La fiche de cours de M. Haguet

Le calcul littéral
1) Règles d'écritures (simplifications)
a) le signe ×
° Le signe × n'est pas obligatoire entre un nombre et une lettre.
° Le signe × n'est pas obligatoire entre deux lettres.
x × y = xy
Exemples :
3× a= 3 a
° cas particulier: 1 × x = 1 x = x
6× a× b= 6 ab
4x × 3y = 4 × x × 3 × y = 4 × 3 × x × y =12 xy
-1 × x = -1x = -x
b) notation puissances
définition : soit x un nombre relatif et n un entier positif non nul.
Alors x n = x × x × x × × x
n facteurs x
4
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64
exemples : x = x × x × x× x
 −33 =(-3) × (-3) × (-3) = -27
 −34 = (-3) × (-3) × (-3) × (-3) = 81
règle de calcul : soit x un nombre relatif et m et n deux entiers positifs non nuls.
x m × x n = x m n
( x n x m = x × x × x × × x
×
x × x × x × × x = x m n )
n facteurs x
x 2 × x3 = x 2 3 = x 5
convention : x 0 = 1 x 1 = x
m facteurs x
10 3 × 10 5 = 10 8
(100 = 1
50 = 1
54890 = 1
101 = 10
51 = 5
54891 = 5489)
récapitulatif : soit x un nombre relatif et m et n deux entiers positifs .
x n = x × x × x × × x
x0= 1
x1= x
n facteurs x
x m × x n = x m n
2) Utilisation de la calculatrice
3) Réduire une expression
Définition : Réduire une expression littérale, c'est rassembler tous les termes constitués des mêmes lettres.
Exemples :
A = 2x² + 3x – 9 + 5x² – 7x + 2
A = 2x² + 5x² + 3x – 7x – 9 + 2
A = 7x²
–2x – 7
B = 3x + 2y – 8 + 2xy – 5x +3y – 4
B = 3x – 5x + 2y + 3y + 2xy – 8 – 4
B = – 2x
+ 5y + 2xy – 12
4) Développement (distributivité)
a) Simple développement
B
E
A
Soit k,a et b 3nombres (ou lettres)
k
k ×a b= k ×a k ×b
D
a
b
F
C
AABCD = AAEFD + AEBCF
= k ×a + k ×b
AAEFD = AD × DF
= k × (a–b)
AAEFD = AABCD – AEBCF
= k×a – k×b
B
E
A
AABCD = AD × AB
= k × (a+b)
k
k ×a −b= k ×a− k ×b
D
F
b
C
a
Exemples : 3 (2x – 5) = 3 × 2x – 3 × 5
= 6x – 15
4x (2x + 4) = 4x × 2x + 4x × 4
= 8x²
+ 16x
2x (x² + 6x – 7) = 2x × x² + 2x × 6x – 2x × 7
= 2x3 + 12x² – 14x
b) double développement
Soit a, b, c et d 4 nombres , alors on a :
E
A
H
AABCD = AB × AD
= (a + b) × (c + d)
B
c
F
O
AABCD = AAEOH + AHOGD + AEBFO + AOFGC
= ac + ad + bc + bd
d
D
a
G
 a b  ×  c  d  = ac  ad  bc  bd
b
C
Exemples :
A = (2x + 4) (3x + 5)
A = 2x × 3x + 2x × 5 + 4 × 3x + 4 × 5
A = 6x²
+ 10x + 12x + 20
A = 6x² +
22x
+ 20
B = (-2x – 5) (-x +3)
B = -2x × (-x) – 2x × (+3) – 5 × (-x) – 5 × (+3)
B = 2x²
–
6x
+ 5x
– 15
B = 2x² – x
– 15
c) suppression des parenthèses
° Précédée d'un « + » : Si une expression entre parenthèses est précédée d'un signe "+" (et non suivie d'une × ou ÷ ), on
peut supprimer les parenthèses et le signe + sans rien changer.
° Précédée d'un « − » :Si une expression entre parenthèses est précédée d'un signe "–" (et non suivie d'une × ou ÷ ), on
peut supprimer les parenthèses et le signe – à la condition de changer le signe de tous les termes situés
à l'intérieur des parenthèses.
° Exemples :
A = 2x² – 3x + 5 – (-5 x² + 2x – 3)
A = 2x² – 3x + 5 + 5 x² – 2x + 3
A = 2x² + 5 x² – 3x – 2x + 5 + 3
A = 7x² – 5x + 8
B = 3a + 2b + ( 5a – b)
B = 3a + 2b + ( +5a – b)
B = 3a + 2b – 5a + b
B = -2a + 3b
C = 3x (2x – 4) – (3x² – 5x + 3)
C = 3x (2x – 4) – (+3x² – 5x + 3)
C = 6x² – 12x – 3x² + 5x – 3
C = 3x² – 7x – 3
5) Réduire une somme (ou différence) de 2 produits
Exemple : Développer et réduire
A = 3x (2x – 1) – (5 – 2x ) (x + 2)
A = [3x (2x – 1)] – [(5 – 2x ) (x + 2)]
A = [6x² – 3x ] – [ 5x + 10 – 2x² – 4x]
A = (6x² – 3x) – ( -2x² + x + 10)
A = 6x² – 3x + 2x² – x – 10
A = 8x² – 4x – 10
1- On développe les produits (sans oublier de mettre les développements entre parenthèses)
2- On supprime les parenthèses
3- On réduit l'expression