Équations, inéquations, systèmes

Équations, inéquations,
systèmes
0] Équations (rappels)
0.1. Définitions
●Une équation à une inconnue est une égalité dans
laquelle figure un nombre inconnu généralement
désigné par la lettre x.
●Résoudre une équation, c'est trouver toutes les
valeurs de cette lettre pour lesquelles l'égalité est
vraie.
●Ces valeurs sont appelées les solutions de l'équation.
0.2. Vérification des solutions
Les nombres 2 et 3 sont-ils solutions de l'équation :
7x² – 12x = x3
1 D'une part :
G2 = 7 × 2² – 12 × 2
G2 = 7 × 4 – 24
G2 = 28 – 24
G2 = 4
D'autre part :
D2 = 23
D2 = 8
Puisque G2 ≠ D2, alors 2 n'est pas solution de l'équation.
2 D'une part :
G3 = 7 × 3² – 12 × 3
G3 = 7 × 9 – 36
G3 = 63 – 36
G3 = 27
D'autre part :
D3 = 33
D3 = 27
Puisque G3 = D3, alors 3 est une solution de l'équation.
0.3. Résolution
Quels que soient les nombres a, b, c et d (d ≠ 0) :
Si a = b, alors a + c = b + c
Si a = b, alors a × d = b × d
Pour résoudre une équation du 1er degré, on
regroupe les termes « en x » dans un membre et les
nombres dans l'autre membre.
Exemple : Résoudre l'équation 3x + 5 = 5x + 9
5 – 9 = 5x – 3x
-4 = 2x
−4
2
= x
-2 = x
L'équation admet une
solution : -2.
Vérification :
D'une part
G = 3 × (-2) + 5
G = -6 + 5
G = -1
D'autre part
D = 5 × (-2) + 9
D = -10 + 9
D = -1
1] Équations du second degré
1.1. Équation produit nul
Une équation produit nul est une équation dont un
membre est un produit de facteurs et dont l'autre
membre est zéro.
Exemple : Résoudre l'équation (2x + 1)(x – 3) = 0
Pour qu'un produit soit nul, il faut et il suffit que
l'un au moins de ses facteurs soit nul.
2x + 1 = 0 ou x – 3 = 0
2x = -1 ou x = 3
x =
−1
2
ou x = 3
L'équation admet 2 solutions :
−1
2
et 3.
1.2. Équations du second degré
Pour résoudre une équation du 2nd degré :
1 on regroupe tous les termes dans un même membre
2 on factorise
3 on résout l'équation produit nul
Exemples :
1 Résoudre l'équation x² = 121
x² – 121 = 0
(x – 11)(x + 11) = 0
Pour qu'un produit soit nul, il faut et il suffit
que l'un au moins de ses facteurs soit nul.
x – 11 = 0 ou x + 11 = 0
x = 11 ou x = -11
L'équation admet 2 solutions : 11 et -11.
2 Résoudre l'équation 5(x – 6) = (x – 6)(1 – 2x)
5(x – 6) – (x – 6)(1 – 2x) = 0
(x – 6)[5 – (1 – 2x)] = 0
(x – 6)(5 – 1 + 2x) = 0
(x – 6)(4 + 2x) = 0
Pour qu'un produit soit nul, il faut et il suffit
que l'un au moins de ses facteurs soit nul.
x – 6 = 0 ou 4 + 2x = 0
x = 6 ou 2x = -4
x = 6 ou x = -2
L'équation admet 2 solutions : 6 et -2.
2] Inéquations
Dans cette partie, a, b et c désignent trois nombres
quelconques.
2.1. Addition
Les nombres a + c et b + c sont rangés dans le
même ordre que a et b.
Exemple :
Résoudre l'inéquation 9x ≥ -7 + 8x
9x – 8x ≥ -7 + 8x – 8x
x ≥ -7
Les solutions sont tous les nombres qui sont
supérieurs ou égaux à -7.
2.2. Multiplication par un nombre positif
Si c est strictement positif, les nombres
a×c
et
b×c
sont rangés dans le même ordre que a et b.

Exemple :
Résoudre l'inéquation 4x – 3 < -x + 5
4x + x < 5 + 3
5x < 8
5x
58 5
x8
5
Les solutions sont tous les nombres qui sont
strictement inférieurs à
8
5
.
2.3. Multiplication par un nombre négatif
Si c est strictement négatif, les nombres
a×c
et
b×c
sont rangés dans l'ordre contraire de a et b.
Autrement dit, on doit changer le sens d'une
inégalité lorsqu'on multiplie ses 2 membres par un
même nombre strictement négatif.
Exemple :
Résoudre l'inéquation -7x > 42
−7x
−742 −7
x−6
Les solutions sont tous les nombres qui sont
strictement inférieurs à -6.
3] Systèmes d'équations
3.1. Vocabulaire
{
5x2y=4
–2xy= −7
est un système de deux équations à deux inconnues.
Le couple (2 ; -3) est solution de ce système car :
H = 5 × 2 + 2 × (-3)
H = 10 – 6
H = 4
et B = -2 × 2 + (-3)
B = -4 – 3
B = -7
Le couple (4 ; 1) n'est pas solution car :
H = 5 × 4 + 2 × 1
H = 21 + 2
H = 23
H ≠ 4
3.2. Résolution par substitution
On exprime y en fonction
de x dans la 1ère équation
On remplace y par x + 3
dans la 2nde équation
On résout la 2nde équation
On remplace x par 2
dans la 1ère équation
On conclut
{
– x y=3
3x – 2y=–4
{
y=x3
3x−2y=−4
{
y=x3
3x−2x3=−4
{
y=x3
3x−2x−6=−4
{
y=x3
x−6=−4
{
y=x3
x= −46
{
y=x3
x= −46
{
y=x3
x=2
{
y=23
x=2
{
y=5
x=2
Le système admet 1
solution : le couple (2 ; 5).
3.3. Résolution par combinaison linéaire
On multiplie les 2
membres de
la 1ère équation par -2
On soustrait membre à
membre
On résout la 1ère équation
On remplace x par 3
dans la 2nde équation
On résout la 2nde équation
On conclut
{
4x – 2y=7
3x4y=19
{
−8x4y= −14
3x4y=19
{
−11 x= −33
3x4y=19
{
x=3
3x4y=19
{
x=3
3×34y=19
{
x=3
94y=19
{
x=3
4y=10
{
x=3
y=2,5
Le système admet 1
solution : le couple (3 ;
2,5).