1 Relier fréquence conditionnelle et probabilité conditionnelle Pièces défectueuses Deux machines A et B fabriquent une pièce identique et fonctionnent indépendamment. Dans la production journalière totale de ces machines, on prend une pièce au hasard. On note A (resp. B) l’événement « la pièce tirée provient de A (resp. de B) ». On donne P(A) = 0,6 et P(B) = 0,4. On suppose que, parmi la production de A, la probabilité de tirer une pièce défectueuse est q, alors que parmi la production de B, la probabilité de tirer une pièce défectueuse est r. On note D l'événement « la pièce tirée est défectueuse » et D l'événement contraire. La situation est donc résumée par l’arbre ci-contre. q D On se pose la question suivante : A « Lorsque l’on tire au hasard une pièce dans la 0,60 1–q production totale, et que l'on constate que la pièce est défectueuse, cette information donne-t-elle une idée 0,40 r sur sa fabrication éventuelle par A ? » D B 1. Etude du cas q = 0,1 et r = 0,03 1–r On suppose ici que la probabilité que A fabrique une arbre 1 pièce défectueuse est 10 % et que la probabilité que B fabrique une pièce défectueuse est 3 %. Observation des fréquences Vous allez simuler sur le tableur une production de 10000 pièces selon les conditions précédentes. En adoptant, sur une feuille de calcul, la présentation montrée ci-contre, entrer la valeur de q en B1, soit 0,1 et la valeur de r en B2, c’est-à-dire 0,03. Entrer en A5 la formule suivante, simulant si la pièce tirée a été fabriquée par A ou par B : SI(ENT(ALEA()+0,6)=1;"A";"B") . Entrer en B5 la formule suivante, simulant si la pièce tirée présente un défaut (affichage du nombre 1) ou pas (affichage du nombre 0) : =SI(A5="A";ENT(ALEA()+B$1);ENT(ALEA()+B$2)) . Entrer en C5 la formule =CONCATENER(A5;B5) (cette formule permet d’écrire bout à bout les résultats des deux cellules des colonnes précédentes). Sélectionner les trois cellules A5, B5 et C5 puis recopier vers le bas jusqu’à la ligne 10004. On peut faire le compte des effectifs des quatre résultats possibles (A1, A0, B1 et B0) dans un tableau. Préparer ce tableau comme sur l’image suivante dans les colonnes E, F, G, H, à partir de la ligne 1. En F2 entrer la formule =NB.SI(C:C;"A1") puis en F3 la formule =NB.SI(C:C;"A0") . En G2 entrer la formule =NB.SI(C:C;"B1") puis en G3 la formule =NB.SI(C:C;"B0") . En raison des fluctuations d’échantillonnage, il n’y a bien sûr aucune raison que vos résultats soient ceux montrés ici. Ils doivent cependant être « analogues ». On obtient les effectifs marginaux en cliquant sur l’icône de sommation. En G6 entrer la formule =F4/H4 et en G7 entrer la formule =F2/H2 . 2 a) Justifier que la formule entrée en G6 fournit la fréquence f (A) de l’événement A et que celle entrée en G7 fournit la fréquence conditionnelle fD (A) de A sachant D. b) Appuyer plusieurs fois sur la touche F9 pour visualiser l’ampleur des fluctuations d’échantillonnage puis donner des valeurs approchées à 10 – 1 près des fréquences f (A) et fD (A) généralement observées. c) A-t-on statistiquement plus de chances que la pièce ait été fabriquée par A quand on sait qu’elle est défectueuse ? Calcul des probabilités d) Calculer P(D) = P(A D) + P(B D) (on peut s’aider de l’arbre 1). e) « Inverser » l’arbre 1, en calculant à 10 – 2 de la probabilité conditionnelle PD (A) correspondant au point d'interrogation sur l’arbre ci-dessous. ? A P(A D) = 0,06 D P(D) =0,072 B arbre 2 A D B f) Comparer la valeur PD (A) calculée précédemment aux fréquences conditionnelles fD (A) observées. 2. Etude du cas q = 0,1 et r = 0,1 On suppose ici que la probabilité pour A comme pour B de fabriquer une pièce défectueuse est 10 %. Entrer dans la cellule B2 la valeur 0,1. a) Appuyer plusieurs fois sur la touche F9 puis donner des valeurs approchées à 10 – 1 près des fréquences f (A) et fD (A) généralement observées. b) A-t-on statistiquement plus de chances que la pièce ait été fabriquée par A quand on sait qu’elle est défectueuse ? c) Reprendre les calculs de probabilité effectués dans la partie 1 pour justifier que dans ce second cas, on a PD (A) = P(A) (il y a indépendance des événements A et D). 3 Corrigé du T.P. 12 p. 165 : Pièces défectueuses 1. a) On a f (A) = effectif de A et fD (A) = effectif de A D . effectif total effectif de D b) On observe que f (A) 0,6 et fD (A) 0,8. c) Comme 0,8 > 0,6 on a « statistiquement » plus de chances d’avoir A si l’on a observé D. d) On a P(D) = 0,6 0,1 + 0,4 0,03 = 0,072. e) On a 0,072 PD (A) = 0,06 d’où PD (A) 0,83. f) On constate que fD (A) PD (A). 2. a) On observe f (A) fD (A) 0,6. b) Quand on sait que la pièce est défectueuse, on n’a statistiquement pas plus de chances qu’elle soit issue de la machine A. 0,06 c) On a P(D) = 0,06 + 0,4 0,1 = 0,1 puis PD (A) = = 0,6. Donc PD (A) = P(A). 0,1