 20 400 10 3 7 L: « Les deux jetons sont de couleurs différentes. » p(L)=1−p (K )=1− = 10 10 ( ) Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti